Transcript Kamatni rizik

Merenje kamatnog rizika
Branko Urošević
Ekonomski fakultet
Univerzitet u Beogradu
Sadržaj predavanja
•
•
•
•
•
Puno vrednovanje
Osobine volatilnosti cena obveznica
Trajanje
Konveknost
Vrednost baznog poena
Merenje kamatnog rizika
2
Puno vrednovanje
 Re-evaluacija portfolija prilikom svake promene
kamatnih stopa.
 Za potrebe procene posmatramo razne moguće
promene kamatnih stopa.
 Ovo se zove i “analiza scenarija”.
Merenje kamatnog rizika
3
Primer 1 – Jedna obveznica





Vrednost pozicije: $10 M
Kuponska stopa = 9%
Dospeće: 20 godina
Trenutna cena = 134.6722
Trenutni prinos = 6%
 Kako se menja vrednost pozicije ako se prinos poveća za:
(1) 50 bp
(2) 100 bp
(3) 200 bp
Merenje kamatnog rizika
4
Primer 2 – Paralelne promene
 Portfolio od dve obveznice


A: Kuponska stopa = 6%, dospeće: 5 godina
trenutna cena = 104.3760, trenutni prinos = 5%
Vrednost pozicije = $5 M
B: Kuponska stopa = 9%, dospeće: 20 godina
trenutna cena = 134.6722, trenutni prinos = 6%
Vrednost pozicije = $10 M
 Kako se menja vrednost portfolija ako se prinosi obe
obveznice istovremeno povećaju za:
(1) 50 bp
(2) 100 bp
(3) 200 bp
Merenje kamatnog rizika
5
Primer 3 – Neparalelne promene
 Portfolio od dve obveznice


A: Kuponska stopa = 6%, dospeće: 5 godina
trenutna cena = 104.3760, trenutni prinos = 5%
Vrednost pozicije = $5 M
B: Kuponska stopa = 9%, dospeće: 20 godina
trenutna cena = 134.6722, trenutni prinos = 6%
Vrednost pozicije = $10 M
 Kako se menja vrednost portfolija ako se prinosi obveznica
povećaju prema scenariju:
(1) A: 50 bp B: 10 bp
(2) A: 100 bp B: 50 bp
(3) A: 200 bp B: 100 bp
Merenje kamatnog rizika
6
Puno vrednovanje
 Pitanje: Koje scenarije treba posmatrati?
 Prema Bazelu 2, na primer, banke su u obavezi da
redovno simuliraju moguće promene vrednosti svog
portfolija
 Za kamatni rizik posmatraju se paralelne promene
krive prinosa od +200 bp i –200 bp
Merenje kamatnog rizika
7
Puno vrednovanje
 Problem: U praksi je moguće beskonačno mnogo
promena prinosa. Koje onda gledati?
 Najčešće se posmatraju najverovatnije promene
određene na osnovu istorijskih podataka.
Merenje kamatnog rizika
8
Puno vrednovanje
 Ovi metodi mogu da budu vrlo intenzivni sa
stanovišta procesorskog vremena.
 Utoliko pre ukoliko imamo bolje diverzifikovan
portfolio.
 Čak i ako ne uključujemo kompleksne hartije
(derivate).
 Za osećaj i brzu procenu potrebni su nam neki
jednostavniji metodi.
Merenje kamatnog rizika
9
Jednostavniji metodi
 Koriste jednostavne mere:


Trajanje
Konveksnost
 Ograničenja ovih metoda:

Pretpostavljaju konstantnu volatilnost
Merenje kamatnog rizika
10
Osobine volatilnosti cena
obveznica
 Šta utiče na volatilnost obveznica?



Vreme dospeća
Kuponska stopa
Prisustvo ugrađenih opcija
Merenje kamatnog rizika
11
Osobine volatilnosti cena
obveznica bez opcija
 Primer 4:
 Četiri obveznice




A: Kuponska stopa = 6%, dospeće: 5 godina
B: Kuponska stopa = 6%, dospeće: 20 godina
C: Kuponska stopa = 9%, dospeće: 5 godina
D: Kuponska stopa = 9%, dospeće: 20 godina
 Kako se menjaju vrednosti ovih obveznica ako se
prinos menja od 4% do 9%?
Merenje kamatnog rizika
12
Osobine volatilnosti cena
obveznica bez opcija
 Primer 5:
 Četiri obveznice




A: Kuponska stopa = 6%, dospeće: 5 godina
B: Kuponska stopa = 6%, dospeće: 20 godina
C: Kuponska stopa = 9%, dospeće: 5 godina
D: Kuponska stopa = 9%, dospeće: 20 godina
 Kako se menjaju vrednosti ovih obveznica ako se
prinos svih menja sa 6% na neku vrednost od 4%
do 9%?
Merenje kamatnog rizika
13
Osobine volatilnosti cena
obveznica bez opcija
 Zaključci:




1. Iako cena uvek pada u apsolutnom iznosu kad prinos
raste, relativna promena nema uvek isti znak.
2. Za male promene prinosa (reda 1 bp) procentna
promena cene je približno ista, bez obzira na smer
promene.
3. Za velike promene prinosa procentna promena cene je
veća (u apsolutnom iznosu) ako se prinos smanjuje nego
ako se povećava (konveksnost).
3 (a). Ovo je utoliko izraženije ukoliko je kriva prinosa
konveksnija.
Merenje kamatnog rizika
14
Osobine volatilnosti cena
obveznica bez opcija
180
160
140
120
A
100
B
80
C
60
D
40
20
0
4%
5%
6%
7%
8%
Merenje kamatnog rizika
9%
15
Osobine volatilnosti cena
obveznica sa opcijama
 Posmatraćemo dve vrste obveznica:


Sa opcijom opoziva.
Sa opcijom prodaje.
Merenje kamatnog rizika
16
Osobine volatilnosti cena
obveznica sa opcijom opoziva
 3’. Ispod određene vrednosti prinosa, za
velike promene prinosa procentna promena
cene je manja (u apsolutnom iznosu) ako se
prinos smanjuje nego ako se povećava
(negativna konveksnost).
Merenje kamatnog rizika
17
Osobine volatilnosti cena
obveznica sa opcijom prodaje
 3’’. Iznad određene vrednosti prinosa, za
velike promene prinosa procentna promena
cene je veća (u apsolutnom iznosu) ako se
prinos smanjuje nego ako se povećava
(konveksnost).
 Obveznica je manje konveksna nego
odgovarajuća bez opcije prodaje.
Merenje kamatnog rizika
18
Primer 6
 Obveznica kuponske stope 8% dospeva kroz 10
godina (kupon se plaća dva puta godišnje).
 Odrediti njenu cenu ako su spot stope:
r1 = 3.0000%, r2 = 3.3000%, ..., rT = 6.2169%
 Testirati cenu obveznice na šokove u terminskoj
strukturi. Neka su šokovi slučajne promenljive iz
raspodele N(1%, 1.5%).
Merenje kamatnog rizika
19
Zaključak
 Postoji 20 različitih faktora kamatnog rizika
u prethodnom primeru!
 Hedging kamatnog rizika je kompleksan
problem.
Merenje kamatnog rizika
20
Primer 7
 Ista obveznica i početna terminska struktura kao u
Primeru 6.
 Testirati cenu obveznice na šokove u terminskoj
strukturi ako su šokovi slučajne promenljive iz
raspodele N(1%, 0.1%).
Merenje kamatnog rizika
21
Osnovni princip
 Redukovati broj faktora potrebnih za hedging na minumum.
 Prva aproksimacija:
 Razmatramo samo jedan faktor rizika.
 Pretpostavljamo ravnu terminsku strukturu.
 Pretpostavljamo vrlo male promene u terminskoj
strukturi.
 Promene su jednake za sva dospeća.
 Dalji koraci:
 Gledamo veće promene u terminskoj strukturi.
 Promene ne moraju biti jednake za sva dospeća.
 Terminska struktura ne mora biti ravna.
Merenje kamatnog rizika
22
Trajanje
 Koristimo proxy za terminsku strukturu:
prinos do dospeća.
 Ako je TS ravna, prinos do dospeća je isto što i TS.
 Ako TS nije ravna, prinos do dospeća je “prosek” TS.
 Prva aproksimacija: posmatramo promene cene kada se
menja samo prinos do dospeća i to za mali iznos.
T
P
t 1
CFt
1  y 
t
Merenje kamatnog rizika
23
Primer 8
 Ista obveznica i početna terminska struktura kao u
Primerima 6 i 7.
 Korak 1: Naći prinos do dospeća (y).
 Korak 2: Pretpostaviti promene u y od +1 ili –1 bp.
 Korak 3: Naći relativne promene cene obveznice u
oba slučaja.
Merenje kamatnog rizika
24
Primer 8
 Rezultat:


Promena od +1 bp odgovara promeni u ceni od –7.08 bp.
Promena od –1 bp odgovara promeni u ceni od +7.08 bp.
Merenje kamatnog rizika
25
Definicija (modifikovanog)
trajanja
(cena pri malom padu y) – (cena pri malom skoku y)
2 × (početna cena) × (promena y, u decimalama)
 U našem primeru:
115.34  115.18
D
2 115.26 0.0001
 7.08
 Interpretacija: Promena od 1 bp u y odgovara promeni
od 7.08 bp u vrednosti portfolija.
Merenje kamatnog rizika
26
Prva aproksimacija relativne
promene cene
P
  D  y
P
 Rečima: procentualna promena cene je približno jednaka
trajanju pomnoženom procentualnom promenom prinosa.
 Šta ako su promene prinosa veće?
Merenje kamatnog rizika
27
Primer 9
 Ista obveznica i početna terminska struktura
kao u prethodnim primerima.
 Korak 2: Pretpostaviti promene u y od +10 ili
–10 bp, a zatim od 200 ili –200 bp.
 Korak 3: Naći relativne promene cene
obveznice u svim slučajevima.
 Uporediti ove rezultate sa prvom
aproksimacijom dobijenom pomoću trajanja.
Merenje kamatnog rizika
28
Primer 9
 Rezultati:




Promena od +10 bp odgovara promeni u ceni od
–7.08 × 10 bp = –70.80 bp
(umesto –70.49 bp).
Promena od –10 bp odgovara promeni u ceni od
+7.08 × 10 bp = +70.80 bp
(umesto +71.13 bp).
Promena od +200 bp odgovara promeni u ceni od
–7.08 × 2% = –14.16%
(umesto –12.96%).
Promena od –200 bp odgovara promeni u ceni od
+7.08 × 2% = +14.16%
(umesto +15.53%).
Merenje kamatnog rizika
29
Primer 9
Promena y
(bp)
+1
–1
+10
–10
+200
–200
Promena cene
(direktno)
–7.08 bp
+7.08 bp
–70.49 bp
+71.13 bp
–12.96%
+15.53%
Promena cene
(procena)
–7.08 bp
+7.08 bp
–70.80 bp
+70.80 bp
–14.16%
+14.16%
Merenje kamatnog rizika
Komentar:
Procena je ...
...tačna.
...tačna.
...vrlo blizu prave vr.
...vrlo blizu prave vr.
...ispod prave vr.
...ispod prave vr.
30
Efektivno trajanje
 Za obveznice sa ugrađenim opcijama promene y
mogu dovesti do promena cash flow-a.
 Ako ovo uračunamo u trajanje dobijamo novu meru
koja se naziva “efektivno trajanje”.
Merenje kamatnog rizika
31
Apsolutna promena cene
 Iz
P
  D  y
P
nalazimo
P  D  y  P
 Pnova  Pstara  D  y  Pstara
Merenje kamatnog rizika
32
Apsolutna promena cene
 U Primeru 9:
Promena Y
(bp)
+1
–1
+10
–10
+200
–200
Nova cena
(direktno)
115.18
115.34
114.45
116.08
100.32
133.16
Merenje kamatnog rizika
Nova cena
(procena)
115.18
115.34
114.45
116.08
98.94
131.58
33
Macaulay-evo trajanje
CFt

t
T 
(1  y )t
M  
P
t 1 








T
  twt
t 1
 Veza sa modifikovanim trajanjem:
M  D  (1 y)
Merenje kamatnog rizika
34
Primer 10
 Obveznica ima kuponsku stopu 12% i dospeće 5
godina.
 Pretpostaviti ravnu TS od 7.55%.
 Naći M i D.
Merenje kamatnog rizika
35
Interpretacija Macauley-evog
trajanja
 To je vremenska mera.
 Za kuponsku obveznicu M odgovara dospeću
ekvivalentne obveznice bez kupona koje daje istu
osetljivost na male promene TS.
Merenje kamatnog rizika
36
Primer 11
 Konstruisati hedge portfolio za obveznicu iz Primera
10.
Merenje kamatnog rizika
37
Osobine Macauley-evog
trajanja
 Za obveznicu bez kupona M je jednak...
 ... dospeću.
 Za dato dospeće i prinos, M raste ako se kuponska stopa...
 ... smanjuje.
 Za datu kuponsku stopu i prinos, M raste kako se vreme
dospeća...
 ... povećava.
 Za dato dospeće i kuponsku stopu, M raste ako se prinos...
 ... smanjuje.
Merenje kamatnog rizika
38
Trajanje za portfolio
 Trajanje za portfolio koji sadrži n obveznica je
n
DP   Di  wi
i 1
gde je wi ponder za obveznicu i u portfoliju, uz:
N
w 1
i 1
i
Formula važi samo ako je TS približno ravna!
Merenje kamatnog rizika
39
Primer 12
 Naći trajanje sledećeg portfolija obveznica:
 A: 10% na 5 godina.
Cena = 100.
Total nominalnih vrednosti = $4 M.
D = 3.861
 B: 8% na 15 godina.
Cena = 84.6275.
Total nominalnih vrednosti = $5 M.
D = 8.047
 C: 14% na 30 godina.
Cena = 137.8586.
Total nominalnih vrednosti = $1 M.
D = 9.168
 Pretpostavka: Ravna TS.Merenje kamatnog rizika
40
Hedging portfolija obveznica
 Princip: Uraditi imunizaciju vrednosti portfolija na
promene u TS. Oznake:
 P, vrednost portfolija.
 H, vrednost hedging instrumenta.
 Hedging instrument može biti:
 Obveznica
 Swap
 Future
 Opcija
 Pretpostavljamo ravnu TS.
Merenje kamatnog rizika
41
Hedging portfolija obveznica
 Ideja: Kupiti q hedging instrumenata i dodati ih
postojećem portfoliju. Promena vrednosti takve
kombinacije za malu promenu prinosa biće:
dP + qdH = (qH'(y) + P'(y)) dy = 0
 Rešenje:
P' ( y )
P  DP
q

H ' ( y)
H  DH
Merenje kamatnog rizika
42
Primer 13
 Portfolio vredi 328 635 €, ima prinos 5.143% i
trajanje 7.108.
 Obveznica koju želimo da koristimo kao hedging
instrument vredi 118.786 €, ima prinos 4.779% i
trajanje 5.748.
 Hedging strategija: kupi q obveznica, gde je
328635  7.108
q
118.786  5.748
 3421
Merenje kamatnog rizika
43
Ograničenja
 Hedging zasnovan na trajanju je vrlo jednostavan,
ali zavisi od veoma jakih pretpostavki:
 Male promene u TS.

Ovo zahteva rebalansiranje portfolija vrlo često.
 TS je ravna.

Sav kamatni rizik se svodi na to koliki je taj fiksni nivo
diskontnih stopa.
 TS je ravna u svakom trenutku.

Drugim rečima, postoje samo paralelna pomeranja.
Merenje kamatnog rizika
44
Ograničenja
Bond Price vs Yield
Bond Price (% of Par)
175
155
135
Actual
Duration Est.
115
95
75
55
6
7
8
9
10 11
Yield(%)
12
Merenje kamatnog rizika
13
14
45
Definicija konveksnosti
C
P  P  2P0
2P0 (y)2
Merenje kamatnog rizika
46
Definicija konveksnosti
 Primer: Obveznica sa kuponom od 9% i dospećem 20
godina ima prinos od 6%. Za promenu prinosa od 20 bp
nalazimo
P0  134.6722
P  137.5888
131.8439 137.5888 2 134.6722
C
P  131.8439
2 134.6722 (0.002) 2
P  P
 81.95
D
2 P0 (Y )
131.8439 137.5888

2 134.6722 (0.002)
Merenje kamatnog rizika
47
 10.66
Popravka za konveksnost
popravka  C  (y)  P
2
 Primer: (Za obveznicu iz prethodnog primera)
Ako se TS promeni sa 6% na 8%, proceniti:
 Promenu cene koristeći trajanje.
 Promenu cene koristeći trajanje i konveksnost.
Merenje kamatnog rizika
48
Popravka za konveksnost
P
  D  y
P
 10.66  2%
popravka  C  (y)2  P
 81.95  (0.02)2  P
 0.0328  P
 21.32%
P
 21.32%  3.28%
P D ,C
 18.04%
P
 18.40%
P tačno
Merenje kamatnog rizika
49
Konveksnost portfolija
n
CP   Ci  wi
i 1
N
w
i 1
i
1
 Važi samo pod pretpostavkom ravne TS!
Merenje kamatnog rizika
50
Hedging sa trajanjem i
konveksnošću
 Strategija: kupi q1 i q2 hedging instrumenta
tako da
dP  q1  dH1  q2  dH2  0
q1H1 ( y)D1  q2 H 2 ( y)D 2   P( y)D P

 q1H1 ( y)C1  q2 H 2 ( y)C2   P( y)CP
Merenje kamatnog rizika
51
Vrednost baznog poena
 Apsolutna vrednost razlike početne cene i cene pri promeni
TS od 1 bp.
 Primer:
P0  134.6722
kupon = 9%, dospeće = 20 god. P  137.5888

cena = 134.6722
P  131.8439
prinos = 6%
D  10.66
P   D(y)P
 10.66  0.0001  $134.6722
 $0.1435
PVBP  134.8159  134.6722
 $0.1437
Merenje kamatnog rizika
52
Uračunavanje neparalelnih
promena
 Problem: Ne samo što TS nije ravna, već i menja
oblik.
 Pomenuti metodi ne uračunavaju ovakve efekte.
 Faktorska analiza istorijskih podataka je utvrdila da
3 faktora opisuju više od 90% varijacije u TS.
 Ti faktori su:



Nivo
Nagib
Zakrivljenje
Merenje kamatnog rizika
53