Transcript fale_ruch_falowy

FALE I RUCH FALOWY
Wykład 1
Definicja fali i ruchu falowego
2
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Definicja fali i ruchu falowego
3
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Fala w fizyce to rozchodzenie się w przestrzeni
zaburzenia stanu ośrodka materialnego, czyli
rozchodzenie się wszelkiego rodzaju drgań.
Przykłady:
 fala elektromagnetyczna – fala ta jest
rozchodzeniem się zaburzeń stanu pola
elektromagnetycznego
 fala sprężysta – fala ta jest rozchodzeniem się
zaburzeń stanu ośrodka sprężystego
Wśród fal sprężystych możemy wyróżnić fale akustyczne, fale skręceń itp.
Definicja fali i ruchu falowego
4
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Ideą rozchodzenia się fali jest takie sprzężenie
między sąsiednimi punktami ośrodka, w którym
rozchodzi się fala, aby zmiana stanu danego
ośrodka w jednym punkcie powodowała podobną
zmianę w punktach sąsiednich. Ponieważ wywołanie
takich zmian nie może obejść się bez pewnej
energii, mówimy więc, że fala przenosi ze sobą
energię.
Definicja fali i ruchu falowego
5
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Fala – zaburzenie lub zespół zaburzeń
rozchodzących się w przestrzeni ze skończoną
prędkością i niosące ze sobą energię.
Przenoszenie energii bez jednoczesnego
przenoszenia substancji ośrodka
jest cechą charakterystyczną ruchu
falowego.
Rodzaje fal
6
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Ze względu na kierunek wychyleń (drgań)
cząstek ośrodka
 podłużne
 poprzeczne
 mieszane
Rodzaje fal
7
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
W przypadku fali poprzecznej cząstki ośrodka (napiętej liny) drgają w kierunku
prostopadłym do kierunku rozchodzenia się samej fali.
W przypadku fali podłużnej punkty materialne ośrodka (rozciągniętej sprężyny)
drgają w tym samym kierunku, w jakim rozchodzi się fala.
Rodzaje fal
8
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Ze względu na charakter zależności wychyleń
cząstek ośrodka od czasu
 nieperiodyczne
 periodyczne
 harmoniczne
 an
harmoniczne
Rodzaje fal
9
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Ze względu na zależność wychyleń cząstek
ośrodka od ich położenia w przestrzeni
 kuliste
 walcowe
 płaskie
Rodzaje fal
10
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
(a) Fala płaska. Płaszczyzny reprezentują powierzchnie falowe (czoła fali) odległe od
siebie o długość fali. Strzałkami oznaczono promienie fali.
(b) Fala kulista. Promienie fali układają się radialnie, a powierzchnie falowe, odległe od
siebie o długość fali, tworzą wycinki powłok sferycznych. Daleko od źródła małe
fragmenty powierzchni falowych można traktować jako płaskie.
Fale - definicje
11
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/







fala podłużna – kierunek drgań równoległy do kierunku
rozchodzenia się fali
fala poprzeczna – kierunek drgań prostopadły do kierunku
rozchodzenia się fali
fala kulista – powierzchnie falowe są wycinkami sfer
współśrodkowych (radialnych)
fala płaska – powierzchnie falowe są wycinkami
równoległych do siebie płaszczyzn
powierzchnia falowa – zbiór punktów przestrzeni
będących w tej samej fazie drgań
promień falowy (promień fali) – półprosta
rozpoczynająca się w źródle i przechodząca przez dany
punkt ośrodka (jest zawsze prostopadła do pow. falowych)
czoło fali – powierzchnia falowa najbardziej oddalona od
źródła
Fale - definicje
12
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
prędkość (fazowa) fali – prędkość
przemieszczania się dowolnej
powierzchni falowej (jest to
jednocześnie prędkość przenoszenia
energii przez falę)
 częstość fali – f=1/T (ilość drgań w
określonym czasie)
 okres fali – najmniejszy odstęp czasu
po którym w danym punkcie ośrodka
fala ponownie będzie miał tą samą
fazę drgań

Rodzaje fal
13
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/

długość fali – droga pokonywana przez
powierzchnię falową w czasie jednego okresu
  v T
v

f

natężenie fali – energia przenoszona przez falę
przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu
E
I
S t
Zasada superpozycji fal
Proces wektorowego dodawania przemieszczeń nazywamy superpozycją.
14
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Jeżeli w ośrodku rozchodzą się dwie
fale, to w fali wypadkowej,
wychylenia cząstek ośrodka z
położeń równowagi są równe sumom
geometrycznym (wektorowym)
wychyleń odpowiadających
poszczególnym falom.
Zasada jest dobrze spełniona dla fal o niezbyt
dużych natężeniach (kiedy nie zachodzą zmiany
parametrów charakteryzujących ośrodek, dla
równań falowych liniowych).
Rozchodzenie się fali
15
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
W ośrodkach jednorodnych, izotropowych i
nieograniczonych fale rozchodzą się po liniach
prostych ze stałą prędkością.
Odbicie fali
16
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Z obserwacji
rozchodzenia się fal
wynika, że:
przy odbiciu od
nieruchomej
przeszkody fal
rozchodzących się w
ośrodku jednorodnym,
izotropowym, kąt
padania równa się
kątowi odbicia.
Załamanie fali
17
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Trudniej jest zaobserwować
w przyrodzie załamanie
fali, ale można to zrobić
sztucznie. Okazuje się, że:
sin 
 const
sin 
Stosunek sinusa kąta
padania do sinusa kąta
załamania jest wielkością
stałą dla danego układu.
Zasada Huygensa
18
(czyt. Hojhensa)
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Omówione wcześniej zjawiska można obserwować, ale
czy można je przewidywać?
Zasadę która to umożliwia sformułował holenderski fizyk,
matematyk i astronom, Christian Huygens (16291695). Uzasadnia ona poprzednie wnioski dotyczące
rozchodzenia się fal.
Zasada ta określa sposób konstrukcji czoła fali w chwili
późniejszej na podstawie znajomości czoła fali w chwili
wcześniejszej przy dodatkowym założeniu, że wiemy w
którą stronę czoło fali się przesuwa.
Zasada Huygensa
19
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Czoło fali w chwili
późniejszej można
zbudować przyjmując,
że każdy punkt
ośrodka, do którego
dotarło czoło fali w
chwili wcześniejszej jest
źródłem kulistej fali
wtórnej o tej samej
częstości jak fala
pierwotna.
Obwiednia czół fal
wtórnych jest szukanym
czołem fali w chwili
późniejszej.
Zasada Huygensa - wnioski
20
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
1.
Czoło fali w chwili późniejszej jest płaszczyzną
równoległą do czoła fali w chwili wcześniejszej.
Jest to równoważne temu, że promień fali jest linią
prostą.
Zasada Huygensa - wnioski
21
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
PQ – czoło fali padającej w chwili, gdy punkt
P dochodzi do powierzchni odbijającej. Punkt
Q w tym czasie zmierza do punktu S. Łuk AA’
zakreślony z punktu P promieniem PR=QS
przedstawia czoło fali wtórnej z punktu P.
2.
Podczas odbicia promień
padający, normalna do
płaszczyzny odbijającej i
promień odbity leżą w
jednej płaszczyźnie, przy
czym kąt padania jest
równy katowi odbicia.
Zasada Huygensa - wnioski
22
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
3.
Promień padający na powierzchnię
rozdzielającą dwa jednorodne
ośrodki izotropowe, normalna do
powierzchni łamiącej w punkcie
padania i promień załamany leżą
w jednej płaszczyźnie, przy czym
stosunek sinusa kąta padania do
sinusa kąta załamania nie zależy
od kąta padania, ani od kąta
załamania i jest równy stosunkowi
prędkości fali padającej i
załamanej.
sin  v1

sin  v2
Interferencja fal
23
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Definicja:
Tworzenie się fali wypadkowej w wyniku nakładania się
fal składowych (ograniczamy się do przypadków gdy
spełniona jest zasada superpozycji). Nakładanie się fal
prowadzi do ich wzmocnienia lub osłabienia w
poszczególnych miejscach w zależności od różnicy faz.
Rodzaje interferencji:
Interferencja destruktywna – wygaszenie
interferencyjne
Interferencja konstruktywna –
wzmocnienie interferencyjne
Fala stojąca
24
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Cechy fali stojącej:
powstaje w wyniku
interferencji dwóch
identycznych fal
biegnących w przeciwnych
kierunkach,
amplituda drgań pewnych
punktów ośrodka jest cały
czas maksymalna (tzw.
strzałki), zaś niektóre
punkty nie drgają w ogóle
(tzw. węzły),
strzałki i węzły występują
na przemian co ćwierć
długości fali macierzystej,
wszystkie punkty między
sąsiednimi węzłami mają
tę samą fazę drgań,
przy przejściu przez węzeł
faza zmienia się na
przeciwną.
Fala stojąca
25
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Fala stojąca
26
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Lk

2
Dyfrakcja
27
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Zjawiska objawiające się odstępstwami od
prostoliniowego biegu promieni nosi nazwę
dyfrakcji (ugięcia) fal.
Dyfrakcja jest nieodłącznym zjawiskiem przy
propagacji fal w ośrodku z przeszkodami.
Dyfrakcja
28
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Intuicyjny przebieg fali przez otwór w przeszkodzie. W rzeczywistości mamy do
czynienia zawsze z dyfrakcją. Efekt jak na rysunku powyżej można jedynie obserwować
w przypadku gdy rozmiar otworu bądź przeszkody jest dużo większy niż długość fali.
Dyfrakcja
29
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Jeśli długość fali jest porównywalna z rozmiarami
otworu, to również w obszarze cienia geometrycznego
obserwuje się ruch falowy.
Dyfrakcja
30
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Największe odstępstwa od intuicyjnych oczekiwań występują gdy
przeszkoda – otwór jest znacznie mniejsza od długości fali.
Za otworkiem mamy fale praktycznie doskonale kolistą.
Dyfrakcja
31
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Powstawanie fali za
przeszkodą z bardzo
małym otworkiem w
przypadku gdy fala
padająca jest falą kolistą i
w przypadku gdy fala
padająca jest falą płaską.
Za otworkiem powstaje w
obu przypadkach fala
kolista.
Fala za otworkiem jest suma nieskończenie wielu fal wtórnych, wysyłanych przez
nieskończenie wiele źródeł punktowych mieszczących się w otworku. Fale wtórne wysyłane
przez każdy punk otworka niewiele się od siebie róznią dlatego za otworkiem mamy falę
kolistą
Ruch harmoniczny
32
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Każda fala periodyczna składa się z szeregu
nakładających się fal harmonicznych.
Fale harmoniczne wytwarzane są przez
źródła poruszające się ruchem harmonicznym.
Ruch harmoniczny zachodzi wtedy, gdy siła
powodująca ruch jest wprost proporcjonalna
do wychylenia i skierowana przeciwnie.
Ruch harmoniczny
33
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Równanie ruchu harmonicznego:
F (t )   k  x(t )
współczynnik sprężystości
Wychylenie ciała z położenia równowagowego powoduje, że zaczyna na nie
działać siła zwrotna F(t) - skierowana przeciwnie do wychylenia (stąd „-”
w równaniu) i tym samym starająca się zawrócić je ponownie do położenia
równowagowego.
Drgania opisane powyższym równaniem
nazwiemy harmonicznymi, a drgające ciało
oscylatorem harmonicznym.
Ruch harmoniczny
34
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Przykłady ruchu harmonicznego:
 ciało na sprężynie (niewielkie wychylenia)
 wahadło matematyczne (niewielkie wychylenia)
 wahadło fizyczne (niewielkie wychylenia)
 obciążona szklanka pływająca w wodzie
 ciecz w U-rurce
Ruch harmoniczny
35
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Energia w ruchu harmonicznym:
Energia
kinetyczna
Energia
potencjalna
Energia
całkowita
m v2 1 2 2 2
Ek 
 2 m A  cos (t   )  12 kA2 cos2 (t   )
2
k x2 1 2 2
Ep 
 2 kA sin (t   )
2
EC  Ek  Ep  12 kA2  12 m 2 A2  Ekmax  Epmax
Ruch harmoniczny
36
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Przemiany energii w ruchu harmonicznym:
Ruch harmoniczny tłumiony
37
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Równanie ruchu dla oscylatora harmonicznego
tłumionego będzie więc miało postać:
mx   Fi
i
F (t )  Ft t    k  x(t )
F (t )   k  x(t )  Ft t 
mx   k  x(t )   vt 
mx  x  k  x  0
2
d x(t )
dx(t )
m

 k  x(t )  0
2
dt
dt
Ruch harmoniczny tłumiony
38
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Równanie ruchu dla oscylatora harmonicznego
tłumionego będzie więc miało postać:
mx   Fi
i
F (t )  Ft t    k  x(t )
F (t )   k  x(t )  Ft t 
mx   k  x(t )   vt 
mx  x  k  x  0
2
d x(t )
dx(t )
m

 k  x(t )  0
2
dt
dt
Ruch harmoniczny tłumiony
39
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Wykres ruchu harmonicznego tłumionego w zależności od czasu:
 2m t
Ae
T
T
T
Częstość drgań układu tłumionego nie zmienia się w czasie i wynosi :
  
  02  

 2m 
2
Ruch harmoniczny tłumiony
40
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Animacja ruchów harmonicznych tłumionych w zależności od czasu:
Ruch harmoniczny wymuszony z
tłumieniem - rezonans
41
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Jeśli częstość siły wymuszającej będzie równa częstości własnej drgającego układu, a
tłumienie będzie słabe to amplituda może osiągnąć tak duże wartości że układ
drgający może ulec zniszczeniu.
Ruch harmoniczny wymuszony z
tłumieniem - rezonans
42
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Jeśli częstość siły wymuszającej będzie równa częstości własnej drgającego układu, a
tłumienie będzie słabe to amplituda może osiągnąć tak duże wartości że układ
drgający może ulec zniszczeniu.
Ruch harmoniczny wymuszony z
tłumieniem - rezonans
43
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Jeśli częstość siły wymuszającej będzie równa częstości własnej drgającego układu, a
tłumienie będzie słabe to amplituda może osiągnąć tak duże wartości że układ
drgający może ulec zniszczeniu.