Transcript Document

ELG3575
3. La transformée de Fourier,
énergie, puissance et densités
spectrales
Transformée de Fourier d’un signal
périodique
• Nous pouvons représenter un signal périodique par sa série de
Fourier exponentielle complexe.
• Supposons que x(t) est périodique avec période T, alors :

x(t ) 
X
j 2
ne
n
t
T
n  
• Sa transformée de Fourier est donnée par:
n 
n 





j
2

t
j
2

t



T
T
X ( f )  F   X ne
   X nF e
   X n  f  nfo 




n  
 n  

 n  
Exemple
x(t)
A
…
…
0.25
0.5
0.75
t
-A

x(t ) 

n  
n impaire
X( f ) 



2 A j 4nt
2 A  j 4nt

e
   j
e
jn
n 

n  
n impaire
2A 

 j
  f  2n 
n 

n  
n impaire
Exemple
|X(f)|
2A/
2A/
2A/3
2A/3
2A/5
-10
2A/5
-6
-2
2
6
10 f
Réponse en fréquence d’un système linéaire
et invariant en temps
• Un système linéaire et invariant en temps a une réponse
impulsionnelle, h(t).
• Pour un signal d’entré x(t), la sortie du système y(t) est
y (t )  x(t ) * h(t )
• Le spectre de la sortie (son contenu fréquentiel) est Y(f) = F{y(t)}
qui est donné par : Y ( f )  X ( f ) H ( f )
• où X(f) = F{x(t)} est le spectre de l’entrée et H(f) = F{h(t)} est la
réponse en fréquence du système LTI.
• La réponse en fréquence du système est aussi donnée par :
H( f ) 
Y( f )
X(f )
Exemple
R
i(t)
+
x(t)
-
+
C y(t)
-
1 t / RC
h(t ) 
e
u(t )
RC
H(f) = ?
Solution
1
1
 1 t / RC

e
u (t ) 
• H(f) = F{h(t)} = F 
 RC
 RC j 2f 
20log|H(f)|
0dB
-20dB/decade
1/(2RC)
f
1
RC
1

j 2fRC  1
Exemple 2
• Trouvez la sortie du circuit quand x(t) = Acos2fot.
– Solution
• Le spectre de la sortie est: Y ( f )  X ( f ) H ( f )
Y(f) 

 A2  ( f  f o )  A2  ( f  f o )1 j 21fRC 
A
(
2(1 j 2f o RC )
f  fo ) 
A
(
2(1 j 2f o RC )
f  fo )
 j tan1 2f o RC
j tan1 2f o RC
A

 1 / 1  (2f o RC) e
 2  ( f  fo )  e
 A2  ( f  f o )


2
Réponse en amplitude et réponse en phase
y(t )  1 / 1  (2f o RC) 2 e  j tan

1
2f o RC
1
 A2 e j 2f ot  e j tan
2f o RC
 A2 e  j 2f ot 

1
1
A j ( 2f o t  tan 2f o RC )
A  j ( 2f o t  tan 2f o RC ) 

 1 / 1  (2f o RC) 2 e
2e


2

 1 / 1  (2f o RC) 2  A cos 2f o t  tan 1 2f o RC

Le terme 1 / 1  (2f o RC) 2 | H ( f o ) | est la réponse en amplitude
à la fréquence fo du système et  tan1 2f o RC   H ( f o )
est sa réponse en phase à la fréquence fo.
Réponse en amplitude et réponse en phase
| H ( f ) | Re{H ( f )}2  Im{ H ( f )}2
1 
Im{ H ( f )} 

 H ( f )  tan 
 Re{H ( f )} 
Exemple
• La sortie d’un système LTI est y(t) = L(t) pour un entrée x(t) =
P(t). Trouvez la réponse impulsionnelle du système. Est-ce
que le système est causal?
– Solution
• Le spectre de la sortie est Y(f) = sinc2(f) et celui de l’entrée est
X(f) = sinc(f).
• Alors, la réponse en fréquence du système est H(f) =
sinc2(f)/sinc(f) = sinc(f).
• La réponse impulsionnelle est h(t) = F-1{H(f)} = P(t).
• Le système n’est pas causal parce que h(t) ≠ 0 pour toutes
valeurs de t < 0.
Energie et puissance
• La racine carrée moyenne (root mean square – RMS) d’un
signal sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T est :
1
T
X RMS 
t o T

| x(t ) | 2 dt
to
• La puissance instantanée P(t) = v(t)i(t), où v(t) est la chute de
tension et i(t) est le courant qui produit la chute de tension.
• Pour une chute de tension sur une résistance, P(t) = v2(t)/R où
R est la valeur de la résistance. Sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T, la
puissance moyenne est :
1
P(t ) 
T
t o T
t o T
to
to

1
P(t )dt 
T

2
V RMS
v 2 (t )
dt 
R
R
Puissance normalisée
• La puissance moyenne normalisée (R = 1) est donc :
t o T
1
P
| v(t ) | 2 dt
T

to
• Si nous prenons l’intervalle de -∞ ≤ t ≤ ∞, l’expression ci-dessus
devient :
T
1
T  2T
P  lim

T
| v(t ) | 2 dt
Définition d’un signal de puissance
• Définition 3.1 : Le signal x(t) est un signal de puissance si 0 < P
<∞
Energie normalisée
• Puissance est l’énergie par unité de temps.
• Donc, l’énergie moyenne normalisée est donnée par :

E

| x(t ) | 2 dt

Définition d’un signal d’énergie
• Définition 3.2 : Le signal x(t) est un signal d’énergie si son
énergie moyenne normalisée E < ∞.
Exemple
• Pour chacun des signaux suivants, déterminez de quel type
s’agit t’il. Energie, puissance où aucun des deux.
– x(t) = Acos(2fot)
– y(t) = P(t)
– z(t) = tu(t).
L’énergie d’un signal périodique
• Si x(t) est périodique avec période T, l’énergie sur une période
est :

E p  | x(t ) | 2 dt
T
• L’énergie sur N périodes est EN = NEp.
• L’énergie moyenne normalisée est E  lim NE p  
N 
• Donc un signal périodique ne peut jamais être un signal
d’énergie.
La puissance d’un signal périodique
• La puissance de x(t) sur une période est :
Pp 

1
| x(t ) | 2 dt
T
T
• Et sa puissance sur N périodes est :
PNp
 N
1
1
1


| x(t ) | 2 dt  
NT
N  i 1 T
NT




 1
| x(t ) | 2 dt    NPp  Pp
 N
(i 1)T

iT

• La puissance moyenne normalisée est P  lim PNp  Pp
N 
• Donc la puissance moyenne normalisée d’un signal périodique
est la puissance sur une période.
X*(f) si x(t) est réel


 j 2ft
X ( f )    x(t )e
dt



*
*





*
j 2ft
x
(
t
)
e
dt



j 2ft
x
(
t
)
e
dt



 j 2 (  f )t
x
(
t
)
e
dt


X ( f )
Théorème de Parseval
• Supposons que x(t) est un signal d’énergie.
• Son énergie moyenne normalisée est :

E

2
x(t ) dt




x(t ) x * (t )dt



j 2ft
  X ( f )e
df  x * (t )dt


   


 












X ( f ) x * (t )e  j 2 (  f )t dtdf

X ( f ) X * ( f )df 



2
X ( f ) df

2
x(t ) dt 


2
X ( f ) df
Exemple

2
sinc
(t )dt  ?







2
sinc
(t )dt 



2
|
sinc
(
t
)
|
dt

2
|
P
(
f
)
|
df


1/ 2
 df
1 / 2
 1
La fonction d’autocorrélation d’un signal d’
énergie
• La fonction d’autocorrélation est une mesure de similarité entre
une fonction et une version identique décalée en temps par t.
• Cette fonction est donné par :
 x ( ) 

 x(t ) x
*
(t   )dt

• Nous remarquons que

 x (0) 


x(t ) x * (t )dt 

• Aussi, on peut constater que

2
x(t ) dt  E

 x ( )  x( ) * x * ( )
Densité spectrale d’énergie
• Supposons que Gx(f) = F{x()}
Gx ( f ) 

 j 2f

(

)
e
d
 x



 F x( ) * x* ( )

X ( f )X *( f )
• Alors Gx(f) = |X(f)|2.

E   x ( 0) 


G x ( f )e j 2f df


 0


G x ( f )df 



2
X ( f ) df
Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un
système LTI
• Pour le système démontré ci-dessous, l’entrée du système,
x(t), est un signal d’énergie.
• Le système est un système LTI avec réponse impulsionnelle
h(t).
• La sortie y(t) = x(t)*h(t).
x(t)
h(t)
y(t)
Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un
système LTI
• En supposant que la y(t) est aussi un signal d’énergie, nous
trouvons sa fonction d’autocorrélation ci-dessous :
 y ( ) 

*
y
(
t
)
y
(t   )dt


*

 

    h( ) x(t   )d    h(u ) x(t    u )du dt

 
 



  
   h( ) x(t   )h
*
(u ) x * (t    u )dtddu
  


*
   h( )h (u )   x(t   ) x (t    u )dtddu


 



*
  h (u )   h( ) x (  u   )dud



 
*


h

*
*
(u ) z (  u )d ou z ( )  h( ) *  x ( )
 h ( ) * z ( )  h( ) * h* ( ) *  x ( )
Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un
système LTI
• Alors Gy(f) est donnée par:
• Gy(f) = F{y()} = H(f)H*(f)|X(f)|2= |H(f)|2Gx(f)
Ey 




2
G
(
f
)
df

|
H
(
f
)
|
G x ( f )df
 y

Densité spectrale d’énergie d’un signal décrit
la manière que l’énergie est répartie dans le
spectre du signal
|H(f)|2
|X(f)|2
1
-f c
fc
|Y(f)|2
f
Ey = 2|X(f)|2Df
Df en Hz, alors
|X(f)|2 en J/Hz
|X(fc)|2
-f c
fc
f
Exemple
• Trouvez la fonction d’autocorrélation, x(), pour x(t) = P(t) et
trouvez la densité spectrale d’énergie à partir de x().
Démontrez que sa densité spectrale d’énergie est égal à |X(f)|2.
Trouvez l’énergie en x(t).
 x ( ) 

*
x
(
t
)
x
(t   )dt


Exemple
x(t)
x(t+ )
1
½ -½- ½- t
-½
x(t)
-½- -½
½
½-
t
(c) 0 <  < 1
(a)  < -1
1
-½
x(t+ )
1
1
½ ½-
-½-
(b) -1 < < 0
t
-½- ½- -½
(d) 1 < 
½
t
Exemple
• Pour  < -1 et  > 1, x(t)x*(t+) = 0, alors x() = 0. Pour -1 <  <
0, x() est :
1
2
 x ( ) 

dt 
1
 
2
1  1

      1 
2  2

• Pour 0 <  < 1, x() est :
1

2

1
1
 x ( )  dt      1  
2
2
1

2
1 , 1    0


 x ( )  1   , 0    1  L ( )

 0, ailleurs
Exemple
• La densité spectrale d’énergie de x(t) est Gx(f) = F{x()}.
• Si nous trouvons sa transformée de Fourier, nous trouvons que
Gx(f) = sinc2(f).
• Aussi, F{x(t)} = X(f) = sinc(f) et alors, |X(f)|2 = Gx(f) = sinc2(f).
La fonction d’autocorrélation d’un signal de
puissance
1
T  2T
Px  lim
T

| x(t ) | 2 dt
T
• En suivant les mêmes méthodes que pour les signaux
d’énergie, définissons la fonction d’autocorrélation pour les
signaux de puissance comme :
1
Rx ( )  lim
T  2T
• Nous voyons que Px = Rx(0).
T
*
x
(
t
)
x
(t   )dt

T
Densité spectrale d’énergie
• La transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation
F{Rx(t)} = Sx(f) est la densité spectrale de puissance du signal
x(t).

R x ( ) 

S x ( f )e j 2f df


Px  R x (0) 
S
x(f
)df

Sy ( f )  Sx ( f ) H( f )
2
Exemple
• Trouvez la fonction d’autocorrélation et la densité spectrale de
puissance du signal x(t) = Acos(2fot). Trouvez la puissance de
x(t) à partir de sa densité spectrale de puissance.
1 T 2
Rx ( )  lim
 A cos(2f ot ) cos2f o (t   )dt
T  2TT 2
AT
1
 lim
 2 cos(2f o )  cos2f o (2t   )dt
T  2T
T

 1 T A2
1  A2


dt
)


t
2
(
f

2
cos

dt
)

f

2
cos(
 lim 

o
o
 2
 2
T   2T
T
2


 T
T 
T
 2
2
A
A
sin2f o (2t   )  
cos(2f o )t 
 lim 
T   4T

16f oT
T 
T


 2 A 2T
A2
sin2f o (2T   )  sin2f o (2T   )
cos(2f o ) 
 lim 
T   4T
16f oT


A2
cos(2f o )

2
Exemple
A2
A2
S x ( f )  F {Rx ( )}  ( f  f o ) 
 ( f  fo )
4
4
• La puissance Px est :

2
2
2
2
 A2

A
A
A
A
Px  
 ( f  fo ) 
 ( f  f o ) df 


 4
4
4
4
2


