Transcript Struktur eines Fuzzy

Struktur eines Fuzzy-Systems
Seminar Unscharfe Logik
Robert Nickel
Matrikel: 9801835
Seminar unscharfe Logik - Thema:
Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert
Einführung: Fuzzy-Control
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Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert
Fuzzy-System als Regelkreis
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Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert
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Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert
1. Fuzzifizierung
(Naiv: Unscharf machen)
• Systemdefinition in Form von linguistischen Variablen
(Regelgrößen, Eingabedaten, jeweils mit Wertebereich)
• Festlegen der einzelnen unscharfen Mengen
(Ausprägungen der linguistischen Variablen)
• Festlegen der Zugehörigkeitsfunktionen jeder Ausprägung
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1. Fuzzifizierung
(Naiv: Unscharf machen)
Benötigte Fuzzy-Formalismen:
• (LR - ) Fuzzy-Zahlen
• (LR - ) Fuzzy-Intervalle
• Modifizierer (zur sinnvollen Interpretation der
linguistischen Variablen)
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1. Fuzzifizierung
(Naiv: Unscharf machen)
Resultat:
Def: Seien X1,...,Xn Eingangsgrößen des Systems,Y die
Ausgangsgröße, ling(Xi) die Menge der linguistischen
Ausprägungen von Xi und Xi die Wertebereiche der
Zugehörigkeitsfunktionen Xi
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2. Regelbasis
Naiv:
Auf welche Eingabedaten folgt welche Änderung der Steuergröße
Bsp:
IF T=heiß THEN Regler=klein
IF T=kalt THEN Regler=groß
• Regeln basieren auf Erfahrungswerten oder logischen Fakten
• Einige Regeln können gegenüber anderen bevorzugt behandelt
werden
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2. Regelbasis
(Formal)
System von Regeln der Form:
IF bedingungen THEN Y=y_var [WITH CERTAINTY=cj]
bedingungen := bedingung op bedingungen | 
op
:= AND | OR | KOMP1 |...| KOMPk
bedingung
:= [NOT] X1  x1_var |...| [NOT] Xn  xn_var

op
cj
: Kompatibilitätsoperator
: Aggregationsoperatoren
: Vertrauensfaktor
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2. Regelbasis
Vorteile:
• Erweiterbarkeit (Regeln leicht hinzufügen)
• Modularität (Jede Regel ist für sich selbständig)
• Modifizierbarkeit (kleine Änderung -> kleine Wirkung)
• Verständlichkeit (Kann praktisch jeder lesen)
• Transparenz (Entscheidnungen sofort erklärbar)
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3. Inferenz
(Naiv: Aus Eingaben und Regeln
sinnvolle Schlüsse ziehen)
Eingaben liegen in Form von Ausprägungen A1,...,An der
linguistischen Variablen X1,...,Xn vor und können als
skalare Größe (exakter Meßwert) oder als Fuzzy-Menge
(toleranzbehafteter Wert) vorliegen.
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3. Inferenz
(Naiv: Aus Eingaben und Regeln
sinnvolle Schlüsse ziehen)
Problematik:
• Wahl des Kompatibilitätsmaßes
• Wahl der Aggregationsoperatoren (AND / OR / NOT ...)
• Wahl der Art des Einflusses der Vertrauensfaktoren cj
• Wahl der Inferenzoperators (Folgerung aus einer Gleichung)
• Wahl des Akkumulationsoperators (Zusammenfügen der Regeln)
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3. Inferenz
3.1 Wahl des Kompatibilitätsmaßes
Problemstellung:
• Wann sind zwei Fuzzy-Mengen gleich ( A  B ) ?
• Bzw.: In welchem Maße ähnelt Menge A der Menge B
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3. Inferenz
3.1 Wahl des Kompatibilitätsmaßes
Lösung (Fuzzy-Metrik) :
Distanzoperatoren :X x X  [0,1] mit
• (A,A) = 0
• (A,B) = (B,A)
• (A,C)  (A,B) + (B,C)
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3. Inferenz
3.1 Wahl des Kompatibilitätsmaßes
Beispiele für Distanzmaße von Fuzzy-Mengen:
Flächendistanz:
 F ( A, B)  1 
 min
A
( x ),  B ( x )dx
X
 max
A
( x ), B ( x )dx
X
Schwerpunktdistanz:
x A  xB
 S ( A, B) 
X
xA 
 x
A
( x )dx
X

A
( x )dx
X
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xB 
 x
B
( x )dx
X

X
B
( x )dx
3. Inferenz
3.1. Wahl des Kompatibilitätsmaßes
 Das daraus resultierende Kompatibilitätsmaß
komp( A, B)  1   ( A, B)
komp:  X   X  0,1
Liefert ein Maß für die Gleichheit der unscharfen
Mengen A und B
Sonderfall: Bei skalarem Meßwert a kann komp(a, B)  B a 
gewählt werden
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3. Inferenz
3.2. Wahl der Aggregationsoperatoren
Problemstellung:
In jeder Regel Rj müssen die ermittelten Kompatibilitätsmaße
Kij für Xi  Ai über AND/OR oder sogenannte
kompensatorische Operatoren miteinander kombiniert werden
Gesucht: Gültigkeitswert für Fuzzy-logische Aussage
K1j AND K2j OR ... KOMPk Knj
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3. Inferenz
3.2. Wahl der Aggregationsoperatoren
Einführung kompensatorischer Operatoren ( Mittelwerte zwischen
AND und OR ) :
Def: m : 0,1 0,1  0,1 m min,max
(1) Stabilität:
min(x, y )  m( x, y )  max(x, y )
(2) Monotonie:
a  b  c  d  m(a, c)  m(b, d )
(3) Kommutativität:
m( x, y )  m( y, x )
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3. Inferenz
3.2. Wahl der Aggregationsoperatoren
Die Umsetzung von AND und OR kann über verschiedene
t- bzw. s-Normen erfolgen.
Die Wahl dieser Normen unterliegt dabei keinerlei
Einschränkungen und beruht hauptsächlich auf
Erfahrungswerten und praktischen Gesichtspunkten
Resultat: Zu jeder Regel Rj kann nun ein Gültigkeitsgrad Gj
berechnet werden.
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3. Inferenz
3.3. Wahl der Art des Einflusses der
Vertrauensfaktoren cj
Der Gültigkeitsgrad Gj jeder Regel kann mit einem Vertrauensfaktor
cj[0,1] „skaliert“ werden. Damit kann man einigen Regeln mehr und
anderen weniger Bedeutung/Vertrauen zuweisen.
- Kann über jede t-Norm geschehen
Beispiele:
• t(c,G) = c*G -> Der Einfluß der Regel wird um den Faktor c abgeschwächt
• t(c,G) = min(c,G) -> Der Einfluß der Regel ist maximal vom Grad c
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3. Inferenz
3.3. Wahl der Art des Einflusses der
Vertrauensfaktoren cj
Beispiel:
IF geschwindigkeit = zu langsam THEN
beschleunigung = positiv WITH CERTAINTY = 0.7
IF geschwindigkeit = zu schnell THEN
beschleunigung = negativ WITH CERTAINTY = 1
 Das Abbremsen wird bevorzugt gegenüber dem Beschleunigen
behandelt
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3. Inferenz
3.4. Wahl des Inferenz-Operators
• Liefert in Form einer Fuzzy-Menge eine Aussage darüber, wo
nach Auswertung einer einzelnen Regel Rj die Steuergröße
(Output Y) gewählt werden sollte
• D.h.: Die Schlußfolgerung „THEN Y=y_var“ aus der
Regelbasis muß noch mit dem gerade berechneten
Gültigkeitsgrad Gj „skaliert“ werden.
• Diese „Skalierung“ kann über jede t-Norm erfolgen
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3. Inferenz
3.4. Wahl des Inferenz-Operators
Beispiel:
IF wasser=heiß
Gültigkeit: Gj=0.4
THEN
wasserhahn=kalt
kalt (x)

t 0.4, kalt ( x)
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3. Inferenz
3.5. Wahl des Akkumulationsoperators
• Jeder Regel Rj wird nun ist eine Fuzzy-Menge Ej zugeordnet, die
Aussage darüber gibt, wie die Steuergröße am besten zu wählen ist
• Man hat also für jede Regel eine Empfehlung Ej , die sich stark von
den anderen unterscheiden kann
• Diese Mengen müssen sinnvoll miteinander kombiniert werden
• Dies geschieht z.B. über eine bel. s-Norm (Fuzzy-OR)
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3. Inferenz
3.5. Wahl des Akkumulationsoperators
Beispiel:
E1
E2
E*
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E3
3. Inferenz
Ergebnis der Inferenzstrategie:
• Fuzzy-Menge, die angibt, wo die Steuergröße Y mehr
bzw. weniger sinnvoll zu wählen ist
• Muß noch interpretiert werden !
• Bezeichnung: E*
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4. Defuzzifizierung
Naiv: Sinnvolle Interpretation der
unscharfen Empfehlungen
Zwei Hauptmethoden:
• Schwerpunktsmethode
(x-Koordinate des Schwerpunktes der Fläche unter E*)
• Maximummethode
(eine x-Koordinate, an der die Funktion E* maximal ist)
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4. Defuzzifizierung
Varianten der Schwerpunktmethode
COA - center of area
Y
x

(
x
)
dx
E
*



(
x
)
dx
E
*


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4. Defuzzifizierung
Varianten der Schwerpunktmethode
MCOA - modified center of area
• Empfehlungen Ej werden nicht sofort akkumuliert
• Flächenschwerpunkt der Ej (in unmodifizierter Form) ist
bereits zur Compilierzeit bekannt
 Muß nicht live berechnet werden
• Bildung des mit den Gültigkeitsgraden Gj gewichtete
Mittel liefert Näherung für den Flächenschwerpunkt
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4. Defuzzifizierung
Varianten der Schwerpunktmethode
MCOA - modified center of area
s G
Y
G
j
j
j
j
j
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4. Defuzzifizierung
Varianten der Schwerpunktmethode
COM - center of maximum
Weitere Vereinfachung:
Statt der Berechnung der
Schwerpunkte sj wird der
Mittelwert der Kerne der Ej
(unmodifiziert) benutzt
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4. Defuzzifizierung
Varianten der Maximummethode
MOM
mean of maximum
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4. Defuzzifizierung
Varianten der Maximummethode
LOM / ROM - left / right of maximum
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Beispiel
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Beispiel
Kurvenabstand x1
Innenabstand x2
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Beispiel
Fahrtrichtung x3
Außenabstand x4
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Beispiel

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Quellen
[1] - A. Mayer - Fuzzy Logic - Addison Wesley 1993
[2] - D. Traeger - Einführung in die Fuzzy-Logik - Teubner 1993
[3] - B. Biewer - Fuzzy-Methoden - Springer 1997
Grafiken: [3]
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