Transcript Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника
Урок №1
I. Устная работа
• 1) Может ли треугольник быть невыпуклым?
• 2) Где расположена точка пересечения высот
прямоугольного треугольника?
• 3) Периметр треугольника равен 54 см. Его стороны
относятся как 2:3:4. Найдите его стороны.
• 4) Периметр равнобедренного треугольника равен 40
см, боковая сторона составляет 3/5 периметра.
Найдите основание треугольника.
• 5) Может ли проходить вне треугольника его: а)
медиана; б) биссектриса; в) высота?
• 7) Определите вид треугольника, у которого: а) один
угол равен сумме двух других углов; б) один угол
больше суммы двух других; в) больший угол меньше
суммы двух других углов.
• 8) В прямоугольном треугольнике угол между
высотой и биссектрисой,
проведенными из вершины
◦
прямого угла, равен 30 . Определите острые углы
данного треугольника.
II. Новый материал
• Изобразим треугольник ABC ,
• найдем середины M и N его сторон
соответственно AB и BC. Отрезок MN
является средней линией треугольника ABC.
• Вопросы
• - Как определить среднюю линию
треугольника?
• - Сколько средних линий у треугольника?
Средней линией треугольника называется
отрезок, соединяющий середины двух его
сторон (рис. 1).
• - Какими свойствами обладает средняя линия
треугольника? Выскажите предположение.
Например, как на рисунке средняя линия MN
треугольника ABC расположена относительно
его стороны AC?
• Задание
• Измерьте в треугольнике ABC сторону AC и
среднюю линию MN. Как связаны их длины?
Выскажите предположение.
• После этого формулируем и доказываем
теорему о свойствах средней линии
треугольника.
Теорема. Средняя линия треугольника
параллельна одной из его сторон и равна
ее половине (рис. 2).
•
•
•
•
1.
2.
Дано:
Δ АВС
DE – средняя линия Δ АВС
Доказать:
DE ║АВ.
DE= ½ АВ
•
I.Д.П.
1. на прямой DE отложим отрезок EF=DE
2. отрезок BF.
II. Δ ECD=Δ EBF (по 2 стор. и углу м/д ними)
•
CE=BE (по условию),
•
DE=FE (по построению),
BF=CD(как соотв. )
•
1=2 (вертикальные).
BF=AD
<3=< 4, но они накр. лежащ. при прям. AC иBF
по признаку параллелограмма
AC ║ BF
четырехугольник ABFD – паралл.
АВ ║ DF
DE = ½ AB
АВ = DF
Упражнение 1
Стороны треугольника равны 8 см, 10 см и 12
см. Найдите стороны треугольника, вершинами
которого являются середины сторон данного
треугольника.
Ответ: 4 см, 5 см и 6 см.
Упражнение 2
Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см.
Его вершины являются серединами сторон
другого треугольника. Найдите периметры
треугольников.
Ответ: 9см и 18 см.
Упражнение 3
Периметр треугольника равен 12,3 см. Найдите
периметр треугольника, отсекаемого от данного
какой-нибудь его средней линией.
Ответ: 6,15 см.
• 1. Периметр равностороннего треугольника равен
132 см. Найдите его среднюю линию.
• 2. Стороны треугольника равны 8 см, 10 см и 12 см.
Найдите периметр треугольника, вершинами
которого являются середины сторон данного
треугольника. Предложите два способа решения.
• 3. Докажите, что середины сторон четырехугольника
являются вершинами параллелограмма.
• 4*. Одна из вершин треугольника не уместилась на
рисунке. Постройте его медианы или их части.
Упражнение 7
Докажите, что середины сторон произвольного
четырехугольника являются вершинами
параллелограмма.
Решение: Пусть ABCD –
четырехугольник, E, F, G, H – середины
его сторон. Тогда EF – средняя линия
треугольника ABC и, следовательно,
параллельна AC и равна ее половине.
Аналогично, HG – средняя линия
треугольника ACD и, следовательно,
параллельна AC и равна ее половине.
Таким образом, стороны EF и HG
четырехугольника EFGH равны и
параллельны. Значит, этот
четырехугольник – параллелограмм.
V. Задание на дом
•
•
•
•
•
1. Выучить теорию (п. 32 учебника).
2. Решить задачи.
1) №7
2) №8
3) У данного четырехугольника диагонали
равны d1 и d2. Найдите периметр
четырехугольника, вершинами которого
являются середины сторон данного
четырехугольника.
• 4*) Постройте прямоугольный треугольник по
катету a и разности острых углов .