Transcript E(R p )

POLE FINANCE
3ème année - Semestre 6
Stratégie financière
Séance n°3
• Xavier DURAND – Docteur en Sciences de Gestion
Université de Poitiers – Professeur Associé Pôle Finance ESSCA
Responsable du cours
• Salma MEFTEH – Docteur en Sciences de Gestion
Université de Paris – Dauphine – Professeur Associé Pôle Finance ESSCA
• Eric RIGAMONTI – Docteur en Sciences de Gestion
Université de Toulouse – Professeur Associé Pôle Finance ESSCA
1
Professeurs
Séance 3. Gestion de portefeuille (2)
• Corrigé du cas AZUR
• Les caractéristiques d’un portefeuille
- La rentabilité espérée d’un portefeuille P
- Coefficient de corrélation et risque d’un portefeuille P
- Le bêta d’un portefeuille P
- La diversification
• LE MEDAF
- Présentation générale
- La frontière d’efficience
- La droite de marché
• Cas d’application (+ cas à préparer pour séance 4)
• QUIZZ n°3
2
Les caractéristiques d’un portefeuille P
Par souci de simplification, nous raisonnons à partir
d’un portefeuille P constitué uniquement de deux titres
T1
T2
Espérance de rentabilité : E(R1)
Risque : s(R1)
Espérance de rentabilité : E(R2)
Risque : s(R2)
3
La rentabilité espérée d’un portefeuille P
E(Rp) : rentabilité espérée d’un portefeuille P
C’est la moyenne pondérée des espérances de
rentabilité des titres composant le portefeuille P
E(Rp) = [p1 * E(R1)] + [p2 * E(R2)]
p1 et p2 représentent les proportions des deux titres
dans le portefeuille P
4
Le risque d’un portefeuille P (1)
En matière de risque, deux cas de figure se présentent :
1. Les rentabilités des deux titres sont indépendantes
2. Les rentabilités des deux titres ne sont pas
indépendantes
covariance et
coefficient de corrélation
5
Le risque d’un portefeuille P (2)
La covariance entre les rentabilités de deux
actions mesure le degré de dépendance des
fluctuations des cours de ces deux titres
- covariance positive => les cours des deux
actions ont tendance à varier dans le même sens
- covariance négative => les cours des deux
actions ont tendance à varier dans le sens opposé
- covariance nulle => aucun lien entre les
variations des cours des deux actions
6
Le risque d’un portefeuille P (3)
COV (R1,R2) = E (R1* R2) – [E(R1) * E(R2)]
Si le signe de la covariance est aisément interprétable, sa valeur ne l’est
pas : pour se faire une idée de l’intensité du lien qui unit les évolutions
de deux variables aléatoires, il faut « normaliser » la covariance en la
divisant par le produit des écart-types des deux variables
On obtient ainsi le
coefficient de corrélation
noté r
R1,R2
7
Le risque d’un portefeuille P (4)
ρR1,R2 =
COV (R1, R2)
s(R1) * s(R2)
C’est un nombre compris entre -1 et +1
- 1 => Evolution strictement inverse des variables
+ 1 => Evolution strictement parallèle
Généralement, les coefficients de corrélation sont positifs
car la plupart des titres montent dans un marché haussier
et baissent dans un marché baissier
8
Le risque d’un portefeuille P (5)
1. Les rentabilités des titres ne sont pas
indépendantes
VAR(Rp) = p12 VAR(R1) + p22 VAR(R2) + 2p1p2 COV(R1,R2)
= p12 VAR(R1) + p22 VAR(R2) + 2p1p2 * ρR1,R2 * s(R1) * s(R2)
s(Rp) = [VAR(Rp)]1/2
2. Les rentabilités des titres sont indépendantes
VAR(Rp) = p12 VAR(R1) + p22 VAR(R2)
s(Rp) = [VAR(Rp)]1/2
9
Les caractéristiques d’un portefeuille P
(application)
On vous communique les informations suivantes sur les
Titres T1 et T2 :
Espérance de rentabilité : E(R1) = 0,08
T1
Risque : s(R1) = 0,17
p1 = 0,6
Espérance de rentabilité : E(R2) = 0,11
T2
Risque : s(R2) = 0,32
p2 = 0,4
COV(R1,R2) = -0,02
Calculez la rentabilité espérée et le risque du portefeuille
- lorsque les rentabilités des titres sont indépendantes
- lorsque les rentabilités des titres ne sont pas indépendantes
10
Les caractéristiques d’un portefeuille P (corrigé)
• Espérance de rentabilité (dans les deux hypothèses)
E(Rp) = 9,2%
E(Rp) = [0,6 * 0,08] + [0,4 * 0,11]
• Risque (hypothèse d’indépendance)
VAR(Rp) = [0,62 * 0,172] + [0,42 * 0,322] = 0,027
s(Rp) = 0,16
• Risque (hypothèse de non indépendance)
VAR(Rp) = [0,62 * 0,172] + [0,42 * 0,322] – [2*0,6*0,4*0,02] = 0, 017
s(Rp) = 0,13
Dans les deux cas, le risque du portefeuille est inférieur au risque de
chacun des deux titres : la diversification réduit le risque
11
La diversification (1)
Comment répartir des actifs financiers dans le
portefeuille P d’un individu ?
Le meilleur choix pour un individu hostile au
risque n’est pas de concentrer son
investissement sur un seul titre mais de répartir
son avoir entre plusieurs titres, autrement dit,
de diversifier son portefeuille
12
La diversification (2)
La diversification permet de réduire le risque
en fonction du degré de dépendance des
titres constituant le portefeuille
Pour rappel, le degré de dépendance des titres est
mesuré par le coefficient de corrélation entre leur
taux de rendement et noté ρR ,R
1 2
13
La diversification (3)
ρR1,R2 = 1
La diversification ne sert à rien
ρR1,R2 = -1
Il est possible, en théorie, de trouver
un portefeuille P de risque nul
ρR1,R2 = 0
La diversification permet
de réduire le risque
Les cas où le coefficient de corrélation est égal à 1, -1 ou 0 sont plutôt théoriques
La diversification permet d’obtenir un risque du
portefeuille inférieur à la moyenne pondérée des risques
des titres qui composent ce portefeuille
14
La diversification (exercice)
Considérons, au sein d’un portefeuille P, les actions AIR LIQUIDE (AL) et
PHILIPS (PH) dont les caractéristiques financières sont les suivantes :
AIR LIQUIDE
PHILIPS
Rentabilité espérée : E(R)
6%
13%
Risque : s(R)
10%
17%
Hypothèse n°1 : P contient 25% de PH
Hypothèse n°2 : P contient 50% de PH
Hypothèse n°3 : P contient 75% de PH
En fonction des 3 hypothèses :
• Calculer la rentabilité espérée de P
• Calculer la moyenne pondérée des risques des titres AL et PH
• En supposant que ρAL,PH = 0,5, calculer le risque de P
• Que constatons-nous ? Illustrer par un graphique (proportion 50%-50%)
15
La diversification (corrigé exercice)
Rentabilité espérée du portefeuille P
XPH
25%
7,8% (1)
E(RP)
50%
75%
9,5%
11,3%
(1) = 13%*25% + 6%*75%
Moyenne pondérée des risques des titres AL et PH
XPH
s(RAL,PH)
25%
11,8%
50%
75%
13,5%
15,3%
(1) = 17%*25% + 10%*75%
16
La diversification (corrigé exercice)
Le risque du portefeuille P
Les titres ne sont pas indépendants
VAR(Rp) = p12 VAR(R1) + p22 VAR(R2) + 2p1p2 * ρR1,R2 * s(R1) * s(R2)
XPH
25%
50%
75%
s(RAL,PH)
10,3%
11,8%
14,2%
Dans les 3 cas, le portefeuille P a un niveau de risque plus faible
que la moyenne pondérée des risques de chacun des titres
17
La diversification (corrigé exercice)
Espérance de rentabilité
PH
13%
10%
9,5%
6%
AL
0%
Réduction due à
la diversification
11,8% 13,5%
10%
17%
Risque
18
Un choix de portefeuille en fonction du b
L’investisseur peut composer son portefeuille en fonction du β
En cas de hausse attendue du marché, il peut
sélectionner de préférence des titres dont le β est élevé,
ce qui lui permettra d’augmenter le b du portefeuille et
d’obtenir une performance supérieure à celle du marché
A l’inverse, en cas de prévisions pessimistes,
il peut choisir des titres dont le b est faible
Une telle stratégie repose sur l’hypothèse de stabilité des b
Or, cette hypothèse n’est pas vérifiée dans la réalité
19
Le Bêta d’un portefeuille P
Le coefficient b du portefeuille P (noté βp) traduit
la sensibilité de la rentabilité du portefeuille P
aux fluctuations de la rentabilité du marché (M)
Le b du portefeuille P est la moyenne pondérée
de b des titres composant ce portefeuille
bp = p1b1 + p2b2
20
Les paramètres expliquant le niveau du b (1)
• Sensibilité du secteur à la conjoncture économique
(exemple : les entreprises du BTP devraient avoir un b proche de 1)
• La structure des coûts
Plus le point mort est élevé, plus les flux de trésorerie sont volatils
(exemple : les cimenteries à forts coûts fixes ont un b élevé)
• La structure financière
La dette élève le point mort et donc la volatilité des bénéfices
Plus une société est endettée, plus le b de son action est élevé
21
Les paramètres expliquant le niveau du b (2)
• La visibilité des performances
Le manque d’informations sur une entreprise tend à élever le
b : le marché tient compte d’un « risque de non visibilité »
• Le taux de croissance des résultats
Plus le taux de croissance des résultats est élevé, plus le b sera
élevé : l’essentiel de la valeur de l’entreprise s’explique par des
flux éloignés dans le temps, donc sensibles à toute modification
des données du marché
22
Le MEDAF (Modèle d’équilibre des actifs financiers) ou
CAPM (Capital Asset Pricing Model) (1)
Le MEDAF permet d’établir une relation linéaire entre le
rendement et le risque d’un titre risqué ou d’un portefeuille
risqué, étant donné le lien existant entre le rendement de ce
portefeuille et le rendement du marché (c’est-à-dire en
fonction du risque systématique du titre ou du portefeuille)
Rappel : le risque spécifique disparaît par diversification
 Lorsqu’on analyse la relation risque/rendement d’un actif isolé,
on suppose qu’il est contenu dans un portefeuille correctement
diversifié
23
Le MEDAF (2)
Le MEDAF notamment sur deux hypothèses relatives au
comportement des investisseurs :
tous les investisseurs ont la même information et font des
prévisions identiques
tous les investisseurs cherchent à maximiser l’espérance de
rentabilité et à minimiser le risque
Le MEDAF a été développé par Sharpe dans un article de 1964 pour
lequel, en partie, il a reçu le prix Nobel d’économie en 1990
24
La notion de frontière d’efficience (1)
Portefeuille efficient
C’est un portefeuille qui, pour un niveau de risque donné, procure
la rentabilité la plus élevée ou qui, pour un niveau de rentabilité
donné, procure le risque le plus faible
Frontière d’efficience
L’ensemble des portefeuilles efficients forme la frontière d’efficience
Cette frontière est différente selon que l’on considère ou non la
présence d’un actif sans risque
25
La notion de frontière d’efficience (2)
Frontière efficiente EF
E(Rp)
Portefeuille efficient
x
E
F
x x x x
x
x
x
Portefeuille inefficient
x
0
Risque
correspondant
s(Rp)
Frontière d’efficience en l’absence d’actif sans risque
26
Le modèle d’équilibre
L’investisseur peut acquérir un actif sans risque ou de rentabilité
certaine (Rf) et constituer ainsi un portefeuille mixte comprenant un
actif sans risque et des actifs risqués
Les portefeuilles constitués à partir d’un portefeuille quelconque N et de
l’actif sans risque sont situés sur la droite RfN
E(Rp)
PORTEFEUILLE DE MARCHE
M
Rf
N
• Les portefeuilles situés sur la droite
RfM sont efficients (ils surclassent
tous les autres)
• La droite RfM est la nouvelle
frontière efficiente, dans l’hypothèse
de portefeuilles mixtes
s(Rp)
27
Relation entre la rentabilité et le risque d’un
portefeuille : la droite de marché (1)
Tous les investisseurs vont se constituer des portefeuilles incluant une
proportion a d’un portefeuille, appelé portefeuille de marché, et noté
portefeuille M et une proportion (1-a) de l’actif sans risque
Le portefeuille est caractérisé par E(Rp) et s(Rp)
E(Rp) = (1 – a) RF + a E(RM) = RF + a [E(RM) - RF]
s(Rp) = a s(RM)
On peut déduire de la relation donnant le risque du portefeuille P, que :
a = s(Rp) / s(RM)
28
Relation entre la rentabilité et le risque d’un
portefeuille : la droite de marché (2)
Par définition, le portefeuille M est correctement diversifié : il ne comporte aucun
risque spécifique
Le portefeuille P étant constitué à partir d’une proportion du portefeuille M et de
l’actif sans risque, ne comporte également aucun risque spécifique
Or, nous avons vu (séance 2) que le risque total du portefeuille P peut s’écrire :
VAR(Rp) = VAR(RM)bp2 + VAR(e)
Ici, VAR(e) = 0
Ainsi, on obtient :
Cette relation s’écrit également :
VAR(Rp) = VAR(RM)b2
s(Rp) = bp s(RM)
29
Relation entre la rentabilité et le risque d’un
portefeuille : la droite de marché (3)
A partir des raisonnements précédents, on a obtenu les trois relations suivantes :
E(Rp) = RF + a [E(RM) - RF]
a = s(Rp) / s(RM)
s(Rp) = bps(RM)
Ainsi :
On en déduit que :
a =bps(RM)/s(RM)
a = bp
E(Rp) = RF + bp [E(RM) - RF]
30
L’ interprétation de la droite de marché (1)
La relation précédente est la relation du MEDAF (ou CAPM) :
c’est l’équation de la droite de marché
• La quantité [E(RM) - RF] représente le prix du risque : on l’appelle
prime de risque du marché
bp représente le risque systématique du portefeuille P : seul ce risque
est rémunéré (le risque spécifique n’est pas rémunéré puisqu’il a pu disparaître
par diversification).
E(Rp) est la rentabilité espérée (donc requise) par les opérateurs qui
investissent dans le portefeuille P
Cette équation montre que la rentabilité espérée d’un investissement
est une fonction linéaire du b de cet investissement
31
L’ interprétation de la droite de marché (2)
Taux k
Acheter
Droite de marché
*A
Rentabilité
d’équilibre
RF
Vendre
*B
Classe
E ( Ri ) = RF  b i [ E ( Rm )  RF ]
Pente = la prime de risque du
marché
Risque : β
Si b = 0 ; E(Rp) = RF
Si b = 1 ; E(Rp) = E(RM)
32
L’ interprétation de la droite de marché (3)
Si la rentabilité espérée de l’investissement est supérieure ou égale à la
rentabilité à l’équilibre, l’investissement est acceptable
Sur le graphique, les investissements acceptables sont figurés sur la
droite de marché, ou au-dessus. Tous les points en-dessous de la droite
de marché correspondent à des investissements à rejeter : étant donné
leur risque systématique, leur rendement est insuffisant
Remarque : théoriquement, si l’espérance de rentabilité d’un titre s’écarte de la
droite de marché, il ne peut s’agir que d’un phénomène provisoire, le jeu du marché
devant aboutir au rééquilibrage
33
Cas d’application : le cas Dumas
Soit les données suivantes concernant la société Dumas :
Etats Probabilité Rentabilité du marché
Rentabilité du titre
1
2
3
0,1
0,3
0,4
-0,18
0,07
0,16
-0,32
0,00
0,22
4
0,2
0,21
0,4
RF = 7% Rentabilité de l’actif sans risque
1. Calculer la rentabilité du marché et celle de l’action Dumas
2. Ecrire l’équation du MEDAF (équation de la droite de marché)
3. D’après le MEDAF, quelle est la rentabilité souhaitée du titre Dumas ? Comparer
avec la rentabilité calculée à la question 1 - Conclure
34
Le cas Dumas (corrigé)
Rentabilité du marché
1.
Rentabilité action Dumas
Etats
Proba
Rm
Pi*Rm
Rd
Pi*Rd
1
0,1
-0,18
-0,018
-0,32
-0,032
2
0,3
0,07
0,021
0
0
3
0,4
0,16
0,064
0,22
0,088
4
0,2
0,21
0,042
0,4
0,08
Somme
0,109
0,136
E(RDumas) = E(Rd) = 13,6%
E(RM) = 10,9%
35
Le cas Dumas (corrigé)
2.
E(Ri) = 7% + bi (10,9% - 7%)
avec E(Ri) = rentabilité attendue du titre i
bi = sensibilité du taux de rendement
du titre i aux variations du taux de rendement
du marché (indicateur du risque systématique du titre i)
36
Le cas Dumas (corrigé)
3.
Calculons le b du titre Dumas, bd.
bd =
COV (Rd,RM)
VAR (RM)
COV (Rd,RM) = E (Rd * RM) – [E(Rd) * E(RM)]
VAR (RM) = E (RM2) – [E(RM)]2
37
Le cas Dumas (corrigé)
Calcul de la covariance
pi
0,1
0,3
0,4
0,2
Calculons E (Rd * RM)
Rd
RM
pi * (Rd * RM)
-0,32
0,00
0,22
-0,18
0,07
0,16
0,00576
0,00
0,01408
0,4
0,21
0,0168
E (Rd * RM) = 3,66%
[E(Rd) * E(RM)] = 0,136 * 0,109 = 1,48%
COV (Rd,RM) = E (Rd * RM) – [E(Rd) * E(RM)] = 2,18%
38
Le cas Dumas (corrigé)
Calcul de la variance du marché
pi
0,1
0,3
0,4
0,2
Calculons E (RM2)
RM
-0,18
0,07
RM2
0,0324
0,0049
pi * (RM2)
0,00324
0,00147
0,16
0,21
0,0256
0,0441
0,01024
0,00882
E (RM2 ) = 2,37%
[E(RM)]2 = (0,109)2 = 1,19%
VAR (RM) = E (RM2) – [E(RM)]2 = 1,19%
39
Le cas Dumas (corrigé)
bd =
COV (Rd,RM)
VAR (RM)
=
2,18 / 1,19
= 1,83
Selon l’équation de la droite du marché :
E(RD) = 7% + 1,83 (10,9% - 7%) = 14,14%
Avec un b de 1,83 et en utilisant l’équation de la droite de marché, la rentabilité du
titre Dumas devrait être de 14,14 % - or, la rentabilité actuelle est de 13,6%
Le titre Dumas n’est pas à l’équilibre : il est surévalué (vendre ou ne pas acheter)
Le cours de l’action doit baisser pour faire augmenter le taux de rentabilité à son
niveau d’équilibre
40
QUIZZ n°3
• Une entreprise endettée a plus de chances d’avoir un b
élevé
VRAI FAUX
• Il faut acheter un titre surévalué
VRAI
FAUX
• Ce n’est que si ρ = 1 que le risque du portefeuille est égal
à la moyenne des risques le composant
VRAI FAUX
• En cas de prévisions optimistes du marché, il faut choisir
un b faible
VRAI FAUX41
Cas supplémentaire : A-B-C
Sur un marché en équilibre selon le MEDAF, on vous communique les
espérances de rentabilité, les bêtas et les prix de trois titres.
1.
Titre
bêta
E (R)
Prix en €
A
0,6
0,07
130
B
0,8
0,08
242
C
1,3
0,105
176
Quel est le taux sans risque et l’espérance de rentabilité du marché ?
En déduire l’équation de la droite de marché.
42
Cas supplémentaire : A-B-C (suite)
De nouvelles informations arrivent sur le marché et les investisseurs révisent leurs
anticipations de rentabilité attendue et de b pour l’année à venir :
Titre
bêta
E (R)
A
B
0,6
0,7
0,07
0,10
C
1,3
0,095
2. Connaissant l’équation de la droite de marché établie à la question 1, que peut-on
dire de ces titres ? Faire une représentation graphique de la droite de marché et
positionner les trois titres étudiés. Quelle sera l’attitude d’un investisseur par rapport
à ces titres ?
3. Si le MEDAF est valide et si les prix reviennent très vite à l’équilibre, comment les
prix vont-ils évoluer à la suite des nouvelles informations et des révisions des
anticipations des investisseurs ?
43
Cas supplémentaire : A-B-C (corrigé)
Question n°1
E(Ri) = RF + bi [E(RM) - RF]
E (RA) = RF + bA [E (RM) - RF]
E (RB) = RF + bB [E (RM) - RF]
E (RC) = RF + bC [E (RM) - RF]
 0.07 = RF + 0,6 [E (RM) - RF]
 0.08 = RF + 0,8 [E (RM) - RF]
 0.105 = RF + 1,3 [E (RM) - RF]
On soustrait  et  => RF = E(RM) – 0,05
On remplace RF par sa valeur dans 
E(RM) = 0,09
On en déduit RF = 0,04
44
Cas supplémentaire : A-B-C (corrigé)
E(Ri) = RF + bi [E(RM) - RF]
Question n°2
Pour les titres A, B, C, la rentabilité théorique attendue est :
E(RA) = 0,07
E(RB) = 0,08
E(RC) = 0,105
(contre 0,07)
(contre 0,10)
(contre 0,095)
En comparant les rentabilités anticipées et les rentabilités théoriques attendues, il apparaît que :
=> le titre A est bien
évalué car les rentabilités théorique et anticipée sont
égales
=> le titre B est sous-évalué, il est intéressant de l’acquérir pour obtenir une performance
anormalement positive car la rentabilité anticipée est supérieure à la rentabilité attendue
compte tenu du risque
=> le titre C est surévalué, il vaut mieux le vendre ou ne pas l’acquérir car la
rentabilité anticipée est inférieure à la rentabilité théorique
45
Cas supplémentaire : A-B-C (corrigé)
E(R)
Rentabilité
B (0,7 ; 0,10)
Titre le plus « intéressant »
Droite de marché
C (1,3 ; 0,095)
0.04
A (0,6 ; 0,07)
Bêta
Risque
46
Cas supplémentaire : A-B-C (corrigé)
Question n°3
A partir des nouvelles informations arrivant sur le marché, les investisseurs anticipent des niveaux de
rentabilité calculés sur le prix actuel. Implicitement, les prix anticipés pour la fin de l’année à venir sont :
Prix futur = Prix actuel (1 + taux de rentabilité anticipée)
Titre A : 130 * ( 1 + 0,07) = 139,1
Titre B : 242 * ( 1 + 0,10) = 266,2
Titre C : 176 * ( 1 + 0,095) = 192,72
Les prix actuels vont s’ajuster jusqu’à ce que la rentabilité attendue soit conforme au MEDAF (CAPM). Les
nouveaux prix sont égaux aux prix futurs actualisés au taux de rémunération conforme au MEDAF, soit :
Titre A : 139,1 / (1 + 0,07) = 130
(contre 130)
Titre B : 266,2 / (1 + 0,08) = 246,48
(contre 242)
(contre 176)
Titre C : 192,72 / (1 + 0,105) = 174,41
On vérifie que le prix de A n’est pas modifié, que le prix de B augmente (B était sous-évalué)
et que le prix de C baisse (C était surévalué)
47