Transcript Maksimaalinen kestävän tuoton kiertoaikamalli

Optimaalinen kiertoaika – optimal rotation
 Mitä pitäisi maksimoida? What should we maximize?
Maksimaalinen kestävän tuoton kiertoaikamalli
 Vrt MSY kalakannoille
Maksimaalinen kestävän tuoton kiertoaikamalli
 Olkoon maksimaalisen kestävän tuoton kiertoaikamalli
tavoitefunktio, että maksimoida puun
keskimääräiskasvua.
 Olkoon puun kasvufunktio f (t).
Maksimaalinen kestävän tuoton kiertoaikamalli
 Olkoon maksimaalisen kestävän tuoton kiertoaikamalli
tavoitefunktio, että maksimoida puun
keskimääräiskasvua. Olkoon puukasvufunktio f (t).
 Tavoitefunktio on
f (t )
max
t
t
 Ensimmäisen kertaluvun ehdot.
f (T )
d(
)
f (T )T  f (T )
T

0
2
dT
T
f (T )T  f (T )  0
f (T )
f (T ) 
T
Maksimaalinen kestävän tuoton
kiertoaikamalli: yhteenveto
 Tavoitefunktio: maksimoida puun keskimääräiskasvua
f (t )
max
t
t
 Hakkuusääntö: Kaada puusto silloin, kun puuston
vuotuiskasvu on yhtä suuri kuin sen keskimääräiskasvu.
f (T ) 
f (T )
T
 Tämä rotaatiomalli perustuu puhtaasti biologiseen
kriteeriin.
 Malli ei ota huomioon mitään taloudellista tekijää, kuten
puun hintaa ja metsätalouteen liittyviä kustannuksia.
Esimerkki
 Olkoon puun kasvufunktio
f (t )  40t  3.1t  0.016t
2
3
 Laske maksimaalisen kestävän tuoton kiertoaika.
Kuva 2 Maksimaalinen kestävän tuoton kiertoaikamalli - Puuston
vuotuiskasvu (CAI) ja keskimääräiskasvu (MAI) (Kahn 2005, 430 kuva
12.2b tai Kahn 1998, 333)
MAI ,CAI
250
200
150
100
CAI
50
MAI
t
0
Oletus:
50
100
f (t )  40t  3.1t 2  0.016t 3
150
200
Faustmann yhden kiertoajan malli
 Metsän omistaja maksimoi
 e
 rT
pf (T )  c
 Ensimmäinen kertaluvun ehto (FOC)
d
 rT
 rT

 e pf (T )  re pf (T )  0
dT
 pf (T )  rpf (T )  0
pf (T )
r 
pf (T )
pf (T )  rpf (T )
Faustmann yksikiertoaika malli
  e rT pf (T )  c
 Metsän omistaja maksimoi
 Hakkusääntö
pf (T )
r
pf (T )
 Metsä on hakattava, kun sen suhteellisen arvon kasvu
on yhtä suuri kuin korko.
 Jos metsän arvo kasvaisi hitaammin kuin pankkiin
sijoitettu pääoman arvo, olisi kannattavampaa hakata
metsä ja sijoittaa saadut tulot pankkiin korkoa
kasvamaan. Jos metsän arvo kasvaisi nopeammin kuin
pankkiin sijoitettu pääoman arvo, olisi kannattavampaa
ottaa rahat pois pankista ja sijoittaa ne metsään.
 Kun metsän arvo kasvaa samalla nopeudella kuin
pääoman arvo pankkiin sijoitettuna korolla r, metsän
omistajalle on samantekevää onko hän sijoittanut
pääomansa metsään vai pankkiin korkoa kasvamaan.
Faustmann yksikiertoaika malli: yhteenveto
 Metsän omistaja maksimoi
 e
 rT
pf (T )  c
 Hakkusääntö
pf (T )  rpf (T )
 Tulon , joka saadaan jos hakkuutulo sijoitettaisiin
pankkiin korkoa r kasvamaan, on oltava yhtä suuri kuin
metsän investoinnin rajahyöty
Kriitikki Faustmann yksikiertoaikamallille
 Kuten Johansson and Löfgren (1985, 78) selkeästi
selittävät, Faustmannin yksikiertoaika mallin ratkaisu vaikkakin intuitiivinen - on kuitenkin puutteellinen, koska
se ei ota huomioon metsämaan arvoa.
 Metsän omistajan on otettava huomioon, että hän voisi
hakata metsän ja sitten vuokrata metsämaata jollekin
muulle taloudenpitäjälle.
 Lähde Johansson Per-Olov & Löfgren, Karl Gustav (1985)
The Economics of Forestry & Natural Resources, Basil
Blackwell: Oxford
Faustmann malli kun kiertoaikojen määrä on
rajaton
yhteisiä oletuksia
 Puun arvo: puun kuutiometrin arvo on aina sama
riippumatta siitä, kuinka vanha puu itse on.
 Puun hinta on vakio
 Kustannukset: ainoat kustannukset ovat vakio
istutuskustannukset, c .
 Pääomamarkkinat: pääomamarkkinat ovat täydellisiä,
kaikki voivat lainata rahaa ja ottaa lainaa korolla r.
 Täydellinen informaatio, ei epävarmuutta
 Kilpailulliset markkinat
 Huom. Jos paras maan käyttö on metsän käyttö
ensimmäisellä kiertoajalla, se on näin myös seuraavilla
periodeilla, koska mallissa puun hinta p ja
istutuskustannukset c ovat vakiot.
Faustmann malli kun kiertoaikojen määrä on
rajaton : Maan arvofunktio (tavoitefunktio)
 Jos metsä istutetaan uudestaan, kun se on hakattu, sitten täytyy ottaa
huomioon jokaisella kiertoajalla saatu voitto. Jos kiertoajan määrä
kasvatetaan äärettömiin, voittojen summa nykyarvona antaa
metsämaan arvon.
J  c  e rt  pf (t1 )  c  e rt  pf (t2 )  c  ...  e rt  pf (t )  c
1
2

 Hetkellä 0 istutetaan metsä kustannuksella c. Koska c on jo ilmaistu
nykyrahana (ajan 0 raha-arvona), sitä ei diskontata.
 Hetkellä t1 hakataan metsä ensimmäisen kerran ja istutetaan uusi
metsä kustannuksella c. Myymällä hakkuista saatu puuraaka-aines
saadaan tulot . Sekä tulot että metsän istuttamiskustannukset c
hetkellä t 1 on muutettava nykyrahaksi (siis ajan 0 raha-arvona)
diskonttaamalla ne.
 Hetkellä t2 taas hakataan metsä ja istutetaan uusia puita jne.
Faustmann malli kun kiertoaikojen määrä on
rajaton : Maan arvofunktio (tavoitefunktio)
 Koska jos optimaalinen kiertoajan pituus on T ensimmäisellä
kiertoajalla, se on ceteris paribus myös T muilla kiertoajoilla sitten t1 = T,
t2 = 2T, t3 = 3T, jne. Yhtälö [12] voidaan kirjoittaa seuraavalla tavalla
J  c  e rT  pf (T )  c  e r 2T  pf (T )  c  ...  e rT  pf (T )  c

J  c   e riT  pf (T )  c

 kun
e
i 1
i 1
 riT
1
 rT
e 1
pf (T )  c
J
c
rT
e 1
sitten
Faustmann malli kun kiertoaikojen määrä on
rajaton
 Maksimoidaan t:n suhteen
pf (T )  c
J
c
rT
e 1
 FOC
dJ pf (T )(e rT  1)  re rT  pf (T )  c

0
rT
2
dT
(e  1)
 Ensimmäisen kertaluvun ehto on nolla jos osoittaja on
nolla, eli jos
rT
rT

pf (T )(e  1)  re  pf (T )  c  0
Kiertoaikojen määrä rajaton
 Jaetaan yhtälö pf (T )(e
rT
 1)  re rT  pf (T )  c  0
( pf (T )  c)(erT  1) :lla, josta saadaan
pf (T )
re rT
 rT
0
pf (T )  c (e  1)
pf (T )
r
 rT rT
pf (T )  c e (e  1)
 Faustmann kaava
pf (T )
r

pf (T )  c 1  e rT
Faustmann malli kun kiertoaikojen määrä on
rajaton
 Faustmann kaava voidaan manipuloida seuraavalla tavalla
 Huom.
 Täten
rerT
r (erT  1)
r
r
 rT
 rT
 r  rT
rT
e 1
e 1
e 1
e 1
pf (T )
r

pf (T )  c 1  e rT
pf (T )
e rT
r
pf (T )
re rT
 rT

 rT
rT
pf (T )  c e (1  e )
pf (T )  c e  1

pf (T )
r
 r  rT
pf (T )  c
e 1
eli

pf (T )  c
pf (T )  r pf (T )  c   r
 pf (T )  c

pf (T )  rpf (T )  r  rT
 c
 e 1

e rT  1
Faustamann malli kun kiertoaikojen määrä on
rajaton
pf (T )  c


pf (T )  rpf (T )  r  rT
 c
 e 1

 Optimaalinen kiertoaika löytyy sinä ajankohtana, jolloin
tuotto r p f (T), joka voitaisiin saada jos päätehakkuusta
saatava tulo p f (T), sijoitettaisiin pankkiin korkoa r
kasvamaan ja tuotto, joka voitaisiin saada jos metsämaa
myytäisiin ja sijoitettaisiin saatu tulo pankkiin korkoa
 pf (T )  c

r
kasvamaan  e rT  1  c, yhteen laskettuna ovat yhtä


suuret kuin metsään investoinnin rajahyöty, .pf (T )
 Metsän investoinnin rajahyöty =
päätehakkuutulon
sijoitustuotto + metsämaan myyntitulon sijoitustuotto
 Kritiikkiä: Faustmannin malli ei ota huomioon metsän
monikäyttöä.
Metsän monikäyttö ja Hartman yhden
kiertoajan malli (1976)
 Olkoon g (t) muiden hyötyjen arvostusfunktio eli ”The
value of the recreational and other services flowing from
from a standing forest of age t…” (Hartman 1976, 53).
 Toisin sanoen, metsän tuottamien tuotteiden (esim. sienet,
marjat) ja palvelujen (mm. maaperäeroosiokontrolli,
virkistyspalvelut) arvo, joiden arvo vuodessa t on g (t).
 Jos kiertoaika kestää T vuotta, sitten noiden palveluiden
ja tuotteiden kokonaisnykyarvo koko kiertoajan aikana on
T
G(T )   g (t )ert dt
 Lähde: Hartman, Richard
(1976) The Harvesting Decision
o
When a Standing Forest Has Value Economic Inquiry 14,
52-58
Metsän monikäyttö ja Hartman yhden
kiertoajan malli (1976)
 Sitten metsän arvon yhden kiertoajan aikana
T
w1   g (t )e rt dt  pf (T )e rT  c
o
dw1
 rT
 rT
 rT

 g (T )e  re pf (T )  pf (T )e  0
dT
 Metsään investoinnin rajahyödyn ja muiden hyötyjen
vuotuisarvojen summan on oltava yhtä suuri kuin tuotto,
joka voitaisiin saada jos hakkuutulo sijoitettaisiin pankkiin
korkoa kasvamaan .
pf (T )  g (T )  rpf (T )
Metsän monikäyttö ja Hartman yhden
kiertoajan malli (1976)
 SOC
d 2 w1
 rT
 rT
2  rT
 rT
 rT
 rT






re
g
(
T
)

e
g
(
T
)

r
e
pf
(
T
)

re
p
f
(
T
)

e
p
f
(
T
)

re
pf (T )
2
dT
d 2 w1
 rT
 rT






 pf (T )  g (T )  rpf (T )

e
g
(
T
)

p
f
(
T
)

rp
f
(
T
)

re
2
dT
 FOCin mukaan
pf (T )  g (T )  rpf (T )  0 ,mistä seuraa
d 2 w1
rT
g (T )  pf (T )  rpf (T )

e
2
dT
Metsän monikäyttö ja Hartman yhden
kiertoajan malli (1976)
d 2 w1
 rT
g (T )  pf (T )  rpf (T )

e
2
dT
 jos g’ (T) on positiivinen ja tarpeeksi suuri, sitten yhtälö on
suurempi kuin nolla, josta seuraa, että ei ole koskaan
yhteiskunnallisesti optimaalista hakata metsää.
 g’ (T) positiivinen tarkoittaa, että muiden hyötyjen arvostus
kasvaa puuston iän myötä. Esimerkkinä voidaan ottaa metsän
virkistysarvo, joka kasvaa metsän iän myötä.
 jos g’ (T) on positiivinen muttei tarpeeksi suuri, niin että
toinen derivaatta on negatiivinen, on olemassa kiertoajan
pituus, joka maksimoi metsästä saadut hyödyt.
 Käytännössä: on hyvin mahdollista, että g’ (T) on ensin
positiivinen ja sen jälkeen kun metsä saavuttaa tietyn iän, se
muuttuu negatiiviseksi (esim. Hanley ym. 1997, 341-342).
Faustmann mallin komparatiivinen statiikka
 Miten arvon muutokset kiertoajan ongelman
parametreissa (kuten korko, puun hinta,
istutuskustannukset) vaikuttavat kiertoajan pituuteen?
 Vastaus haetaan joko

graafisen analyysin avulla

Numeerisesti (Matlab)

ensimmäisen kertaluvun ehtoja muokkaamalla (esim. puun
hinta ja istutuskustannukset muutokset
 pf (T )  c


pf (T )  rpf (T )  r  rT
 c  0
 e 1


tai implisiittifunktion avulla
Faustmannin mallin komparatiivinen statiikka:
puun hinnan nousu
 Puun hinnan nousun vaikutusta voidaan myös
havainnollistaa manipuloimalla Faustmannin sääntöä.
Jaetaan molemmat vasemman ja oikean puolen p: llä.
 pf (T )  c 

pf (T )  rpf (T )  r  rT
 c
 e 1

c


 f (T )  p c 
f (T )  rf (T )  r  rT
 
p
 e 1


Faustmannin mallin komparatiivinen statiikka:
puun hinnan nousu
 maan arvo nousee, kun hinta nousee, koska c/p
laskee. Kun maan arvo nousee, sitten kiertoajan
pidentämisen vaihtoehtokustannus kasvaa ja
kiertoaika lyhenee.
c


 f (T )  p c 
f (T )  rf (T )  r  rT
 
p
 e 1


Faustmannin mallin komparatiivinen statiikka:
istutuskustannuksien nousu
 Ensimmäisen kertaluvun ehdosta näemme, että
istutuskustannuksien nousu laskee maan arvo eli
kiertoajan pidentämisen vaihtoehtokustannuksia ja siksi
pidentää kiertoajan.
 pf (T )  c 
pf (T )  g (T )  rpf (T )  r  rT
 c
 e 1

Myyntivero
 Miten vero joka on muotoa p(1-δ) vaikuttaa kiertoajan
pituuteen?
 p(1   ) f (T )  c 
p(1   ) f (T )  rp(1   ) f (T )  r 
 c
rT
e 1
c



 pf (T )  1  
c 
pf (T )  rpf (T )  r 


rT
e

1
1






 Tulovero vaikuttaa ainoastaan metsämaan arvoon. Koska
c
1
kasvaa, kun tulovero  kasvaa, metsämaan arvo
laskee. Tämä tarkoittaa, että yksi kiertoajan pidentämisen
vaihtoehtokustannus eli tulo, joka voitaisiin saada, jos
metsämaa myytäisiin ja niin saatu tulo sijoitettaisiin
pankkiin korkoa kasvamaan, pienenee ja kiertoajan pituus
kasvaa.
Lähteet
 Hanley N., Shogren J. F. & White B. (2007).
Environmental Economics in Theory and Practice, 303 309.
 Hartman, R. (1976) The harvesting decision when a
standing forest has value. Economic Inquiry 14, 52 - 58.
 Johansson P.-O. & Löfgren K.-G. (1985). The Economics
of Forestry and Natural Resources. Blackwell. Oxford,
luku 4.
 Kahn, J (2005). The Economic Approach to Environmental
and Natural Resources, third edition. Thomson.