Transcript PPT - ENSTA Bretagne

Calcul par intervalles et
robotique à l’ENSIETA
Jan Sliwka & Fabrice Le Bars
Calcul ensembliste et robotique
> Sommaire
1. Méthodes ensemblistes
2. Applications
3. Les robots de l’ENSIETA
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
2
Histoire
 Moore et Warmus dans les années 50
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
3
Méthodes ensemblistes
Les mesures de capteurs / les variables ne sont pas ponctuelles
Représentations : Probabiliste – Discrète - Ensembliste
Exemple mesure
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
x 0 /  
x 0 
, x 0 

13/04/2015
4
Méthodes ensemblistes
B
A B
B
CC CC
AA
B
C
Intersection A B  A
Union
B
A B
B
CC CC
AA
B
A B  A
C
Image par f
B f
A
Inversion ensembliste A f 1 
B
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
5
Types de problèmes résolus
I. Optimisation Globale

f min f
x
x
x
Méthode de Hansen
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
6
Set inversion problem : f : R n R m , Y R m
find X x  R n , f
x Y
In case Y 0, the problem becomes
x 1 , x 2 , . . . , x n 0
Types
de problèmes
Set
inversion problem
: f : R n R m , Yrésolus
R m ,f 1 
find X x  R n , f
x Y
f2
x 1 , x 2 , . . . , x n 0
II. Système
(Constraint
In case Yd’équations
0, the problem
becomes Satisfaction Problem)
...
f1
x 1 , x 2 , . . . , x n 0
fm 
x 1 , x 2 , . . . , x n 0
f2
x 1 , x 2 , . . . , x n 0
x 
x 1 , x 2 , . . . , x n  R n
...
fm 
x 1 , x 2 , . . . , x n 0
x 
x 1 , x 2 , . . . , x n  R n
III. Système d’équations relaxé
Une partie seulement des équations sont satisfaites
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
7
Exemple : Localisation
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
8
Exemple : Localisation
Mise en équation
Pour chaque mesure « Contrainte »
d d i cos
 i 
SystèmeSet
d’équation
of equations(CSP)
to be solved
d d 1 cos
 1 0
d d 2 cos
 2 0
...
d
0, 
,

 

,

.
2 2
d d m cos
 m 0
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
9
DEMO : Localisation
Mise en équation
Pour chaque mesure « Contrainte »
d d i cos
 i 
SystèmeSet
d’équation
of equations(CSP)
to be solved
d d 1 cos
 1 0
d d 2 cos
 2 0
...
d
0, 
,

 

,

.
2 2
d d m cos
 m 0
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
10
Méthodes ensemblistes
 Comment représenter un ensemble?
ellipsoïdes
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
sphères
pavés
13/04/2015
11
Méthodes ensemblistes
 Comment représenter un ensemble?
ellipsoïdes
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
sphères
pavés
13/04/2015
12
Méthodes intervalles
 Utilise les intervalles
 Note : un pavé est un produit cartésien
d’intervalles
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
13
Arithmétique par intervalles
Opérations binaires
, , , /, max, min on définit
Pour une opération   

x 
y
x
,y  
y
x  y | x  


2, 5
1, 3 
1, 8
,
Exemple

2, 5 
1, 3 
3, 15
,

2, 5
/
1, 3 
23 , 5
,
min


5
,
1,


2,6
3
.



1,2,2


3
3, 4
5,
2, 6
5, 6
12, 36
.
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
14
Arithmétique par intervalles
Fonctions élémentaires
Si f  cos, sin, sqr, sqrt, log, exp,  alors on définit
f

x
x| x  
x

f

sin

0, 

0, 1
,

2
sqr

2, 3
2, 3

0, 9
,

Exemple
abs

5, 1
0, 5
,

sqrt

13, 4
13, 4
0, 2
,
 
exp

0, 1
1, e
.

Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
15
Exemple de solveur : SIVIA
2
2 2 r
22 2 2 2
Résoudre
Solve
f
x,
yx

y
Solve f
x,Solve
yx
y r y r 2
f
x,
yx
where
r  r
rmin
ex:r
,
5,
max
where

r, rmin

ex:r
10

5,ex:r
10
where
r, r
max

r
r


5, 10
où
exemple
max
min
2
2
NoteNote
that that
f :R
R
f :R
R
Note
that
f : R 2 R
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
16
Contracteurs
Un opérateur C associé à une contrainte qui contracte un pavé
Pour une contrainte fx0 donnée on trouve

x c 
f1 
0
 
xC

x

Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
17
Propagation de contraintes
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
18
Applications









SLAM [Drocourt], [Porta], [Jaulin]
Localisation [Meizel]
Traitement d’image [Jaulin]
Estimation de paramètres [Walter], [Pronzato]
Etude de stabilité
Optimisation globale [Hansen]
Lancé de rayon [Florez]
Filtre particulaire intervalle [Bonnifait]
Intégration des équations différentielles
[Ramdani]
 Etude de la topologie d’ensembles [Delanoue]
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
19
Applications










SLAM - Ex: [F. Le Bars]
Localisation
Traitement d’image - Ex: [L. Jaulin – J. Sliwka]
Estimation de paramètres - Ex: [J.L. Paillat]
Etude de stabilité
Optimisation globale
Lancé de rayon
Filtre particulaire intervalle
Intégration des équations différentielles
Etude de la topologie d’ensembles
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
20
SLAM sous-marin offline
SLAM : Simultaneous Localization And Mapping
Expériences avec les sous-marins Redermor et Daurade du
GESMA
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
21
SLAM sous-marin offline
Données à notre disposition :
• Angles d’Euler, profondeur,
altitude, vitesses, quelques
positions GPS
• Détections d’amers sur les images
sonar (distance et temps)
Résultats voulus :
• Trajectoire du robot
• Position des amers dans la mer
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
22
SLAM sous-marin offline
Equations :
« Contraintes »
x  f
x, u
(evolution equation)
y  g
x
(observation equation)
#
zi  h
x, u, mi  (mark equation)
Propagation de contraintes :
• Evolution : forward et backward par rapport au temps (après
discrétisation)
• Observation : prise en compte des données GPS
• Mark : prise en compte des détections sonar
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
23
SLAM sous-marin offline
Résultats : enveloppe et centre de la
trajectoire et pavés englobant la
position des amers
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
24
Traitement d’image : Hough intervalle
y
x
Bouée
sous-marine
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
Détection de
contours
Détection du
cercle
13/04/2015
25
Traitement d’image : Hough intervalle
On cherche le cercle de paramètres x=(x1,x2,x3)
Contrainte pour chaque pixel p du contour
« Contrainte »
f
p, y
p 1 x 1 2 
p 2 x 2 2 x 23 0, x  
x
,p  
p
.
Système d’équations relaxé (CSP relaxé)
f
x, p 1 0
f
x, p 2 0
x
x
,
...
i, p i  
pi
.
f
x, p n 0
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
26
Traitement d’image : Hough intervalle
y
y
x
Détection du
cercle
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
x
Espace de
Paramètres
(X,Y)
13/04/2015
27
Estimation de paramètres
Robot de l’ISTIA à Angers [J.L.Paillat]
Problème: estimer q1 et q2
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
28
Estimation de paramètres
« Contrainte »
Contrainte entre q1 et q2 :
q 2 f
q 1 
L 21 K 2
2
L 1 cos

|q 1 |
K
résolution
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
29
Estimation de paramètres
Plus de variables
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
30
Avantages et inconvénients
 (+) Méthodes globales garanties
 (+) Calcul Parallèle :
– Ex : Implémentation sur GPU dans le cas du
lancé de rayon (images)
– Implémentation sur FPGA
 (+) Equations non-linéaires
 …
 (-) Ensembles solution parfois larges
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
31
Les robots de l’ENSIETA
 AUVs SAUC’ISSE et SARDINE : concours SAUC-E
 Meute de robots terrestres : robots JOG (enseignement),
CAROTTE
 Quadrirotor : associé à la meute de robots terrestres
 Voiliers : challenge Microtransat
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
32
Conclusion
 Méthodes très prometteuses dans le
domaine de la robotique
Calcul par intervalles et robotique à l’ENSIETA
13/04/2015
33