Transcript pertemuan 6

Materi Kuliah 6:
15.1 Fungsi Dua Variabel atau Lebih
15.2 Limit dan Kekontinuan
Pretest :
1. f ( x)  x 2  2 x  3
I.
x 1
2. f ( x) 
x4
Tentukan daerah
asal dan daerah
hasil fungsi f
dengan
3. f ( x)  x 2  4
4. f ( x)  ln(x  3)
5. f ( x)  e 2 x 1
6. f ( x)  sin(x 2  1)
1
II. Jika ada, tentukan
limitnya. Jika tidak
ada, beri alasannya.
1. Lim 3 x 2  4 x  1
x2
x2
2. Lim 2
x 1 x  1
x2  4
3. Lim
x  2 x  2
x2  x 1 1
4. Lim
x 1
x 1
III. Periksa
kekontinuan
fungsi berikut:
1. f ( x)  2 x 2  x  3
x4
2. f ( x) 
x 1
 x2 1
;x 1

3. f ( x)   x  1
4
; x 1

5. Lim 4  x 2
x2
6. Lim x   x
x2
2
15.1 Fungsi Dua Variabel atau Lebih
Definisi
- Daerah Asal dan Daerah Hasil
- Grafik (Gunakan Software Mathematica)
- Kurva Ketinggian
-
Pada Subbab ini akan dikaji fungsi dua variabel dari 4
sudut pandang :
1. Secara Verbal.
2. Secara Numerik (Tabel Nilai).
3. Secara Aljabar (Rumus Eksplisit).
4. Secara Visual (Grafik/Kurva Ketinggian).
3
Definisi 1 (Fungsi f : D → R) :
Suatu fungsi f dua variabel adalah suatu aturan yang
memadankan setiap pasangan terurut (x,y) Є D ke tepat
satu bilangan real z Є R yang dinyatakan sbg z = f(x,y).
Himpunan D adalah daerah asal fungsi f dan daerah
hasilnya adalah himpunan nilai-nilai z Є R,
ditulis { z | z = f(x,y), (x,y) Є D }
Catatan :
• z = f(x,y)
• Variabel x dan y disebut variabel bebas.
• Variabel z disebut variabel tak bebas.
4
Contoh 1.
Diketahui fungsi f dengan f ( x) =
4 - x2 - y 2 .
Tentukan :
a). Nilai fungsi f (-1,1).
b). Daerah asal fungsi f dan gambarkan daerah tersebut.
c). Daerah hasil fungsi f .
d). Gambarkan grafik fungsi f .
Jawab :
a). f (- 1,1) =
4 - 1- 1 =
2
b). Daerah asal fungsi f = {( x, y ) | x 2 + y 2 £ 4}
2
y
-2
2
x
-2
5
d). Daerah hasil fungsi f  {z | 0  z  2}
e). Gambar fungsi f (Gunakan Mathematica )
2
1
2
0
-1
1
-2
-2
0
-1
-1
0
1
2
-2
Contoh 2.
Berikut ini contoh fungsi 2 variabel yang disajikan secara
a) Verbal
Banyaknya output suatu proses produksi (P) dipengaruhi oleh
banyaknya buruh yang terlibat (P) dan banyaknya modal yang
ditanamkan (K).
6
b) Numerik
Tahun
P
L
K
1910
159
147
208
1911
153
148
216
1912
177
155
226
1913
184
156
236
1914
169
152
244
1915
189
156
266
1916
225
183
298
1917
227
198
335
1918
223
201
366
1919
218
196
387
1920
231
194
407
1921
179
146
417
1922
240
161
431
7
c) Aljabar: Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil,
didapat rumus eksplisit
0,25
0,75
P (L ,K )=1,01L K
d) Visual
300
200
300
100
200
0
0
100
100
200
300
0
Kurva Ketinggian
Definisi 2 (Kurva Ketinggian) :
Kurva ketinggian dari fungsi dua variabel f adalah kurvakurva dengan persamaan f(x,y) = k, dengan k adalah
konstanta dalam daerah hasil.
8
Contoh 3: P (L ,K ) 1,01L K
0,75
0,25
K
Taksir nilai fungsi
P(200,100)
P(100,200)
300
200
100
100
200
300
L
Contoh 4: soal no 31, halaman 339.
Taksir f(-3,3), f(3,-2), dan f(2,2).
9
15.2 Limit dan Kekontinuan
Definisi 3 (Limit Fungsi Dua Variabel) :
Misalkan f fungsi 2 variabel dengan daerah asal D
yang mencakup titik-titik yang dekat dengan (a,b).
Dikatakan
Lim
(x , y )  (a,b )
f (x , y )  L
jika untuk   0, terdapat bilangan   ( )  0 
f (x , y )  L  jika (x , y )D dan 0  (x a)2  ( y b )2  .
10
Ilustrasi :
y

D
(0,0)
(x,y)
f
(a,b)
x
0
(
)
L-ε L L+ε
11
Jika diberikan selang kecil (L  ,L  ) disekitar L , maka
dapat ditemukan cakram D dengan pusat (a,b ) dengan

jari-jari  >0 sehingga f memetakan setiap titik dalam D

(kecuali mungkin di (a,b )) ke dalam selang (L  ,L  ).
Catatan :
1. Ingat kembali Limit Fungsi 1 variabel
Lim ada  Lim f (x )  Lim f (x )
x c
x c 
x c 
2. Limit Fungsi 2 variabel
Lim f (x , y ) ada  (x , y )  (a,b )
(x , y )(a,b )
dari tak hingga arah / lintasan
f (x , y )  L
3. Jika f (x , y )  L dengan (x , y )  (a,b ) sepanjang lintasan C dan
1
1
f (x , y )  L dengan (x , y )  (a,b ) sepanjang lintasan C , dengan
2
2
L  L , maka Lim f (x , y ) tidak ada .
1 2
(x , y )(a,b )
12
Contoh 5.
Periksa apakah
Lim
(x , y ) (2,0)
xy  2y
ada ?
2
2
x  y  4x  4
Jawab
- Jika (2,0) didekati sepanjang sb-x , y  0, maka f (x ,0) 
0 0
(x  2)2
Akibatnya
f (x ,0)  0 saat (x , y )  (2,0) sepanjang sumbu-x .
- Jika (2,0) didekati sepanjang garis y  x  2 maka
2
f (x ,x  2)  x2 (x  2) 22(x  2)  (x  2) 2  1
x  (x  2)  4x  4 2(x  2) 2
Akibatnya
f (x , y )  1 saat (x , y )  (2,0) sepanjang garis y  x  2
2
xy  2y
Jadi (x , yLim
tidak ada.
) (a,b )
2
2
x  y  4x  4
13
Contoh 6.
2
xy
Diketahui fungsi f dengan f (x , y ) 
x 2 y 4
Periksa apakah (x , yLim
f (x , y ) ada ?
) (0,0)
Jawab :
f (x , y ) tidak ada
(periksa di lintasan y  x dan y  x 2).
Lim
(x , y ) (0,0)
Contoh 7.
2
Buktikan Lim x32x yy 2 ada
(x , y )(0,0)
- (x , y )  (0,0) sepanjang sumbu-x , y  0, memberikan
f (x ,0)  x02 untuk x  0, sehingga f (x , y ) 0
14
- (x , y )  (0,0) sepanjang kurva x  y 2,memberikan
y 5 = 3y3 untuk y  0, sehingga f (x , y )  0
f ( y 2, y )  y 34 
y 2 y 2 1
- (x , y )  (0,0) sepanjang kurva y  mx ,memberikan
3
3mx untuk x  0, sehingga f (x , y )  0
f (x ,mx )  x 23mx
=
2
2
m x m 2 1
bukan berarti
3x 2 y =0
Lim
(x , y ) (0,0) x 2  y 2
karena masih tak hingga banyak lintasan, tetapi kita curiga
sebagai berikut :
Misal   0, ingin dicari   ( )  0 
3x 2 y 0   bilamana 0  x 2  y 2 
x 2y 2
15
3x 2 y  bilamana 0  x 2  y 2 
x 2y 2
kita tahu bahwa
x 2 1 sehingga 3x 2 y  3 y  3 y 2  3 x 2  y 2
x 2y 2
x 2y 2
Jadi dipilih    .
3
0  x 2  y 2  menyebabkan
3 y x 2  3 x 2  y 2  3  
x 2y 2
menurut definisi 3
2y
3
x
Lim
=0
(x , y )  (0,0) x 2  y 2
16
Seperti fungsi 1 variabel, hukum Limit berlaku juga
untuk Limit Fungsi 2 variabel atau lebih.
1. Lim k  k ; k konstanta
( x, y)  (a, b)
2. Khusus Limit Fungsi 2 variabel
a) Lim x  a
( x, y)  (a, b)
b) Lim y  b
( x, y)  (a, b)
Contoh 8.
Tentukan
a) Lim 2xy2  y x3
( x, y)(1,1)
b) Lim x  y 2
4x  xy
( x, y)(2,1)
c) Lim 
( x, y)(0,3)
17
Lim x  y
b)
( x, y )  (2,1)
Lim 4 x  xy 2

2 1
4(2)  2(1) 2

3
3

8 2 10
( x, y )  (2,1)
c) Lim  
( x, y)(0,3)
Kekontinuan
Definisi 4 (Kekontinuan Fungsi Dua Variabel) :
1. Fungsi 2 variabel f dikatakan kontinu di (a,b ) jika
Lim f (x , y )  f (a,b )  1) f (a,b ) terdefinisi
(x , y )(a,b )
2) Lim f (x , y ) ada
(x , y )(a,b )
3) Lim f (x , y )  f (a,b )
(x , y )(a,b )
18
Catatan :
1.Dari definisi tersebut, jika f kontinu di (a,b) maka
Lim f (x, y) ada.
( x, y)(a,b)
2, fungsi 2 variabel f dikatakan kontinu pada D jika
f kontinu di setiap titik (x, y)D.
Catatan :
· seperti fungsi 1 variabel, fungsi berikut kontinu pada R 2 .
1. fungsi konstan
2. fungsi polinom
3. fungsi akar pangkat ganjil
4. fungsi sinus dan kosinus
5. fungsi eksponen
· fungsi rasional kontinu pada daerah asalnya.
19
Contoh 9.
Tentukan Lim (x 2  4x 3 y 5xy 2)
( x , y )  (5, 2)
Jawab :
karena f fungsi polinom kontinu pada R 2 , maka
Lim ( x2  4x3 y 5xy2)  52  4(53 )(2) 5(5)(2) 2 1075
( x, y)  (5, 2)
Contoh 10.
Tentukan Lim e-xy sin( z )
2
( x, y, z )  (3,0,1)
Jawab :
perhatikan f kontinu pada R3 , sehingga
Lim e-xy sin( z )  e0 sin( ) 1
2
2
( x, y, z )  (3,0,1)
20
Contoh 11. Dimana f kontinu ?
a). f (x , y )  x 2  y 2
b). f (x , y )  2x
x y
c). f (x , y )  ln(2x 3y )
2
2
x

y
d). f (x , y )  2 2 ; (x , y )  (0,0)
x y
0
; (x , y )=(0,0)
Jawab :
a). f fungsi polinom, jadi kontinu pada R 2
b). f fungsi rasional, jadi f kontinu pada daerah asalnya
yaitu (x , y )| y  x 2 
c). f fungsi logaritma, jadi f kontinu pada daerah asalnya
yaitu (x,y)|3y+2x>0  (x , y )| y  23 x 


d). f kontinu pada R \(0,0), karena
Lim f (x , y ) tidak ada (periksa !!!)
2
(x,y)  (0,0)
21
Post Test:
I. Diketahui fungsi f dengan f(x,y) = x2y + 1.
Tentukan f(1,-3), f(0,0) dan f(3a,a).
II. Tentukan daerah
1. f ( x, y )  x sin y
asal dan daerah hasil 2. f ( x, y )  xe xy
(daerah nilai) fungsi
1
3. f ( x , y ) 
f berikut
x  y2
4. f ( x , y )  4  x 2  y 2
5. f ( x , y ) 
y  x ln(x  y 2 )
1
6. f ( x , y , z ) 
1 x2  y2  z 2
22
III. Sketsakan kurva ketinggian dari fungsi f dengan
f(x) = x2 + 1 y2, untuk nilai k = 1, 4 dan 16.
4
IV.Jika ada, tentukan limitnya.
Jika tidak ada, beri alasannya.
1.
Lim ( x 2 y  3)
( x , y )(1, 1)
x2 y
2. Lim 4
( x , y ) ( 0 , 0 ) x  y 2
V. Periksa kekontinuan fungsi berikut.
1. f ( x, y )  y ln(1  x)
2. f ( x, y )  y 2 e 2 xy
3. f ( x, y )  x  y 2
x2  y2
4. f ( x, y ) 
x y
23
Latihan 15.1 (hal 337 – 341)
Nomor : 3, 10, 16, 30, 44
Latihan 15.2 (hal 349 – 350)
Nomor : 4, 7, 12, 17, 30
24