Transcript Conceitos e Aplic. do Met. Elem. Finitos - FEM

Introdução ao Método
dos Elementos Finitos
UNICAMP/DMC
Prof. Renato Pavanello
1- HISTÓRICO e INTRODUÇÃO
1.1 - Introdução :
“ O Método dos Elementos Finitos é um procedimento
numérico para Análise de Estruturas e Meios Contínuos ”
“ O Método dos Elementos Finitos é uma técnica utilizada
para obtenção de soluções aproximadas de Equações
Diferenciais ”
APLICAÇÕES:
Modelo para as
Cargas Aplicadas
Geometria
Irregular

- Domínio
( Eq. que governam
o problema )
Modelo para as
Condições de Contorno
Problemas que não admitem soluções analíticas (fechadas)
Na Indústria o MEF tem sido usado para otimização
de projetos nas seguintes áreas :
- Aeroespacial
- Aeronáutica
- Nuclear
- Automobilística
- Engenharia Civil
- Construção Naval / Offshore
- Previsão Metereológica
- Controle de Poluição
- Bio Engenharia
No âmbito da Engenharia Mecânica o MEF pode ser
situado da seguinte forma:
Ciências
Mecânicas
Descrever o comportamento de
sistemas físicos
Método dos
Elementos Finitos
Eq. a derivadas
parciais
Soluções /
Simulações
Eng. Preditiva
Sistema de Equações
Algébricas
Métodos de Resolução (utilização
intensiva do computador)
Campo de Aplicação :
* Análise de Tensões
* Transferência de Calor
* Escoamento de Fluidos
* Lubrificação
* Campos Elétricos e Magnéticos
* Interação Fluido / Solo Estruturas
* Contato e Choque
* Problemas de Fratura e Fadiga
- Resistência
dos Materiais
- Elasticidade
- Dinâmica
- Plasticidade
- Mecânica dos Fluidos ...
Mecânica
MEF
Análise
Numérica
Informática
Aplicada
Desenvolvimento e
Manutenção de
Grandes Programas
- Métodos de Aproximação
- Resolução de Sistemas
Lineares
- Problemas de Auto Valor Auto Vetor
Objetivo : “ Simular o Desempenho de um Produto e do seu
Meio Ambiente de Trabalho ”
1.2 Breve Histórico
Década 50 - Métodos Matriciais para Análise de Estruturas
Reticuladas (Barras e Vigas)
- RDM - Matriz de Rigidez do Elemento
- Equilíbrio / Compatibilidade
Matriz Global
Anos 50 - 60
( Computadores ) - MEF - Problemas Bidimensionais
( Aeronáutica )
Uso dos Teoremas de Energia.
- Princípio dos Trabalhos Virtuais
- Princípio de Hamilton
A Partir dos anos 60
( Rápida Evolução ) - Formulação Variacional
- Formulação por Resíduos Ponderados
- Evolução da Biblioteca de Elementos
* Elementos de Alta Precisão
( Hermite)
* Elementos de Lados Curvos
( Isoparamétricos)
- Aplicação em Problemas Não Lineares
- Aplicação em Problemas Não Estacionários
- Estruturas / Rochas / Solos /
Fluidos / Térmica
Atualmente :
* Utilização generalizada na Indústria e na Pesquisa
* Programas Comerciais Disponíveis
Solver - NASTRAN, ANSYS, ASKA, SAP,
COSMOS, ALGOR, ADINA, ...
Pré-Pós - EUCLID, PATRAN, ANSYS,
XLPLUS, SAPLOT, GEOSTAR, ...
* Desenvolvimento atual :
- Mecânica de Estruturas :
- Contato / Choque / Atrito
- Otimização Estrutural
- Interação Fluido / Solo / Estrutura
........
- Mecânica dos Fluidos :
- Escoamento Turbulento
- Escoamento Bifásico
- Problemas de Poluição
........
2 - O Método dos Elementos Finitos e Análise Estrutural
2.1 - Noções Básicas do MEF
“O Método dos Elementos Finitos é um procedimento numérico para
Análise de Estruturas e Meios Contínuos”
* O Método é baseado no conceito de DISCRETIZAÇÃO
* Exemplo de uma Barra de Seção Variável
* Objetivo : Obter o deslocamento do ponto B
y
y
1
A
B
A
2
3
4
B
x
x
Lt
Lt
Modelo Contínuo
Enfoque Clássico
Modelo Discreto
Solução Via MEF
Enfoque Clássico :
* Escrever equação diferencial da viga contínua de seção variável
* Resolver a equação para u(x) - Deslocamento Axial
* Calcular u( Lt ) - Deslocamento do ponto B
Solução Via M.E.F.
* Discretizar o sistema em N sub-domínios (Elementos Finitos, N = 4)
de seção constante
y
1
2
3
4
x
Lt
* Supor que u ( x ) varia linearmente em cada elemento
e
x
L
(Referência Local)
* Logo, a função u(x) é contínua por sub-regiões
* O deslocamento de cada elemento é calculado pela fórmula simples
:
u
onde:
PL
AE
P = Força axial, L = Comprimento do elemento
A = Área da seção, E = Módulo de Elasticidade
* O deslocamento total é a soma dos deslocamentos locais.
Comentários Gerais:
* Quanto maior o número de elementos melhor será a precisão.
* A idéia global consiste em substituir uma solução complexa para todo
o domínio na superposição de soluções simples em subdomínios.
* Exemplo de uma Estrutura Plana
* Objetivo : Calcular deslocamentos e tensões causadas por uma pressão
(P) aplicada
(v)y
y
P
Nó
x(u)
x
Modelo Contínuo
Modelo Discretizado
no Espaço
* Cada nó, neste modelo tem 2 GDL :
v - deslocamento na direção y
u - deslocamento na direção x
Nó
* Se o modelo tem n nós => 2n GDL ( 2n primeiros termos da série
infinita).
* Modelo Contínuo possue  graus de liberdade
* Forças são aplicadas nos nós - Força Modal Equivalente
(Distribuição não é constante !)
* Não pode-se permitir “FUROS” ou “INTERFERÊNCIAS”
=> “Compatibilidade” entre os elementos
deve ser garantida
O comportamento de cada elemento é fundamental
“ Poucos elementos de alta precisão podem fornecer melhores
resultados que um grande número de elementos pouco precisos ”
* A precisão dos elementos está ligada ao tipo de aproximação polinomial
escolhida :
Suporte Geométrico - Triangular
Aproximação Linear
  a1  a 2 x  a 3 y
Suporte Geométrico - Quadrilateral
Aproximação Linear
  a1  a 2 x  a 3 y  a 4 xy
Quadrático
  a1  a 2 x  a 3 y  a 4 x 2 
a 5 y 2  a 6 xy  a 7 x 2 y  a 8 y 2 x
* O objetivo do Método é determinar
 i => valor da função incógnita nos nós, ou valor modal de  .
Os valores de ai são determinados a partir de  i .
* Quanto mais fina a malha  i => se aproxima da solução exata  .
=> caso o elemento seja corretamente
formulado.
* De uma forma global, para cada problema existe um tipo de elemento
mais apropriado.
* “ O conhecimento do problema e a visão do engenheiro são os pré
requisitos básicos para definição da análise e interpretação dos
resultados. ”
“ O MEF e os Pacotes são apenas
ferramentas de análise ”
Principais Passos de uma Análise de E.F.
* Análise Linear Estática
Modelo Discreto
Geração de Malhas
Pré-Processamento
/ Prep-7
Características
dos Elementos
 K e ,
Fe 
Montagem do
Sistema Global
 K
Biblioteca de
Elementos
==> Matriz de Rigidez do Elemento
==> Vetor de Carga do Elemento
Ccndições de
Contorno
==> Matriz de Rigidez da Estrutura
/ Solu
Resolução do
Sistema Linear
q
/ Post 1
Sub-Programas
de Cálculo
Matricial
==> Vetor dos Deslocamentos Modais
Cálculo das Tensões
nos Elementos
Pós-Processamento
T
==> Tensões nos Elementos