Transcript Decomposição em frações parciais

Caso 2 – O polinômio do denominador possui fatores lineares repetidos
Considere 𝑓 𝑥 =
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
uma função racional própria onde
Q(x) possui fatores lineares repetidos. Se (𝑥 − 𝑥𝑖 ) possuir “r”
cópias, então 𝑥 − 𝑥𝑖 𝑟 produzirá uma soma na forma:
𝐴1
𝐴2
+
𝑥 − 𝑥𝑖
𝑥 − 𝑥𝑖
𝐴𝑟
+⋯
2
𝑥 − 𝑥𝑖
𝑟
Para os fatores lineares que não repetem usamos o que foi discutido no Caso 1.
2
𝑥. 𝑥 − 3
2
𝐴
𝐵
𝐶
= +
+
𝑥 𝑥−3
𝑥−3
4𝑥 − 3
𝑥−2 2 𝑥+5
3
=
2
𝐴
𝐵
+
𝑥−2
𝑥−2
2𝑥 2 + 5𝑥 + 7
𝑥+1 𝑥−1 𝑥+3
2
+
2
𝐶
𝐷
+
𝑥+5
𝑥+5
+
2
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
=
+
+
+
𝑥+1 𝑥−1 𝑥+3
𝑥+3
2
𝐸
𝑥+5
3
2
𝑥. 𝑥 − 3
2
=
𝐴
𝐵
𝐶
+
+
𝑥 𝑥−3
𝑥−3
2
Qual o significado das
estrelas?
Precisamos encontrar os valores das constantes A, B
e C.
2
2
𝐴=
=
𝑥 − 3 2 𝑥=0 9
Ao clicar nas interrogações (?) você
terá a oportunidade de ver uma
explicação detalhada. Use se
2
2
precisar.
𝐶=
=
𝑥 𝑥=3 3
Para encontrar a outra constante não podemos usar o mesmo método que usamos
para encontrar os valores de A e C. Para isso, partiremos do princípio que a igualdade
seguinte
2
𝑥. 𝑥 − 3
2
𝐴
𝐵
𝐶
= +
+
𝑥 𝑥−3
𝑥−3
2
Deve valer para TODOS os valores de “𝑥” que não anulam o denominador. Assim,
exceto 𝑥 = 0 e 𝑥 = 3 poderá fazer com que “𝑥” assuma qualquer outros valores. Por
exemplo: podemos fazer com que 𝑥 = 4 na igualdade acima (poderia ser outro valor
qualquer – que não torne o denominador nulo. Ficará assim
2
4. 4 − 3
2
=
𝐴
𝐵
𝐶
+
+
4 4−3
4−3
2
Hmmm... E por que será que não posso usar o mesmo método
aqui?
2
4. 4 − 3
2
𝐴
𝐵
𝐶
= +
+
4 4−3
4−3
2
De onde virá o seguinte:
1 1
= .𝐴 + 𝐵 + 𝐶
2 4
2
2
Como 𝐴 = 9 e 𝐶 = 3 então, substituindo, ficaremos com:
1 1 2
2
= . +𝐵+
2 4 9
3
2
9
Não terá dificuldade em perceber que 𝐵 = − . Desse modo
2
𝑥. 𝑥 − 3
2
2/9 −2/9
2/3
=
+
+
𝑥
𝑥−3
𝑥−3
2
Comandos do
MAXIMA
f : expressão
(atribui à letra “f” a expressão a ser
decomposta).
partfrac(f, variável)
(comando para decomposição em
frações parciais).
Prof. Luís Cláudio LA
As estrelas estão sendo usadas para mostrar a você quais constantes
podemos encontrar pelo método rápido.
As que não têm estrela são aquelas que irá encontrar o valor dela
atribuindo um valor qualquer (que não anule o denominador) para a
variável “x”, estabelecendo uma relação entre todos os parâmetros que
se encontram nos numeradores. Daí, usando os valores já conhecidos,
você descobrirá o valor das constantes sem a estrela. Isso ficará claro
com os exemplos.
Voltar.
..
Na igualdade
2
𝑥. 𝑥 − 3
2
𝐴
𝐵
𝐶
= +
+
𝑥 𝑥−3
𝑥−3
2
Multiplicando ambos os membros por “ 𝑥 − 3 2 ” ficaremos com
2. 𝑥 − 3
𝑥. 𝑥 − 3
2
2
𝐴. 𝑥 − 3
=
𝑥
2
𝐵. 𝑥 − 3
+
𝑥−3
2
𝐶. 𝑥 − 3 2
+
𝑥−3 2
Depois de simplificar ficará assim:
2 𝐴. 𝑥 − 3
=
𝑥
𝑥
2
+ 𝐵. (𝑥 − 3) + 𝐶
Essa relação deve ser válida para todos os valores de “x” que não anulem o denominador.
Em particular, se 𝑥 = 3 a primeira e a segunda parcela do segundo membro serão
anuladas e ficaremos com
2
2
𝐶=
=
𝑥
3
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𝑥=3
Na igualdade
2
𝑥. 𝑥 − 3
2
=
𝐴
𝐵
𝐶
+
+
𝑥 𝑥−3
𝑥−3
2
Multiplicando ambos os membros por “𝑥” ficaremos com
2. 𝑥
𝑥. 𝑥 − 3
2
=
𝐴. 𝑥
𝐵. 𝑥
𝐶. 𝑥
+
+
𝑥
𝑥−3
𝑥−3
2
Depois de simplificar ficará assim:
2
𝑥−3
2
=𝐴+
𝐵. 𝑥
𝐶. 𝑥
+
𝑥−3
𝑥−3
2
Essa relação deve ser válida para todos os valores de “x” que não anulem o
denominador. Em particular, se 𝑥 = 0 a segunda e a terceira parcela do segundo
membro se anularão e ficaremos com
2
2
𝐴=
=
𝑥 − 3 2 𝑥=0 9
Voltar...
Na igualdade
2
𝑥. 𝑥 − 3
2
𝐴
𝐵
𝐶
= +
+
𝑥 𝑥−3
𝑥−3
2
Multiplicando ambos os membros por “ 𝑥 − 3 ” ficaremos com
2. 𝑥 − 3
𝐴. 𝑥 − 3
𝐵. 𝑥 − 3
𝐶. 𝑥 − 3
=
+
+
𝑥. 𝑥 − 3 2
𝑥
𝑥−3
𝑥−3 2
Depois de simplificar ficará assim:
2
𝐴. 𝑥 − 3
𝐶
=
+𝐵+
𝑥. 𝑥 − 3
𝑥
𝑥−3
O natural aqui era fazer 𝑥 = 3, mas não podemos pois esse valor anula o denominador.
Por isso não é possível encontrar o valor de B diretamente.
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