Transcript Materi VIII-IX Pendugaan Parameter

Metode Statistika
Pertemuan VIII-IX
Statistika Inferensia:
Pendugaan Parameter
Pendahuluan
• Beberapa kasus yang akan dipelajari dalam sesi ini adalah:
– Menduga besarnya parameter populasi
Misal :
• Menduga rata-rata pendapatan per kapita
• Menduga proporsi pengguna HP
• dll
– Menduga beda parameter populasi
Misal :
• Menduga beda rata-rata pendapatan per kapita antara propinsi
Jawa Barat dengan DKI Jakarta
• Menduga beda proporsi pengguna minyak tanah masyarakat
pedesaan dengan masyarakat perkotaan.
• dll
Penduga Parameter
• Secara garis besarnya penduga parameter
dibedakan menjadi 2, yaitu:
– Penduga titik yaitu parameter populasi diduga
dengan suatu besaran statistik tertentu,
seperti rata-rata, proporsi, ragam, dll
– Penduga Selang yaitu parameter populasi diduga
dengan menggunakan selang nilai tertentu
dengan penduga titik sebagai titik tengah
selang. Lebar selang sangat tergantung tingkat
kepercayaan yang diinginkan dan standar error
dari penduga titik.
Sifat Penduga Parameter
• Penduga parameter yang diharapkan adalah
bersifat BLUE
– Best (terbaik) yaitu penduga parameter memiliki ragam
penduga terkecil
Min Var( ˆ )
– Linear yaitu penduga parameter merupakan kombinasi
linier dari pengamatan
ˆ =a1x1+a2x2+…+anxn
– Unbiased (tidak berbias) yaitu nilai harapan dari penduga
parameter sama dengan parameternya
E(ˆ )= 
Pendugaan Parameter:
Kasus Satu Sampel
Penduga Rata-rata populasi (µ):
Penduga Titik:


x , SE( x )  s x  s / n
n
s
2


x

x
 i
i 1
n 1
Penduga Selang:
Selang kepercayaan (1-)100% bagi 
Jika
2
diketahui:
x  z 2

n
Jika 2 tdk diketahui: x  t 2 ( n1)
   x  z 2
s
n

   x  t 2( n1)
n
s
n
Contoh 1:
Survei dilakukan terhadap 20 RT disuatu kota untuk menduga
besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT). Datanya
diperoleh sebagai berikut:
RT
Biaya
Pendidikan
(juta Rp)
RT
Biaya
Pendidikan
(juta Rp)
a.
b.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,30
4,50
4,00
5,00
3,80
7,20
6,25
5,75
6,70
7,80
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
6,80
5,30
8,00
15,10
13,20
4,50
2,00
4,70
5,75
10,10
Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun
Buatlah selang kepercayaan 95%, asumsikan biaya pendidikan
mengikuti sebaran normal.
Jawab:
a. Penduga rata-rata biaya pendidikan
ˆ  x  6.44
b. Selang kepercayaan 95%
sx  s /
n  3,275422/
20  0,732407
t( 0, 05 / 2;db 19 )  2,093
6,44  2,093x0,732    6,44  2,093x0,732
4,905    7,970
Pendugaa Parameter:
Kasus Dua Sampel Saling Bebas
Penduga Beda Rata-rata Populasi (µ1-µ2)
Penduga titik:
1  2 ˆ ( x1  x2 )
Dengan standard error:
a. Jika Ragam populasi satu (12 ) dan dua (22 ) diketahui
 (x x
1
2
)

 12
n1

 22
n2
b. Jika ragam populasi tidak diketahui, tapi diasumsikan sama
s( x1  x2 )  s g
1 1

n1 n2
(n1  1) s12  (n2  1) s22
sg 
n1  n2  2
c. Jika ragam populasi tidak diketahui, tapi diasumsikan
ragam populasi tidak sama
s( x1  x2 ) 
s12 s22

n1 n2
Penduga Selang:
Selang kepercayaan (1-)100% bagi 1-2:
a. Jika 1 dan 2 diketahui :
 12  22
 12  22
( x1  x2 )  z 2

 1   2  ( x1  x2 )  z 2

n1 n2
n1 n2
b. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan sama:
( x1  x2 )  t 2 ( v ) s
s
2
gab
2
gab
1 1
1
2  1
    1   2  ( x1  x2 )  t 2 ( v ) s gab   
 n1 n2 
 n1 n2 
(n1  1)s12  (n2  1)s22

dan v  n1  n2  2
n1  n2  2
c. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama:
( x1  x2 )  t 2 ( v )
 s12 s22 
    1   2  ( x1  x2 )  t 2 ( v )
 n1 n2 
2
v
 s 2  2
 1 n 
1

2
 s12

s
 n  2n 
1
2

  s 2  2
n1  1   2 n 
2
 

n2  1

 s12 s22 
  
 n1 n2 
Contoh
Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton
saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih
kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya
lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10
lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak
karton. Datanya adalah :
–
–
Persh. A
30
35
50
45
60
25
45
45
50
40
Persh. B
50
60
55
40
65
60
65
65
50
55
Dugalah beda kekuatan karton kedua perusahaan, dan hitung standar
errornya
Buatlah selang kepercayaan 95% bagi beda kekuatan karton kedua
perusahaan
Jawab:
30  35    40
x1 
 42,5
10
50  60    55
x2 
 56,5
10
s 
n x12   xi 
s 
n x22   xi 
2
2
1
n(n  1)
2
2
2
n(n  1)
10(19025)- (425)2

 106.94
10(9)
10(32525)- (565)2

 66.94
10(9)
1  2 ˆ x1  x2  42,5  56,5  14
s( x1  x2 ) 

s12 s22
106,94 66,94



n1 n2
10
10
173,88
 4.17
10
Penduga beda
rata-rata populasi
Dan standard error
• Selang kepercayaan 95%
(s12 / n1  s22 / n2 ) 2
(10.342 / 10  8.182 / 10) 2
db  2

 17,10  17
(s1 / n1 ) 2 /(n1  1)  (s22 / n2 ) 2 /(n2  1) (10.342 / 10) 2 / 9  (8.182 / 10) 2 / 9
( x1  x2 )  t( 0.05 / 2;dbeff ) s( x1  x2 )
 14  1,740x 4,17
 14  7.2558
 21,2558;6,7442
Pendugaan Parameter:
Kasus dua sampel berpasangan
Penduga Rata-rata populasi berpasangan (µd)
Pasangan
1
2
3 …
n
Sampel 1 (X1)
x11
x12
x13
x1n
Sampel 2 (X2)
x21
x22
x23
x2n
D = (X1-X2)
d1
d2
d3
dn
n
 d ˆ d , d 
sd2 
 d
d
i 1
d
i
n
2
i
i
n 1
dan d i  x1i  x2i
Penduga Selang
Selang kepercayaan (1-)100% bagi d
d  t 2 ( n 1)
sd
s
  D  d  t 2 ( n 1) d
n
n
Perhatikan: setelah beda kedua sampel dihitung secara
berpasangan terlihat proses analisisnya sama dengan
kasus satu sampel.
Contoh:
Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program
diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk
mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang
diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program
diet dilaksanakan, yaitu:
Berat Badan
Peserta
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sebelum (X1)
90
89
92
90
91
92
91
93
92
91
Sesudah (X2)
85
86
87
86
87
85
85
87
86
86
D=X1-X2
5
3
5
4
4
7
6
6
6
5
Dugalah rata-rata beda berat badan sebelum dan sesudah
mengikuti program diet, lengkapi dengan selang kepercayaan
95%!
Jawab: