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頻率域
課程名稱：影像處理
任課老師：王圳木 老師
影像處理簡介
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-1 頻域及傅立葉轉換
4-2 頻域平滑濾波器
4-3 頻域銳化濾波器
4-4 同態濾波器
4-5 理論實踐
4-5
2
4-1 頻域與傅立葉轉換
簡介
4-1
精神：一個不規則
的波形是經由數個
不同的諧波所組成
的。
4-2
4-3
4-4
4-5
3
4-1 頻域與傅立葉轉換
ㄧ維傅利葉轉換與反轉換
簡介
4-1
定義連續函數f(x)的傅利葉轉換
F (u)  


4-2
4-3
4-4
4-5
f ( x)e j 2 ux dx
(4.1-1)
其中j=√-1，f(x)為連續可積分函數，F(u)為可積分函數。
就影像處理而言，f(x)經常為實數函數，F(u)則一般為複
數函數。

f ( x)   F (u) e j 2 ux du

(4.1-2)
4
4-1 頻域與傅立葉轉換
一維傅立葉轉換與反轉換
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
一維傅立葉轉為二維之公式：
F (u, v)  



 
f ( x)e j 2 (ux vy ) dxdy
(4.1-3)
F (u, v)e j 2 (ux vy ) dudv
(4.1-4)
反轉換為
f ( x, y)  



 
一維傅立葉轉換的離散公：
1
F (u ) 
M
M 1

f ( x)e j 2 ux / M
u=0,1,2,……,M-1 (4.1-5)
x 0
M 1
f ( x)   F (u)e j 2 ux / M
x=0,1,2,…....,M-1 (4.1-6)
u 0
5
4-1 頻域與傅立葉轉換
一維傅立葉轉換與反轉換
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
接傅立葉轉換與頻率關係的尤拉式
e j  cos  j sin 
(4.1-4)
代入(4.4-5)得
1
F (u ) 
M
M 1
 f ( x)[cos 2 x / M  j sin 2 x / M ]
(4.1-4)
x 0
4-5
6
4-1 頻域與傅立葉轉換
一維傅立葉轉換與反轉換
簡介
傅立葉轉換F(u)的極座標表示式：
4-1
F (u)  F (u) e j (u )
(4.1-9)
4-2
F (u)  [R2 (u)  I 2 (u)]1/ 2
(4.1-10)
4-3
4-4
4-5
φ為相位角
I (u )
 (u )  tan [
]
R(u )
1
(4.1-11)
功率頻譜則定義為
P (u )  F (u )  R 2 (u )  I 2 (u )
2
(4.1-12)
7
4-1 頻域與傅立葉轉換
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
傅立葉相關推導以及轉換公式請自行參考工程數學的書籍
8
4-1 頻域與傅立葉轉換
一維傅立葉轉換與反轉換
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
對一個連續函數f(x)以每Δx間隔取樣可得
f ( x0  xx)
f ( x)
(4.1-13)
對應的傅立葉轉換F(u)為
F (uu)
F (u)
(4.1-14)
Δx與Δu關係為
u 
1
M x
(4.1-15)
9
4-1 頻域與傅立葉轉換
二維傅立葉轉換與反轉換
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
二維離散傅立葉轉換
1
F (u, v) 
MN
M 1 N 1
 j 2 ( ux / M  vy / N )
f
(
x
,
y
)
e

(4.1-16)
x 0 y 0
M 1 N 1
f ( x, y )    F (u, v)e j 2 (ux / M vy / N )
(4.1-17)
u 0 v 0
頻譜、相位角與功率頻譜
F (u, v)  [ R 2 (u, v)  I 2 (u, v)]1/ 2
(4.1-18)
I (u, v)
]
R(u, v)
(4.1-19)
P(u, v)  F (u, v)  R 2 (u, v)  I 2 (u, v)
(4.1-20)
 (u, v)  tan 1[
2
10
4-1 頻域與傅立葉轉換
二維傅立葉轉換與反轉換
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
[ f ( x, y )(1) x  y ]  F (u  M / 2, v  N / 2)
1
F (0, 0) 
MN
(4.1-21)
M 1 N 1
  f ( x, y )
(4.1-22)
x 0 y 0
F (u, v)  F * (u, v)
(4.1-23)
F (u, v)  F (u, v)
(4.1-24)
1
u 
M x
1
v 
N y
(4.1-25)
(4.1-26)
11
4-1 頻域與傅立葉轉換
二維傅立葉轉換與反轉換
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
12
4-1 頻域與傅立葉轉換
頻域濾波
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
13
4-1 頻域與傅立葉轉換
頻域濾波
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
頻域濾波原理
頻域濾波之步驟
1. 如(4.1.21)式對原影像乘上(-1)x+y，將轉換後原點置於影
像中心。
2. 將步驟(1)所得之影像進行DFT，求得F(u,v)。
3. 對F(u,v)乘上一過濾器函數H(u,v)。
G(u, v)  H (u, v) F (u, v)
4. 將步驟(3)所得之結果進行DFT反轉換。
1
Filtered Image =   [G(u, v)]
5. 將步驟(4)所得結果之實數部。
6. 將步驟(5)所得結果乘上(-1)x+y。
(4.1-27)
(4.1-28)
14
4-1 頻域與傅立葉轉換
頻域濾波
簡介
頻域濾波原理
頻域濾波之步驟
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
15
4-1 頻域與傅立葉轉換
頻域濾波
簡介
4-1
4-2
凹口型濾波器(Notch Filter)
0
H (u, v)  
1
if (u, v)  ( M / 2, N / 2)
(4.1-29)
otherwise
4-3
4-4
4-5
16
4-1 頻域與傅立葉轉換
頻域濾波
簡介
低通濾波器(Lowpass Filter)與高通濾波器(Highpass Filter)
4-1
4-2
Lowpass Filter
4-3
4-4
Highpass Filter
4-5
17
4-1 頻域與傅立葉轉換
頻域濾波
簡介
低通濾波器(Lowpass Filter)與高通濾波器(Highpass Filter)
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
18
4-1 頻域與傅立葉轉換
頻域與空間域濾波之對應關係
簡介
捲積定理(Convolution Theorem)
離散二維捲積運算
M 1 N 1
4-1
f ( x, y)* h( x, y)   f (m, n)h( x  m, y  n)
捲積與乘法運算
4-2
4-3
4-4
4-5
(4.1-30)
m0 n 0
f ( x, y)* h( x, y)  F (u, v) H (u, v)
f ( x, y)h( x, y)  F (u, v)* H (u, v)
(4.1-31)
(4.1-32)
脈衝函數(Impulse Function)
M 1 N 1
 s( x, y) A ( x  x , y  y )  As( x , y )
x 0 y 0
0
0
0
(4.1-33)
0
對於一個函數以脈衝函數進行捲積運算即是“複製”該函數在脈衝函
數
M 1 N 1
所在位置的函數值。
(4.1-34)
 s( x, y) ( x, y)  s(0,0)
x 0 y 0
19
4-1 頻域與傅立葉轉換
頻域與空間域濾波之對應關係
簡介
頻域濾波器與空間域遮罩
位於原點的單位脈衝函數其傅立葉轉換
4-1
4-2
4-3
1
F (u, v) 
MN
M 1 N 1
 j 2 ( ux / M  vy / N )

(
x
,
y
)
e


x 0 y 0
1
MN
(4.1-35)
利用(4.1-30)與(4.1-34)，濾波器h(x,y)與脈衝函數捲積運算
4-4
4-5
1
f ( x, y)* h( x, y ) 
MN
M 1 N 1
 (m, n)h( x  m, y  n) 
m0 n 0
1
h( x, y ) (4.1-36)
MN
20
4-1 頻域與傅立葉轉換
頻域與空間域濾波之對應關係
簡介
4-1
頻域濾波器與空間域遮罩
基於捲積定理與脈衝函數的性質，我們可以推導出頻域濾
波器與空間域遮罩互為一對傅立葉轉換：
4-2
4-3
4-4
f ( x, y)* h( x, y)  F (u, v) H (u, v)
 ( x, y)* h( x, y)  [ ( x, y)]H (u, v)
h( x, y)  H (u, v)
(4.1-37)
4-5
21
4-1 頻域與傅立葉轉換
頻域與空間域濾波之對應關係
簡介
高斯函數濾波器
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
H (u )  Ae
 u 2 / 2 2
h( x)  2 Ae
H (u )  Ae
2 2 2 x 2
 u 2 / 212
h( x) 2 1 Ae
(4.1-38)
 Be
2 212 x 2
(4.1-39)
 u 2 / 2 22
 2 2 Be
(4.1-40)
2 2 22 x 2
(4.1-41)
22
4-1 頻域與傅立葉轉換
頻域與空間域濾波之對應關係
簡介
高斯函數濾波器
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
23
4-2 頻域平滑濾波器
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
G(u,v)=H(u,v)F(u,v)
H(u,v)為零向位偏離濾波器
理想低通濾波器
Butterworth低通濾波器
高斯(Gaussian)低通濾波器
(4.2-1)
4-5
24
4-2 頻域平滑濾波器
理想低通濾波器(ILPF)
簡介
4-1
1 if D(u, v)  D0
H (u , v)  
0 if D(u, v)  D0
(4.2-2)
D(u , v)  [(u  M / 2) 2  (v  N / 2) 2 ]1/ 2
(4.2-3)
4-2
4-3
4-4
4-5
25
4-2 頻域平滑濾波器
理想低通濾波器(ILPF)
簡介
4-1
4-2
M 1 N 1
PT    P(u, v)
(4.2-4)
  100[ P(u, v) / PT ]
(4.2-5)
u 0 v 0
u
v
4-3
4-4
4-5
26
4-2 頻域平滑濾波器
理想低通濾波器(ILPF)
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
27
4-2 頻域平滑濾波器
理想低通濾波器(ILPF)
簡介
頻域與空間域的對應
4-1
4-2
G(u, v)  H (u, v) F (u, v)
g ( x, y)  h( x, y)* f ( x, y)
4-3
4-4
4-5
28
4-2 頻域平滑濾波器
Butterworth低通濾波器(BLPF)
簡介
4-1
4-2
H (u, v) 
1
1  [ D(u, v) / D0 ]2 n
(4.2-6)
截斷頻率D0則定義為使H(u,v) = 0.5 之D(u,v) = D0
4-3
4-4
4-5
29
4-2 頻域平滑濾波器
Butterworth低通濾波器(BLPF)
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
30
4-2 頻域平滑濾波器
Butterworth低通濾波器(BLPF)
簡介
高次濾波器所產生的環狀效應
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
31
4-2 頻域平滑濾波器
高斯(Gaussian)低通濾波器(GLPF)
簡介
4-1
4-2
H (u, v)  e
 D 2 ( u , v ) / 2 2
H (u, v)  e
 D 2 ( u , v ) / 2 D02
(4.2-7)
(4.2-8)
高斯濾波器無環狀效應
4-3
4-4
4-5
32
4-2 頻域平滑濾波器
高斯(Gaussian)低通濾波器(GLPF)
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
33
4-2 頻域平滑濾波器
其他低通濾波器之應用例
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
34
4-2 頻域平滑濾波器
其他低通濾波器之應用例
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
35
4-2 頻域平滑濾波器
其他低通濾波器之應用例
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
36
4-3 頻域銳化濾波器
簡介
Hhp (u, v)  1  Hlp (u, v)
(4.3-1)
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
37
4-3 頻域銳化濾波器
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
38
4-3 頻域銳化濾波器
理想高通濾波器(IHPF)
簡介
4-1
0 if D(u, v)  D0
H (u, v)  
1 if D(u, v)  D0
(4.3-2)
4-2
4-3
4-4
4-5
39
4-3 頻域銳化濾波器
Butterworth高通濾波器(BHPF)
簡介
4-1
H (u, v) 
1
1  [ D0 / D(u, v)]2 n
(4.3-3)
4-2
4-3
4-4
4-5
40
4-3 頻域銳化濾波器
高斯(Gaussian)高通濾波器(GHPF)
簡介
 D2 (u ,v )/ 2 D02
H (u, v)  1  e
(4.3-3)
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
41
4-3 頻域銳化濾波器
頻域之拉普拉辛(Laplacian)運算
簡介
4-1
4-2
d n f ( x)
n
[
]

(
ju
)
F (u )
n
dx
d 2 f ( x, y ) d 2 f ( x, y )
2
2
[

]

(
ju
)
F
(
u
,
v
)

(
jv
)
F (u, v)
2
2
dx
dy
4-3
4-4
4-5
 (u  v ) F (u , v)
2
2
(4.3-5)
(4.3-6)
[ 2 f ( x, y )]  (u 2  v 2 ) F (u , v)
(4.3-7)
H (u , v)  (u 2  v 2 )
(4.3-8)
H (u , v)  [(u  M / 2) 2  (v  N / 2) 2 ]
(4.3-9)
42
4-3 頻域銳化濾波器
頻域之拉普拉辛(Laplacian)運算
簡介
4-1
 2 f ( x, y )  1 [(u  M / 2) 2  (v  N / 2) 2 ]F (u, v)
(4.3-10)
4-2
 2 f ( x, y )  [(u  M / 2) 2  (v  N / 2) 2 ]F (u, v)
(4.3-11)
4-3
4-4
影像之銳化可以下式達成
g ( x , y )  f ( x , y )   2 f ( x, y )
(4.3-12)
g ( x, y )  1 1  [(u  M / 2) 2  (v  N / 2) 2 ]F (u, v)
(4.3-13)
4-5
43
4-3 頻域銳化濾波器
頻域之拉普拉辛(Laplacian)運算
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
44
4-3 頻域銳化濾波器
頻域之拉普拉辛(Laplacian)運算
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
45
4-3 頻域銳化濾波器
Unsharp Masking, High-Boost與High-Frequency濾波
簡介
Unsharp Masking濾波
4-1
f hp ( x, y )  f ( x, y )  f lp ( x, y )
(4.3-14)
4-2
High-Boost濾波
f hp ( x, y )  Af ( x, y )  f lp ( x, y )
(4.3-15)
4-3
Unsharp Masking與High-Boost濾波之關係
4-4
f hb ( x, y )  ( A  1) f ( x, y )  f ( x, y )  f lp ( x, y )
(4.3-16)
4-5
f hb ( x, y )  ( A  1) f ( x, y )  f hp ( x, y )
(4.3-17)
H hp (u , v)  1  H lp (u , v)
(4.3-18)
H hb (u , v)  ( A  1)  H hp (u , v)
(4.3-19)
46
4-3 頻域銳化濾波器
Unsharp Masking, High-Boost與High-Frequency濾波
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
47
4-3 頻域銳化濾波器
Unsharp Masking, High-Boost與High-Frequency濾波
簡介
4-1
High-Frequency濾波
Hhfe (u, v)  a  bHhp (u, v)
(4.3-20)
4-2
4-3
4-4
4-5
48
4-4 同態濾波器
簡介
4-1
4-2
4-3
4-4
應用照明反射影像模型在頻率領域同時進行
f ( x, y)  i( x, y)r ( x, y)
(4.4-1)
i(x,y): slow spatial variation low frequencies
dynamic range
r(x,y): abrupt spatial variation high frequency
contrast
4-5
49
4-4 同態濾波器
簡介
4-1
4-2
4-3
[ f ( x, y )]  i ( x, y ) r ( x, y )
z ( x, y )  ln f ( x, y )  ln i ( x, y )  ln r ( x, y )
(4.4-2)
(4.4-3)
 z ( x, y )  ln f ( x, y )  ln i ( x, y )  ln r ( x, y )
(4.4-4)
Z (u , v)  Fi (u , v)  Fr (u , v)
(4.4-5)
以H(u,v)對Z(u,v)進行處理，得到
S (u , v)  H (u , v) Z (u , v)  H (u , v) Fi (u , v )  H (u , v ) Fr (u , v )
4-4
因此在空間域中
4-5
s ( x, y )  1 S (u , v)  1  H (u , v) Fi (u , v)  1  H (u , v) Fr (u , v)
(4.4-6)
(4.4-7)
50
4-4 同態濾波器
簡介
i '( x, y )  1  H (u, v) Fi (u, v)
(4.4-8)
4-1
r '( x, y )  1 H (u , v) Fr (u, v)
(4.4-9)
4-2
s ( x, y )  i '( x, y )  r '( x, y )
(4.4-10)
4-3
4-4
4-5
如此則所求之影像為g(x,y)
g ( x, y )  e s ( x , y )  ei ( x , y )  e r '( x , y )  i0 ( x, y )r0 ( x, y )
(4.4-11)
其中
i0 ( x, y )  ei '( x , y )
(4.4-12)
r0 ( x, y )  e r '( x , y )
51
4-4 同態濾波器
簡介
4-1
4-2
H (u, v)  (rH  rL )[1  e
 c ( D2 ( u .v ) / D02 )
]  rL
(4.4-103)
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4-4
4-5
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4-4 同態濾波器
簡介
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