Transcript Системы счисления

Системы счисления
Определения
Система счисления – это способ записи чисел с помощью
специальных знаков – цифр.
Числа:
123, 45678, 1010011, CXL
Цифры:
0, 1, 2, …
I, V, X, L, …
Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Типы систем счисления:
 непозиционные – значение цифры не зависит от ее
места (позиции) в записи числа;
 позиционные – зависит…
2
Древнеегипетская система счисления выглядела так:
Пример:
- число 345.
Непозиционные системы
Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день,
1 камень, 1 баран, …)
Римская:
I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони),
L – 50,
C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)
5
Римская система счисления
Правила:
 (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
 если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей,
она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MDCXLIV =
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 = 1644
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
MM
CCC
LXXX
IX
2389 = M M C C C L X X X I X
6
В римской системе счисления для обозначения чисел
используются заглавные латинские буквы, являющиеся
«цифрами» этой системы счисления:
1
5
10
50
100
500
1000
I
V
X
L
C
D
M
Число в римской системе счисления обозначается
набором стозначений ящих подряд «цифр». Значение
числа равно:
• сумме идущих подряд нескольких одинаковых «цифр»
(назовем их группой первого вида);
• разности значений большей и меньшей «цифр», если
слева от большей «цифры» стоит меньшая (группа
второго вида);
• сумме значений групп и «цифр», не вошедших в
группы первого и второго видов.
Примеры.
1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид:
XXXII = (X+X+X)+(I+I) =30+2
2. Число 444 в римской системе счисления имеет вид:
CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) (= 400 + 40 + 4
3. Число 1974:
MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X++X)+(V-I)= 1000+900+50+20+4
4. Число 2005:
MMV = (M+M) +V = 1000+1000+5
Примеры:
3768 = МММDCCLXVIII
2983 = MMCMLXXXIII
1452 = MCDLII
1999 = MCMXCIX
9
Задание (непозиционные системы счисления):
1.А. С. Пушкин родился в MDCCXCIX году?
2. Вычислите и ответ запишите с помощью римских
цифр:
a) MCM - XC =
б) LX + XXVIII =
в) CXLVII - XXIII =
г) IX +MC =
3. Запишите десятичные числа в римской системе
счисления:
a)145 = b) 473 = с)1948 =
4. Переведите числа из римской системы
счисления в десятичную:
a) MCMXCIX = б) CMLXXXVIII = в) MCXLVII =
Римская система счисления
Недостатки:
 для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые
знаки-цифры (V, X, L, C, D, M)
 как записать дробные числа?
 как выполнять арифметические действия:
CCCLIX + CLXXIV =?
Где используется:
 номера глав в книгах:
 обозначение веков: «Пираты XX века»
 циферблат часов
11
Славянская система счисления
алфавитная система счисления (непозиционная)
Часы
Суздальского
Кремля
12
Позиционные системы
Позиционная система: значение цифры определяется ее
позицией в записи числа.
Десятичная система:
первоначально – счет на пальцах
изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Основание (количество цифр): 10
Алфавит – это набор цифр, используемых в системе счисления.
Основание – это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).
Разряд – это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел
нумеруются с нуля справа налево.
сотни десятки единицы
2 1 0
разряды
= 3·102 + 7·101 + 8·100
3 7 8
300
70
8
13
Позиционные системы
6375 = 6⋅103 + 3⋅102 + 7⋅101 + 5⋅100
Чтобы определить число, записанное в позиционной системе
счисления, нужно значение каждой цифры умножить на
основание системы счисления в степени, равной разряду, и
сложить полученные величины.
Число 6375 можно представить в другой форме
(схема Горнера):
6375 = ((6⋅10 + 3)⋅10 + 7)⋅10 + 5
Другие позиционные системы:
•двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная
(информатика)
•двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12
пенсов)
•двадцатеричная (1 франк = 20 су)
14
•шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)
Алфавит десятичной, двоичной, восьмеричной и
шестнадцатеричной систем счисления
Система счисления
Основание
Алфавит цифр
Десятичная
10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная
2
0, 1
Восьмеричная
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная
16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Соответствие десятичной, двоичной, восьмеричной и
шестнадцатеричной систем счисления
p=10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
p=2
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
p=8
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
p=16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.
При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы
обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:
12310 — это число 123 в десятичной системе счисления;
11110112 — то же число, но в двоичной системе.
Двоичное число 1111011 можно расписать в виде: 11110112 = 1*26 + 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20.
Перевод чисел из одной системы
счисления в другую
Чтобы перевести число из позиционной системы счисления с
основанием p в десятичную, надо представить это число в виде
суммы степеней p и произвести указанные вычисления в
десятичной системе счисления.
Например, переведем число 10112 в десятичную систему счисления. Для этого
представим это число в виде степеней двойки и произведем вычисления в
десятичной системе счисления.
10112 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110
Рассмотрим еще один пример. Переведем число 52,748 в десятичную систему
счисления.
52,748 = 5*81 + 2*80 + 3*8-1 + 4*8-2 = 5*8 + 2*1 + 7*1/8 +4*1/49 = 40 + 2 + 0,875 + 0,0625
= 42,937510
Перевод целого числа из двоичной системы
счисления в десятичную.
Пример.
1012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 1*4 + 0 +1 = 510
Задание 1.
Переведите число 1011012 в десятичную систему
счисления.
Решение.
1011012=1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20=32+8+4+1=4
510
Ответ: 1011012=4510
Перевод чисел из одной системы
счисления в другую
Перевод из десятичной системы счисления
в систему счисления с основанием p
осуществляется
последовательным
делением десятичного числа и его
десятичных частных на p, а затем
выписыванием последнего частного и
остатков в обратном порядке.
Переведем десятичное число 2010 в
двоичную систем счисления (основание
системы счисления p=2). В итоге
получили 2010 = 101002.
Перевод целых чисел
Двоичная система:
Алфавит: 0, 1
Основание (количество цифр): 2
10  2
19
18
1
2
9
8
1
2
4
4
0
2
2
2
0
2  10
43210
19 = 100112
2
1
0
система
счисления
2
0
1
разряды
100112 = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19
21
Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную.
Алгоритм
1. Последовательно выполнить деление исходного целого десятичного
числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех
пор, пока не получится частное, меньшее делителя (т.е. меньшее 2).
2. Записать полученные остатки в обратной последовательности.
Пример.
32510 = 1010001012
Решение.
325 2
-324
162 2
1 -162
81 2
0
-80
40 2
1
-40
20 2
0
-20
10 2
0
-10
5 2
0
-4
2 2
1
-2 1
0
Задание 2.
Как представляется число 2510 в двоичной системе счисления?
1) 10012
2) 110012
3) 100112
4) 110102
Решение.
25 2
24
12 2
1 -12
6 2
0
-6
3 2
0
-2
1
1
2510=100112, что соответствует ответу №2.
Ответ: 2.
Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной,
восьмеричной и десятичной системах счисления.
?
Ответ:
102
Двоичная
28
Восьмеричная
210
Десятичная
Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной,
восьмеричной и десятичной системах счисления.
?
Ответ:
112
Двоичная
38
Восьмеричная
310
Десятичная
Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной,
восьмеричной и десятичной системах счисления.
?
Ответ:
1012
Двоичная
58
Восьмеричная
510
Десятичная
Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной,
восьмеричной и десятичной системах счисления.
?
Ответ:
1112
Двоичная
78
Восьмеричная
710
Десятичная
Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной,
восьмеричной и десятичной системах счисления.
?
Ответ:
10002
Двоичная
108
Восьмеричная
810
Десятичная
Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной,
восьмеричной и десятичной системах счисления.
?
Ответ:
10012
Двоичная
118
Восьмеричная
910
Десятичная
Задания:
Прочитайте стихотворение. Переведите встречающиеся в нем числительные из
двоичной системы счисления в десятичную.
Необыкновенная девчонка (А. Н. Стариков)
Ей было тысяча сто лет,
Она в 101-ый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила –
Все это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно,…
Но станет все совсем обычным,
Когда поймете наш рассказ.
Вопросы:
• У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а
старшему 1111 лет. Старший учится в 1001
классе. Может ли быть такое?
• Когда дважды два равно 100?
Перевод дробных чисел
10  2
0,375 = 0,0112
0,7 = ?
0,7 = 0,101100110…
 2
= 0,1(0110)2
0 ,750
0,75
Многие дробные числа нельзя представить в виде
конечных двоичных дробей.
 2
1 ,50
Для их точного хранения требуется бесконечное
число разрядов.
0,5
 2
Большинство дробных чисел хранится в памяти с
1 ,0
ошибкой.
2  10
2 1 0 -1 -2 -3
101,0112
2-2 =
1
разряды
= 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3
22= 0,25
= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375
32
Перевод дробного числа из двоичной системы
счисления в десятичную.
Пример.
111,012 = 1*22 + 1*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2 = 1*4 + 1*2 +1+ 0*
1
2
+1*
1
4
=
= 4+2+1+0,5+0,25 = 7,7510
Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в
двоичную.
Алгоритм.
•
Последовательно умножать (в исходной системе счисления) данное
число и получаемые дробные части произведений на основание новой
системы (на 2) до тех пор, пока дробная часть произведения не станет
равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления
данного числа.
•
Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами в числа в
новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой
системе счисления.
•
Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с
целой части первого произведения.
Пример.
0,562510 = 0,10012.
Решение.
Пример.
0,710 ≈ х 2
Решение.
…
0,
0
,
1
х
1
х
0
х
0
х
1
х
5625
2
1250
2
2500
2
5000
2
0000
х
0
х
1
х
1
х
0
7
2
4
2
8
2
6
2
2
2
4
Очевидно, что этот
процесс может
продолжаться до
бесконечности. Обрывают
процесс на шаге, когда
получена требуемая
точность вычисления
(количество знаков после
запятой) .
0,710 ≈ 0,10110 2
Примеры:
0,625 =
3,875 =
35
Плюсы и минусы двоичной системы
• нужны технические устройства только с двумя
устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока,
намагничен — не намагничен и т.п.);
• надежность и помехоустойчивость двоичных кодов;
• выполнение операций с двоичными числами для
компьютера намного проще, чем с десятичными.
• простые десятичные числа записываются в виде
бесконечных двоичных дробей;
• двоичные числа имеют много разрядов;
• запись числа в двоичной системе однородна, то
есть содержит только нули и единицы; поэтому
человеку сложно ее воспринимать.
36
Восьмеричная система
Основание (количество цифр): 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10  8
100 8
96 12 8
8 1
4
4 0
100 = 1448
8
0
1
система
счисления
8  10
210
разряды
1448 = 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100
37
Перевод в двоичную и обратно
• трудоемко
• 2 действия
10
8
2
8 = 23
Каждая восьмеричная цифра может быть
записана как три двоичных (триада)!
1
7
2
{
{
{
17258 = 001 111 010 1012
{
!
5
38
Из Таблицы видно, что в двоичной системе запись чисел второй
восьмерки (от 8 до 15) отличается от записи первой восьмерки (от 0 до 7)
наличием единицы в четвертом (справа) разряде. На этом основан алгоритм
перевода двоичных чисел в восьмеричные «по триадам». Для применения
этого алгоритма надо разбить двоичное число на тройки цифр (считая
справа) и записать вместо каждой из троек восьмеричную цифру:
101011012 → 10 101 101 → 2558.
2
5
5
Крайняя левая тройка может быть неполной (как в примере), для
получения полных троек можно приписать слева недостающие нули.
Убедимся в правильности алгоритма:
101011012 → 1*27+1*25+1*23+2*21+1*20=17310;
2558 →2*26+5*23+5*20=17310.
Для перевода чисел из восьмеричной системы в двоичную
используется обратный алгоритм: восьмеричные цифры заменяются
на тройки двоичных цифр (при необходимости слева дописываются
недостающие нули):
3258 → 3
2
5 → 11 010 101 → 110101012.
011 010 101
Перевод из двоичной системы
10010111011112
Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:
001 001 011 101 1112
Шаг 2. Каждую триаду записать одной
восьмеричной цифрой:
001 001 011 101 1112
1
Ответ:
1
3
5
7
10010111011112 = 113578
40
Примеры:
34678 =
21488 =
73528 =
12318 =
41
Примеры:
1011010100102 =55228
111111010112 =37538
11010110102 =15328
42
Шестнадцатеричная система
Основание (количество цифр): 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
10 11 12 13 14 15
10  16 107 16
96
6 16
107 = 6B16
0 0
11
B
система
6
счисления
16  10
C
1C516 = 1·162 + 12·161 + 5·160
= 256 + 192 + 5 = 453
2 10
разряды
43
Перевод в двоичную систему
• трудоемко
• 2 действия
10
16
2
16 = 24
!
Каждая шестнадцатеричная цифра может быть
записана как четыре двоичных (тетрада)!
7
F
1
{
{
{
{
7F1A16 = 0111 1111 0001 10102
A
44
Примеры:
C73B16 = 11000111001110112
2FE116 =101111111000012
45
Перевод из двоичной системы
10010111011112
Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:
0001 0010 1110 11112
Шаг 2. Каждую тетраду записать одной
шестнадцатеричной цифрой:
0001 0010 1110 11112
1
2
E
F
Ответ:
10010111011112 = 12EF16
46
Для перевода чисел из двоичной системы в
шестнадцатеричную используется алгоритм «по
тетрадам». Строка двоичных цифр разбивается на
четверки и вместо них записываются шестнадцатеричные
цифры:
101011012 → 1010 1101 → AD16.
А
D
Аналогично
работает
и
обратный
алгоритм:
вместо
шестнадцатеричных цифр подставляются четверки двоичных цифр.
Примеры:
10101011010101102 =АВ5616
1111001101111101012 =3CDF516
1101101101011111102 =36D7E16
48
Перевод в восьмеричную и обратно
трудоемко
10
16
8
2
Шаг 1. Перевести в двоичную систему:
3DEA16 = 11 1101 1110 10102
Шаг 2. Разбить на триады:
011 110 111 101 0102
Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра:
3DEA16 = 367528
49
Из восьмеричной системы в
шестнадцатеричную и обратно проще переводить
через двоичную систему:
D516→ D 5 →1101 0101 → 110101012 → 11010101 → 3258.
D
5
3 2 5
Примеры:
A3516 =
7658 =
50658
1F516
51
Пример 1. Зная десятичное число и его запись
в некоторой позиционной системе счисления,
можно найти основание этой системы. Пусть,
например, число 71 в некоторой системе с
основанием x записывается как 56x.
Представим это число в развернутой форме:
71 = 56x = 5⋅x1 + 6⋅x0 = 5⋅x + 6.
Решая уравнение 71 = 5⋅x + 6 относительно
неизвестного x, получаем x = 13. Значит,
искомое
основание системы – 13.
Пример 2. В более сложных случаях может
получиться алгебраическое уравнение второй
(или еще более высокой) степени. Например,
то же число 71 в в некоторой системе с
основанием x записывается как 155x.
Представим это число в развернутой форме:
71 = 155x = 1⋅x2 + 5⋅x1 + 5⋅x0 = x2 + 5⋅x + 5.
Решая уравнение 71 = x2 + 5⋅x + 5 относительно
неизвестного x, получаем два решения,
x1 = –11 и x2 = 6.
Искомое основание положительно, поэтому
выбираем ответ 6.
Пример 3. Если запись числа в другой системе счисления
задана не полностью, решений
может быть несколько. Например, найдем все основания
систем счисления, в которых запись
числа 24 оканчивается на 3. Здесь удобно использовать схему
Горнера, из которой сразу следует
24 = k⋅x + 3,
где x – неизвестное основание системы счисления, а k –
некоторое натуральное число или 0.
Отсюда сразу получаем 21 = k⋅x, то есть все интересующие нас
основания являются делителями
числа 21. Это могут быть 3, 7 и 21. Поскольку последняя цифра
числа – 3, основание не может быть
равно 3 (в троичной системе нет цифры 3), поэтому условию
задачи удовлетворяют только
основания 7 и 21.
Пример 4. Найдем все десятичные числа, не
превосходящие 40, запись которых в системе
счисления с основанием 4 оканчивается на 11.
Используя схему Горнера, находим, что все
интересующие нас числа имеют вид
N = k⋅42 + 1⋅4 +1 = k⋅16 + 5,
где k – некоторое натуральное число или 0.
Подставляя k = 0, 1, 2, 3, …, находим
соответствующие
числа N = 5, 21, 37, 53, …. Из них только 5, 21 и
37 удовлетворяют условию (не больше 40).
Задания:
•
Запишите число 1945 в римской системе счисления.
•
Запишите в развернутом виде числа: 200710, 2348,
101102 .
•
Чему будут равны числа 1748, 2E16, 101,1012 в
десятичной системе счисления?
•
Как будет записываться число 1410 в двоичной
системе счисления? 10010 в восьмеричной?
Другие системы счисления
Троичная уравновешенная система
В истории компьютерной техники применялись и другие системы счисления.
Например, в 1958 г. была создана электронная вычислительная машина
(ЭВМ) «Сетунь» (главный
конструктор – Н.П. Брусенцов13), которая использовала троичную систему
счисления. Всего в 1960‐ х годах было выпущено более 50 промышленных
образцов ЭВМ «Сетунь».
В троичной уравновешенной системе основание равно 3, используются три цифры: 1(«минус 1»), 0 и 1. Один троичный разряд называется тритом (в отличие от
двоичного бита).
Система называется уравновешенной, потому что с помощью любого числа разрядов
можно закодировать равное число положительных им отрицательных чисел, и число
ноль. Вот, например, все двухразрядные числа
В последнем столбце этой таблицы числа записаны в
развернутой форме, которую можно
использовать для перевода из троичной уравновешенной
системы в десятичную.
Заметьте, что положительные и отрицательные
числа кодируются с помощью одних и тех же
правил. Это большое преимущество в
сравнении с двоичным кодированием, при
котором для хранения отрицательных чисел
пришлось изобретать специальный код.
Троичная уравновешенная система счисления
дает ключ к решению задачи Баше, которая
была известна еще в XIII веке Леонардо
Пизанскому (Фибоначчи):
Троичная уравновешенная система
Задача Баше:
Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на
чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз
массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно
располагать на любой чашке весов.
59
Троичная уравновешенная система
Каждая гиря может быть в трех состояниях:
1) лежать на той же чашечке весов, что и груз: в этом случае ее
вес вычитается из суммы ( 1 );
2) не участвовать во взвешивании (0);
3) лежать на другой чашке: ее вес добавляется к сумме (1).
+1
гиря справа
0
гиря снята
–1
гиря слева
!
Троичная система!
Веса гирь:
1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг
Пример:
27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг
1
1
1
13ур = 40
Поэтому веса гирь нужно выбрать равными степеням числа 3,
то есть 1, 3, 9 и 27 кг.
Реализация:
ЭВМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958)
60
50 промышленных образцов
Двоичнодесятичная
система счисления
Существует еще один простой способ записи десятичных чисел с помощью цифр 0 и
1. Этот способ называется двоично‐десятичной системой (ДДС), это нечто среднее
между двоичной и десятичной системами. На английском языке такое кодирование
называется binary coded decimal
(BCD) – десятичные числа, закодированные двоичными цифрами.
В ДДС каждая цифра десятичного числа записывается двоичными знаками. Но среди
цифр 0–9 есть такие, которые занимают 1, 2, 3 и 4 двоичных разряда. Чтобы запись
числа была однозначной, и не надо было искать границу между цифрами, на любую
цифру отводят 4 бита.
Таким образом, 0 записывается как 0000, а 9 – как 1001. Например:
9024,19 = 1001 0000 0010 0100, 0001 1001 ДДС
902419
При обратном переводе из ДДС в десятичную систему надо учесть, что каждая цифра
занимает 4 бита, и добавить недостающие нули:
101010011,01111ДДС = 0001 0101 0011, 0111 1000 ДДС = 153,78
Важно помнить, что запись числа в ДДС не совпадает с его записью в двоичной
системе:
10101,1ДДС = 15,8
10101,12 = 16 + 4 + 1 + 0,5 = 21,5
Использование ДДС дает следующие преимущества:
• двоично‐десятичный код очень легко переводить в
десятичный, например, для вывода
результата на экран;
• просто выполняется умножение и деление на 10, а также
округление;
• конченые десятичные дроби записываются точно, без ошибки,
поэтому вычисления в ДДС
(вместо двоичной системы) дадут тот же результат, что и ручные
расчеты человека «на
бумажке»; поэтому ДДС используется в калькуляторах.
Есть, однако, и недостатки:
• хранение чисел в ДДС требует больше памяти, чем
стандартный двоичный код;
• усложняются арифметические операции.
1. Запишите числа –15 и 15 в троичной
уравновешенной системе. Сколько
разрядов вам потребовалось?
(Ответ: 1110 , 11 10 )
2. Закодируйте число 1234 в
двоично‐десятичной системе счисления.
(Ответ: 1001000110100ДДС)
3. Запишите число 10111100001101001 ДДС
в десятичной системе счисления.
(Ответ: 17869)
ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА.
Арифметические операции
сложение
вычитание
0+0=0 0+1=1 перенос0-0=0 1-1=0
1+0=1 1+1=102
1-0=1 102-1=1
заем
1 + 1 + 1 = 112
    
1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12
1 0 1 0 0 0 12


0 1 1 102 0 102
1 0 0 0 1 0 12
–
1 1 0 1 12
0 1 0 1 0 1 02
65
Примеры:
1011012
+ 111112
101112
+1011102
10011002
10001012
1110112
+ 110112
1110112
+ 100112
10101102
10011102
66
Примеры:
1011012
– 111112
110112
–1101012
11102
1100112
– 101012
111102
1101012
– 110112
-110102
67
Арифметические операции
умножение
1 0 1 0 12

1 0 12
1 0 1 0 12
+ 1 0 1 0 12
1 1 0 1 0 0 12
деление
1 0 1 0 12 1 1 12
– 1 1 12 1 1
2
1 1 12
– 1 1 12
0
68
Арифметические операции
сложение
  
1 5 68
+ 6 6 28
1 0 4 08
1 в перенос
1 в перенос
6+2=8=8+0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1+6+1=8=8+0
1 в перенос
69
При вычислениях в восьмеричной системе нужно
помнить, что максимальная цифра – это 7.
Перенос при сложении возникает тогда, когда сумма в
очередном разряде получается больше 7.
Заем из старшего разряда равен 108 = 8, а все
«промежуточные» разряды заполняются цифрой 7 –
старшей цифрой системы счисления. Приведем примеры
сложения и вычитания:
В примере на сложение запись 8 + 4 означает, что
получилась сумма, большая 7, которая не помещается в
один разряд. Единица идет в перенос, а четвёрка остается в
этом разряде.
Пример
3 5 38
+ 7 3 68
1 3 5 38
+ 7 7 78
1 3 1 18
2 3 6 28
71
Арифметические операции
вычитание
 
4 5 68
– 2 7 78
1 5 78
заем
(6 + 8) – 7 = 7
заем
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1
При вычитании «– 1» означает, что из этого
разряда раньше был заем (его значение
уменьшилось на 1, а «+ 8» – заем из следующего
разряда.
72
Примеры
–
1 5 68
6 6 28
1 1 5 68
– 6 6 28
- 5 0 48
2 7 48
73
Арифметические операции
сложение

A 5 B16
+ C 7 E16
1 6 D 916

10 5 11
+ 12 7 14
1 6 13 9
При выполнении сложения
нужно помнить, что в системе с
основанием 16 перенос
появляется тогда, когда сумма в
1 в перенос очередном разряде превышает
5+7+1=13=D16
15. Удобно сначала переписать
исходные числа, заменив все
10+12=22=16+6
буквы на их численные
значения:
74
1 в перенос
11+14=25=16+9
Пример:
С В А16
+ A 5 916
171 316
75
Арифметические операции
вычитание
С 5 B16
– A 7 E16
1 D D16
 
заем
12 5 11
– 10 7 14
1 13 13
заем
(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1
При вычитании заем из старшего разряда равен 1016 = 16, а все
«промежуточные» разряды заполняются цифрой F – старшей цифрой
системы счисления.
76
Пример:
1 В А16
– A 5 916
- 8 9 F16
77
Если нужно работать с числами, записанными в разных
системах счисления, их сначала приводят к какой‐нибудь одной
системе. Например, требуется сложить 538 и 5616 и записать
результат в двоичной системе счисления. Здесь можно
выполнять сложение в двоичной, восьмеричной, десятичной
или шестнадцатеричной системах. Переход к десятичной
системе, а потом перевод результата в двоичную трудоемок.
Практика показывает, что больше всего ошибок
делается при вычислениях в двоичной системе, поэтому лучше
выбирать восьмеричную или шестнадцатеричную систему.
Например, переведем число 538 в шестнадцатеричную
систему через двоичную:
538 = 101 0112 = 10 10112 = 2B16.
Теперь сложим:
2B16 + 5616 = 8116
и переведем результат в двоичную систему:
8116 = 1000 00012.
Лучше всего пользоваться той системой, в
которой должен быть представлен результат.
Задание 1. (Задание А6 демоверсии 2004 г.)
Вычислите значение суммы в десятичной
системе счисления:
102+108+1016 = ?10
Решение.
Переведем все числа в десятичную запись:
102+108+1016 = (1*21+0*20) + (1*81+0*80) +
(1*161+0*160) = 2+8+16=2610.
Ответ: 26.
Задание 2.
Найдите сумму x+y, если x=11101012 , y=10110112. Ответ
представьте в восьмеричной системе.
Решение.
Найдем сумму: 11101012 + 10110112 :
Дописывание единицы
Первое слагаемое
Второе слагаемое
Сумма
1
1
1
1 1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0 1
1 1
0 0
11101012 + 10110112 = 110100002
Переведем получившееся число из двоичной системы счисления в
восьмеричную:
11 010 000 → 3208.
3 2 0
Ответ: 320.
Задание 3. (Задание B1 демоверсии 2004 г.)
В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается
в виде 110. Найдите это основание.
Решение.
Обозначим искомое основание через n. Исходя из правил записи
чисел в позиционных счислениях 110n=n2+n1+0. Составим уравнение:
n2+n=12, найдем корни: n1=-4, n2=3. Корень n1=-4 не подходит, так как
основание системы счисления, по определению, натуральное число
большее единицы. Проверим, подходит ли корень n=3:
1103=1*32+1*31+0=9+3=1210
Ответ: 3.
Задание 4.
В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в
классе?
Решение.
11112=1*23+1*22+1*21+1*20→8+4+2+1=1510.
11002=1*23+1*22+0*21+0*20→8+4=1210
1510+1210=2710
Ответ: в классе 27 учеников.
Задание 5.
В саду 100х фруктовых деревьев, из них 33х яблони,
22х груши, 16х слив и 5х вишен. В какой системе
счисления посчитаны деревья?
Решение.
100х = 33х + 22х + 16х + 5х
1*х2=3*х1+3*х0+2*х1+2*х0+ 1*х1+6*х0+5*х0
х2=3х+3+2х+2+ 1х+6+5
х2-6х-16=0
D=b2-4ac=36+4*16=36+64=100
x1,2=  b 2a D = (6±10)/2
x1= - 2 – не удовлетворяет смыслу задачи,
x2= 8 – основание искомой системы счисления.
Ответ: деревья посчитаны в восьмеричной системе
счисления.
Задание 6.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем
счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.
Решение.
Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от
деления числа на основание системы счисления. Поскольку 17-2=15, то
искомые основания систем счисления будут являться делителями 15, это: 3,
5, 15.
Проверим наш ответ, представив число 17 в соответствующих системах
счисления:
17 3
-15
2
17
5 2
-4
2 2
1
-2 1
5
17
15
1
-15
3
2
-15
2
-2
1
2
1
0
1710 = 10123
Ответ: 3, 5, 15.
1710 = 1125
1710 = 1215
Задание 7.
В системе счисления с некоторым основанием
число 17 записывается как 101. Укажите это
основание.
Решение.
1710 = 101х = 1*х2 + 0*х1+ 1 х0
17=х2+1,→ х2=16,→
x1,2=± 16 =±4
x1= - 4 – не удовлетворяет смыслу
задачи,
x2= 4 – основание искомой системы
счисления.
Ответ: 4.