Transcript TEORIA CINETICA DEI GAS

TEORIA CINETICA DEI GAS
Assunzioni fondamentali:
• Le molecole seguono le leggi
della meccanica
• Le proprietà osservabile della
materia sono medie fatte su un
grande numero di molecole e su
tempi e spazi grandi
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Potremmo chiederci:
• quante molecole sono un
“grande numero”?
• quale tempo è “grande”?
• quale spazio è “grande”?
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Le scale di tempo, spazio,
numero di molecole sono date
da:
Per i tempi: tempo medio tra due
collisioni successive di una
molecola
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Per gli spazi: libero cammino
medio, cioè distanza percorsa da
una molecola tra due urti
Per il numero di molecole: il
numero di Avogadro
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Alcuni tra i fondatori della teoria
cinetica
BOLTZMANN
MAXWELL
GIBBS
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In un gas in condizioni normali il
libero cammino medio è di circa
un millesimo di millimetro,
mentre il tempo medio tra due
collisioni è meno di un millesimo
di secondo
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Nella teoria cinetica dei gas si
suppone che le molecole
interagiscano debolmente tranne
quando sono a contatto tra loro
o con le pareti, nel qual caso
rimbalzano elasticamente
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Nel modello del gas ideale le
molecole non interagiscono
affatto, se non a contatto: sono
trattate esattamente come palle
da bigliardo
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Nel rimbalzo sono rispettate le
leggi di conservazione
dell’energia e della quantità di
moto
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Quando un sfera
rigida rimbalza
contro una
parete di massa
infinitamente
maggiore non
cede energia,
ma inverte la
sua velocita’
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La quantità di
moto cambia da
m·v a -m·v
m·v
-m·v
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Ciò significa che
la parete deve
aver acquistato
una quantità di
moto doppia:
p  2m  v
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Infatti la quantità di moto totale
presente dopo il rimbalzo deve
essere pari a quella iniziale:
2m  v  (m  v)  m  v
ora
prima
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Per la seconda legge di Newton
un corpo che riceve una quantità
di moto Δp subisce una forza:
p
F
t
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Quindi, ogni volta che una
molecola urta contro una parete
le trasmette una forza pari a:
2m  v
F
t
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Per semplicità consideriamo
questo modello: una scatola
cubica di lato L e volume V=L3 in
cui una sola molecola rimbalza
elasticamente
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Dopo aver urtato
contro una
parete, per fare
un altro urto con
la stessa parete
la molecola deve
fare, in media, il
giro della scatola
L
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Poiché questo
giro è 6 volte lo
spigolo, il tempo
impiegato da un
urto contro una
medesima parete
è:
L
6L
t
v
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Quindi, combinando le due
formule trovate:
6L
t
v
Otteniamo:
2m  v
F
t
2
2m v m v
F

6L
3L
v
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Ricordando che la pressione è
forza diviso superficie, e che in
un cubo la superficie di una
faccia è L2, calcoliamo:
mv
2
F
mv
3
L
P  2 
3
S
L
3L
2
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Ma L3 non è altro che il volume,
quindi:
Ovvero:
mv
P
3V
2
1
2
P V  m  v
3
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Il membro di sinistra comincia ad
assomigliare…all’equazione di
stato dei gas
Il membro di destra, è i due terzi
dell’energia cinetica, infatti:
E  m v
1
2
2
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Possiamo quindi scrivere:
2
P V  E
3
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Questa però è la pressione
dovuta a una sola molecola.
Moltiplicando per il numero N di
molecole otteniamo la pressione
totale:
2
P V  N  E
3
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Ma le molecole non hanno tutte
la stessa energia. Cos’è E?
E’ l’energia cinetica media
2
P V  N  E
3
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Confrontiamola ora con
l’equazione di stato dei gas
2
P V  N  E
3
P V  n  R  T
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Uguagliando membro a membro:
2
N  E  n  R T
3
Ovvero:
3 nR
E
T
2 N
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Ma il rapporto N/n è fisso: è il
numero di Avogadro No
3 R
E
T
2 N0
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Ed essendo R/No un rapporto tra
due costanti universali è
anch’esso una costante
universale che prende il nome di
costante di Boltzmann (k)
R
 23
 k  1,3810 J / K
N0
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Quindi, in definitiva:
3
E  k T
2
Ovvero la temperatura kelvin è
proporzionale all’energia cinetica
media delle molecole