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数据结构习题课
陈家伟
9.15 试证明：高度为h的2-3树中叶子结点数目在2^(h-1)与3^(h-1)
之间。
• 在2-3树中，每个内部结点（非叶子结点）有两个或三个孩子，而且
所有叶子都在同一层上；
• 一方面，若某棵2-3树只包含2-结点，则就是一颗满二叉树。高度为
h的满二叉树的叶子结点数是2^(h-1)；
• 另一方面，若某棵2-3树只包含3-结点，那么第i层的结点数目是
3^(i-1)。高度为h的“3树”的叶子结点数是3^(h-1)；
• 高度为h的2-3树中叶子结点数目在2^(h-1)与3^(h-1)之间。
9.16 在含有n个关键码的m阶B-树中进行查找时，最多访问多少
个结点？
• 定义：一棵m 阶的B-树，或者为空树，或为满足下列特性的m 叉树：
⑴ 树中每个结点至多有m 棵子树；
⑵ 若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树；
⑶ 除根结点之外的所有非终端结点至少有[m/2] 棵子树；(向上)
⑷ 所有的非终端结点中包含以下信息数据：
(n，A0，K1，A1，K2，…，Kn，An)
Ki（i=1,2,…,n）为关键码，且Ki<Ki+1；
Ai 为指向子树根结点的指针(i=0,1,…,n)，且指针Ai-1 所指子树中
所有结点的关键码均小于Ki (i=1,2,…,n)，An 所指子树中所有结点的
关键码均大于Kn；
n为关键码的个数；
⑸ 所有的叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息；
9.16 在含有n个关键码的m阶B-树中进行查找时，最多访问多少
个结点？
• 等价于“含有n 个关键码的m 阶B-树，最大高度是多少”
• 假设该B-树高为h+1，那么第h+1层有n+1个叶子结点
• (1) 第一层为根，至少一个结点，根至少有两个孩子，因此在第二
层至少有两个结点；
• (2) 除根和树叶外，其它结点至少有[m/2]个孩子,因此第三层至少有
2*[m/2]个结点,在第四层至少有2*[m/2]^2个结点；
• (3) 那么在第h+1层至少有2*[m/2]^(h-1)个结点,而h层的结点个数n+1,
有：
n+1 >= 2*[m/2]^(h-1)
h <= log[m/2]{(n+1)/2} + 1
9.39 试写一算法，将一棵二叉排序树分裂成两棵二叉排序树，
使得其中一棵树的所有结点的关键字都小于或等于x，另一棵树
的任一结点的关键字均大于x。
• 递归
• void BiTree_Split(BiTree &T, BiTree &A, BiTree &B, int x){
if(T->lchild) BiTree_Split(T->lchild, A, B, x);
if(T->rchild) BiTree_Split(T->rchild, A, B, x); //分裂左右子树
if(T->data<=x) Insert_Node(A, T);
else Insert_Node(B, T); //将元素结点插入合适的树中
}
9.39 试写一算法，将一棵二叉排序树分裂成两棵二叉排序树，
使得其中一棵树的所有结点的关键字都小于或等于x，另一棵树
的任一结点的关键字均大于x。
• void Insert_Node(Bitree &T, BTNode *S){
if(!T) T=S; //考虑到刚开始分裂时树A和树B为空的情况
else if(S->data > T->data){
if(!T->rchild) T->rchild=S;
else Insert_Node(T->rchild,S);
}
else if(S->data < T->data){
if(!T->lchild) T->lchild=S;
else Insert_Node(T->lchild,S);
}
S->lchild=NULL;
S->rchild=NULL;
}
9.40 在平衡二叉排序树的每个结点中增设一个lsize域，其值为
它的左子树中的结点树加1。试写一时间复杂度为O(logn)的算
法，确定树中第k小的结点的位置。
• lsize即是结点从小到大排列的序号
• 高度为logn，递归
• BiNode* Ranking(BiTree T, int k){
if(!T) return NULL;
if(T->lsize == k){
return T;
else{
if(T->lsize > k)
return Ranking(T->lchild, k);
else
return Ranking(T->rchild, k - T->lsize);
}
}
9.19 选取哈希函数H(k)=(3k) MOD 11。用开放定址法处理冲突，
di=i((7k)MOD10 + 1) (i = 1,2,3,…)。试在0~10的散列地址空间中对
关键字序列(22,41,53,46,30,13,01,67)构造哈希表，并求等概率下
查找成功时的平均查找长度。
• Hi=(H(key) + di) MOD m,i=1,2,…，k(k<=m-1)
• H(22) = 0
• H(41) = 2
• H(53) = 5
• H(46) = 6
• H(30) = 2 —— d1 = 1 ，3
• H(13) = 6 —— d1 = 2，8
• H(01) = 3 —— d5 = 40，10
• H(67)= 3 —— d2 = 20，1
9.19 选取哈希函数H(k)=(3k) MOD 11。用开放定址法处理冲突，
di=i((7k)MOD10 + 1) (i = 1,2,3,…)。试在0~10的散列地址空间中对
关键字序列(22,41,53,46,30,13,01,67)构造哈希表，并求等概率下
查找成功时的平均查找长度。
哈希表如下：
0
1
2
3
22
67
41
1
3
1
4
5
6
7
8
30
53
46
13
01
2
1
1
2
6
查找成功时的平均查找长度（比较次数）：
ASL = 1/8(1+1+1+1+2+2+6+3) = 17/8
9
10
10.27 编写一个双向起泡的排序算法。即相邻两遍向相反方向起
泡。
• void Bubble_Sort2(int a[], int n){
low = 0; high = n – 1; change = 1;
while(low < high && change){
for(i = low; i < high; i++){
if(a[i] > a[i+1]){
swap(a[i], a[i+1]);
change=1;
}
}
high--;
for(i = high; i > low; i--){
if(a[i] < a[i-1]){
swap(a[i], a[i-1]);
change = 1;
}
}
low++;
}
}
10.31 编写算法，对n个关键字取整数值的记录序列进行整理，
以使所有关键字为负值的记录排在关键字为非负值的记录之前，
要求：(1)采用顺序存储结构，至多使用一个记录的辅助存储空
间；(2)算法的时间复杂度O(n)；(3)讨论算法中记录的最大移动
次数。
• void Divide(int a[], int n){
low = 0; high = n – 1;
pivotkey = a[low];
while(low < high){
while(low < high && a[high] >= 0) high--;
a[low] = a[high];
while(low < high && a[low] < 0) low++;
a[high] = a[low];
}
a[low] = pivotkey;
}
10.31 编写算法，对n个关键字取整数值的记录序列进行整理，
以使所有关键字为负值的记录排在关键字为非负值的记录之前，
要求：(1)采用顺序存储结构，至多使用一个记录的辅助存储空
间；(2)算法的时间复杂度O(n)；(3)讨论算法中记录的最大移动
次数。
• 最大移动次数：
数组前一半是非负数，后一半是负数时，共需要n次移动；