Готовимся к ЕГЭ,В7
Download
Report
Transcript Готовимся к ЕГЭ,В7
ЗАДАНИЯ В7
Готовимся к ЕГЭ
РАССМОТРЕННЫЕ ТЕМЫ
1.
2.
3.
Тригонометрические выражения
Действия с корнями.
Действия со степенями.
Задания открытого банка задач
1. Найдите значение выражения
Решение.
2 sin 11 cos 11
.
sin 22
2 sin 11 cos 11 sin 22
1.
sin 22
sin 22
Использована формула: sin 2t = 2sin t · cos t
2. Найдите значение выражения
Решение.
22 sin 2 9 cos 2 9
.
cos18
22 sin 2 9 cos 2 9
22 cos 2 9 sin 2 9
22cos 2 9
cos18
cos18
cos18
22cos18
22.
cos18
Использована формула: сos 2t = cos2 t – sin2 t
Задания открытого банка задач
3. Найдите значение выражения
Решение.
33 cos 63
.
sin 27
33 cos 63 33 cos 90 27 33 sin 27
33 .
sin 27
sin 27
sin 27
Использована формула приведения: cos (90º – t) = sin t
π
6
π
6
4. Найдите значение выражения 6 3tg sin .
Решение.
6 3 tg
π
π
1 1 6 3
sin 6 3
3.
6
6
3 2 2 3
Использована таблица значений тригонометрических
функций.
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
НЕКОТОРЫХ УГЛОВ.
Функция
/ угол
0
π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6
π
3π/2 2π
или или или или или или или или или или или
0°
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
sin α
0
1/2
√2/2 √3/2
1
√3/2 √2/2
cos α
1
√3/2 √2/2
tg α
0
√3/3
ctg α
–
√3
0
–1
0
1/2
0
-1/2 -√2/2 -√3/2
–1
0
1
1
√3
–
-√3
-1
-√3/3
0
–
0
1
√3/3
0
-√3/3
-1
-√3
–
0
–
1/2
5. Найдите значение выражения
Решение.
60
.
π
31
π
19
sin
cos
6
3
60
60
π
5π
19π
31π
sin
cos
sin 3 2π cos 3 2π
3
6
3
6
60
60
60
60
60
80.
π
5π
3
3
π
3
π
3 3
sin cos
cos π
cos
3
6
4
2
6
2
6
2 2
Использованы:
а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
б) свойство периодичности функций sin t и cos t:
sin (2πn ± t) = ± sin t, cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
г) формула приведения: cos (π – t) = − cos t.
д) таблица значений тригонометрических функций.
Задания открытого банка задач
6. Найдите значение выражения 24 3 cos 750.
Решение.
24 3 cos 750 24 3 cos2 360 30 24 3 cos 30
24 3
3 24 3 3
12 3 36.
2
2
Использованы:
а) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.
Задания открытого банка задач
7. Найдите значение выражения 34 sin 100 .
sin 260
Решение.
34sin100 34sin90 10 34cos10
34.
sin 260
sin270 10
cos10
Использованы формулы приведения:
sin (90º + t) = cos t и sin (270º − t) = − cos t
8. Найдите значение выражения 5 tg154 tg 244.
Решение.
5 tg154 tg 244 5 tg 90 64 tg 180 64
5 ctg 64 tg 64 5.
Использованы:
а) формулы приведения: tg (90º + t) = − ctg t и tg (180º + t) = tg t
б) тождество: tg t · ctg t = 1.
Задания открытого банка задач
9. Найдите значение выражения
37
.
2
2
sin 173 sin 263
Решение.
37
37
2
2
2
2
sin 173 sin 263 sin 90 83 sin 180 83
37
37
37.
2
2
cos 83 sin 83
1
Использованы:
а) формулы приведения:
sin (90º + t) = cost и sin (180º + t) = − sin t
sin2 (180º + t) = (− sin t) 2 = sin2 t
б) тождество: sin2 t + cos2 t = 1.
Задания открытого банка задач
5 29
3π
, t
; 2π .
10. Найдите tg t, если cos t
29
2
Решение.
5 29
cos t
29
5
29
2
25 29 25
4
5
2
2
sin t 1 cos t 1
1
29
29
29
29
29
4
2
3π
, где t
; 2π sin t 0
29
29
2
2
sin t
29 2 0,4.
tgt
5
cos t
5
29
sin t
Использованы тождества:
sin2
t+
cos2
sin t
t = 1 и tg t =
.
cos t
Задания открытого банка задач
11. Найдите −20cos 2t, если sin t = −0,8
Решение.
20cos 2t 20 1 2 sin 2 t 20 1 2 0,8
2
201 2 0,64 201 1,28 20 0,28 5,6.
Использована формула: сos 2t = 1 – 2sin2 t
12. Найдите
Решение.
2 sin 4t
5 cos 2t
, если sin 2t = −0,7.
2 sin 4t 4 sin 2t cos 2t 4 sin 2t 4 0,7 2,8
0,56 .
5 cos 2t
5 cos 2t
5
5
5
Использована формула: sin 2t = 2sin t cos t
Задания открытого банка задач
13. Найдите значение выражения
3π
cos 3π t sin
t
2
.
5 cos t π
Решение.
3π
3π
cos 3π t sin
t cos t sin
t
2
2
5 cos t π
5 cos π t
cos t cos t 2cos t 2
0,4.
5 cos t
5 cos t 5
Использованы:
а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
б) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
в) формулы приведения:
cos (3π − t) = −cos t, sin (3π/2 − t) = − cos t, cos (π − t) = − cos t.
Задания открытого банка задач
14. Найдите значение выражения:
4tg(−3π – t) – 3tg t, если tg t = 1.
Решение.
4tg 3π t 3tgt 4tg 3π t 3tgt 4tgt 3tgt 7tgt
7 1 7.
Использованы:
а) свойство нечетности функции tg t: tg (−t) = − tg t
б) формула приведения: tg (3π + t) = tg t.
Задания открытого банка задач
3π
t , если sin t = 0,96, t ∈ (0; 0,5π).
2
15. Найдите 4 sin
Решение.
cos 2 t 1 sin 2 t 1 0,96
2
2
625 576
49
24
1
25
625 625 625
49
7
28
0,28, где t 0; 0,5π cos t 0
625 25 100
3π
4 sin
t 4 cos t 4 0,28 1,12.
2
cos t
Использованы:
а) формула приведения: sin (3π/2 − t) = − cos t
б) тождество: sin2 t + cos2 t = 1.
Задания открытого банка задач
16. Найдите tg t
5π
, если tg t = 0,1.
2
Решение.
5π
π
1
1
π
tg t
10.
tg 2π t tg t ctgt
2
2
tgt
0,1
2
Использованы:
а) формула приведения: tg (5π/2 + t) = − ctg t
б) тождество: tg t · ctg t = 1.
Задания открытого банка задач
17. Найдите tg2 t, если 5sin2 t + 12cos2 t = 6.
Решение.
5 sin 2 t 12cos 2 t 6
: cos 2 t
5 sin 2 t 12cos 2 t
6
cos 2 t
cos 2 t
cos 2 t
1
5tg 2t 12 6
cos 2 t
5tg 2t 12 6 tg 2t 1
5tg 2t 6tg 2t 6 12
tg 2t 6
tg 2t 6.
Использовано тождество:
tg2
1
t+1=
.
2
cos t
Задания открытого банка задач
7 cos t 6 sin t
,
18. Найдите
3 sin t 5 cos t
если tg t = 1.
Решение.
Поделим числитель и знаменатель дроби на cos t ,
где cos t 0 :
7 cos t 6 sin t
7 cos t 6 sin t
cos
t
cos t 7 6tgt 7 6 1 1 0,5.
3 sin t 5 cos t 3 sin t 5 cos t 3tgt 5 3 1 5 2
cos t
cos t
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t
Задания открытого банка задач
10 cos t 2 sin t 10
, если tg t = 5.
19. Найдите
sin t 5 cos t 5
Решение.
Поделим числитель и знаменатель дроби на cos t ,
где cos t 0 :
10cos t 2 sin t
10
10
10 2tgt
10cos t 2 sin t 10
cos t
cos t
cos t
cos t
sin t 5 cos t
5
5
sin t 5 cos t 5
tgt 5
cos t
cos t
cos t
cos t
10
10
10 2 5
cos t cos t 2.
5
5
55
cos t
cos t
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t
Задания открытого банка задач
20. Найдите tg t, если
7 sin t 2cos t
2.
4 sin t 9 cos t
Решение.
7 sin t 2cos t 2
4 sin t 9 cos t 1
7 sin t 2cos t 24 sin t 9 cos t
16cos t 10 sin t
: cos t
16cos t 10 sin t
cos t
cos t
16 10tgt
16
tgt
10
tgt 1,6.
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t
Задания открытого банка задач
21. Найдите tg t, если
3 sin t 5 cos t 1 1
.
2 sin t cos t 4 4
Решение.
3 sin t 5 cos t 1 1
2 sin t cos t 4 4
43 sin t 5 cos t 1 2 sin t cos t 4
12sin t 20cos t 4 2 sin t cos t 4
12sin t 2 sin t cos t 20cos t
10 sin t 19cos t
: cos t
10 sin t 19cos t
cos t
cos t
10tgt 19
19
10
tgt 1,9.
tgt
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t
Задания открытого банка задач
22. Найдите значение выражения
2
3
если cos t .
Решение.
π
2cos2π t 5 sin t ,
2
π
π
2cos2π t 5 sin t 2cos t 5 sin t 2cos t 5 cos t
2
2
2
3cos t 3 2.
3
Использованы формулы приведения:
cos (2π + t) = cos t, sin (π/2 − t) = cos t.
Задания открытого банка задач
23. Найдите значение выражения
6 sin 142
.
sin 71 sin 19
Решение.
6 sin142
6 2 sin 71 cos 71 12cos 71
12.
sin 71 sin19 sin 71 sin90 71
cos 71
Использованы:
а) формула sin 2t = 2sin t · cos t
б) формула приведения sin (90º – t) = cos t.
Задания открытого банка задач
13π
13π
cos
.
24. Найдите значение выражения 2 2 sin
8
8
Решение.
2 2 sin
13π
13π
13π
13π
cos
2 sin 2
2
sin
8
8
8
4
3π
3π
2
3π
2 sin 4π
2
1.
2 sin
2 sin
4
4
2
4
Использованы:
а) формула sin 2t = 2sin t · cos t
б) свойство периодичности функции sin t:
sin (2πn ± t) = ± sin t, где n ∈ Z
в) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
г) таблица значений тригонометрических функций.
Задания открытого банка задач
25. Найдите значение выражения 27 cos 2
13π
13π
27 sin 2
.
12
12
Решение.
13π
13π
13π
13π
27 sin 2
27 cos 2
sin 2
12
12
12
12
π
π
13π
13π
27 cos 2
27 cos
27 cos 2π 27 cos
12
6
6
6
27 cos 2
3 3
3 9
4,5.
2
2
Использованы:
а) формула cos 2t = cos2 t – sin2 t.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.
Задания открытого банка задач
26. Найдите значение выражения
Решение.
72 cos 2
72 cos 2
15π
18 .
8
15π
15π
15π
18 18 2cos 2
1 18 cos 2
8
8
8
π
π
2
15π
18 cos
3.
18 cos 4π 18 cos 3 2
4
4
2
4
Использованы:
а) формула cos 2t = 2cos2 t – 1.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.
Задания открытого банка задач
27. Найдите значение выражения
8 32 sin 2
Решение.
8 32 sin 2
11π
.
8
11π
11π
11π
8 1 2 sin 2
8 cos 2
8
8
8
3π
3π
2
11π
2.
8 cos
2 2
8 cos 2π
8 cos
4
4
4
2
Использованы:
а) формула cos 2t = 1 – 2sin2 t.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.
Задания открытого банка задач
1. Найдите значение выражения 652 562.
Решение.
65 2 56 2 (65 56 )(65 56 ) 9 121 3 11 33 .
2 7 .
2
2. Найдите значение выражения
Решение.
2 7
2
14
14
4 7 28
2.
14 14
3. Найдите значение выражения
Решение.
13 7 13 7
2
2
13 7 13 7 .
13 7 13 7 6.
Задания открытого банка задач
4. Найдите значение выражения 50,36 250,32 .
Решение.
50,36 250,32 50,36 52
0,32
50,36 50,64 50,360,64 51 5.
5. Найдите значение выражения
Решение.
3 6,5
9 2,25
.
36,5
36,5
36,5
6,5 4,5
2
3
3
9.
2,25
2,25
4,5
2
9
3
3
4
9
5
18
6. Найдите значение выражения 7 49 .
Решение.
4
9
5
18
7 49
4
9
5
2 18
7 7
4
9
5
9
7 7 7
4 5
9 9
9
9
7 71 7.
Задания открытого банка задач
7. Найдите значение выражения
Решение.
23,5 35,5
.
64,5
23,5 35,5 23,5 35,5 23,5 35,5
3
3,54,5
5,54,5
1
1
2
3
2
3
1,5.
4,5
4,5
4,5
4,5
6
2 3
2
2 3
8. Найдите значение выражения 354,7 75,7 : 53,7 .
Решение.
354,7 75,7 : 53,7 5 7
4,7
75,7 53,7 54,7 74,7 75,7 53,7
7
5 4,73,7 7 4,75,7 5 1 71 1,4.
5
9. Найдите значение выражения 2,8 4,2 .
0,24
Решение.
2,8 4,2
2,8 4,2
28 42
49 7.
0,24
24
0,24
Задания открытого банка задач
10. Найдите значение выражения
Решение.
6
5
3 1 :
7
7
3
.
28
27
27
6
5
3
12
3
12 28
3 1 :
:
7
7 28 7
7 28 7
7
3
27 28
12 28
27 28
12 28
9 4 4 4 6 4 2.
7
3
7
3
73
73
11. Найдите значение выражения
Решение.
9
9
7 18 7
.
6
7
7 18 7 18 72 18 7 18 72 7 18 73 18
1 1.
3
3
6
18 3
7
7
7
7
Задания открытого банка задач
12. Найдите значение выражения
Решение.
5
5
10 5 16
.
5
5
10 5 16 5 10 16 5
32 2.
5
5
5
13. Найдите значение выражения
Решение.
13 14
2 2
12
2
2
13 14
2 2
1
212
2
13 14
2 2
12
2
2
.
1 1 1 2
4 3 1 2
1 2
3 4 12
12
2
2 2.
2
2
Задания открытого банка задач
14. Найдите значение выражения
Решение.
2 15
3
2 5
109
3
5
2
3 15
5
5
29 59
2 5
9
10
3
5
2
3
15
.
2 15
3
29 510
9 9 5.
2 5
1
7
2
7
6
7
15. Найдите значение выражения 0,8 5 20 .
Решение.
1
7
2
7
6
7
1
7
2
7
1
7
2
7
6
7
6
7
6
4 5 4 5
4
0,8 5 20 5 4 57
4 5 20.
1
5
57
Задания открытого банка задач
13 7
16. Найдите значение выражения
.
2
10 91
Решение.
13 7
10 91
2
2
2
13 2 13 7 7
13 2 91 7
10 91
10 91
20 2 91 2 10 91
2.
10 91
10 91
17. Найдите значение выражения 5 3 9 6 9.
Решение.
5 3 9 6 9 5 6 92 6 9 5 6 92 9 5 6 93 5 9 5 3 15.
Задания открытого банка задач
18. Найдите значение выражения
Решение.
495,2
.
7 8,4
5,2
495,2
72
710,4
10,48,4
2
7
7
49.
78,4
78,4
78,4
19. Найдите значение выражения
Решение.
5a 6b
30a b
2 3
2
3
2
5a 6b
30a b
2 3
5 3 a 6 62 b 2 5 3 a 6 62 b 2
2 2 6 2 5.
302 a 6 b 2
5 6 a b
2
3
2
.
Задания открытого банка задач
20. Найдите значение выражения
Решение.
11m
3m
7m
5 6
3 10
15 2
x 10 2x 4
3 10
15 2
7m 30 11m 30 18m 30
2.
30
30
9m
9m
21. Найдите значение выражения
Решение.
3x 3 x 9
11m
3m
7m
5 6
33 x 3 x 9 27x 6 27
10
13,5.
4
6
x 2x
2x
2
3x 3 x 9 .
x 10 2x 4
.
Задания открытого банка задач
22. Найдите значение выражения
Решение.
a 2b 6
16
.
3 2
1 4
4a b a b
a 2b 6
16
a 2b 6 16
16a 2b 6 1
1 4
.
3 2
3 2
1 4
2 6
64a b a b
64a b
4
4a b a b
23. Найдите значение выражения
Решение.
2x
x : 3x
3 4
2 6
12
16x
12
3x
x 12
12
15x
3x
12
12
2x x : 3x
3 4
5.
2 6
12
.
Задания открытого банка задач
24. Найдите значение выражения x x 2 4x 4
при х 2.
Решение.
x x 2 4x 4 x
x 22
Т.к. при х 2
x x 2 x x 2 2,
x 2 x 2.
25. Найдите значение выражения
11a
6
b 3 3a 2b
Решение.
11a
6
b 3 3a 2b
: 4a b
3
6
6
: 4a b
3
6
6
при b = 2.
11a 6b 3 27a 6b 3 16a 6b 3 4
3 ,
6 6
6 6
4a b
4a b
b
Т.к. b = 2, то
4
0,5.
3
2