Transcript Természettudományok alapjai

A
TERMÉSZETTUDOMÁNYOK
ALAPJAI
1. Matematika
v2.2 kiegészített verzió
ÓE-KVK-MTI
2009-2010.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Számhalmazok
Természetes számok: N
Egész számok: Z (N + 0 + negatív számok)
Racionális számok: Q (Z + véges törtek)
Valós számok: R (Q + irracionális számok)
Komplex számok: C (R + képzetes számok)
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Számhalmazok
Természetes számok: 1;2;3...
Egész számok: ...;-2;-1;0;1;2;...
Racionális számok: 1; ½; -23/56; 0,01
Valós számok: 1; ½; 3,1415...; 2,71828...
Komplex számok: 1; -½; i (j); 2+3i; ejπ
Ha egy buszon 4 ember utazik, és leszáll 6, akkor hány embernek kell felszállnia, hogy senki ne
legyen a buszon?
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Műveletek tulajdonságai
kommutativitás:
összeadás: a+b=b+a
szorzás: ab=ba
asszociativitás:
összeadás: (a+b)+c=a+(b+c)
szorzás: (ab)c=a(bc)
disztributivitás:
szorzás az összeadásra nézve: a(b+c)=ab+ac
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Nevezetes szorzatok
(a+b)2
=a2+b2+2ab
(a-b)2
=a2+b2-2ab
(a+b)3
=a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3
=a3-3a2b+3ab2-b3
(a+b)(a-b)
=a2-b2
Zárójel felbontása:
a-(b+c-d)=a-b-c+d
(a-b)(c-d)=ac-bc-ad+bd
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Műveletek törtekkel
Törtek összevonása:
Megkeressük a nevezők legkisebb közös
többszörösét. Az összevonandó tagokat egyenként
úgy bővítjük, hogy a meghatározott legkisebb
közös többszörös legyen a nevező. Az eredmény
számlálóját az így kapott számlálok összevonásával
kapjuk, a nevező a meghatározott legkisebb közös
többszörös lesz.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Műveletek törtekkel
Törtek összevonása:
1. példa:
2 7
 ?
9 6
A legkisebb közös többszörös meghatározása:
9=3*3, 6=2*3; 2*3*3=18
Az összevonás eredménye:
2 2 7 3
4
21 25




9  2 6  3 18 18 18
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Műveletek törtekkel
Törtek összevonása:
2. példa:
2 7 3
  ?
9 6 4
A legkisebb közös többszörös meghatározása:
9=3*3, 6=2*3, 4=2*2; 2*2*3*3=36
Az összevonás eredménye:
2  4 7  6 39
8
42 27
7






9  4 6  6 4  9 36 36 36
36
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Műveletek törtekkel
Törtek összevonása:
2
a

b
2
a
3. példa:
 2
?
2
a b a b
A legkisebb közös többszörös meghatározása:
a-b, (a2-b2)=(a+b)*(a-b); (a+b)*(a-b)=a2-b2
Az összevonás eredménye:
( a  b)
2a
a  2ab  b  2a  a  2ab  b
 2 2

2
2
2
2
a b a b
a b
a 2  b2
2
2
2
2
2
2
2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Műveletek törtekkel
Törtek szorzása:
Az eredő számláló a számlálók szorzata, az eredő
nevező pedig a nevezők szorzata lesz.
1. példa
2 4 3 2 43 2 4
8
  


3 5 7 35 7
5  7 35
2. példa
a  b 2a
2a ( a  b)
2a  2a b
 2 2
 3 2
2
2
a  b a  b a  a b  ab 2  b3
a b a b
2
2
3


2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Műveletek törtekkel
Törtek osztása:
Az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk.
1. példa 2 4 2 5 10 5
   
3 5 3 4 12 6
:
2. példa

a  b 2a
a b a b
: 2 2 


2
a b a b
a  b 2a
2
2
3
2
2
3

a  b a  b
a  a b  ab  b


2
3
2
a  b 2a
2a  2a b
2

2

2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes
egyenlet
Általános alakja:
ax+b=0 , ahol a≠0
Az egyenlet akkor megoldott, ha az egyik
oldalon az ismeretlen, a másikon pedig csak
ismert mennyiség van.
Ezt rendezéssel érhetjük el.
ax+b=0 l (-b)
ax=-b
l :a
x=-b/a az egyenlet megoldása
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet
A gyök (megoldás) akkor helyes, ha azt az
egyenlet eredeti alakjában behelyettesítve
egyenlőséget kapunk.
x=-b/a az egyenlet megoldása.
Behelyettesítve:
a(-b/a)+b=0
-ab/a+b=0
-b+b=0
0=0
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet
1. példa:
2x-22+x+11=2x-5-x összevonás
3x-11=x-5 l (-x+11)
2x= 6
l :2
x=3
Ellenőrzés:
2*3-22+3+11=2*3-5-3
6-22+3+11=6-5-3
-2=-2
egyenlőség!
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet
2. példa:
2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójel felbontás
2x-22-x-11=2x-5+x
l összevonás
x-33=3x-5
l (-3x+33)
-2x=+28
l :(-2)
x=-14
Ellenőrzés:
2*(-14)-(22-14+11)=2*19-(5-(-14)
-28-(19)=-28-5-14
-47=-47
egyenlőség!
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet
3. példa:
2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójelek felbontása
2x-22-x-11=2x-5+x
l összevonás
x-33=3x-5
l (-3x+33)
-2x=+28
l :(-2)
x=-14
Ellenőrzés:
2*(-14)-(22-14+11)=2*19-(5-(-14)
-28-(19)=-28-5-14
-47=-47
egyenlőség!
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet
4. példa:
(9x+7)/2+(x-2)/7=36+x
l A nevezők legkisebb
közös többszörösével szorzunk, most 2*7=14
(9x+7)*7+(x-2)*2=(36+x)14 l zárójelek felbontása
63x+49+2x-4=504+14x
összevonás
51x=459
x=459/51=9
Ellenőrzés:
l -49+4-14x és
l :(51)
(9*9+7)/2+(9-2)/7=36+9
88/2+7/7=45
45=45
egyenlőség!
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Az elsőfokú
5. példa:
16/(5x-3)=8/x
szorzunk, most
x≠3/5
16x=8(5x-3)
16x=40x-24
-24x=-24
x=1

egyismeretlenes egyenlet
l A nevezők szorzatával
(5x-3)*x , feltéve, hogy x≠0 és
l zárójelek felbontása
l-40x és összevonás
l:(-24)
Ellenőrzés:
16/(5*1-3)=8/1
16/2=1
8=8
egyenlőség!
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet
Az egyenlet megoldásának lehetséges
lépései:
- eltávolítjuk a törteket,
- elvégezzük a kijelölt műveleteket,
felbontjuk a zárójeleket,
- rendezzük az egyenletet,
- összevonunk,
- elosztjuk az ismeretlen együtthatójával
mindkét oldalt,
- elvégezzük az ellenőrzést.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Az egyenletek rendezésének szabályai:
a.) Valamely számot vagy algebrai egész kifejezést
az egyenlet mindkét oldalához hozzáadva vagy
mindkét oldalból kivonva az eredetivel
egyenértékű kifejezést kapunk.
x-a=c l(+a)
x-a+a=c+a
x=c+a
Példa: x-12=27 l(+12)
x-12+12=27+12
x=39

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Az egyenletek rendezésének szabályai:
b.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a
nullától különböző számmal szorozva vagy osztva
az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk.
x/a=c l( *a)
(x/a)(*a)=c(*a)
x=ca
Példa: x/12=27 l(*12)
(x/12)*12=27*12
x=324
12x=36 l(:12)
12x/12=36/12
x=3
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Az egyenletek rendezésének szabályai:

c.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal az algebrai
kifejezéssel szorozva eredményül az eredeti egyenlet
következményét kapjuk, nem esik ki gyök.
x-1=0 l ( *(x+1))
(x-1)(x+1)=0
egyenletnek gyöke az x1=1 , de gyöke az x2=-1 is. Nem
esett ki gyök, de van egy másik gyök is, a két egyenlet
nem egyenértékű. Új gyök nem lép fel mindig!
Példa:
3x/(x+2)=2 l (*(x+2)
3x=2*(x+2)
3x=2x+4
Ekkor az x=4
gyököt kapjuk , ami az eredeti egyenletnek is gyöke.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A másodfokú egyismeretlenes egyenlet
Általános alakja:
ax2+bx+c=0 , ahol a#0
A fenti alakot vegyes másodfokú egyenletnek
nevezzük.
Ha b=0, akkor kapjuk a tiszta másodfokú
egyenletet:
ax2+c=0
Ha c=0, akkor kapjuk a hiányos másodfokú
egyenletet:
ax2+bx=0
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A másodfokú egyismeretlenes egyenlet
A tiszta másodfokú egyenlet megoldása:
ax2+c=0
x2=-c/a
rendezés után
x1,2
c
 
a
A két gyököt különválasztva:
c
x1  
a
c
x2   
a
Az „a” mindig pozitív, így c<0 esetén két valós
gyök van, c>0 esetén nincs valós gyök.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A másodfokú egyismeretlenes egyenlet
A tiszta másodfokú egyenlet megoldása:
Példa:
5x2-12=0
x2=12/5=2,4
x1,2
rendezés után
12

 1,549
5
A két gyököt különválasztva:
12
x1 
 1,549
5
12
x2  
 1,549
5
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A másodfokú egyismeretlenes egyenlet
A hiányos másodfokú egyenletet:
ax2+bx=0 az egyenletből x-et
kiemelve
x(ax+b)=0 kapunk, szorzat csak akkor
lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik
tényezője nulla:
x1=0
az egyik gyök,
vagy
ax+b=0
x2=-b/a a másik gyök.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A másodfokú egyismeretlenes egyenlet
A hiányos másodfokú egyenletet:
3x2+5x=0 az egyenletből x-et
kiemelve
x(3x+5)=0
kapunk, szorzat csak
akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik
tényezője nulla:
x1=0
az egyik gyök,
vagy
3x+5=0
x2=-3/5 a másik gyök.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A másodfokú egyismeretlenes egyenlet
A vegyes másodfokú egyenlet:
ax2+bx+c=0 , ahol a#0
Az egyenlet megoldó képlete:
 b  b  4ac

2a
2
x1,2
A két gyök:
 b  b  4ac
x1 
2a
2
 b  b 2  4ac
x2 
2a
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A másodfokú egyismeretlenes egyenlet
A vegyes másodfokú egyenlet:
8x2+2x-1=0
Az egyenlet megoldó képlete:
x1,2
A két gyök:
 2  2 2  4  8  (-1)

2 8
 2  22  4  8  (-1)  2  6
x1 

 0,25
2 8
16
 2  22  4  8  (-1)  2  6
x2 

 0,5
2 8
16
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A másodfokú egyismeretlenes egyenlet
A vegyes másodfokú egyenlet gyökeinek jellegét a
diszkrimináns, a b2-4ac kifejezés határozza meg:
a.) ha b2-4ac>0 két egymástól különböző
valós gyök van
b.) ha b2-4ac=0 a gyökök egymással
egyenlők
c.) ha b2-4ac<0 nincsenek valós gyökök (csak
komplexek)
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A másodfokú egyismeretlenes egyenlet
Összefüggés a másodfokú egyenlet gyökei és
együtthatói között:
ha az ax2+bx+c=0 egyenlet diszkriminánsa
pozitív, akkor az egyenletnek két gyöke van:
x1 
 b  b  4ac
2a
2
 b  b 2  4ac
x2 
2a
Adjuk össze a két gyököt:
x1+x2=-b/a
szorozzuk össze őket:
x1*x2=c/a
ha az egyenletet a-val osztjuk, akkor:
x2+(b/a)x+c/a=0 egyenlethez jutunk.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A másodfokú egyismeretlenes egyenlet
A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú
egyenlet gyökeit, magát az egyenletet
egyszerűen felírhatjuk:
legyen x1=4,
x2=-2

4+(-2)=-b/a; 2=-b/a
4*(-2)= c/a
-8=c/a
Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen
írható fel: x2+(b/a)x+c/a=0 , azaz
x2+(-2)x+(-8)=0
x2 -2x -8=0
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A másodfokú egyismeretlenes egyenlet
A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja:
az x2+(b/a)x+c/a=0 egyenlet szorzattá alakítható
a fenti összefüggések alapján:
x2+(-(x1+x2))x+x1*x2=0
megfelelő átalakítások után:
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
a-val osztva:
x2+(b/a)x+c/a = (x-x1)(x-x2)
a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A másodfokú egyismeretlenes egyenlet
A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú
egyenlet gyökeit, magát az egyenletet
egyszerűen felírhatjuk:
legyen x1=4,
x2=-2
Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen
írható fel: x2+(b/a)x+c/a=(x-x1)(x-x2)=0 , azaz
x2+(b/a)x+c/a=(x-4)(x-(-2))=0
x2+(b/a)x+c/a=(x-4)(x+2)=0
x2+(b/a)x+c/a=x2-4x+2x-8=0
x2+(b/a)x+c/a=x2 -2x-8=0
tehát a másodfokú egyenlet:
x2 -2x-8=0
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Polinomok
Polinom: olyan kifejezés, melyben csak számok és változók
egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek
összegei szerepelnek. Példa: ax3+bx2+cx+d
Ha a polinomot nullával tesszük egyenlővé, egyenletet vagy
függvényt kapunk. Pl. ax3+bx2+cx+d=0. Az egyenlet
megoldásait nevezzük a polinom gyökeinek (vagy
zérushelyeinek).
Az algebra alaptétele:
A komplex számok körében egy nem konstans
polinomnak pontosan annyi gyöke van, ahányad fokú. (A
fokszám a legnagyobb hatványkitevő.) A fenti példának tehát 3 gyöke
van. A gyökök között lehetnek azonosak is (multiplicitás).
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek
Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek
általános alakja:
a1x+b1y=d1
a2x+b2y=d2
Az egyenletrendszer csak akkor oldható meg
egyértelműen, ha a két egyenlet egymástól
független (vagyis az egyik nem hozható létre a másikból konstanssal való
szorzással) és nincs ellentmondásban egymással.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek
megoldása
- Helyettesítő módszer:
valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik
ismeretlent és azt behelyettesítjük a másikba,
majd az így kapott egyismeretlenes egyenletet
megoldjuk. Az így kapott eredményt bármelyik
egyenletbe behelyettesítve, kiszámítjuk a másik
ismeretlent.
Utolsó lépésként mindkét egyenletbe
behelyettesítjük az eredményeket, így
elvégezzük a próbát.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek
megoldása
(I) x-2y=-4
(II) 2x+y=-3
Az első egyenletből kifejezzük az x-et
x=2y-4
és behelyettesítjük a (II)-be
2(2y-4)+y=-3
4y-8+y=-3
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek
megoldása
(folytatás):
4y-8+y=-3
l összevonás
5y-8=-3
l +8
5y=5
l :5
y=1
--------------behelyettesítés az (I) egyenletbe:
x-2(1)=-4
x-2=-4
l +4
x=-2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek
megoldása
(próba):
(I)
(II)
(-2)-2(1)=-4
-2-2=-4
-4=-4
2(-2)+1=3
-4+1=-3
-3=-3
l zárójel felbontás
l zárójel felbontás
tehát az egyenlet gyökei: x=-2 ; y=1
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek
megoldása
- Az egyenlő együtthatók módszer:
Az egyenleteket egy-egy alkalmasan megválasztott
számmal úgy szorozzuk meg, hogy a kiküszöbölendő
ismeretlen együtthatója mindkét egyenletben azonos
legyen. Ezután a két egyenlet megfelelő oldalait
összevonjuk, így egyismeretlenes egyenletet kapunk,
megoldjuk az egyenletet, amely megoldását a másikba
behelyettesítjük és azt is megoldjuk.
Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyettesítjük az
eredményeket, így elvégezzük a próbát.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek
megoldása
(I) 5x+3y=19
(II) 6x-2y= 6
------ -------------minkét egyenletet megszorozzuk egy alkalmas
számmal, az (I)-et 6-tal a (II)-öt 5-tel:
(I) 5x+3y=19 l*6
(II) 6x-2y= 6
l*5
------ --------------
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek
megoldása
(folytatás):
(I)
30x+18y=114
(II)
30x-10y= 30
l*5
------ -------------(I)-ből vonjuk ki a (II)-öt
28y=84
l :28
y=3
behelyettesítés az eredeti (I)-be
5x+3*(3)=19
5x+9=19
l -9
5x=10
l :5
x=2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Elsőfokú kétismeretlenes
egyenletrendszerek megoldása
(próba):
(I)
(II)
5(2)+3(3)=19 l zárójel felbontás
10+9=19
19=19
6(2)-2(3)=6
l zárójel felbontás
12-6=6
6=6
tehát az egyenlet gyökei: x=2 ; y=3
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Egyenlőtlenségek
Egyenlőtlenségnek két olyan kifejezés kapcsolatát
nevezzük, amelyek az alábbi jelek valamelyikével
vannak összekötve:
> nagyobb
< kisebb
≠ nem egyenlő
> < nagyobb vagy kisebb
≤ nagyobb vagy egyenlő
≥ kisebb vagy egyenlő
>, < és ≠ szigorú egyenlőtlenségek, a többi nem
szigorú.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Egyenlőtlenségek
Példák:
a>b
a<b
a≠b
a> <b
a≤b
a≥b
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Egyenlőtlenségek
Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek
tulajdonságai:
1. Megfordítás:
Ha a>b, akkor b<a.
2. Tranzitivitás:
Ha a>b és b>c, akkor a>c
3. Ugyanazon mennyiség hozzáadása vagy
kivonása mindkét oldalból:
Ha a>b, akkor a+c>b+c és a-c>b-c
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Egyenlőtlenségek
Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek
tulajdonságai:
4. Egyenlőtlenségek összeadása:
Ha a>b és c>d, akkor a+c>b+d (megegyező
értelmű kiinduló egyenlőtlenségek)
5. Egyenlőtlenségek kivonása:
Ha a>b és c<d, akkor a-c>b-d (ellenkező értelmű
kiinduló egyenlőtlenségek!)
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Egyenlőtlenségek
Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek
tulajdonságai:
6. Egyenlőtlenségek szorzása és osztása:
Ha a>b és c>0, akkor ac>bc és a/c>b/c (pozitív
szorzótényező: megegyező értelmű eredmény)
Ha a>b és c<0, akkor ac<bc és a/c<b/c (negatív
szorzótényező: ellenkező értelmű eredmény)
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Egyenlőtlenségek
Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek
megoldása:
Az egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy
megkeressük az ismeretlen azon értékeit,
amelyekre az egyenlőtlenség igaz.
Példa 1:
5x+3<8x+1
5x-8x+3<1
5x-8x<1-3
-3x<-2
x>2/3
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Egyenlőtlenségek
Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek
megoldása:
Példa 2:
x2+6x+15>0
x2+6x+9+6>0
(x+3)2+6>0
(x+3)2>-6
Az egyenlőtlenség x minden értékére igaz, mert
bármely szám négyzete nagyobb -6-nál.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Egyenlőtlenségek
Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek
megoldása:
Példa 3:
-2x2+14x-20>0
x2-7x+10<0
(x-7/2)2-49/4+40/4<0
(x-7/2)2<9/4
-3/2<x-7/2<3/2
-3/2+7/2<x<3/2+7/2
2<x<5
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Trigonometria
A trigonometria azokkal az összefüggésekkel foglalkozik, amelyek segítségével a
a háromszögek ismert elemeiből az ismeretlen elemeket számítással meghatározhatjuk.
Minden egyenesekkel határolt síkidom
háromszögekre és minden háromszög
derékszögű háromszögekre bontható,
ezért a derékszögű háromszögek
vizsgálata meghatározóan fontos.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Trigonometrikus függvények (hegyes
szögek)
Az ábrán látható derékszögű háromszögek
oldalainak aránya állandó (hasonló háromszögek!)
a/c=a1/c1=a2/c2
b/c=b1/c1=b2/c2
a/b=a1/b1=a2/b2
b/a=b1/a1=b2/a2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Trigonometrikus függvények
A háromszögek megfelelő oldalainak
aránya csak az α szögtől függ. Ezeket az
arányokat szögfüggvényeknek nevezzük.
Az egyes arányok külön megnevezést és
jelölést kaptak. Ezek:
-szinusz: sin α= a/c=(a szöggel szembeni
befogó)/átfogó
b/c=b1/c1=b2/c2
a/b=a1/b1=a2/b2
b/a=b1/a1=b2/a2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Trigonometrikus függvények:
-koszinusz: cos α= b/c=(a szög melletti
befogó)/átfogó
-tangens: tg α= a/b=(a szöggel szembeni
befogó)/(a szög melletti befogó)
-kotangens: ctg α= b/a=(a szög melletti
befogó)/(a szöggel szembeni befogó)
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Trigonometria
Derékszögű háromszögben a következő szögfüggvényeket
definiáljuk:
a
sin  
c
b
cos  
c
a sin 
tg   
b cos 
b
1
ctg   
a tg 
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Nevezetes szögfüggvények:
sin 0o  0
sin 30  sin
o
cos 0 o  1

6
 0,5

2
sin 45  sin 
4
2

3
o
sin 60  sin 
3
2
o
sin(  x)   sin( x)
cos(  x)   cos( x)
tg ( x)   tg ( x)

3
cos 30  cos 
6
2

2
o
cos 45  cos 
4
2
o
cos 60  cos
o

3
 0,5

sin( x)  cos(  x)
2


cos( x)  sin(  x)  sin( x  )
2
2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Nevezetes szögfüggvények:
tg 0 o  0
ctg 0 o  

3
tg 30  tg 
6
3
o
tg 45  tg
o
tg 60  tg
o

4

3
ctg30  ctg
o

6

 3
1
ctg 45  ctg
 3
3
ctg 60  ctg 
3
3
o
o
4

1
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Trigonometrikus függvények:
A szögeket fokokban és radiánokban (rad) is
megadhatjuk. Az SI mértékegységrendszerben
csak a radián használható. Kapcsolatuk:
2π(rad)=360o
Az ábrán látható derékszögű háromszög adatai:
a=6m
b=2,5m
Határozzuk meg az α és a β
szögek szögfüggvényeit!
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Trigonometrikus függvények:
Az ábrán látható derékszögű háromszög
adatai: a=6m b=2,5m
Határozzuk meg az α és a β szögek
szögfüggvényeit!
A c oldal a Pitagorasz tétellel számolható
c  a 2  b 2  6 2  2,52  36  6,25  6,5
A szögfüggvények:
sin α=a/c=6/6,5=0,9230
cos α=b/c=2,5/6,5=0,3849
tg α=a/b=6/2,5=2,4
ctg α=b/a=2,5/6=0,4166
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Szögfüggvények általánosítása:
Szögfüggvényeket általánosan a P pont
koordinátáival és az egységnyi sugárral a
következőképpen értelmezzük:
sin α=ordináta/sugár=y/1=y
cos α=abszcissza/sugár=x/1=x
tg α=ordináta/abszcissza=y/x
ctg α=abszcissza/ordináta=x/y
Az α szög bármilyen értékű
lehet, a koordinátákat és a
szögfüggvényeket előjelesen
értelmezzük.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Szögfüggvények előjele különböző
síknegyedekben:
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Szögfüggvények előjele és értékei a
különböző síknegyedekben:
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Szögfüggvények előjele és értékei a
különböző síknegyedekben:
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Szögfüggvények előjele és számítása a
különböző síknegyedekben:
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Szögfüggvények előjele és számítása a
különböző síknegyedekben:
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Trigonometria
a./ szinusz tétel:
az általános háromszögben bármely két oldal
aránya az oldalakkal szemben lévő szögek
szinuszának arányával egyenlő.
a:b=sinα:sinβ
a:c=sinα:sinγ
b:c=sinβ :sinγ
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI


Trigonometria
a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által
bezárt szög az α=π/6rad, azaz 30o , mekkora a c
oldal?
a/b=sinα/sinβ l vegyük az egyenlet reciprokát
b/a= sinβ/sin α
sinβ=(b/a)*sinα
sinβ=(12/10)sin30o
sinβ=(12/10)sin30o
sinβ=(1,2)*0,5
sinβ=0,6
β=arc sin0,6
β=36,87o=0,643rad
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Trigonometria
a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által
bezárt szög az α=π/6rad, azaz 30o , mekkora a c
oldal? Folytatás:
β=36,87o=0,643rad
γ=180o-α-β
γ=180o-30o-36,87o
γ=113,13o
c/a=sinγ/sinα
c=(a*sinγ)/sinα
c=(10*sin113,13o)/sin30o
c=(10*0,9196)/0,5
c=18,39m, Tehát a c oldal 18,39m
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Trigonometria
b./ koszinusz tétel:
az általános háromszögben bármely oldalának
négyzetét úgy kapjuk, hogy a másik két oldalának négyzetösszegéből kivonjuk ugyanazon
oldalak szorzatának és a közbezárt szög koszinuszának kétszeresét.
a2=b2+c2-2*b*c*cosα
b2=a2+c2-2*a*c*cosβ
c2=a2+b2-2*a*b*cosγ
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI


Trigonometria
a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az a és b által
bezárt szög az γ=113,13o, mekkora a c oldal?
c2=a2+b2-2*a*b*cosγ
c2=102+122-2*10*12*cos113,13o
c2=100 +144-240*(-0,3928)
c2=244+94,2764
c2=338,2764
c=18,39m
Tehát a c oldal 18,39m
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Goniometrikus egyenletek
A goniometrikus egyenletek keretében azokkal az
összefüggésekkel foglalkozunk, amelyekben az
ismeretlenek valamely trigonometrikus függvény
argumentumában találhatók.
Például:
a./ sin x=a
b./ cos x=a
c./ tg x=a
d./ ctg x=a
Megoldásoknak (gyökök) nevezzük x azon értékeit, amelyek kielégítik goniometrikus egyenletet.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Goniometrikus egyenletek
a./ sin x=a
1  x  1
Lehetőségek:
a1./ sin x=a
0  x 1
Megoldások:
a1./1.
x= arc sin a+2kπ
A mellékelt ábra jobb oldala
alapján!
a2./ sin x=a
0  x 1
Megoldások:
a2./1.
x= π(2k+1)- arc sin a
a mellékelt ábra bal oldala
alapján
A k tetszőleges egész szám!
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Goniometrikus egyenletek
a./ sin x=a
1  x  1
Lehetőségek:
a3./ sin x=a
1  x  0
Megoldások:
a3./1.
x= arc sin a+2kπ
A mellékelt ábra jobb oldala
alapján!
a4./ sin x=a
1  x  0
Megoldások:
a4./2
x= π(2k+1)- arc sin a
a mellékelt ábra bal oldala
alapján!
A k tetszőleges egész szám!
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Goniometrikus egyenletek
b./ cos x=a  1  x  1
Lehetőségek:
b1./ cos x=a
1  x  0
Megoldások:
b1.
x=± arc cos a+2kπ
A mellékelt felső ábra
alapján!
0  x 1
b2./ sin x=a
Megoldások:
b2
x=± arc cos a+2kπ
a mellékelt alsó ábra
alapján!
A k tetszőleges egész szám!
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Goniometrikus egyenletek
c./ tg x=a
  x  
Megoldás:
x=arc tg a+kπ
A mellékelt ábra alapján!
A k tetszőleges egész szám!
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Goniometrikus egyenletek
c./ ctg x=a
  x  
Megoldás:
x=arc ctg a+kπ
A mellékelt ábra alapján!
A k tetszőleges egész szám!
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Goniometrikus egyenletek
Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és
a./
b./
c./
d./


sin x=a
cos x=a
tg x=a
ctg x=a
a1./ x= arc sin a+2kπ =arc sin,075+2kπ =(0,848+2k π)
rad
a2./ x= π( 2k+1)- arc sin a = π( 2k+1)- arc sin 0,75
=(π(2k+1)- 0,848)rad
A k tetszőleges egész szám!
Tehát eredmények a következők:
k=0, x01=0,848rad, és x02= π- 0,848=2,2936rad;
k=1, x11=0,848+2π=7,1312rad x12=3 π-0,848=8,576rad,
stb.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Goniometrikus egyenletek
Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és
a./
b./
c./
d./




sin x=a
cos x=a
tg x=a
ctg x=a
b1./ x= arc cos a+2kπ =arc cos 0,75+2kπ =(0,7227+2k π)
rad
b2./ x=-arc cos a+2kπ =-arc cos 0,75+2kπ =(-0,7227+
+2k π) rad
A k tetszőleges egész szám!
Tehát eredmények a következők:
k=0, x01=0,7227rad, és x02= - 0,7227rad;
k=1, x11=0,7227+2π=7,0rad x12=2π-0,7227=5,56rad, stb.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Goniometrikus egyenletek
Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és
a./
b./
c./
d./


sin x=a
cos x=a
tg x=a
ctg x=a
c1./ x= arc tg a+kπ =arc tg 0,75+kπ =(0,6435+k π) rad
A k tetszőleges egész szám!
Tehát eredmények a következők:
k=0, x01=0,6435rad,
k=1, x11=0,6435+π=3,7851rad, stb.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Hatványozás
a : hatvány alapja
n: hatványkitevő
n
a  a
n
k 1
a a
1
p
q
a 1
a  a ; q, p  Z
1
a  n
a
n
0 0
a  lim a ; b  R
0
n
0  nem értelmezett
0
0
n
 nem értelmezett
q
p
b
x
x b
a e
b
bln a
; bR
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Hatványozás
Azonosságok
a  c  a  c 
b
b
b
a a  a
b
a
b c
c
b
a
 c
a
a
bc

b
a
c
   a 
  a 
 a
b c
b c
bc
a
bc
d
c b
a
c
  cd  
 b  




a
a
   c
b
b
c
Bármilyen számrendszerben a rendszer alapjával való szorzáskor az eredményt úgy
kapjuk, hogy a szám mögé írunk egy nullát.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Hatványozás
Példa
2  222  8
3

2 
2  2  28  256
23
3
2 
2 3
2
3
4 2
1 1
 3 
2
8
3
23
 2  64
6
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Hatványozás
Példa
3
4
2 
4
2  8 8
3
4
0 , 25
(2  3)  2  3  32  243  7776
5
5
5
10 23  105  100 000
(10 )  10
2 3
7
23
 10  1000 000
6
2
74
3
2 2 8
4
2
4
2
47
3

2

2
 0,125
7
2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Logaritmus
A hatványozás egyik inverz művelete (a másik a
gyökvonás).
A pozitív b szám a (a>1) alapú logaritmusa az a
kitevő, amelyre a-t emelve b-t kapjuk.
log a b; a  1; b  0
a
loga b
b
log a a  x
x
Gyökvonásnál az alapot, logaritmusnál a kitevőt keressük.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Logaritmus
Példa:
Hatvány:
Gyök:
Logaritmus:
ca
b
a c
b  log a c
b
32  2
5
2  32
5
5  log 2 32
10-es alapú log:
lg 1000  log 10 1000  3
természetes log:
ln e  log e e  1 ; e  2.71828...
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Logaritmus
Azonosságok
log a a  b
b
a
loga c
c
log a xy  log a x  log a y
x
log a  log a x  log a y
y
log a x  k log a x
k
Log alapjának
változtatása:
log c b
log a b 
log c a
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Logaritmus
Példák:
log 2 8  log 2 2  3
3
log 10 200  log 10 2 100  log 10 100  log 10 2  2,3
256
log 2
 log 2 256  log 2 16  8  4  4
16
log 10 1024 3,01
log 2 1024 

 10
log 10 2
0,301
log 10 5  3 log 10 5  3  0,699  2,097
3
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Példák:
a./
lg 8=lg(2*4)=lg2+lg4=0,3010+0,6020=
=0,9031
b./
ln0,8=ln(4/5)=ln4-ln5=1,3863-1,6094=
=-0,2231
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Példák:
c./
ln52=2*ln 5=2*1,6094=3,2188
c./
lg 81/2=(1/2)lg(8)=(1/2)0,9031=0,4515
Exponenciális
függvény
a
x
Logaritmus
függvény
log a x
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Exponenciális egyenletek megoldása:
Az olyan egyenletet, amelyben az ismeretlen
a kitevőben található exponenciális
egyenletnek nevezzük.
Például:
3(x+1)-3x=100
exponenciális egyenlet.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Exponenciális egyenletek megoldása:
a./ Ha az exponenciális egyenlet mindkét
oldala egytagú kifejezés, akkor vagy
logaritmálással, vagy a hatvány és alap
egyenlőségéből a kitevők egyenlőségére
következtetéssel algebrai egyenletet írunk
fel, és azt a kitevőkre megoldjuk.
Például:
a1./
3x=81
l logaritmálva:
x*lg3=lg81
l :lg3
x=lg81:log3=1,9085/0, 4771
x=4
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Exponenciális egyenletek megoldása:
Például:
a2./
3x=81 l 81 felírása hatványként
3x=34
l látható: x=4 esetén áll
fenn az egyenlőség
x=4
Próba: 34=81
81=81
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Exponenciális egyenletek megoldása:
Például:
a3./
9 x  2  9  3 x  2  l : átalakítás
32
x2
 32  3
32
x2
 32 
x2
x2
2 x2  2 x2
Próba:
x  2  2  l : négyzetree melés
x24
x2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Exponenciális egyenletek megoldása:
Próba:
2 2
2 2
a3./
 93
9
9  93
81  9  9
81  81
2
2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Exponenciális egyenletek megoldása:
b./ Ha az exponenciális egyenlet többtagú kifejezés, de átalakításokkal mindkét oldal egytagúra
alakítható, akkor vagy logaritmálással, vagy a
hatvány és alap egyenlőségéből a kitevők
egyenlőségére következtetéssel algebrai egyenletet írunk fel, és azt a kitevőkre megoldjuk.
Például:
b1./ 3x+2+7*3x+1=270 l :a kitevőket felbontjuk:
3x*32+7*3x*31=270
l :3x-kiemelése
3x(32+7*31)=270
3x(9+21)=270
l :osztás 30-al
3x=270/30 =9=32
x=2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Exponenciális egyenletek megoldása:
b1. folytatás:
Próba: 3x+2+7*3x+1=270
32+2+7*32+1=270
34+7*33=270
81+7*27=270
270=270
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Exponenciális egyenletek megoldása:
Például:
b2./
3x+2+7*3x+1=280 l :a kitevőket felbontjuk:
3x*32+7*3x*31=280
l :3x-kiemelése
3x(32+7*31)=280
3x(9+21)=280
l :osztás 30-al
3x=280/30
l: logaritmálás
x*lg3=lg(280/30)=lg280-lg30
x*0,4771=2,4471-1.4771=0,9700
x=0,9700/0,4771=2,0331
x=2,0331
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Exponenciális egyenletek megoldása:
Próba:
b2./
3x+2+7*3x+1=280
32,0331+2+7*32,0331+1=280
34,0331+7*33,0331=280
83,9997+7*27,9999=280
83,9997+195,9993=280
279,999=280
A kerekítésektől eltekintve az egyenlőség
fennáll
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Koordinátarendszerek
Descartes- féle térbeli jobb sodrású
derékszögű koordináta rendszer:
három, egy ponton átmenő, egymásra
merőleges, irányított egyenes (az x, az y, a z
koordináta tengely három egymásra merőleges koordináta síkot határoz meg. A tér
egy tetszőleges P pontját az x, y, z koordináták a koordináta síkoktól mért, előjeles
távolságok, egyértelműen meghatározzák.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

- Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta
rendszer:
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI







- Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta
rendszer:
Ábrázolják a koordináta rendszerben a következő
pontokat:
A(1; 2; 2);
B(-3; 1; -2);
C(3/2;-1; 9/2);
D(3; 1; -3);
E(-2; -1; 2).
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

- Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta
rendszer:
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Koordináta rendszerek
- Descartes- féle derékszögű koordináta
rendszer
Descartes szimuláció
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI


- Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta
rendszer:
Két pont távolsága:
Ha P1(x1;y1;z1)
és P2(x2;y2;z2)
A két pont
távolsága: d
d  (x 2 - x1 ) 2  (y 2 - y1 ) 2  (z 2 - z1 ) 2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Két pont távolsága:
Számítsuk ki két pont távolságát ha
P1(-2;3;5)
és P2(-3;4;0)
A két pont távolsága: d
d  (-3 - (-2))2  (4 - (3)) 2  (0 - (5)) 2
d  (-3  2)  (4 - 3)  (0 - 5)
2
2
d  (-1)2  (1) 2  (-5)2
d  1  1  25
d  27  3 3  5,196
2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái:
ha P1(x1;y1;z1) és P2(x2;y2;z2), az osztási arány
k=(P1P)/(P P2)
x 1  kx 2
x
1 k
y 1  ky 2
y
1 k
z 1  kz 2
z
1 k
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái:
ha P1(5;2;-1) és P2(-3;4;2), az osztási arány
k=(P1P)/(P P2)=1/2=0,5
5  0,5(3) 5  1,5
x

 2,333
1  0,5
1,5
2  0,5  4 2  2
y

 2,666
1  0,5
1,5
- 1  0,5  2  1  1
z

0
1  0,5
1,5
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Síkbeli egyenes egyenletei:
1. Origón és P(X,Y) ponton átmenő egyenes egyenlete
Ha az egyenes átmegy az origón, iránytényezője, vagy
meredeksége:
tgα=m=y/x,
amelyből az y-t kifejezve
Az egyenes egyenlete:
y=mx
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Síkbeli egyenes egyenletei:
2. Ha az egyenes átmegy a P1(x1;y1) ponton és m ismert,
akkor az egyenes egyenlete:
y=m(x-x1)+y1
3, Az egyenes átmegy a P1(x1;y1) és P2(x2;y2) pontokon,
akkor az egyenes egyenlete az
y=(y2-y1)/(x2-x1) (x-x1)+y1
vagyis m=(y2-y1)/(x2-x1)= (y1-y2)/(x1-x2).
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Síkbeli egyenes példák:
1. Határozzuk meg az egyenes egyenletét, ha az y tengelyt a
B pontban metszi és átmegy P ponton.
B(0;3) ,[B(0;b)]
és P (-3;4), [P(x;y)]
tgα=m=(y-b)/x,
m=(4-3)/(-3)=-1/3
Az egyenes egyenlete:
y=(-1/3)x+3
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Síkbeli egyenes példák:
2. Az egyenes átmegy a P1(5;-3) ponton és az m ismert, α
=35o, akkor az egyenes egyenlete az
m=tg35o=0,7002
y-(-3)=0,7002(x-(+5))
egyenletből számolható.
y+3=0,7002x-3,5
y=0,7002x-6,5
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Síkbeli egyenes példák:
3. Az egyenes átmegy a P1(-5;-1) és a P2(6;-2) ponton,
akkor az egyenes egyenlete az
y-(-1)=[(-2-(-1))/(6-(-5))](x-(-5))
egyenletből számolható
y+1=[(-2+1)/(6+5)](x+5)
y+1=[(-1)/(11)](x+5)=(-1/11)x -5/11
y=(-1/11)x -16/11
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Polárkoordináta rendszer
Pont koordinátái két dimenzióban:
R: távolság az origótól
α: szögtávolság a polártengelytől
Polárkoordináta demó
(pearl)
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Koordináta-transzformáció
Descartes - polár között:
R  X Y
2
2
X  R cos( )
Y  R sin(  )
Y
  arctg  n
X
Y
; x  0; y  0
X
Y
  arctg   ; x  0; y  0
X
Y
  arctg  2 ; x  0
X
  arctg


; x  0; y  0
2
3
  ; x  0; y  0
2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Vektorok
A vektorok jellemzői:
A vektor jele: A vagy  

A vektor összetevői, komponensei: Ax, Ay, Az
A vektor megadása: A=(Ax, Ay, Az), vagy
A=iAx+jAy+kAz
A vektor abszolút értéke:

2
2
2
A  Ax  A y  Az
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
A vektorok jellemzői:
Vektorösszetevők demó
(pearl)
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

A vektorok összeadása:



A  A x i  A y j  Azk




B  Bx i  By j  Bz k



 
A  B  (Ax  Bx ) i  (Ay  By ) j  (Az  Bz )k
A vektorok kivonása:



 
A  B  (Ax  Bx ) i  (A y  By ) j  (Az  Bz )k
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

A vektorok összeadása:
  
A  3 i  4 j - 2k
  

B  1 i  2 j  4k



 
A  B  (3  (1)) i  (4  2) j  ((-2) 4)k 
    
A  B  2 i  6 j  2k
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

A vektorok kivonása:
  
A  3 i  4 j - 2k
  

B  1 i  2 j  4k



 
A  B  (3  (1)) i  (4  2) j  ((-2) 4)k 
    
A  B  4 i  2 j  6k
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

Vektorok összeadása:
Vektorösszeadás demó
(pearl)
Vektorösszeadás demó
(html)
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

A vektorok skaláris szorzása:



A  A x i  A y j  Azk




B  B x i  B y j  Bz k

AB  (Ax * Bx )  (Ay * By )  (Az * Bz )
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

A vektorok skaláris szorzása:
 

A  (-2) i  3 j  (-1)k
 


B  (-1)i  2 j  (-2)k

AB  ((-2)* (-1)) (3* 2)  ((-1)* (-2))

AB  2  6  2  10
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

A vektorok vektoriális szorzása:



A  i A x  j A y  kA z


 
B  i Bx  j By  kBz

i
 
AxB  A x

j

k
Ay
Az
Bx
By
Bz
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

A vektorok vektoriális szorzása:
 
(AxB) x  A y  Bz - Az  By
 
(AxB) y  (A x  Bz - A z  Bx )
 
(AxB) z  A x  By - A y  Bx
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

A vektorok vektoriális szorzása:


 
(AxB)  (Ay  Bz - A z  By ) i - (Ax  Bz - A z  Bx ) j 

 (Ax  By - A y  Bx )k
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

A vektorok vektoriális szorzása:

 
A  2 i  (-1)j  3k
  

B  (-2)i  2j  2k

i

j

k
 
AxB  2 - 1 3
-2 2 2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

A vektorok vektoriális szorzása:
 
(AxB) x  (1)  2 - 3  2  8
 
(AxB) y  (2  2 - 3  (2))  -10
 
(AxB)z  2  2 - (-1) 2  6



 
(AxB)  -8 i -10j  6k
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

A vektorok vektoriális szorzása:
Vektoriális szorzás demó
(pearl)
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Geometria
Síkidomok, testek
Téglalap
 kerülete:
 területe:
Téglatest
 felszíne:
 térfogata:
k=2(a+b)
A=ab
A=2(ab+ac+bc)
V=abc
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Geometria
Síkidomok, testek
Háromszög
 kerülete: k=a+b+c
 területe:
am ac sin  bc sin  ab sin 
A



2
2
2
2
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Geometria
Síkidomok, testek
Derékszögű háromszög
a,b: befogó; c: átfogó
c2  a 2  b2
Pitagorasz-tétel:
Általánosítás tetszőleges háromszögre:
Koszinusz-tétel: c 2  a 2  b 2  2ab cos 
Szinusz-tétel: a : b : c  sin  : sin  : sin 
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Geometria
Síkidomok, testek
Kör
 kerülete:
 területe:
Gömb
 felszíne:
 térfogata:
k=2R
A=R2
A=4R2
V=4R3/3
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI
Geometria
Síkidomok, testek
Henger
 felszíne:
A=h2R2R2
 térfogata: V=hR2
Kúp
 térfogata: V=hR2/3