Transcript Тригонометрия

Тригонометрия
Учебное пособие для техникума
Тригонометрия












Учебный элемент № 1
Учебный элемент № 2
Учебный элемент № 3
Учебный элемент № 4
Учебный элемент № 5
Учебный элемент № 6
Учебный элемент № 7
Учебный элемент № 8
Учебный элемент № 9
Учебный элемент № 10
Учебный элемент № 11
Учебный элемент № 12
Понятие радиана и градуса.
Формулы перевода градусной меры угла в
радианную меру и обратно.
–



Цели
Усвоить понятие радиана
Познакомится с формулами перевода
градусной меры угла в радианную
меру и обратно
Вычислять значение градусной меры
угла и радианной меры угла
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
–



Содержание обучения:
Понятие радиана.
Связь радианной и градусной мер
углов.
Распределение точек на единичной
окружности.
ДАЛЬШЕ
§ 1. Радианное измерение угловых величин.

При радианном измерении дуг (и соответствующих им центральных углов) за единицу
измерения принимается радиан– дуга, длина которой равна радиусу этой дуги.
Радианная мера дуги вычисляется по формуле:
a=l/R,
(1)
где а– радианная мера дуги, l – длина дуги окружности, R – радиус этой дуги.
Формула перехода от градусного измерения к радианному имеет вид:
a=(π/1800 )β
(2),
где β – градусная мера дуги (угла).
0
Радианная мера 1 равна 0,0175 радиана.
Формула перехода от радианного измерения к градусному имеет вид
β=(1800 /π)a
(3)
градусная мера 1 радиана равна 57 017’44’’,8 ≈570 ,3.
Длина дуги окружности равна радианной мере дуги, умноженной на радиус этой дуги:
l=aR
(4)
Площадь кругового сектора равна половине радианной меры дуги сектора,
умноженной на квадрат радиуса круга: Sсект=aR2 /2
(5)
Полный круг составляет 360 градусов, т.е.2п (2*1800).
Если рассматриваемый угол больше 2п, то обозначение 2пn, где n – градусы.
Положительным направлением отсчета углов считается поворот по единичной
окружности (т.е. окружности с радиусом равным 1) против часовой стрелки, а
отрицательным – по часовой стрелке.
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
ДАЛЬШЕ
ТРЕНИНГ
1. Выразить в радианной мере величину
угла в 900.
По формуле (2) a = ( π / 1 8 0 0 ) β ,
. 2. Выразить в градусной мере величину
угла в
7п /6 рад.
По формуле (3) β = ( 1 8 0 0 / π ) a
900 = (п/1800 ) 900=п / 2 (рад)
7п / 6 =(1800 /п)( 7п / 6 ) = 2100
0 = 00
п / 6 = 300
п / 4 = 450
п / 3 = 600
п / 2 = 900
2п / 3 = 1200.
. 3. Построить на единичной окружности
точки:
0, п/ 6, п / 4, п / 3, п / 2, 2п / 3.
Построить единичную окружность;
Зная, что п = 1800, посчитать чему
равны углы в градусах;
Поставить значения углов на
окружности.
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
ДАЛЬШЕ
ТЕСТ
задания
ответы
1. переведите градусную меру угла в
радианную: 3000, - 1350, 2100.
5п / 3; - 3п / 4; 7п / 6.
2. переведите радианную меру угла в
градусную: 5п / 4; 3,5п; - 5п / 9.
2250; 6300; - 1000.
3. назовите координатную четверть,
которой принадлежит угол a , равный
10000, 20000.
4. Вычислите радиус окружности, если ее
дуга длиной 0,84 м содержит 1,5 радиана.
IV четверть, III четверть.
0,56
5. Поставьте точки на окружности.
-2000; 5000; 5п / 9; - п / 2.
Посттест на «3»
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
Посттест на «4» и «5»
ПОСТТЕСТ на «3»
–
1-й вопрос
выразите в радианной мере величину угла в 220.
 а) 90 ; б) 11 ; в) 4 .
90
30
11

НА ОГЛАВЛЕНИЕ
Посттест на «4» и «5»
2- й вопрос

выразите в градусной мере величину угла в 
 а)250;
б)
220;
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
в)
150.
12
.
2 вопрос

выразите в градусной мере величину угла в 
 а)250;
б)
220;
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
в)
150.
12
.
3- й вопрос
2
3

2

3
НА ОГЛАВЛЕНИЕ

4


6
Выберите ответ на
вопрос: щелкните по
значению угла в 600.
3 вопрос
2
3

2

3
НА ОГЛАВЛЕНИЕ

4


6
Выберите ответ на
вопрос: щелкните по
значению угла в 600.
На оглавление
На оглавление
НА «4» и «5»






Выразите в радианной мере величины углов: а) 400;
б) 1200; в) 200; г) 1350
Выразите в градусной мере величины углов: а)  ;
2
б) 2  ; в)  .
3
Угловая величина дуги АВ равна 2п/3, а ее радиус
равен 3 м. Найдите длину дуги АВ.
Найдите координаты точки единичной окружности,
полученной поворотом точки (1;0) на угол:

а)
; б)  ; в) 3 ; г) 2  .
2
2
Найдите все углы, на которую нужно повернуть точку
(1;0), чтобы получить точку с координатами (-1;0).
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
Тригонометрические функции числового аргумента.
Основные тригонометрические тождества.
–



Цели
Познакомиться с определением
тригонометрических функций;
Находить значения
тригонометрических функций
числового аргумента;
Применять основные
тригонометрические тождества для
нахождения тригонометрических
функций.
На оглавление
–


Содержание обучения:
Тригонометрические функции
числового аргумента;
Основные тригонометрические
тождества.
Дальше
§ 1. Тригонометрические функции числового
аргумента











Абсцисса Х точки Мα числовой единичной окружности (см.рис.) называется
косинусом числа α: Х = cos α
(1)
Ордината Y точки Мα числовой единичной окружности называется синусом
числа α:
Y = sin α
(2)
Областью определения косинуса и синуса служит множество всех
действительных чисел, т.е. D(cos α)=R, D(sin α)=R.
Отношение синуса числа α к его косинусу называется тангенсом числа α:
sin a
tga 
(3)
cos a
Область определения тангенса – множество всех действительных чисел за
исключением чисел вида.
Отношения косинуса числа α к его синусу называется котангенсом числа α:
соsa
сtga 
(4)
sin a
Область определения котангенса – множество всех действительных чисел за
исключением чисел вида.
Функции cosa и sina ограничены, т.к. Е(cosa) = [–1;1], E(sina) = [-1;1].
Функции tga и ctga неограничены, т.к. каждая из них может принимать
любое действительное значение , т.е. E(tga) = R, E(ctga) = R.
На оглавление
Дальше
§ 2. Основные тригонометрические тождества
sin a  cos a  1;
2
2
tga  ctga  1, a 
k
2
.k  ;
1

1  tg a 
, a   k , k  ;
2
cos a
2
1
2
1  ctg a 
, a  k , k  .
2
sin a
2
На оглавление
Дальше
Тренинг
Найти область определения
функций:
1) у=sin3x
2) y=1/sinx
3) y=tg4x
На оглавление
1) Здесь х – любое
действительное число, т.к. график
синуса расположен вдоль оси
абсцисс;
2) sinx не равен 0 (т.к. он в
знаменателе), значит x не равно
пk, k€Z;
3) т.к. область определения
тангенса (-п/2; п/2), то 4x не
должно быть равно п/2+пk,
значит x не должно быть равно
п/8 + пk/4, k€Z;
Дальше
Дано: sinx=3/5, x принадлежит (п/2; п).
Вычислить: 1) cosx; 2) tg x; 3) ctgx.



1)Выразим косинус из первого
тригонометрического тождества:
(во второй четверти косинус
имеет знак “–“).
Подставляем известное значение
синуса и вычисляем косинус.
2) Используем определение
тангенса (см.1 параграф);
подставим значение синуса и
найденное значение косинуса.

1) cos x   1  sin 2 x
cos x   1  (3 / 5) 2 = – 4/5.
2) tg x = (3/5) : (–4/5) = – 3/4
3) ctg x = – 4/3.
3) аналогично 2) найдем
котангенс.
На оглавление
Дальше
Доказать тождество:
sin x
1  cos x
2


1  cos x
sin x
sin x
1  cos x
2   sin 2 x  1  2 cos x  cos2 x
2 
 sin x
 




  
sin x
sin x  
(1  cos x) sin x
sin x 
 1  cos x
 1  1  2 cos x
2   2(1  cos x)
2 
  
 
 


 (1  cos x) sin x sin x   (1  cos x) sin x sin x 
2 
 2


;
 sin x sin x 
На оглавление
Дальше
Тест
Упростите выражения:

1. sin 2 a  tg 2 a  cos2 a;


2. sin 4 a  cos4 a  cos2 a;
cos a  sin a
3.
;
1  sin a cos a
4. sin a cos a (tga  ctga).
3
Ответы:
1.
1
2
cos a
3



2. sin2 a.
3. cos a – sin a.
4. 1
Посттест на «3»
На оглавление
Посттест на «4» и «5»
ПОСТТЕСТ НА «3»
1 вопрос
При каких значениях аргумента принимает
наименьшее и наибольшее значения
следующая функция:
Y = 0,5 cos2x
Ответы:
А) Унаиб.= 0,5; Унаим. = -0,5.







Б) Унаиб.= 2; Унаим. = -2.
В) Унаиб.= 5; Унаим. = -5.
На оглавление
2 вопрос
Найдите область определения функции
 Y = sinx + cosx ;

Ответы:
 А) х € [- 1; 1];
Б) х € [- 0,5; 0,5];
 В) х – любое действительное число.

На оглавление
2 - й вопрос
Найдите область определения функции
 Y = sinx + cosx ;

Ответы:
 А) х € [- 1; 1];
Б) х € [- 0,5; 0,5];
 В) х – любое действительное число.

На оглавление
3 вопрос

Дано: tgx = – ¾, II четверть. Вычислить
sinx, cosx, ctgx.
Ответы:
 А) sinx =-3/5; сosx = -4/5; ctgx = 4/3.
 Б) sinx =3/5; сosx = -4/5; ctgx = -4/3.
 В) sinx =4/3; сosx = -3/5; ctgx = -4/5.

На оглавление
3 – й вопрос

Дано: tgx = – ¾, II четверть. Вычислить
sinx, cosx, ctgx.
Ответы:
 А) sinx =-3/5; сosx = -4/5; ctgx = 4/3.
 Б) sinx =3/5; сosx = -4/5; ctgx = -4/3.
 В) sinx =4/3; сosx = -3/5; ctgx = -4/5.

На оглавление
НА «4» и «5»


1. Дано: tgx = – ¾, II четверть. Вычислить
остальные тригонометрические функции.
2. Докажите тождества:
cos x(1  tgx)(1  tgx)  cos x  sin x;
tgx
 sin 4 x
tgx  ctgx
2


3.
4
4
1  (sin x  cos x) 2
 2tg 2 x;
sin x cos x  ctgx
Упростите выражения:
(sin x  cos x) 2  (sin x  cos x) 2 ;
sin 2 x  cos4 x  sin 4 x
На оглавление
Основные свойства тригонометрических
функций.
Цели
1. Находить знаки значений
тригонометрических функций;
Содержание обучения:
1. Знаки значений тригонометрических
функций.
2. Четные и нечетные функции.
2. Какие функции являются четными,
нечетными и периодическими;
3.
Находить период функции.
3. Периодичность тригонометрических
функций.
4. Свойства и графики
тригонометрических функций.
На оглавление
Дальше
§ 1. Знаки значений тригонометрических функций.
Знаки тригонометрических функций по четвертям приведены в таблице:
II
III
IV
0<a<п/2
п/2<a<п
п<a<3п/2
3п/2<a<2п
Функция
sina
+
+
–
–
cosa
+
–
–
+
tga
+
–
+
–
ctga
+
–
+
–
Четверть
I
На оглавление
Дальше
Значения тригонометрических функций
некоторых углов приведены в таблице:
I четверть
90
0
30
45
60
0

6

4

3
1
2
2
2
sina
0
cosa
1
tga
0
ctga
-
На оглавление
3
2
3
3
3

2
3
2
1
2
1
1
3
-
1
3
3
0
2
2
Дальше
0
§ 2. Четные и нечетные функции.
Опр.1: функция f называется четной, если с каждым значением переменной х из области
определения f значение ( - х) также входит в область определения этой функции и при
этом выполняется равенство: f (- x) = f (x).
Опр.2: функция f называется нечетной, если с каждым значением переменной х из
области определения f значение ( - х) также входит в область определения этой функции
и при этом выполняется равенство: f (- x) = --f (x).
График любой четной функции симметричен относительно оси ординат, а гарфик любой
нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Теорема: косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.
Свойства четности и нечетности тригонометрических функций выражаются
следующими формулами: sin(–a) = – sina;
cos(–a) = cosa;
tg(–a) = – tga;
ctg(–a) = – ctga.
На оглавление
Дальше
§ 3. Периодичность тригонометрических функций.
Опр.: функция f называется периодической, если существует такое число , что при
любом  из области определения f числа ( – ) и ( + ) также принадлежат этой
области и при этом выполняется равенство f ( - ) = f () = f ( + ).
В этом случае число  называется периодом функции f. Ее периодами являются также
числа вида n, n, n0.
Теорема: функции синус, косинус, тангенс и котангенс являются периодическими.
Наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2.
Наименьший положительный период тангенса и котангенса равен ..
Свойства периодичности тригонометрических функций можно выразить тождествами:
sin = sin (+2k), k;
cos = cos (+2k), k;
tg = tg (+k), k;
На оглавление
ctg = ctg (+k), k;
Дальше
§ 4. Свойства и графики тригонометрических
функций.
1.
Синус
F(x) = sin x.
Свойства:
1) Область определения: R;
2) Область значений: [– 1; 1];
3) Четность (нечетность): Нечетная;
4) Наименьший положительный период: 2;
5) Координаты точек пересечения графика f с осью Ох: (n; 0);
6) Координаты точек пересечения графика f с осью Оy: (0; 0);
7) Промежутки, на которых f принимает положительные значения: (2n;  + 2n);
8) Промежутки, на которых f принимает отрицательные значения: (– + 2n; 2n);

 

 2  2n; 2  2n
;
3


10) Промежутки убывания:
;
 2  2n; 2  2n



11)Точки минимума:   1; 2  2n;  ; 12) Точки максимума:


9) Промежутки возрастания:
На оглавление
.
 

1;  2n 
 2

Дальше
1.
Косинус
F(x) = cos x.
Свойства:
1) Область определения: R;
2) Область значений: [– 1; 1];
3) Четность (нечетность): Четная;
4) Наименьший положительный период: 2;
5) Координаты точек пересечения графика f с осью Ох: (

2
+n; 0);
6) Координаты точек пересечения графика f с осью Оy: (0; 1);
7) Промежутки, на которых f принимает положительные значения: (

2

+2n; 2 + 2n);
8) Промежутки, на которых f принимает отрицательные значения: ( 2 + 2n; 3+2n);
9) Промежутки возрастания:
10) Промежутки убывания:
11)Точки минимума:
   2n;2n
2n;   2n
 1;   2n; ;
На оглавление
2
;
;
12) Точки максимума: 1;2n 
Дальше
.
Тренинг. Решение упражнений.
Алгоритм решения
Решение
Какие знаки имеют следующие выражения:
1) cos 150;
1)
90<150<180 (II четверть), cos 150<0;
2) sin 320;
2)
270<320<360 (IV четверть), sin320<0;
3) tg 220;
3)
180<220<270 (III четверть), tg220>0;
4) ctg 400.
4)
360<400<360+90 (I четверть), ctg
400>0.
Используя формулы параграфа
Упростить:
1) sin 2 (a)  cos(a)  tg (a);
3
2) sin( )  cos( )  tg (2 ).
2
Вычислить:
tg 2 ( / 3)  ctg( / 6)  2 sin( / 3) 
sin   4 cos(3 / 2)  2 cos( / 3).
На оглавление
1) sin 2 (a)  cos(a)  tg (a)  ( sin a) 2  cos a  tga 
sin 2 a  cos a  tga.
3
3
)  cos( )  tg (2 )   sin
 cos  tg 2 
2
2
1  (1)  0  0.
2) sin(
По таблице значений находим значение аргумента
каждой тригонометрической функции:
( 3) 2  3  2 
3
1
 0  40  2  2
2
2
Дальше
ТЕСТ
Какие знаки имеют следующие выражения:
1. 1. sin 170
2. cos 300
3. tg 160
4. ctg 315
5. tg 450
6. sin 400
7. sin (7п/3)
8. cos (4п/3)
9. 9. sin (5п/4)
10. cos (7п/5)
11. tg (8п/3)
12. ctg(9g/4)
Ответы:
2. +
3. –
4. –
5. Не сущ. 6. +
7. +
8. –
9. –
11. –
12. +.
1.
+
10. –
Упростите:
1) cos( )  sin( / 2)  sin(3 / 2);
2)2 cos( )  cos(2 )  sin(3 / 2).
1. 1
–2
Посттест на «3», «4» и «5»
На оглавление
Формулы сложения
Цели
Содержание обучения:
Повторить определения
тригонометрических функций;
1.
Косинус и синус суммы и
разности.
Познакомится с формулами
сложения тригонометрических функций;
2.
Тангенс суммы
Научиться применять формулы
сложения
На оглавление
Дальше
§ 1. Косинус и синус суммы и разности.
Формула косинуса суммы:
cos(a + в) = cosa cosв – sin а sin в.
(1)
Так как cos (– в) = cos в и sin(–в) = – sin в, из этой формулы следует:
cos(a – в) = cosa cosв + sin а sin в.
(2)
Формула синуса суммы имеет вид:
sin(а + в) = sin а cosв + cosa sin в.
(3)
заменив в формуле (3) в на (–в), приходим к формуле синуса разности:
sin(а – в) = sin а cosв – cosa sin в.
(4)
На оглавление
Дальше
§ 2. Тангенс суммы.
Вывод формулы тангенса суммы дается с помощью предыдущих формул
косинуса и синуса суммы и определения тангенса.
Формула тангенса суммы:
Tg (а + в) = tg а +tg в
1 – tg a tg в , а = п/2(2к+1), в= п/2(2к + 1), tga tgв = 1
(5)
подставляя в формулу (5) вместо в (–в) получим
формулу тангенса разности:
Tg (а – в) = tg а –tg в
1 + tg a tg в, а = п/2(2к+1), в= п/2(2к + 1), tga tgв = 1
На оглавление
Дальше
(6).
Тренинг. Решение упражнений
Вычислить:
3
5
1. sin(   ), если sin   , cos    ,
5
13

3
  ( ;  ),   ( ; ).
2
2
ответы
3
4
5
12
cos   1  ( ) 2   , sin    1  (  ) 2  
5
5
13
13
sin(   ) 
3
5
4
12
33
 ( )  ( )  ( )   .
5
13
5
13
65
вычислим sin 750 и cos 750.
Заметим, что 750 = 450 + 300
Поскольку синусы и косинусы
углов 45 и 30 градусов известны,
с помощью формул синуса и
косинуса суммы находим, чему
равны синус 750 и косинус 750.
На оглавление
Sin750 =sin(300+45)=sin30 cos45 +
cos30 sin45 = 1  2  3  2  2  6
2
2
2
2
4
Cos75=cos(30 +45 )=cos30 cos45 –
sin30 sin45 = 3  2  1  2  6  2
2
2
Дальше
2
2
4
Вычислим выражения:
1) sin 200 cos 400  cos 200 sin 400  sin(200  400 ) 
1) sin 200 cos 400  cos 200 sin 400
 sin 600  3 / 2.
2) cos 470 cos170  sin 470 sin 170 .
2) cos 470 cos170  sin 470 sin 170  cos(470  170 ) 
 cos300  3 / 2.
Доказать тождества:

2 cos  2 cos(   )
4
1)
 tg ;

2 sin(   )  2 sin 
4
Упрощая левую часть равенства, получим
2



cos  cos(   )) cos cos  cos cos 
2
4
4
4




2
2(sin(   ) 
sin  ) sin cos  cos sin  
4
4
4
2
2(
 sin

4

sin 
 cos sin 
4

sin
sin

4

4
sin 
 tg .
cos
тождество доказано.
На оглавление
Дальше
ТЕСТ
задания
1. вычислите: а)sin1050; б)cos150.
ответы
а)sin(45+60)=sin45cos60+cos45sin60=
б)cos(60-45)= 6  2
4
2. вычислите:
а) cos250 sin650 +sin250 cos650;
б) cos 7п/10 cosп/5 + sin 7п/10 sinп/5
а) sin(65+25)= sin90 = 1;
б) cos (п/2) =0
3. Докажите тождество:
а) cos(a+в)cos(a – в)+ sin(а + в) sin(а – в)=cos2в
б) tga + tg(450 – a) = 1
1 – tgatg(450 –a)
Посттест на «3»
На оглавление
Посттест на «4» и «5»
6 2
4
ПОСТТЕСТ НА «3»
1 вопрос
1. вычислите:
sin п/6 cos п/3 + cos п/6 sin п/3
Ответы:
А) 1
Б) 0,5
В)-1
2 вопрос
2. вычислите cos(a + в), если известно, что
sin а =sin в = 5/13 и 0<а<п/2, п/2<в<п
Ответы:
А) 1
Б) –1
В) 0
2-й вопрос
2. вычислите cos(a + в), если известно, что
sin а =sin в = 5/13 и 0<а<п/2, п/2<в<п
Ответы:
А) 1
Б) –1
В) 0
ПОСТТЕСТ НА «4» И «5»
1. вычислите:
cos п/7 sin8п/7 – sin п/7 cos8п/7
2. вычислите cos(п/3 – a), если известно,
что cos а = 2/5 и 3п/2<а<2п.
3. докажите тождество:
cos(а + в) cos (a – в)= сos2 в – sin 2a
4.упростите выражение:
cos(а + п/3) – cos(а – п/3)
На оглавление
Формулы двойного и половинного
аргументов
Цели:
Повторить определения тригонометрических
функций;
Содержание обучения:
1.
Тригонометрические функции
двойного аргумента.
Повторить формулы сложения
тригонометрических функций;
2. Тригонометрические функции
половинного аргумента
Познакомится с формулами двойного и половинного
аргументов тригонометрических функций;
Научиться применять формулы двойного и
половинного аргументов
На оглавление
Дальше
§ 1. Тригонометрические функции двойного
аргумента
Формулы сложения позволяют выразить sin 2a, cos 2a и tg 2a через тригонометрические функции
угла а. Положим в формулах:
cos(a + в) = cosa cosв – sin а sin в; sin(а + в) = sin а cosв + cosa sin в;
Tg (а + в) = tg а + tg в
1 – tg a tg в
в равным а. Получим тождества:
sin 2a = 2 sin a cos a,
(1)
cos 2a = cos2 a – sin2 a,
(2)
tg 2a = 2 tg a , а= п/2+пk, а=п/4+пk/2.
(3)
1 – tg2 a
ctg2a = ctg2 a –1 , а= пk/2
(4)
2 ctga
Эти тождества называют формулами двойного угла.
Если выразить правую часть формулы (2) через синус или косинус, то приходим к следующим
тождествам:
cos 2a = 2 cos2 a – 1
(5)
2
cos 2a = 1 – 2 sin a
(6)
На оглавление
Дальше
§ 2. Тригонометрические функции половинного
аргумента
sin2 a = 1 – сos 2a
Если из формул (5) и (6) выразить cos2 a и sin2 a, получим:
cos2 a = 1 + cos 2a
2
заменим теперь а на а/2, получим:
sin2 a = 1 – сos 2a
cos2 a = 1 + cos 2a
2
2
2
2
значит :
sin a = + 1 – сos a
(7)
cos a = + 1 + cos a
(8)
2
2
2
tg a = sin a/2 = sin a
(9)
2
tg a = + 1 – cos a
,
а=п(2k+1) (10)
2
cos a/2
1+cos a.
ctg a = cos a/2 = sin a
2
(11)
1 + cos a
ctg a = + 1 + cos a , а=2п
(12)
2
sin a/2
1–cos a.
2
1 – cos a
В формулах (7) и (8), знак перед корнем определяется по знаку четверти, которой
На
оглавление
Дальше
принадлежит дуга а/2.
В формулах (10) и (12), знак перед корнем берется так, чтобы он совпадал со знаком
tg(a/2), т.е. +, если I
Тренинг. Решение упражнений
известно, что sin a = 0,6, и 0<a<п/2. Вычислите sin2a, cos2a, tg2a.
Из основного тригонометрического тождества: cos2 a+ sin2 a = 1 выразим cosa и
вычислим его значение: cosa = 0,8
найдем sin 2a = 2 sin a cos a: sin 2a = 2*0,6*0,8 =0,96
Найдем cos 2a = cos2 a – sin2 a: cos 2a = 0,64 – 0,36 = 0,28
Найдем tg 2a = sin 2a :
tg 2a = 0,96/0,28 = 24/7
сos 2a
1.
упростите: 1 + cos a tg2 a – cos2 a
1 – cos a
2
разложим тангенс половинного угла: tg2 a = 1 – cos a
2 1 + cos a
Сократим, приведем подобные: 1 + cos a 1 – cos a – cos2a=1–cos2a = sin2 a
1 – cos a* 1 + cos a
2.
3.
Вычислить tg(a/2), если: sina = 4/5 и п/2<a<п;
4
3
Находимcos   1  ( ) 2  
5
5
На оглавление
По формуле (9)
tg

2

4
3
 (1  )  2.
5
5
Дальше
ТЕСТ
Задания
1. известно, что cos a = –5/13 и sin a >0.
Найдите sin2a, cos2a, tg2a.
Ответы
sin2a=  120 ; соs2а=
tg2a=
2. найдите sina/2, cosa/2 и tga/2, если
cosa= – 12/13 и а принадлежит
IIIчетверти.
sin
169
120
119
119
169
;
а
25
а
1
а
25

5
; соs  
; tg 
2
26
2
26
2
1
3.упростите выражение:
1 – cos a . сtg a – sin2 a
1 + cos a
2
соs2 a
4. упростите выражение:
1 – 2 sin2 a + cos2a
2 cos2a
На оглавление

Дальше
ПОСТТЕСТ
На «3» решить первые 3 задания.
На «4-5» решить соответственно 4 и 5 заданий.
I вариант
II вариант
1. пусть cos a= –0,6 и а – угол III
четверти, найдите sin2a, cos2a, tg2a.
1. пусть tg a= 3/4 и а – угол III
четверти, найдите sin2a, cos2a, tg2a.
2. вычислите 2 sin 15 cos 15
2. вычислите 2 sin 30 cos 30
3. докажите тождество:
(sin a + cos a) – sin 2a = 1
3. докажите тождество:
4 sin a cos a cos 2a = sin 4a.
4. Упростите выражение:
4.упростите выражение:
4 сos a/4 cos (2п + а)/4 cos (2п +а)/2
4 sin a/2 sin (п – а)/2 sin (3п/2 – а)
5. упростите выражение:
sin  cos 
cos 2   sin 2 
На оглавление
5. упростите выражение:
2 sin 2   1
1  2 cos2 
Формулы приведения
Цели
Содержание обучения:
Узнать свойства полупериода синуса и
косинуса.
1. Свойства полупериода синуса и косинуса.
Познакомиться с формулами приведения;
2. Формулы приведения.
Применять формулы для нахождения
тригонометрических функций
На оглавление
Дальше
§ 1. Свойства полупериода синуса и косинуса
Функции синус и косинус при уменьшении или увеличении аргумента на  изменяются
только по знаку:
Sina = – sin(a + )
(1)
Cosa = – cos(a + )
(2)
Если к аргументу прибавить , умноженное на любое нечетное число, то получатся формулы:
Sina = – sin[a +  (2k+1)]
(3)
Cosa = – cos[a +  (2k+1)]
(4)
Т.е. функции синус и косинус при изменении аргумента на  (2k+1) изменяются только
по знаку.
На оглавление
Дальше
§ 2. Формулы приведения
Формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции углов

3
 ,  ,
  ,2   через тригонометрические функции угла .
2
2
Функция
sin
cos
tg
ctg
– sin
cos
– tg
–ctg

cos
sin
ctg
tg
Аргумент
–
(90 – )

(90 + )


cos
– sin
– ctg
– tg
(180 – )
 
sin
– cos
– tg
– ctg
(180 +)
 
– sin
– cos
tg
ctg
2
2
На оглавление
Дальше
Тренинг. Решение упражнений
Вычислить:
1) sin 1500 ;
2) sin(1200 );
0
3) cos 225 ;
4) cos(2400 ).
В примерах 1) – 4) используем формулы (1) и (2), а также свойства
четности и нечетности тригонометрических функций:
1) sin 1500   sin(1500  1800 )   sin(300 )  1 / 2;
2) sin(1200 )   sin(1200  1800 )   sin 600  
3
;
2
2
;
2
4) cos(2400 )   cos(2400  1800 )   cos(600 )   cos 600  1 / 2.
3) cos 2250   cos(2250  1800 )   cos 450  
Вычислить:
7
1) sin( );
6
2
2) cos( ).
3
7
1

 1
)   sin(1    )   sin( )  sin  ;
6
6
6
6 2
2
2

1
2) cos( )   cos(
  )   cos   .
3
3
3
2
1) sin(
На оглавление
Дальше
ТЕСТ
Вычислить:
0
1) sin 135 ;
2)ctg1500 ;
0
3) cos 70 .
Вычислить:
2
);
3
3
2) cos( ).
4
1) sin(
2
;
2
2)  3 ;
1)
3) sin 200.
3
;
2
2
2) 
.
2
1) 
Вычислить:
1) sin(8100 )  cos(9000 )  tg ( 3950 )  ctg5750 ;
13
17
22
37
2) sin(
)  cos(
)  tg (
)  ctg(
).
6
3
3
4
На оглавление
1)  3;
2) 3  1.
Посттест на «3»
Посттест на «4» и «5»
Посттест на «3»
1. Вычислить:
cos 2400.
Ответы:
А) -1/2
Б) 1/2
В) 1
2 задание
Вычислить:
sin(23830 )  cos(4950 )  sin(20230 ).
Ответы:
2
А) 
.
2
Б )  3.
В)  1 / 2.
2-е задание
Вычислить:
sin(2383 )  cos(495 )  sin(2023 ).
0
2
А) 
.
2
0
Б )  3.
0
В)  1 / 2.
Посттест на «4» и «5»
Вычислить:
1) sin 12000  cos14100  3tg9300.
Упростите:
tg ( 

2
)  ctg (   )  cos( 
sin(   )
Докажите тождество:
3

1  ctg 2 (  )
tg (  )
3
)
2
2 
2
 1

1  ctg 2 (  2 )
ctg(  )
2
На оглавление
Формулы суммы и разности
тригонометрических функций
Цели
Содержание обучения:
Познакомиться с формулами суммы и разностиФормулы суммы и разности
тригонометрических функций;
косинусов (синусов)
Применять формулы для нахождения
тригонометрических функций.
На оглавление
Преобразование произведения
тригонометрических функций в
алгебраическую сумму.
Дальше
§ 1. Формулы суммы и разности тригонометрических
функций.
Сумму и разность синусов и косинусов можно представить в виде произведения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin a + sin в, положим а = х+у и
в = х–у и воспользуемся формулами сложения. Получим:
Sin a + sinв = sin (x+y) + sin (x –y) = sinxcosy + cosxsiny + sinxcosy – cosxsiny = 2sinxcos
Из условий а = х + у и в = х– у находим, что х = (а + в) /2 и у = (а – в)/2. Тогда
sin a + sin в = 2 sin (a + в) сos (a – в)
(1)
2
2
получили формулу суммы синусов двух углов.
Аналогично можно вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов.
sin a – sin в = 2 sin (a – в) сos (a + в)
(2)
2
2
cos a + cos в = 2 cos (a + в) сos (a – в)
(3)
2
2
cos a – cos в = –2 sin (a + в) sin (a – в)
(4)
2
2
На оглавление
Дальше
sin(a  b)


, a   k , b   k
cos a cosb
2
2
sin(a  b)


tga  tgb 
, a   k , b   k
cos a cosb
2
2
tga  tgb 
Часто используются также следующие формулы:
a
;
2
a
1  cos a  2 sin 2 ;
2
1  cos a  2 cos2

a
 );
4 2
 a
1  sin a  2 sin 2 (  ).
4 2
1  sin a  2 cos2 (
На оглавление
Дальше
§ 2. Преобразование произведения
тригонометрических функций
в алгебраическую сумму.
1
sin  cos   [sin(   )  sin(   )];
2
1
cos cos   [cos(   )  cos(   )];
2
1
sin  sin   [cos(   )  cos(   )].
2
На оглавление
Дальше
Тренинг. Решение упражнений
Алгоритм решения
Решение
упростим сумму:
sin 10 + sin 50
воспользуемся формулой суммы
синусов
sin10+sin50=2sin(10+50)/2cos(10–50)/2
=2sin30cos(–20) = 2 * ½ * cos 20= cos 20
представьте в виде произведения:
cos 0,3п – sin 0,6п
1. sin 0,6п = sin 6п/10 = sin 3п/5,
переведем его в градусы.
2. сos 0,3п тоже переведем в градусы.
3. Представим синус в виде суммы
sin 108 = sin (90+18), разложим по
формуле синуса суммы.
4. Получилось выражение: cos 54 –
cos18, разложим его по формуле разность
косинусов.
5. Упростим выражение и получим:
–2 sin 36 cos 18
sin 3п/5= sin 108
2. cos 0,3п = cos 54
3. sin 108 = sin (90+18)=sin90cos18 +
+cos90 sin18 = cos18, т.к. косинус 90
равен нулю.
4. cos54–cos18= –2sin(54+18)/2*sin(54
–-18)/2
5. cos54–cos18= –2 sin 36 cos 18
1.
2.
На оглавление
1.
Дальше
Тест
Задания
Ответы
1. разложите на множители
выражение:
a)sin 3a + sin a; б) cos y – cos 3y.
а) 2sin(2a)cosa;
б) –2sin(2y)sin(-y)=2sin(2y)siny
2. представьте в виде
произведения:
sin 15 + cos 65.
Sin15 = sin(90-75) = sin90cos75–
cos90sin75 =
= cos75,
cos75 + cos65 = 2 cos70cos5
3. докажите, что:
sin a  sin 2a  sin 4a  sin 5a
 tg 3a.
cos a  cos 2a  cos 4a  cos 5a
4. вычислите:
4 sin

8
cos

8
; сos 2

8
 sin 2

8
5. проверьте, что:
sin 10 + sin 50 – cos 20 = 0
На оглавление
.
.
2;
2
2
Посттест на «3», «4» и «5»
Выбрать 2 вариант
Обратные тригонометрические функции.
Построение дуги (угла) по данному значению
тригонометрической функции.
Цели
Содержание обучения:
Узнать обратные тригонометрические функции. 1. Обратные
тригонометрические функции.
Познакомиться со способом построения и
2. Построение дуги (угла) по
нахождением дуги (угла) по данному значению
заданному значению
тригонометрической функции;
тригонометрической функции.
Применять формулы для нахождения дуг (углов).
На оглавление
Дальше
§ 1. Обратные тригонометрические функции
Функция y = sinx на отрезке [–/2; /2] обратима, т.е. имеет обратную функцию, которая
называется арксинусом и обозначается y = arcsin x:
D (arcsin x)= [–1; 1], E (arcsin x) = [–/2; /2];
Sin (arcsin x)= x, где х  [–1; 1]; arcsin (–x) = – arcsin x.
Функция y = cos x на отрезке [0; ] обратима, т.е. имеет обратную функцию, которая
называется арккосинусом и обозначается y = arccos x:
D (arccos x)= [–1; 1], E (arccos x) = [0; ];
cos (arccos x)= x, где х  [–1; 1]; arccos (–x) = – arccos x.
Функция y = tg x на промежутке (–/2; /2) обратима, т.е. имеет обратную функцию,
которая называется арктангенсом и обозначается y = arctg x:
D (arctg x)= R, E (arctg x) = (–/2; /2);
tg (arctg x)= x, где х  R; arctg (–x) = – arctg x.
Функция y = ctg x на промежутке (0; ) обратима, т.е. имеет обратную функцию, которая
называется арккотангенсом и обозначается y = arcctg x:
D (arcctg x)= R, E (arcctg x) = (0; );
ctg (arcctg x)= x, где х  R; arcctg (–x) = – arcctg x.
На оглавление
Дальше
§ 2. Построение дуги (угла) по данному значению
тригонометрической функции
Найти множество дуг , синус которых равен а.
На оси OY единичной окружности построим точку N (0;a)
и проведем через нее прямую, параллельную оси ОХ.
1.
Пусть |а| < 1; тогда прямая y = а пересечет единичную
окружность в точках М1 и М2 (см.рис.), симметричных
относительно оси OY.
Точке М1 соответствует дуга АМ1 = arcsin a, а точке М2
– дуга  – arcsin a. Каждая из этих дуг имеет синус
равный а. Множество дуг, оканчивающихся в точке М1 и
имеющих синус, равный а, выражается формулой:
 = arcsin a +2k (k),
а множество дуг, оканчивающихся в точке М2 и имеющих синус, также равный а,
выражается формулой:
 =  – arcsin a +2k (k),
n
т.к. (–1) = 1 при n = 2k (т.е. если n – четное) и (–1) = –1 при n = 2k +1 (n – нечетное),
то эти две формулы можно объединить в одну:  = (–1)n arcsin a +n (n).
1.
Частные случаи: а) если а = 1, то

На

2
 2k , ( k  Z )
б) если а = –1, то      2k , ( k  Z )
2
оглавление
Дальше
2.
Найти множество дуг , косинус которых равен а.
На оси OX единичной окружности построим точку N (a;0)
и проведем через нее прямую, параллельную оси ОY.
1. Пусть |а| < 1; тогда прямая x = а пересечет единичную
окружность в точках М1 и М2 (см.рис.), симметричных
относительно оси OX.
Точке М1 соответствует дуга АМ1 = arccos a, а точке М2
– дуга – arccos a. Каждая из этих дуг имеет косинус
равный а. Множество дуг, оканчивающихся в точке М1 и
имеющих косинус, равный а, выражается формулой:
 = arccos a +2k (k),
а множество дуг, оканчивающихся в точке М2 и имеющих косинус, также равный а,
выражается формулой:
 = – arccos a +2k (k),
эти две формулы можно объединить в одну:
 =  arccos a +2n (n).
Частные случаи: а) если а = 1, то  2k , (k  Z )
б) если а = –1, то 
На оглавление
   2k , (k  Z )
Дальше
3.
Найти множество дуг , тангенс которых равен а.
На оси тангенсов построим точку N (1;a).Проведем через
эту точку и начало координат прямую, которая пересечет
единичную окружность в точках М1 и М2 (см.рис.).
Тангенс дуг АМ1 и АМ2 равен ординате а точки N –
точке пересечения продолжения радиуса ОМ1 с осью
тангенсов.
Точке М1 соответствует дуга АМ1= arctg a,
а точке М2 соответствует дуга АМ2= arctg a + .
Каждая из этих дуг имеет тангенс равный а.
Множество дуг, оканчивающихся в точках М1 и М2 записывается общей формулой:
 = arctg a +n (n).
На оглавление
Дальше
4. Найти множество дуг , котангенс которых равен а.
На оси котангенсов построим точку N (a;1).Проведем через
эту точку и начало координат прямую, которая пересечет
единичную окружность в точках М1 и М2 (см.рис.).
Котангенс дуг АМ1 и АМ2 равен абсциссе а точки N –
точке пересечения продолжения радиуса ОМ1 с осью
котангенсов.
Точке М1 соответствует дуга АМ1= arcctg a,
а точке М2 соответствует дуга АМ2= arcctg a + .
Каждая из этих дуг имеет котангенс равный а.
Множество дуг, оканчивающихся в точках М1 и М2 записывается
общей формулой:
 = arсctg a +n (n).
На оглавление
Дальше
Тренинг. Решение упражнений
Алгоритм решения
Решение
Записать главные дуги, синус
которых равен: 1) 0; 2) –1;
3) 1; 4) 3/2; 5) –1/2.
1) = arcsin0 = 0;
2) = arcsin(–1)= –
arcsin1 = –/2;
3) = arcsin1 = /2;
4) = arcsin3/2 = /3;
5) = arcsin(–1/2) = – arcsin(1/2)= – /6.
Записать множество дуг, синус
которых равен ½.
На окружности имеются две точки, служащие
концами дуг 1 и 2, синус которых равен ½:
1= arcsin1/2 = /6 и 2= – arcsin1/2 = – /6.
Следовательно, искомое множество дуг выражается



формулами:    2k и      2k     ( 2k  1)
6
6
или   ( 1) n   6
n, (n  Z )
6
Построить главные дуги arcsin
(2/5) и arcsin (–2/5).
На оглавление
Дальше
Записать главные дуги,
косинус которых равен: 1) 0;
2) 1; 3) –1; 4) –2/2; 5)
1/2.
1) = arccos0 = /2;
2) = arccos1=0;
3) = arccos(–1) = ;
4) = arccos(–2/2) = – arccos(–2/2)= –
/4=3/4 ;
5) = arccos1/2 = /3.
Записать множество дуг,
косинус которых равен ½.
На окружности имеются две точки,
служащие концами дуг 1 и 2, косинус
которых равен ½:
1= arccos1/2 = /3 и 2= – arccos1/2 = – /3.
Следовательно, искомое множество дуг
выражается формулой: .     2n, (n  Z )
3
Построить главные дуги
arccos (2/3) и arccos (–2/3).
На оглавление
Дальше
Записать главные дуги, тангенс
которых равен: 1) 0; 2) 1; 3)
–1; 4) –3/3; 5) 3.
1) = arctg0 = 0;
2) = arctg1=/4;
3) = arctg(–1) = –arctg1= –/4;
4) = arctg(–3/3) = – arctg(3/3)= –/6 ;
5) = arctg 3= /3.
Записать множество дуг, тангенс
которых равен 3.
На окружности имеются две точки, служащие
концами дуг 1 и 2, тангенс которых равен 3:
1= arctg3 = /3 и 2= arctg3+ = /3+.
Следовательно, искомое множество дуг
выражается формулой: .

   n, ( n  Z )
3
Построить главные дуги arctg
(4/3) и arctg (– 4/3).
На оглавление
Дальше
Записать главные дуги, котангенс
которых равен:
1) 3/3; 2) –1;
3) 3; 4) ––3.
1)
= arcctg(3/3) = /3;
2)
= arcctg(–1)= – arcctg1=–/4=3/4;
3) = arcctg3 = /6;
4) = arcctg(–3)= – arcctg 3= –/6= 5/6.
Записать множество дуг,
котангенс которых равен 3.
На окружности имеются две точки, служащие
концами дуг 1 и 2, косинус которых равен 3:
1= arcctg3 = /6 и 2= arcctg3 + = /6 +.
Следовательно, искомое множество дуг
выражается формулой: .


6
Построить главные дуги arcctg1 и
arcctg (–1).
На оглавление
Дальше
 n, ( n  Z )
Тест
Задания
Записать главные дуги, синус которых
равен: 1) 1/2; 2) 2/2; 3) –2/2.
Записать множество дуг, синус которых
равен 3/2.
Ответы
1) /6; 2) /4; 3) –/4.
  ( 1) k

3
 k , ( k  Z )
Построить главные дуги arcsin (1/3) и
arcsin (–1/3).
Записать множество дуг, косинус
которых равен 1)–½; 2) 3/2.
Построить главные дуги arccos (4/5) и
arccos (–4/5).
Записать главные дуги, тангенс
которых равен: 1) ½; 2)3/3; 3) –3.
На оглавление
1) 
2) 
2
 2k , ( k  Z );
3

6
 2k , ( k  Z ).
1)arctg(1/2); 2)/6;
Посттест
3)–/3.
Посттест на «3», «4» и «5»
На «3» выполнить первые два задания.
На «4» выполнить первые три задания.
На «5» выполнить все задания.
Построить дуги, косинус которых равен (0,6).
Записать множество дуг, тангенс которых равен
1)–1; 2)3.
Записать главные дуги, котангенс которых
равен 3/3
Вычислить cos(a/2), если cos a=  369
и . 180  a  270
0
На оглавление
0
625
Тригонометрические уравнения
и тригонометрические неравенства
Цели
Решать простейшие тригонометрические
уравнения.
Содержание обучения:
Тригонометрические уравнения.
Тригонометрические неравенства.
Решать простейшие тригонометрические
неравенства
На оглавление
Дальше
§ 1. Тригонометрические уравнения
Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения
sinx = m, cos x = m, tg x = m, ctg x = m,
где m – данное число.
Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех значений
аргументов (дуг или углов), при которых данная тригонометрическая функция принимает
заданное значение m.
1.
Решить уравнение sinx = m.
Решение: Если |m|  1, то на единичной окружности имеются
две дуги arcsin m и  – arcsin m, синус которых равен m и
концы которых симметричны относительно оси OY.
Наименьшая по абсолютной величине дуга arcsin m из
 
промежутка  ;  , синус которой равен m, называется
 2 2
главным решением уравнения sinx = m. Множество всех
искомых дуг, удовлетворяющих уравнению sinx = m, находится прибавлением к
найденным двум дугам любого целого числа периодов синуса:
 arcsin m  2k,
или
х
  arcsin m  2k ,

arcsin m  2k,
х
  arcsin m   (2k  1).
Множество корней уравнения можно записать одной формулой:
х = (–1)n arcsin m + n (n).
На оглавление
Дальше
Если |m|>1, то уравнение решения не имеет.
Частные случаи:

1) sinx = –1,
;
х    2k , ( k  Z )
2
2)
sinx = 0,х  k , (k  Z )
3)
sinx = 1,х 

2
На оглавление
;
 2k , ( k  Z )
Дальше
2.
Решить уравнение cosx = m.
Решение: Если |m|  1, то на единичной окружности имеются две дуги arccos m и – arccos m,
косинус которых равен m и концы которых симметричны относительно оси OХ.
0;  
Наименьшая по абсолютной величине дуга arccos m из промежутка
, косинус которой
равен m, называется главным решением уравнения cosx = m. Множество всех искомых дуг,
удовлетворяющих уравнению cosx = m, находится прибавлением к найденным двум дугам
любого целого числа периодов косинуса
х =  arccos m + k (k).
Если |m|>1, то уравнение решения не имеет.
Частные случаи:
1)
cosx = –1,х    2k , илих   (2k  1), k  Z
;
2)
3)
cosx = 0,х


 k , ( k  Z )
2
cosx = 1,х  2k , ( k  Z )
На оглавление
;
Дальше
Решить уравнение tgx = m.
  
Решение: Наименьшая по абсолютной величине дуга arctg m из промежутка  2 ; 2 
,
тангенс которой равен m, называется главным решением уравнения tgx = m. Множество
всех искомых дуг, удовлетворяющих уравнению tgx = m, находится прибавлением любого
целого числа периодов тангенса
х = arctg m + k (k).
3.
Частный случай:
tgx = 0,х  k , (k  Z )
4. Решить уравнение сtgx = m.
Решение: Наименьшая положительная дуга arсctg m из промежутка
, котангенс
0;  
которой равен m, называется главным решением уравнения сtgx = m. Множество всех
искомых дуг, удовлетворяющих уравнению сtgx = m, находится прибавлением любого
целого числа периодов котангенса
х = arcсtg m + k (k).
Частный случай:
сtgx = 0,х    k , ( k  Z )
2
На оглавление
Дальше
§ 2. Тригонометрические неравенства.
Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства
sinx < m, sinx > m, cos x < m, cosx > m, tg x < m, tgx >m, ctg x < m, ctgx > m,
где m – данное число.
Решить простейшее тригонометрическое неравенство – значит найти множество всех
значений аргументов (дуг или углов), которые обращают данное неравенство в верное
числовое неравенство.
На оглавление
Дальше
Тренинг. Решение упражнений
Алгоритм решения
Решение
1) Решить уравнение sinx = ½.
Главным решением является дуга АМ1
 
= /6 из промежутка  ;  ,
 2 2
синус которой ½.
Множество корней уравнения имеет
вид:
х = (–1)n arcsin 1/2 + n, (n)
х = (–1)n /6 + n, (n).
2) Решить неравенство: sinx < ½.
Учитывая свойство ограниченности
синуса, данное неравенство можно
переписать так: –1< sinx < ½. Имеем:
АМ1 = /6, АМ2 = –  – /6= – 7/6.
Неравенству sinx < ½ удовлетворяют
дуги из промежутка   7 ;   .

6
6
Т.к. синус периодическая функция, то
надо добавить период:

 7

 2k ;  2k  , k.


6
6

На оглавление
Дальше
3). Решить неравенство: |sinx| >
½.
Это неравенство выполняется
для всех дуг х1 < x < x2 и х3 < x <
x4 , где х1 = /6,
х2 = –/6 = 5/6,
х3 = х1 + = /6 + ,
х4 = х2+= 5/6+, т.е.
/6 < x< 5/6, и /6+ < x <
5/6+. Общим решением служит
множество дуг вида:
5

 , k.
 k 
  k ;
6
6

4)
Решить уравнение cosx = –½.
Главным решением является дуга
АМ1 = –/3=2/3 из промежутка
0;  
косинус которой –½.
Множество корней уравнения
имеет вид:
х =  arcсоs(–1/2) + 2n, (n)
х =  2/3 + 2n, (n).
На оглавление
Дальше
5) Решить неравенство: соsx >– ½.
Перепишем данное неравенство
так: –1/2< cosx < 1.
Неравенству cosx >–½
удовлетворяют дуги из
промежутка   2 ; 2  . Общим
 3 3 
решением будет:
2
 2

 2k ;
 2k  , k.

3
 3

6) Решить неравенство: соsx <– ½.
Перепишем данное неравенство
так: –1 cosx < -1/2. Имеем: АМ1 =
–/3=2/3, АМ2 = + /3= 4/3.
Неравенству cosx < –½
удовлетворяют дуги из
 2 4 
промежутка  3 ; 3 
. Т.к.
косинус периодическая функция,
то:
4
 2

 2k ;
 2k 

3
 3

, k.
На оглавление
Дальше
7) Решить неравенство: |соsx| > 2/2.
Это неравенство выполняется для всех дуг х1 < x < x2 и
х3 < x < x4 , где х1 = /4,
х2 = –/4,
х3 = х1 + = /4 + ,
х4 = х2 – = –/4 – , т.е. для
–/4 < x< /4, и –/4– < x < /4+.
Общим решением служит множество дуг вида:

 

   k ;  k 
4
 4

, k.
8) Решить уравнение tgx = 3.
  
Главным решением является дуга /3 из промежутка   2 ; 2 
тангенс которой равен 3. Множество корней уравнения
имеет вид: х=/3+k, k.
9) Решить неравенство: tgx > 3.
Учитывая свойство неограниченности тангенса, запишем
3< tgx <+ . Неравенству
tgx > 3 удовлетворяют дуги из
 
;
промежутка:  3 2  , учитывая период:



  k ;  k 
2
3

На оглавление
, k.
Дальше
10) Решить уравнение сtgx = –1.
Главным решением является дуга –/4=3/4
из промежутка 0;   , котангенс которой
равен –1. Множество корней уравнения имеет
вид: х=3/4+k, k.
11) Решите неравенство ctgx >1.
Учитывая свойство неограниченности
котангенса, запишем 1< сtgx <+ .
Неравенству сtgx > 1 удовлетворяют дуги из
промежутка:  0;   , учитывая период:

4




k
;
 k  , k.

4


На оглавление
Дальше
Тест
Задания
Ответы
Решить уравнение sinx = 2/2;
х = (–1)n /4 + n, (n).
Решите неравенства: 1) |sinx|<1/2;
2)sinx >–3/2.
1)
Решить уравнение 1)cosx = –2/2;
2) cosx = 3/2;
Решите неравенства: 1) |cosx|<1/2;
2)cosx >–1.
Решить уравнение tgx = –3/3
Решите неравенство tgx<–3
На оглавление

 

   k ;  k 
6
 6

, k.;
4
 

  2k ;
 2k 

2)  3
3
 , k.
1) х = 3/4 + 2n, (n).
2) х = /6 + 2n, (n).
1)
2


 k 
  k ;
3
3

, k.;
2) 2k   ;2k    , k.


6
 k
, k

 

   k ;  k  , k.
3
 2

Дальше
Посттест
На «3» решить по 2 любых уравнения и неравенства (без построений), (всего 4 примера).
На «4» решить по три любых уравнения и неравенства (можно уравнения без построений),
(всего 6 примеров).
На «5» выполнить все с построениями.
Решить уравнения
1) sinx = –3/2;
2) cosx = 1/2;
3)
tgx = 1;
4) ctgx = 3.
Решите неравенства
1) sinx < –3/2;
2) cosx < 1/2;
3) |tgx| < 3;
4) |ctgx| < 1.
На оглавление
Решение тригонометрических
уравнений
и тригонометрических неравенств
Цели
1. Решать тригонометрические уравнения.
Содержание обучения:
Примеры решения различных
тригонометрических уравнений.
2. Решать тригонометрические неравенства
Примеры решения различных
тригонометрических неравенств
На оглавление
Дальше
§ 1. Примеры решения различных
тригонометрических уравнений
1.
Решить уравнение sin2 x = m.(0 m  1)
Решение: Данное уравнение сводится к двум простейшим уравнениям
sinx = m и sinx = – m. Записав решение каждого из них по общей формуле, получим:
и .х  k  (1) k arcsin m
х  k  (1) k arcsin m
Множество корней уравнения можно записать одной формулой:
х =n  arcsin m , (n).
2.
Решить уравнение cos2 x = m.(0 m  1)
Решение: Данное уравнение сводится к двум простейшим уравнениям cosx = m и cosx = –m.
Записав решение каждого из них по общей формуле, получим
х  2k  arccos m хи. 2k  (  arccos m )   (2k  1)  arccos m
Множество корней уравнения можно записать одной формулой:
х =n  arccos m , (n).
На оглавление
Дальше
3.
Решить уравнение tg2 x = m.
Решение: Данное уравнение сводится к двум простейшим уравнениям tgx = m и tgx = –m.
Записав решение каждого из них по общей формуле, получим:
х  k  arctg m и х.  k  arctg m
Множество корней уравнения можно записать одной формулой:
х =k  arctg m , (k).
4.
Решить уравнение ctg2 x = m.
Решение: Данное уравнение сводится к двум простейшим уравнениям сtgx = m и сtgx = –m
Записав решение каждого из них по общей формуле, получим:
х  k  arcсtg m
и .х  k  arcсtg m
Множество корней уравнения можно записать одной формулой:
х =k  arcсtg m , (k).
На оглавление
Дальше
§ 2. Примеры решения различных
тригонометрических неравенств
sin
1)

3

х 1

2 2
 4k  x 
6
5
 4k ;
3
tg 2 x  1
2)


4

k
2
х 5

 2k ;
домножим выражение на 2:
2 6

5
(

4

k
;
 4k )
или х 3
, k.
3
. Имеем:  2k 
x


  k  2 х    k ;
. Имеем:
2
4

8

k
2
;
На оглавление
или х (

4

k
2
;
разделим все выражение на 2:

8

k
2
).
Дальше
Тренинг. Решение упражнений
Алгоритм решения
Решение
1) Решить уравнение sin2x = ½.
2х = (–1)n arcsin 1/2 + n, (n)
2х = (–1)n /6 + n, (n). Разделим выражение
на 2.
Множество корней уравнения имеет
вид:
х = (–1)n /12 + n/2, (n).
2)
Решить уравнение tg(3x + 2)= –1.
3х  2  
3x  
3)

4
4
 k ;
 2  k ;
Решить уравнение ctg x2 =0
х2 

2
  | k |,
4) Решить уравнение cos(cosx) = ½.
х =  arcсоs(1/2) + 2n, (n)
х =  /3 + 2n, (n).
На оглавление
Множество корней уравнения имеет
вид:
 2 k
x  
;
(k).
12
3
3
Множество корней уравнения имеет
вид:

х
  | k |,
(k).
2
Это уравнение не имеет корней, т.к.
при любом k его правая часть
превосходит единицу по
абсолютной величине.
Дальше
Решить уравнение 2. sin 2 х  7 sin x  3  0
Сделаем замену: sinx = t. Имеем:
2 t2 – 7 t + 3 = 0. Данное квадратное
уравнение решаем относительно t.
Получаем корни: t1 = ½; t2 = 3.
Возвращаемся к исходной величине: sinx1 = ½;
sin x2 = 3.
sin x = ½; х = (–1)n /6 + n, (n)
Уравнение sinx = 3 решения не имеет, т.к.
область значений [–1;1].
6)Решить уравнение 4соs2 х  sin x  1  0
Воспользуемся тригонометрическим
2
тождеством и получим: 4(1  sin х)  sin x  1  0 ,
после преобразования имеем: 4 sin 2 х  sin x  3  0
Решаем аналогично предыдущему и получаем:
sin x = – ¾ и sin x = 1.
Множество корней данного
уравнения имеет вид:
х = (–1)n /6 + n, (n)
7) Решить уравнение 3
. сtg3х  tg 3x  3  0
Из определения tgx и сtgx, знаем, что
знаменатели sin3x и cos 3x. Знаменатель не
должен быть равен 0, поэтому: 3х k , 3x
/2+k, т.е. xk/3, x/6+k/3. Заменяя ctg3x
1
на 1/tg3x, получим:
2
Множество корней данного
уравнения имеет вид:
пk  пk
 1
5)
2
На оглавление
tg 3x
Множество корней данного
уравнения имеет вид:
х = (–1)n+1 arcsin3/4 + n, (n) и
х = /2 + n, (n)

; 
k Z
 arctg2 
3 12 3
 3

 tg 3 x  3  0; tg 3 x  3tg 3 x  2  0;
1
пk
tg 3 x  2,3x  arctg2  k , x   arctg2 
;
3
3

 пk
tg 3 x  1,3x    k , x   
4
12 3
Дальше
tgх cos x  tgx  cos x  1  0
8)
Решить уравнение
.
По определению тангенса в знаменателе
cosx 0, x /2+k. Разложим левую часть на
множители, а затем приравняем каждый из
сомножителей к нулю:
Уравнению удовлетворяет
множество корней вида:



 (2k  1), x   k | k  Z 
4


tgx(cos x  1)  (cos x  1)  0; (cos x  1)(tgx  1)  0;
cos x  1  0, cos x  1, x   (2k  1)
tgx  1  0, tgx  1, x 

4
 k
tg 3. х  tgx
9)
Решить уравнение
По определению тангенса в знаменателе
cosx 0, x /2+k. Имеем:
Уравнению удовлетворяет
множество корней вида:



k , x    k | k  Z 
4


tg 3 х  tgx  0, tgx(tg 2 x  1)  0, tgx  0, tg2 x  1  0
х  k , x  
10)

4
 k .
Решить уравнение
sin х  сosx  0
sin х
1 ,
сosx
сosx  0, ( х   / 2  k ), tgx  1
Имеем sin х  сosx,
На оглавление
.
x

4
 k | k  Z
Дальше
11) Решить уравнение
sin. 2 х  4 sin xсosx  3 cos2 х  0
Поделим все слагаемые на cos2 x, получим:
sin 2 х 4 sin xсosx 3 cos2 х



 0; ( х   k ),
2
2
2
2
cos х
cos х
cos х
2
tg х  4tgx  3  0,

 k , k  Z
4
x  arctg3  k , k  Z
х
решаем его аналогично 5) и 6) примерам,
получим: tgx = 1; tg x = 3.
х

4
 k , x  arctg 3  k , k  Z
2 sin 2 х  5 sin xсosx  cos2 х  4  0
12) Решить уравнение

3
х   k , x  arctg  k , k  Z
.Свободный член можно представить как 4*1,
4
2
где 1 разложить по основному
тригонометрическому тождеству. Получим:
. 2 sin 2 х  5 sin xсosx  cos2 х  4(sin 2 х  соs2 х)  0
После преобразований получим однородное
уравнение: 2 sin 2 х  5 sin xсosx  3 cos2 х  0
Поделим все слагаемые на cos2 x, получим:
решаем его аналогично 5) и 6) примерам,
получим: 2 sin 2 х 5 sin xсosx 3 cos2 х



 0; ( х   k ),
2
cos2 х
cos2 х
cos2 х
2
2tg х  5tgx  3  0,
tgx = 1; tg x = 3/2.х    k , k  Z
4
x  arctg
3
 k , k  Z
2
На оглавление
Дальше
Тест
Задания
Решить уравнения:
х 
1
sin(
1) 2  6 )  4
2) tg(3x + 1) = 1;
3) sin(cosx)=0.
Решите неравенства:
1)
sin2x < –1/2;
2)
cos(x/2) >–1/2;
Решить уравнение
1) sin2 x = 1/2;
2) tg2 x = 1;
3) ctg2 x = 3.
Решить уравнения:
1) 2 sin 2 х  3 sin x  3  0
;
2) 2 sin х  3соsx  0
;
2
2
3) sin х  6 sin xсоsx  5 cos х  0
;
2
2
4) 9 sin х  32sin xсоsx  25cos х  25. ;
На оглавление
Ответы
1) х = 2(–1)n arcsin(1/4)–/3 + 2n,
(n);
2) х = /12 – 1/3 + n/3, (n);
3) 
1)   5  k ;   k  , k.;
2)
12
 12

4
 4

 4k ;
 4k 

3
 3

1)
2)
3)
х = /4 + n, (n).
х = /4 + n, (n).
х = /6 + n, (n).


1)
2k ;

, k.

 2k 
3

, k.
x  arctg1,5  k , k  Z
2)
;


  k , arctg5  k | k  Z 
3)
4

4) k , arctg2  k | k  Z ;
;
Посттест (выбрать 3 вариант)
Смешанные задания
Цели
Повторить:
1. Решение тригонометрических уравнений.
2. Решение тригонометрических неравенств.
3. Основные формулы.
4. Правила упрощения выражений.
5. Правила доказательства тождеств.
На оглавление
Дальше
Тренинг. Решение упражнений
3
4
3 3 4 4
1)
sin(arcsin  arcsin )  sin(   )  sin  cos   cos  sin       1
5
5
5 5
5 5
[обозначим arcsin3/5=  и arcsin4/5=, имеем sin=3/5,  [–/2; /2] и sin=4/5, [–/2; /2].
Находим cos = 1– (3/5)2 = 4/5 и cos = 1– (4/5)2 =3/5.]
3
8
2)
cos(arccos  arcsin ) 
5
17
[обозначим arccos3/5=  и arcsin8/17=, имеем cos=3/5, [0;] и sin=8/17, [–/2; /2].
Находим sin = 1– (3/5)2 = 4/5 и cos = 1– (8/17)2 =15/17] =
 cos(    )  cos  cos   sin  sin  
3 15 4 8 13

 

5 17 5 17 85
1
3
tgarctg  tgarctg
1
3
2
2  1/ 2  3 / 2  8
tg (arctg  arctg ) 
3)
1
3 1  (1 / 2)  (3 / 2)
2
2
1  tgarctg  tgarctg
2
2
4
[обозначим arcsin4/5=  и arctg3=, имеем sin=4/5,
 arctg 3) 
5
 [–/2; /2] и tg=3, (–/2; /2). Находим ctg = 4/3 и ctg = 1/3]
4)
сtg (arcsin
4 / 3 1/ 3  1
1
ctg
(



)



=
4 / 3  1/ 3
3
На оглавление
Дальше
5)
Решить уравнения:
А) sin(   х )  cos(   x)  1  0  cos х  cos x  1  0  cos х  2 cos 2 х  0 
2
2
2
2 2
х
х
х
или 1  2 cos х  0;
 cos (1  2 cos )  0  cos  0
2
2
2
2
х
х 
cos  0,   k , x   (2k  1);
2
2 2
х
х
1 х
2
4
4
1  2 cos  0; cos   ,  
 2k , x  
 4k , x 
(3k  1).
2
2
2 2
3
3
3
4


(3k  1) | k  Z 
Уравнению удовлетворяет множество корней вида  (2k  1); x 
3


х
2
Б) sin x  cos x  1  sin x  1  cos x  2 sin cos
 sin
 sin
х
х
х
х
х
 2 sin 2  2 sin (cos  sin )  0 
2
2
2
2
2
х
х
х
 0 или соs  sin  0  второе уравнение поделим на косинус половинного угла:
2
2
2
х
х
 0 или tg  0
2
2
х
х
 0;  k ; x  2k ;
2
2
х
х 

tg  1;   k ; х   2k .
2
2 4
2
sin
Уравнению удовлетворяет множество корней вида 2k ;   2k | k  Z 
На оглавление

2

Дальше
2z
В) 3 sin x + 4 cos 2x = 4. Выразим sin x и cos x через z = tg(x/2); имеем
, x  1 z .
sin x 
cos
2
1 z
1 z2
Тогда 6 z 2  4  4 z2  4;4 z 2  3z  0; z1  0, z 2  3
.
2
1 z
1 z
4
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений tg(x/2)=0 и tg(x/2)=3/4,
откуда х/2=k и х/2=arctg(3/4)+k. Уравнению удовлетворяет множество корней вида
3


2k ;2arctg  2k | k  Z 
4


6) Преобразовать в произведение:
sin 2 cos3  2 sin 2  sin 3
sin 2 cos3  2 sin 2  sin 3  2 sin  cos cos3  2 sin 2  sin 3 
 2 sin  (cos cos3  sin  sin 3 )  2 sin соs4
7) Доказать тождество:
sin   sin 2  sin 4  sin 5
 tg 3
cos


cos
2


cos
4


cos
5

.
(sin 5  sin  )  (sin 4  sin 2 ) 2 sin 3соs2  2 sin 3соs 2 sin 3 (соs2  соs )



(cos5  cos )  (cos4  cos 2 ) 2соs3соs2  2соs3соs 2соs3 (соs2  соs )
 tg 3
2) sin 470  sin 610  sin 110  sin 250  4 cos7 0 соs360 sin 180
1)
(sin 470  sin 610 )  (sin 110  sin 250 )  2 sin 540 cos 7 0  2 sin 180 cos 7 0 
 2 cos 7 0 (sin 540  sin 180 )  4 cos 7 0 соs360 sin 180
На оглавление
Дальше
Тест
Задания
Ответы
Вычислите:
1)cos(arccos 1  arcсоs 11 );
1)
2)
7
2)
14
5
12
sin(arcsin  arcsin )
13
13
Решите уравнения:
х
1)1  соsx  sin
2
х
2) 1  соsx  соs
2
Преобразуйте в произведение:
1)sin  cos   2 sin 2  sin 
2
2) sin 100  2 sin 5 0 cos150  сos500
71/98;
1.


1)
k 
 2k 
2k ;(1)

2) 
 (2k  1);

1)
2 sin
2)

2
3
2


(6k  1) | k  Z 
3

cos(

2
  );
сos100
Докажите тождество:
1)
sin   sin 3  sin 5  sin 7
 сtg 
cos   cos 3  cos 5  cos 7
На оглавление
, k.
Дальше
Посттест
По количеству выполненных заданий выставляется соответствующая оценка. (1 задание – «3»)
Докажите тождество:
2 sin x  sin 2 x
х
 ctg 2 ;
2 sin x  sin 2 x
2
Решите уравнение:
3 sin x  2 cos2 х.
Докажите тождество:
4 sin 250 sin 650
 2;
0
соs40
На оглавление
Смешанные задания
Цели
Повторить:
Решение тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических неравенств.
Основные формулы.
Правила упрощения выражений.
Правила доказательства тождеств
На оглавление
Дальше
Тренинг. Решение упражнений
1) Вычислите значения sin3x, cos3x, tg3x и ctg3x, если sinx = ½, угол принадлежит I четверт
Формула для вычисления sin3x = 3sinx – 4 sin3 x:
sin3x = 3*1/2 – 4*(1/2)3 = 1,5 – 0,5 = 1;
Формула для вычисления cos3x = 4 cos3 x – 3cosx:
cosх = 1 – sin2 x = 1 – ¼ = 3/2;
cos3x = 4*33/8 – 3* 3/2 = 0.
Формула для вычисления tg3x = sin3x/cos3x:
tg3x не существует.
Формула для вычисления ctg3x = cos3x/sin3x:
ctg3x = 0.
3


3

2)
Упростите выражение:
=
cos(
  )tg (   )  sin(   )  ctg (
  )  ctg (   )
2
2
2
2
2
sin   ctg  cos  tg  tg  0
=

ctg (   )
3)
Доказать тождество: sin(   )
cos(2   )
2
1)


 sin 

tg (   )
sin( )
tg (   )
2

ctg(   )
sin(   )
cos(2   ) sin  tg
cos
cos
2






 sin 

tg (   )
sin( )
tg  сtg  sin  сtg
tg (   )
2
На оглавление
Дальше
Тест
Задания
Ответы
– 3/2
Вычислите:
1
3
sin(arcсоs( )  3 arcsin
)
2
2
Решите уравнение:
sin 2 x  соsx  сos 3x



2

k


2

, k.
Преобразуйте в произведение:
sin 800  sin 300
2 sin 550 cos 250 ;
Докажите тождество:
3
 )
2
1)

ctg 2 (  2 )
sin 2 (
sin 2 ( )
1
3
2
ctg (  )
2
На оглавление
Дальше
Посттест
По количеству выполненных заданий выставляется соответствующая оценка
Докажите тождество:
1  соsx  соs2 x  сos3x
 2cоsx;
2
2соs x  соsx  1
Решите уравнение:
sin 2 x  sin x cos х  0.
Дано: sina=0,8, sinb=0,96, а Iчетверти,
b  Iчетверти.
Найти sin(a – b).
На оглавление