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Obs Lyon
2011-12
Introduction
La physique du rayonnement a fait un grand pas lorsque les trois lois dites
« du rayonnement du corps noir » furent été établies.
Celle de Planck qui donne le flux en fonction de la longueur d’onde est
particulièrement complexe à utiliser.
Pourtant, elle est fondamentale à utiliser en astronomie, car n’interviennent
que la longueur d’onde et la température.
L’approximation des intérieures stellaires à des corps noirs est fructueuse,
même lorsque l’on est à la surface où l’équilibre n’est pas réalisé.
Nous allons utiliser Geogebra pour la construire, la manier. Sa visualisation
dans le cas de mesures photométriques de la lumière des étoiles, sera très
instructif.

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Geogebra - le Corps noir
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Le corps noir
- corps en équilibre thermique
- absorbe tout rayonnement reçu
- émet un rayonnement propre à sa température
B ( T, )
dom a in e
ob se rv ab le
du so l
v is ib le
in f ra roug e
u ltrav io le t
5000K
T = 6000K
4000K
0 5. 
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3000K
1 
Geogebra - le Corps noir


2 
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Lois du rayonnement
Tout corps en équilibre thermique absorbe et émet un rayonnement fonction de
sa température absolue.
-8
 = 56710
,
W×m-2 K -4
Loi de Stefan (1879) : L =  T4
Loi de Planck (1900) :
dL 2 h  3

d
c2
1
h
e kT
W m  2 Hz 1 sterad 1
1
2
dL
5
    1  (e T  1) 1 W m  2 m 1 sterad 1
d
1  3,741710 16 J  m2  s-1
 2  1,4388 10  2 mK
Loi de Wien (1893) :
max T  2898
 en microns

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La loi de Planck
L’expression de la loi de Planck est différentielle. Son écriture n’est pas la
même si l’on raisonne en longueur d’onde ou en fréquences.
En classification stellaire, ce sont les longueurs d’onde qui sont utilisées.
Nous nous servirons de la formule :
2
dL
5
    1  (e T  1) 1 W m  2 m 1 sterad 1
d
1  3,741710 16 J  m2  s-1
 2  1,4388 10  2 mK
La difficulté de représenter cette courbe, même en coordonnées
logarithmiques, est l’étendues des plages des variables.
Il faudra parcourir les gammes en :
- Température, de 100K à 100 000 K (103)
- Longueurs d’onde, du nanomètres aux dizaines de mètres (1010)
Les intensités du rayonnement émis vont varier de 1 à 1015.

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La loi de Planck
Ce graphique permet de visualiser
les énergies émises de :
- 0.1 microns à 500 microns
- 100K à 15 000K
- Soleil
- Corps humain
Son utilisation est difficile, car
il a du être incliné pour réduire
la surface nécessaire.
Comment introduire toutes ces
contraintes dans Geogebra ?

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Loi de Planck et Geogebra
Ordonnées
Les intensités du rayonnement ayant la plage la plus étendue, nous allons
créer une échelle variable en ordonnées, à l’aide d’un curseur.
Ce curseur prend des valeurs entières. Il fera varier l’échelle des
ordonnées, les intensités, d’un facteur dix pour une variation unitaire.
Abscisses
L’échelle des longueurs d’onde en abscisses, sera en microns
Les longueurs d’onde intéressantes en classification stellaire, s’étendant
principalement de 0.1 microns au centimètre.
L’adaptation à l’échelle se fera en jouant sur le zoom.

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Calcul de la formule de Planck
Deuxième problème avec la formule de Planck :
2
dL
5
    1  (e T  1) 1 W m  2 m 1 sterad 1
d
1  3,741710 16 J  m2  s-1
 2  1,4388 10  2 mK
Ce sont les valeurs extrêmes de certains coefficients.
Il y a danger de fausser les calculs, par simple dépassement de précision
dans les calculs internes dans le coprocesseur arithmétique.
On n’appliquera pas la formule brute telle quelle.
Un calcul intermédiaire de coefficient entrant dans la formule sera
nécessaire. Cette variable intermédiaire sera judicieusement choisie pour
avoir une plage de valeurs raisonnables.

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Calcul de la formule de Planck
Décomposition de la formule de Planck :
2
dL
    1  5 (e T  1) 1 W m  2 m 1 sterad 1
d
1  3,741710 16 J  m2  s-1
 2  1,4388 10  2 mK
Comme on entre les données en unités courantes : microns et °K, il faudra
pour les , bien ajuster les coefficients pour rester homogène.
 Pour paramétrer la courbe, il est nécessaire de créer plusieurs curseurs :
- curseur température : T de 100 à 50000 (°K)
- curseur échelle : echy de 2 à 20
D’autres curseurs seront créés pour simuler les positions des filtres et leurs
bandes passantes.

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Construction de la courbe de Planck
 Entrer les deux coefficients de la formule :
c1 = 3.74441
c2 = 0.014388
Avec c1, la fonction de Planck a sa valeur divisée par 108
Il faudra en tenir compte pour le calcul du flux total (loi de Stephan)
 Le coefficient intermédiaire :
ct2 = c2 / T 1000000
La formule de Planck transposée en langage Geogebra devient :
Fonction[c1 / x⁵ / (exp(ct2 / x) - 1) 10^echy, 0, 100]
Fonction de Planck
Echelle des ordonnées
Plage des 
 Faire varier la température et jouer avec les échelles pour suivre l’évolution
de la courbe.

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Maximum d’amplitude pour une température donnée
Pour trouver le maximum d’intensité de la fonction à une longueur d’onde
donnée, on peut employer la fonction de Wien :
Loi de Wien (1893) :
max T  2898
 en microns
Il est plus intéressant de la retrouver par l’analyse de la courbe de Planck.
Geogebra permet de créer la fonction dérivée d’une courbe.

fcn2 = Dérivée[fcn]
La dérivée étant nulle au maximum, on recherche l’intersection de la fonction
dérivée avec l’axe des x (ou bien avec une droite y=0).

dy0 : y = 0

Px_M = Intersection[fcn2, dy0]

M = Intersection[fcn, x(Px_M]
L’ordonnée de la courbe de Planck en ce point donne l’intensité du maximum.

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Maximum d’amplitude pour une température donnée
 Faire afficher la position et la valeur de l’Intensité en cette position :
"lambda max = " + (x(M)) + " microns I=" + (y(M))
 En position absolue à l’écran.

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Intégrale du flux – loi de Stephan
Nous pouvons appliquer la formule de Stephan, 1ère loi du Corps Noir.
Nous pouvons aussi intégrer le flux sur toutes les longueurs d’ondes.
isteph = 100000000*Intégrale[fcn, 0.00001, 200]
La limite inférieure doit être non nulle, sinon, l’intégrale n’est plus définie.0
 Faire afficher la position et la valeur de l’énergie émise par m2.
"Flux / m2 = " + isteph + " W/m2
On peut maintenant s’amuser avec notre fonction.

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Indices de couleurs
Quand on étudie une étoile, on mesure son intensité relative en différents points
de son spectre (spectrographie, photométrie).
La courbe de Planck pour une étoile de température donnée de surface, nous
donne l’intensité en toute longueur d’onde.
On va donc comparer l’intensité en deux longueurs d’onde différentes, c’està-dire en faire le rapport.
Ce rapport est indépendant de la distance. L’éclairement de l ’étoile varie
pour chaque longueur d’onde comme l’inverse du carré de la distance.
Si l’on prend le logarithme de ce rapport et qu’on le multiplie par -2.5, on
obtient la différence de magnitude en ces longueurs d’onde.
m  2,5 log 10 E  C te
E 
L 
m2  m1  2,5 log10  2   2,5 log10  2 
 E1 
 L1 
Cela s’appelle un indice de couleur.
Il est directement fonction de la Température.
Nous allons le voir bientôt sur notre graphique.
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
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Indices de couleurs
 Créer deux curseur l_1 et l_2 qui nous donnerons deux longueurs d’onde.
 Créer les deux droites verticales qui repèrent ces longueurs d’onde :
dx1: x=l_1
et
dx2:x=l_2
Les intensités en ces longueurs sont les ordonnées des intersections de la
courbe de Planck avec les deux droites :

i1 = y(Intersection[fcn, dx1])
i2 = y(Intersection[fcn, dx2])
ou
i1 = fcn(l_1)
i2 = fcn(l_2)
Calcul de l’indice de couleurs :

IC = -(2.5) lg(i1 / i2) + cte
Le coefficient additif, est à ajuster en fonction des longueurs d’onde choisies
pour se raccorder à un système standard de mesures photométriques.
Sa valeur sera déterminé avec une étoile prise comme référence (diapo
suivante).
 Afficher le résultat : "IC = " + IC
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
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Indices de couleurs
Exemple avec Véga (10200°K) et le Soleil (5800°K).
L’indice de couleur choisi est l’indice (B-V) rapport des intensités dans un filtre
Bleu et un filtre Visible (jaune).
Les longueurs d’onde centrales des filtres sont
B : 0.43 microns et V : 0.52 microns.
En système photométrique UBV, l’étoile Véga est prise comme
référence, tous ses indices de couleurs (U-B, B-V, V-R, R-I, etc sont
pris égaux à 0.
On peut donc, en affichant une température de 10200°K, ajuster la constante
dans la formule, en retranchant à IC, la valeur de IC sans constante.
Cte = + 0.3823
 Trouver l’indice de couleur du Soleil ?
(B-V)Soleil = 0.446
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
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Indices de couleurs
Encore mieux !
Prendre l’intensité en une longueur d’onde n’est pas très réaliste.
Le filtre a une bande passante plus ou moins larges et c’est l’intégrale du flux
convolué par la bande passante qui est la mesure de flux.
1 0.
U
B
V
0 5.
30 0
40 0
50 0
60 0
70 0
(nm )
Largeur à mi hauteur : 90% du flux dans cette largeur.
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Indices de couleurs
Simulation de la bande passante :
 Soit df1 = 0.05 et df2 = 0.07 les deux bandes passantes des filtres (largeur à
mi-hauteur).
 A partir de chaque longueur d’onde l_1 et l_2, calculer les limites de
l’intégrale de la fonction de Planck pour chaque filtre :
Filtre bleu Curseur l_1 = 0.43 , lb1 = l_1 - df1 / 2 lb2 = l_1 + df1 / 2
Filtre visible Curseur l_2 = 0.43 , lv1 = l_2 – df2 / 2 lv2 = l_2 + df2 / 2

intb = Intégrale[fcn, lb1, lb2] et intv = Intégrale[fcn, lv1, lv2]
Intégrales :
 Indice de couleur : ICF = -(2.5) lg(intb / intv) + cte
 Nouvelle calibration : cte = 0.0143
 Afficher le résultat :
"IC = " + IC + "
"ICF= " + ICF
 Comparer les deux résultats et faire varier la température.
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
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Indice de Couleurs
E
T1
Lum ni o s iét
Lum ni o s iét
Directement relié à la Température.
T1  T2
B1
E B1
EV1

E B2
EV2
E
V2
T2
E
E
B2
V1
B el u V si bi el
alm bda
En passant en magnitude, l'inégalité s'inverse :
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B el u V si bi el
alm bda
mB1  mV1  mB2  mV2
B1  V1  B2  V2
19
. . . . . FIN
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