dosyayı indir
Download
Report
Transcript dosyayı indir
HEDEF PROGRAMLAMA
Hedef Programlama
Yaşadığımız dünyada kaynakların
azlığı ve eldeki bilgilerin yetersizliği
nedeniyle, her zaman karar
vericilerin tercihlerini temsil eden,
güvenilir matematiksel modelleri
kurmak çoğu zaman olanaksızdır.
2
Hedef Programlama
Bazı şirket yönetimlerinin toplam
kârın maksimumu veya toplam
maliyetin minimumu gibi tek
amaçtan ziyade çok farklı amaçlar
üzerine odaklandığı durumlarda, çok
ölçütlü (kriterli) karar verme
yaklaşımı gerekir.
3
Hedef Programlama
Çok ölçütlü karar vermede kayda
değer sayıda teknikler geliştirilmiş
olup, bunlardan en ilgi çekenlerden
birisi HEDEF PROGRAMLAMA’dır.
4
Hedef Programlama
Karar vericiler için bu tekniğin en
önemli özelliği; her bir tercihe veya
nitelendirmeye doyurucu bir hedef
değerini atayabilmesidir.
Hedef programlama ile istenmeyen
sapma değişkenleri fonksiyonu
minimum kılınır.
5
Hedef Programlama
Her bir amaç için spesifik sayısal hedef
sağlamak maksadıyla, her amacın
fonksiyonu formüle edilir ve bu
amaçları kaçırmadan, doğan toplam
cezayı minimum kılan bir çözüm aranır.
Bu toplam ceza, amaç fonksiyonlarının
her birinin hedeflerinden sapmalarının
ağırlıklı toplamını ifade eder.
6
Hedeflerin Olanaklı Türleri
1. Tek taraflı hedefin altına düşülmek
istenmediğinde (fakat üstüne
çıkılmasının iyi olduğu) hedef için
aşağı bir sınır değeri konur ve amaç
fonksiyonu bu hedefin altına
düşerse bir ceza takdir edilir.
7
Hedeflerin Olanaklı Türleri
2. Tek taraflı hedefin üstüne çıkmak
istenmediğinde hedefin üst sınır
değeri konur ve bu uygun amaç
fonksiyonu hedefi aşarsa (sınırın
altına düşmek iyi olmakta) bir ceza
verilir.
8
Hedeflerin Olanaklı Türleri
3. Her iki tarafta da bir kayıp
istenmediğinde spesifik bir hedef
konulur ve uygun amaç fonksiyonu
her iki yönde de (altında veya
üstünde) konulan bu hedeften
saparsa bir ceza verilir.
9
Hedef Programlama
İş dünyasında yöneticiler sıkça
kararlarında tek ölçüt yerine çoklu
ölçütler kullanır, bir bakıma birden fazla
hedefin gerçekleşmesini isterler.
Tüm bu hedeflerin aynı anda
gerçekleşmesi güçtür. Bu yüzden
yönetim, problemdeki istek düzeyleri
kümesini en iyi doyuran çözümü elde
etmeye çalışır.
10
Hedef Programlama
Hedef programlama böyle bir
doyuran çözümü bulmak için
kullanılabilir. Dolayısı ile hedef
programlama optimaliteden ziyade
doyuma ulaşmayı sağlar.
11
Hedef Programlama
Karar verici öncelikle ilgi hedefleri
ve bu hedefler için kabul edilen
öncelikleri belirler. Genellikle
hedefler sıralandırılır ve her öncelik
düzeyindeki hedeflere öncelikli
ağırlıklar verilir.
Bu öncelikli ağırlıklar, sayısal değer
veya kodlar verilerek yapılır.
12
Hedef Programlama
Yüksek öncelikli hedefler daha
düşük öncelikli hedeflerden önce
doyurulur.
Hedef programlama, problem
kısıtlayıcılarına bağlı olarak
önceliklendirilen hedeflerden
sapmaları minimum kılar.
13
Hedef Programlama
Geleneksel tek amaç fonksiyonlu
doğrusal programlamanın
karşılayamadığı kısıtlara ilişkin
hedef sapmalarını, hedeflere ilişkin
öncelikleri belirlediği gibi, amaç
fonksiyonundaki değişkenlerin aynı
ölçü biriminde olması koşulunu da
aramamaktadır.
14
Hedef Programlama
Doğrusal hedef programlamada en önemli
durum, tüm amaç fonksiyonları ve
kısıtlayıcı fonksiyonlarının doğrusal
fonksiyon olmasıdır.
Dolayısıyla doğrusal hedef programlama
modelinin, klasik doğrusal programlama
modeli gibi tekrar formüle edilmesi
olanaklı olup, böyle bir modeli çözmek
için de Simpleks Yöntem kullanılabilir.
15
Hedef Programlamanın Tanımı
Hedef programlama, çok amaçlı
karar verme problemlerini çözmek
için karar vericilere doyurucu bir
çözüm kümesini sağlayan önemli bir
teknik olduğu gibi, karar vericinin
her bir nitelendirmesine de
doyurucu bir hedef değerini
atayabilmektedir.
16
Hedef Programlamanın Tanımı
Hedef programlama, verilen
kısıtlayıcılar altında amaç ölçütünü
doğrudan maksimum veya minimum
kılmaktan ziyade hedeflerin kendi
içindeki sapmaları minimum kılmaya
odaklanan bir tekniktir.
17
Hedef Programlamanın Tanımı
Hedef programlama, hedefler ve
onların istenilen düzeyleri arasındaki
sapmaları minimum kılan bir
tekniktir.
Hedef programlama, çok ölçütlü
karar problemlerinin çözümü için
uygulanan bir tekniktir.
18
Hedef Programlamanın Tanımı
Hedef programlama, çok alt hedefi olan
çok hedefli problemler gibi çok alt hedefli
tek bir hedefi amaçlayan karar
problemlerinin çözümünde kullanılan
doğrusal programlamanın genişletilmiş
özel bir durumudur. Hedef
programlamada, doğrusal
programlamada olduğu gibi amaç
fonksiyonunun boyutsal bir kısıtlaması
yoktur.
19
Hedef Programlamanın Tarihsel Gelişimi
Hedef programlama, ilk önce
1950’lerin başında Charnes ve
Cooper tarafından doğrusal
programlamanın çok amaçlı ve
esnek kısıtlamalı problemlerin
çözümündeki yetersizliğini göz
önüne alarak ortaya atılmıştır.
20
Hedef Programlamanın Tarihsel Gelişimi
Hedef programlama, daha sonra
Ignizio, Lee, Tamiz, Romero ve
diğerleri tarafından geliştirilmeye
devam edilmiştir.
Ignizio 1970’lerin başında doğrusal
hedef programlamaya dualite
kavramını katmıştır.
21
Hedef Programlamanın Tarihsel Gelişimi
Matematiksel programlama türlerine
göre;
- Doğrusal Programlama
- Tam Sayılı Programlama
- Doğrusal Olmayan Hedef Programlama
şeklinde sınıflandırılmaktadır.
Ayrıca çeşitli Bulanık Hedef Programlama
Modelleri de literatürde yer almıştır.
22
Hedef Programlamanın Varsayımları
Alışılagelmiş doğrusal programlamanın;
-
Toplanabilirlik,
Bölünebilirlik,
Oransallık,
Belirlilik varsayımlarına,
Hedeflere ilişkin önceliklerin karar verici
tarafından belirlenmesi varsayımı
eklenebilir.
Ayrıca tüm değişkenlerin pozitif olma
koşulunun da aranması gerekmektedir.
23
Hedef Programlamanın Bileşenleri
Hedef Programlamada;
- Karar değişkenleri,
- Sapma değişkenleri,
- Sistem kısıtlayıcıları,
- Amaç fonksiyonu bulunur.
24
Karar Değişkenleri
Doğrusal programlamada
tanımlanan değişkenlerin aynısıdır.
(Üretilecek ürün miktarı, yatırım yapılacak
para miktarı, istihdam edilecek işçi sayısı,
girdi miktarı vb.)
25
Sapma Değişkenleri
Hedeflerin üstünde veya altındaki miktarı
gösteren değişkenlerdir.
Klasik hedef programlama modellerinde
karar verici tarafından belirlenen hedef
değerlerindeki istenmeyen sapmalar kabul
edilebilen bir çözüme ulaşmak için minimum
kılınır.
Her bir hedef için belirlenen istenmeyen
değişkenler pozitif ve negatif sapma
değişkenleri kullanılarak ölçülür ve onlar
hedefin başarısını veya başarısızlığını
gösterir.
26
Sapma Değişkenleri
Hedef programlamada sapma
+
değişkenleri genellikle di ve di
simgesiyle gösterilir.
Sapma değişkenleri negatif değerli
olamazlar ve bir hedefin hem
üstünde ve hem altında bir anda
olunamayacağından, bunlardan
birinin değeri de daima sıfır olur.
27
ÖRNEK
Yöneticinin aylık X model gömlek üretim hedefi en az
20500 olsun. Hedef programlama modelin çözümünde X
modelin üretim miktarı 22000 ise;
+
di = 22000 – 20500 = 1500
di = 0 ‘dır.
Aylık gömlek üretim miktarı 20000 ise;
di = 20500 – 20000 = 500
ve
ve
di+= 0’dır.
X modelin aylık üretim hedefi tam 20500 ise;
Belirlenen hedef gerçekleştiğinden di+= 0 ve di -= 0
olacaktır.
28
Sapma Değişkenleri
Hedef kısıtlayıcılarına bağlı olarak sapma
değişkenleri istenen veya istenmeyen
değişken olarak da adlandırılır.
+
Hedef kısıtlayıcısı ≥ yönde ise di istenen
değişken, di ise istenmeyen sapma
değişkenidir.
Hedef kısıtlayıcısı ≤ yönde ise di - istenen,
di + ise istenmeyen sapma değişkenidir.
+
Hedef kısıtlayıcısı = ise di ve di her ikisi
de istenmeyen sapma değişkenleridir.
29
Sistem Kısıtlayıcıları
Teknolojik, yapısal veya sistem
kısıtlayıcıları, probleme ilişkin geliştirilen
hedef programlamada tam olarak
sağlanması gereken ve hiçbir sapmaya
izin verilmeyen kısıtlayıcılardır.
Örneğin;
10 x1 + 20 x2 ≤ 4000 ise, karar değişkenleri x1 ve
x2 nin çözüm değerleri kesinlikle bu eşitsizliği
sağlamalıdır.
Sistem kısıtlayıcısı ancak zaman içinde
veya problemin yeniden modellenmesi
söz konusu olduğunda değişebilir.
30
Hedef Kısıtlayıcıları
Karar vericinin ulaşmayı istediği
veya gerekli gördüğü hedefler, hedef
programlamaya hedef kısıtlayıcıları
ile aktarılır.
Bu kısıtlayıcılar sistem kısıtlayıcılara
göre daha esnektir.
Ayrıca hedeflenen değere hedef
kısıtlayıcısı ile ulaşılmaya çalışılır.
31
Amaç Fonksiyonu
Hedef programlamada amaç fonksiyonunun
optimal değeri, sistem ve hedef
kısıtlayıcılarının belirlediği çözüm alanı
içinde aranır.
Sapma değişkenleri hem amaç
fonksiyonunda, hem de hedef
kısıtlayıcılarında bulunur. Bunun anlamı,
hedeflerin en iyi şekilde sağlanması
gerektiğidir.
Ayrıca, amaç fonksiyonundaki istenen erişim
değerleri karar verici tarafından
belirlenmelidir.
32
Örnek Problem
(Örnek 5.2.1)
Bir şirket 3 model ayakkabı üretmektedir. Bu
modellerin her birisi için gereken işgücü
miktarı sırasıyla 2, 3 ve 2 saattir. Yine bunların
üretimi için gerekli malzeme miktarları da
sırasıyla 3, 2 ve 1 kg/çift olarak belirlenmiştir.
Şirketin elinde aylık 6500 saat işgücü ile 8600
kg. malzeme bulunmaktadır. Şirket model-1
ayakkabı çiftinden 4 milyon TL, model-2
ayakkabı çiftinden 6 milyon TL ve model-3
ayakkabı çiftinden de 5 milyon TL kâr
etmektedir. Yönetici aylık en az 15 milyar TL
kârı ve model-2 ayakkabıdan da en az aylık 860
çift üretmeyi hedeflemektedir.
33
Çözüm
(Örnek 5.2.1)
Problemin klasik doğrusal programlama modeli;
Max z = 4 x1 + 6 x2 + 5 x3
Kısıtlayıcılar;
2 x1 + 3 x2 + 2 x3 ≤ 6500 (Aylık elverişli işgücü miktarı)
3 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 8600 (Aylık gerekli malzeme miktarı)
x1, x2, x3 ≥ 0
34
Çözüm
(Örnek 5.2.1)
Bu problemin optimal çözümü;
x1 = x2 = 0
x3 = 3250
Max z = 16250 milyon TL’dir.
Bu klasik doğrusal programlama modelinin
çözüm değerleri yöneticinin istediği model-2
ayakkabısının üretim hedefini karşılamamaktadır.
Dolayısıyla bu modelin yöneticinin hedeflerini
içeren hedef programlamaya dönüştürülmesi
gerekir.
35
Çözüm
(Örnek 5.2.1)
İlk önce modele hedef
kısıtlayıcılarının eklenmesi gerekir.
Yöneticinin iki hedefi vardır;
- Aylık kârının en az 15 milyar TL
olması,
- Model-2’den en az 860 çift
ayakkabı üretilmesi.
36
Çözüm
(Örnek 5.2.1)
Belirlenen aylık 15 milyar TL’lik kâr hedefine ilişkin sapma
değişkenleri d1+ ve d1- dir.
d1 = Belirlenen aylık 15 milyar TL’lik kâr hedefini aşan
miktar (TL olarak)
+
d1 = Belirlenen aylık 15 milyar TL’lik kâr hedefinin altında
kalan miktar (TL olarak)
(Kâr hedefinin üzerine ve de altına düşmek aynı anda
gerçekleşemeyeceği için, bu sapma değerlerinden en az birisi sıfır
olacaktır.)
Aylık kâr hedefi kısıtlayıcısı;
4 x1 + 6 x2 +5 x3 – d1+ + d1- = 15000
37
Çözüm
(Örnek 5.2.1)
Model-2 ayakkabıdan aylık en az 860 çift üretim hedefine
ilişkin sapma değişkenleri d2+ ve d2- dir.
d2 = Belirlenen aylık model-2 ayakkabı hedefini aşan
miktar
+
d2 = Belirlenen aylık model-2 ayakkabı hedefinin altında
kalan miktar
Üretim hedefi kısıtlayıcısı;
+
x2 – d2 + d2 = 860
38
Çözüm
(Örnek 5.2.1)
Hedef programlamada, sapma
değişkenlerini içermeyen kısıtlayıcılar
sistem kısıtlayıcılarıdır.
Bu problemde işgücü ve malzeme
kısıtlayıcıları sistem kısıtlayıcılarıdır.
Karar verici, sistem kısıtlayıcıları için bir
hedef koyar ise elbette bu kısıtlayıcılar da
sapma değişkenlerini içerecektir.
39
Çözüm
(Örnek 5.2.1)
Hedef amaç fonksiyonunu oluşturmak için istenen iki
hedefin ele alınması gerekir.
İlk hedef için amaç fonksiyonu; (aylık en az 15 milyar TL
kâr elde etmek)
Min z = d1
(Burada d1- istenmeyen sapma değişkeni olduğu için amaç fonksiyonuna
alınır ve bu değişkenin değeri enküçüklenmeye çalışılır.)
İkinci hedef; model-2’den aylık en az 860 çift üretmek
Buna göre bu iki hedefin oluşturduğu hedef
programlamanın amaç fonksiyonu;
-
-
Min z = d1 + d2
40
Çözüm
(Örnek 5.2.1)
Bu fonksiyonun iki sapma değişkeninden oluşan çok
değişkenli bir fonksiyon olduğu görülmektedir.
Ayrıca sapma değişkenlerinin ölçü birimleri ilk hedef için
TL, ikinci hedef için ise ayakkabı çiftinin sayısıdır. Bu
nedenle, problem çözümünün sonucunda ulaşılan amaç
fonksiyonunun toplam değerini yorumlarken ekonomik
anlam aramak hatalı olacaktır. Bunun yerine amaç
fonksiyonunu oluşturan bileşenlerin ayrı ayrı
değerlendirilmesi gerekir.
İşte bu sakıncayı önlemek için bazı kaynaklarda değişkenler
arasına virgül konularak amaç fonksiyonunun ifade edildiği
görülebilmektedir. Yani örnekteki amaç fonksiyonu;
-
-
Min z = ( d1 , d2 ) şeklinde de ifade edilebilir.
41
Çözüm
(Örnek 5.2.1)
Örnekteki hedef programlama modelinin amaç fonksiyonu;
-
Min z = d1 + d2
-
Kısıtlayıcılar;
+
4 x1 + 6 x2 + 5 x3 – d1 + d1 = 15000 (aylık kâr hedefi)
+
x2 – d2 + d1 = 860 (model-2 ayakkabısı aylık üretim hedefi)
2 x1 + 3 x2 + 2 x3 ≤ 6500 (işgücü kısıtlayıcısı)
3 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 8600 (malzeme kısıtlayıcısı)
+
-
+
-
x1, x2, x3, d1 , d1 , d2 , d2 ≥ 0
42
Örnek Problem
(Örnek 5.2.2)
Bir işletmenin ürettiği A malı iki alt ürünün karışımından
elde edilmektedir. Karışımı oluşturan alt ürün-1’in kâra
katkısı 2 milyon TL, bir birim ikinci alt ürünün katkısı ise 4
milyon TL’dir. Alt ürünleri karışıma hazır hale getirebilmek
için sırasıyla 3 saat ve 7 saat işgücü kullanmak
gerekmektedir. A malı her iki alt üründen birer birim
kullanılarak üretilmektedir. İşletmenin hedefleri ise;
- En az 300 milyon TL kâr elde etmek
- İşletmenin elinde 450 saatlik işgücü miktarı vardır.
İşletme bu işgücü miktarını kullanmak istediğinden, işgücü
fazlasını işten çıkarmayı düşünmediği gibi, fazla mesai de
yaptırmak istememektedir.
Problemin hedef programlama modelini kurunuz.
43
Çözüm
(Örnek 5.2.2)
Karar değişkenleri;
x1 : Birinci alt üründen üretilecek miktar
x2 : İkinci alt üründen üretilecek miktar
Sapma değişkenleri;
d1 : Hedeflenen kârdaki başarısızlık miktarı
+
d1 : Hedeflenen kârı aşan kâr (başarı) miktarı
d2 : Üretimde kullanılmayan (atıl) işgücü miktarı
d2+ : Hedeflenen işgücü miktarını aşan (fazla mesai) işgücü
istihdamı
44
Çözüm
(Örnek 5.2.2)
Amaç fonksiyonu;
Min z = d1- + ( d2 + + d2 - )
Kısıtlayıcılar;
2 x1 + 4 x2 – d1+ + d1 = 300
+
3 x1 + 7 x2 – d2 + d2 = 450
x1 – x2 = 0
+
+
x1, x2, d1 , d1 , d2 , d2- ≥ 0
45
Çözüm
(Örnek 5.2.2)
Amaç fonksiyonunda görüldüğü üzere, kâr
hedefinden başarısızlık
istenmediğini
gösteren d1 nin değeri enküçüklenmeye
çalışılır.
İşgücünün hedefi ise 450 saat işgücünü
kullanmaktır. Dolayısı ile buradaki
amacımız hedeflerdeki her iki yönde olan
sapmayı enküçüklemektir. Bu yüzden bu
hedef kısıtlayıcısına ilişkin her iki sapma
değişkeni de amaç fonksiyonunda yer
almıştır.
46
Çözüm
(Örnek 5.2.2)
Ayrıca dikkat edilmesi gereken bir nokta,
karar değişkenlerinin amaç fonksiyonunda
yer almamasıdır.
Öte yandan sapma değişkenleri de sistem
kısıtlayıcılarında yer almazlar.
Fakat sistem kısıtlayıcılarına ilişkin
hedefler verilirse, bu durumda onlar hedef
kısıtlayıcıları olacaklar ve bunlara ilişkin
sapma değişkenleri de amaç
fonksiyonunda yer alacaktır.
47
Hedef Programlama Türleri
Hedef programlama, geliştirilen amaç
fonksiyon yapısına bağlı olarak şu şekilde
sınıflandırılabilir;
- Tek hedefli programlama
- Eşit ağırlıklı çok hedefli programlama
- Ağırlıklı çok hedefli programlama
- Öncelikli çok hedefli programlama
- Ağırlıklı – öncelikli çok hedefli
programlama
48
Tek Hedefli Programlama
Ele alınan problemin tek hedefi
olduğundan, karar vericinin istediği
bu hedefe ulaşmaktır.
Tek hedefli problemler, modelin
kurulması ve çözümü açısından ele
alındığında en basit hedef
programlama problemleridir.
49
Örnek Problem
(Örnek 5.2.3)
Bir marangoz işletmesinde kapı ve pencere
üretilmektedir. Bir kapı üretimi için 8 saat işgücü
ve 4 saat makine kullanılmaktadır. Bir pencere
üretimi için de 4 saat işgücü ve 6 saat makine
kullanılmaktadır. Marangozun elindeki günlük
işgücü kapasitesi 96 saat ve makine kapasitesi
de 120 saattir.
Marangozun bir kapı satışından elde ettiği kâr 15
milyon TL ve bir pencere satışından elde ettiği
kâr da 13 milyon TL’dir. Marangozun tek hedefi
günlük kârının en az 280 milyon TL olmasıdır.
50
Çözüm
(Örnek 5.2.3)
Karar değişkenleri;
x1: Üretilecek günlük kapı miktarı
x2: Üretilecek günlük pencere miktarı
Sapma değişkenleri;
d1 : Hedeflenen 280 milyon TL kârın
altında kalan kâr miktar (TL)
+
d1 : Hedeflenen 280 milyon TL kârı aşan
miktar (TL)
51
Çözüm
(Örnek 5.2.3)
Amaç fonksiyonu;
Min z = d1-
Hedef Kısıtlayıcısı;
+
15 x1 + 13 x2 + d1 - d1 = 280
Yapısal kısıtlayıcılar;
8 x1 + 4 x2 ≤ 96
4 x1 + 6 x2 ≤ 120
Pozitif kısıtlayıcı;
+
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, d1 ≥ 0, d1 ≥ 0
52
Grafik Tekniği ile Çözüm
(Örnek 5.2.3)
X2
A (0, 24)
F (0, 21.5)
C (0, 20)
E (3, 18)
Hedef kısıtlayıcı
Uygun
Çözüm
Bölgesi
O (0, 0)
B (12, 0) G (18.6, 0)
D (30, 0)
X1
53
Grafik Tekniği ile Çözüm
(Örnek 5.2.3)
Şekilde görüldüğü üzere, FG hedef
kısıtlayıcı doğrusu yapısal kısıtlayıcıların
oluşturduğu OBEC uygun çözüm
bölgesinin dışındadır.
Hedef kısıtlayıcısı uygun çözüm bölgesinin
dışında değer almamak koşulu ile yukarıya
veya aşağıya doğru hareket edebilmektedir.
Dolayısı ile problemin en iyi çözümü, hedef
kısıtlayıcısı doğrusunun optimum çözüm
bölgesine değdiği E noktasında olacaktır.
54
Grafik Tekniği ile Çözüm
(Örnek 5.2.3)
Uygun çözüm bölgesindeki köşe noktalarının her biri için
sapma değişkenlerinin ve amaç fonksiyonunun değeri;
Uygun köşe
noktası
(x1, x2)
Sapma değişkenleri
-
+
Amaç
fonksiyonu
d1
d1
z
O (0, 0)
280
0
280
B (12, 0)
100
0
100
C (0, 20)
20
0
20
E (3, 18)
1
0
1
En iyi çözüm E (3, 18) noktasındadır.
Marangoz her gün 3 kapı ve 18 pencere üretirse,
hedeflediği günlük 280 milyon TL’lik kârından ancak 1
milyon TL sapma olacaktır.
55
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.3)
Tek hedefli doğrusal programlama (DP)
problemlerinin çözümü, klasik DP
problemlerinin çözümüne benzer. Sadece
başlangıç simpleks tablosunda, hedef
kısıtlayıcısına karşılık
gelen temel
değişken olarak d1 alınır.
Sistem (yapısal) kısıtlayıcılara karşılık
gelen temel değişkenler ise klasik DP
çözümünde kullanılanların aynılarıdır.
56
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.3)
Tek hedefli problemin çözümünde simpleks
yöntemini uygulamak için önce problem standart
biçime dönüştürülür.
-
Min z = d1 + 0 s1 + 0 s2
Kısıtlayıcılar;
+
15 x1 + 13 x2 + d1 - d1 = 280
8 x1 + 4 x2 + s1 = 96
4 x1 + 6 x2 + s2 = 120
-
+
x1, x2, s1, s2, d1 , d1 ≥ 0
57
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.3)
Başlangıç Simpleks Tablosu
cj
A.K.
Temel
-
0
x1
0
x2
0
s1
0
s2
1
d1
0
+
Çözüm
d1
1
d1
15
13
0
0
1
-1
280
0
s1
8
4
1
0
0
0
96
0
s2
4
6
0
1
0
0
120
zj
cj - zj
15
-15
13
-13
0
0
0
0
1
0
-1
1
280
58
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.3)
Birinci Simpleks Çözüm Tablosu
cj
A.K.
Temel
-
0
x1
0
x2
0
s1
0
s2
1
d1
0+
Çözüm
d1
1
d1
0
5.5
-1.875
0
1
-1
100
0
x1
1
0.5
0.125
0
0
0
12
0
s2
0
4
-0.5
1
0
0
72
zj
cj - zj
0
0
5.5
-5.5
-1.875
1.875
0
0
1
0
-1
1
100
59
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.3)
İkinci Simpleks (Optimal) Çözüm Tablosu
cj
A.K.
Temel
-
0
x1
0
x2
0
s1
0
s2
1- 0+
Çözüm
d1 d1
1
d1
0
0
-1.1875 -1.375
1
-1
1
0
x1
1
0
0.1875
-0.125
0
0
3
0
x2
0
1
-0.125
0.25
0
0
18
zj
cj - zj
0
0
0
0
-1.1875 -1.375
1.1875 1.375
1
0
-1
1
1
60
Eşit Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama
Probleme ilişkin hedefler eşit önemli
(ağırlıklı) ise, istenmeyen sapma
değişkenlerin toplamı biçiminde ifade
edilen amaç fonksiyonu minimum
kılınmaya çalışılır.Bu biçimdeki amaç
fonksiyonunun anlamlı olabilmesi,
sapma değişkenlerinin aynı birimde
olmasına bağlıdır.
61
Eşit Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama
+
+
-
Min z = d1 + d2 + d3
Şeklindeki amaç fonksiyonunun anlamlı
olabilmesi için üç sapma değişkeninin de aynı
ölçü birimiyle değerlendirilmesi gerekir. Yoksa
amaç fonksiyonunun değeri bir anlam ifade
etmez.
Böyle bir durumda, amaç fonksiyonunun
yorumlanması için her bir sapma değişkeninin
ayrı ayrı ele alınması ve yorumlanması gerekir.
Bu durumdan kaçınmak için yapılacak işlem,
sapma değişkenlerinin ölçü birim farklılığını
giderecek her bir değişkene ağırlık verilmesidir.
62
Örnek Problem
Daha önce ele alınan tek hedefli
marangoz probleminde, bir kapı
üretebilmek için 5 milyon TL’lik, bir
pencere üretebilmek için de 3 milyon
TL’lik keresteye ihtiyaç
duyulmaktadır. Marangozun
hammadde için ayırabildiği günlük
bütçesi ise 200 milyon TL’dir.
63
Örnek Problem
(Çözüm)
Bu durumda marangozun yeni ek hedefi, elindeki
bütçeden daha fazla miktardaki parayı kereste için
ayırmamak olacaktır.
Böylece ek hedef kısıtlayıcısı;
+
5 x1 + 3 x2 + d2 - d2 =200
Yeni amaç fonksiyonu;
Min z = d1- + d2+
olacaktır.
(Burada d2+ istenmeyen sapma değişkeni olup hedeflenen (elde
edilebilen) kereste tutarını aşan kısmı göstermekte, d2- ise pozitif
değer almasında bir sakınca görülmeyen sapma değişkenini
göstermektedir.)
64
Örnek Problem
(Örnek 5.2.4)
Bir firma su emişli ve hava emişli olmak üzere iki
tür elektrik süpürgesi üretmektedir. Her iki
ürünün üretimi için iki işlem gerekir. Bir birim su
emişli süpürgenin üretimi için işlem-1’de 6 saat,
işlem-2’de ise 3 saat gereklidir. Birim hava emişli
süpürge üretimi için her iki işlemde de ayrı ayrı 3
saat gereklidir. Firmanın elindeki işlem zamanı
ise işlem-1’de 120 saat, işlem-2’de 90 saattir.
Firma yöneticisinin istediği en az 15 tane su
emişli ve 15 tane hava emişli süpürgeyi eşit
öncelikli olarak üretmektir.
Bu bilgiler ışığında problemin hedef
programlama modelini kurunuz.
65
Çözüm
(Örnek 5.2.4)
Karar değişkenleri;
x1 : Su emişli elektrik süpürgesinden üretilecek miktar
x2 : Hava emişli elektrik süpürgesinden üretilecek miktar
Sapma değişkenleri;
d1- : Hedeflenen su emişli elektrik süpürgesi üretimine
ulaşılması için gereken üretim miktarı (başarısızlık miktarı)
d1+ : Hedeflenen su emişli süpürge üretimini aşan miktar
(başarı miktarı)
d2 - : Hedeflenen hava emişli süpürge üretim miktarına
ulaşılması için gereken ürün sayısı (başarısızlık miktarı)
d2+ : Hedeflenen hava emişli süpürge üretimini aşan miktar
(başarı miktarı)
66
Çözüm
(Örnek 5.2.4)
Amaç fonksiyonu;
Min z = d1 + d2
Kısıtlayıcılar;
+
x1 + d1 – d1 = 15 (Hedef Kısıtlayıcısı-1)
+
x2 + d2 – d2 = 15 (Hedef Kısıtlayıcısı-2)
6 x1 + 3 x2 ≤ 120
3 x1 + 3 x2 ≤ 90
-
+
-
+
x1, x2, d1 , d1 , d2 , d2 ≥ 0
67
Grafik Tekniği ile Çözüm
(Örnek 5.2.4)
X2
(0,40)
Hedef kısıtlayıcısı 1
A (0,30)
C (10,20)
D (12.5,15) Hedef kısıtlayıcısı 2
(0,15)
Uygun
Çözüm
Bölgesi
O (0,0)
E (15,10)
(15,0)
B
(20,0)
(30,0)
X1
68
Grafik Tekniği ile Çözüm
(Örnek 5.2.4)
Şekil incelendiğinde hedef
kısıtlayıcılarının uygun çözüm bölgesinde
kesişmediği görülmektedir. Bunun anlamı
hedeflerin tam olarak karşılanmadığıdır.
Hangi hedeften ne miktarda sapma
olacağını belirleyebilmek için, çözüm
bölgesindeki tüm köşe noktalarda amaç
fonksiyonunun değerlerinin belirlenmesi
gerekir.
69
Grafik Tekniği ile Çözüm
(Örnek 5.2.4)
Uygun çözüm bölgesindeki köşe noktalarının her biri için
sapma değişkenlerinin ve amaç fonksiyonunun değeri;
Amaç
fonksiyonu
Uygun köşe
noktası
(x1, x2)
d1
d1
d2
d2
Min z
A (0, 30)
15
0
0
15
15
B (20, 0)
0
5
15
0
15
C (10, 20)
5
0
0
5
5
D (12.5, 15)
2.5
0
0
0
2.5
E (15, 10)
0
0
5
0
5
Sapma değişkenleri
-
+
-
+
En iyi çözümü veren nokta D (12.5, 15) noktasıdır.
D noktasında ikinci hedef tam olarak gerçekleşirken,
birinci hedeften 2.5 birimlik istenmeyen bir sapma
(d1- = 2.5) olmuştur.
70
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.4)
1.
2.
Dikkat edilmesi gereken iki nokta;
Hedeflerin gerçekleştirilme önceliğin
hedeflere ilişkin ölçü birimlerine
bağlı büyüklüklerden kolayca
etkilenmesi,
Hedeflerin ölçü birimi
büyüklüğünden doğrudan etkilenen
amaç fonksiyonunun yorumlanması.
71
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.4)
Tek hedefli problemin çözümünde simpleks
yöntemini uygulamak için önce problem standart
biçime dönüştürülür.
-
-
Min z = d1 + d2 + 0 s1 + 0 s2
Kısıtlayıcılar;
+
x1 + d1 - d1 = 15
+
x2 + d2 - d2 = 15
6 x1 + 3 x2 + s1 = 120
3 x1 + 3 x2 + s2 = 90
-
x1, x2, s1, s2, d1 -, d1 , d2 , d2 ≥ 0
+
+
72
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.4)
Başlangıç Simpleks Tablosu
A.K.
cj
Temel
0
x1
0
x2
0
s1
0
s2
1
d1
1
d1
1
0
0
0
1
-1
0
0
15
1
d2 -
0
1
0
0
0
0
1
-1
15
0
s1
6
3
1
0
0
0
0
0
120
0
s2
3
3
0
1
0
0
0
0
90
zj
cj - zj
1
-1
1
-1
0
0
0
0
1
0
-1
1
1
0
-1
1
30
-
0
+
d1
1
d2
0
+ Çözüm
d2
73
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.4)
Birinci Simpleks Çözüm Tablosu
A.K.
cj
Temel
0
x1
0
x2
0
s1
0
s2
1
d1
0
+
d1
1
d2
0
+ Çözüm
d2
0
x1
1
0
0
0
1
-1
0
0
15
1
d2 -
0
1
0
0
0
0
1
-1
15
0
s1
0
3
1
0
-6
6
0
0
30
0
s2
0
3
0
1
-3
3
0
0
45
zj
cj - zj
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
-1
1
15
74
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.4)
Üçüncü Simpleks (Optimal) Çözüm Tablosu
A.K.
cj
Temel
0
x1
0
x2
0
s1
0
s2
1
d1
0
+
d1
1
d2
0
+ Çözüm
d2
0
x1
1
0
1/6
0
0
0
-1/2
1/2
12.5
1
d1
0
0
-1/6
0
1
-1
1/2
-1/2
2.5
0
x2
0
1
0
0
0
0
1
-1
15
0
s2
0
0
-1/2
1
0
0
-3/2
3/2
7.5
zj
cj - zj
0
0
0
0
-1/6
1/6
0
0
1
0
-1
1
1/2
1/2
-1/2
1/2
2.5
-
Tüm cj – zj ≥ 0 olduğundan bu tablo optimal çözüm
tablosudur.
75
Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama
Bu tür problemlerin amaç
fonksiyonundaki sapma
değişkenlerine ağırlık değeri verilir ve
hedeflerden sapmaların ağırlıklı
toplamı minimum kılınır.Hedeflerin
göreli önemi ilgili sapmaların
ağırlıkları ile ifade edilir.
76
Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama
Genellikle böyle bir yaklaşım, eşit ağırlıklı çok
hedefli problemlerin sapma değişkenlerinin
ölçü birimleri farklı olduğunda ve hedeflerin
göreli önemi sayılandırılabildiğinde tercih edilir.
Ayrıca, karar verici hedefler arasındaki önemini
belirtmek için de ağırlıklandırma yoluna
başvurabilir.
Fakat ağırlıkların belirlenmesi karar verici için
hiç de kolay değildir. Çünkü ağırlıklandırma
genel olarak karar vericinin tercih yapısına,
birkaç faktör ile karar alanı ve amaçlar
arasındaki ilişkilere bağlıdır.
77
Örnek Problem
(Örnek 5.2.5)
Daha önce Örnek 5.2.4’de ele alınan
firma yöneticisi, birinci hedefin ikinci
hedeften üç kat daha önemli
olduğunu düşünüyorsa, yeni
modelin simpleks yöntemi ile
optimal çözümünü bulunuz.
78
Çözüm
(Örnek 5.2.5)
Amaç fonksiyonu;
Min z = 3 d1 + d2
Kısıtlayıcılar;
+
x1 + d1 – d1 = 15
+
x2 + d2 – d2 = 15
6 x1 + 3 x2 ≤ 120
3 x1 + 3 x2 ≤ 90
-
+
-
+
x1, x2, d1 , d1 , d2 , d2 ≥ 0
79
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.5)
Başlangıç Simpleks Tablosu
A.K.
cj
Temel
0
x1
0
x2
0
s1
0
s2
3
d1
3
d1
1
0
0
0
1
-1
0
0
15
1
d2 -
0
1
0
0
0
0
1
-1
15
0
s1
6
3
1
0
0
0
0
0
120
0
s2
3
3
0
1
0
0
0
0
90
zj
cj - zj
3
-3
1
-1
0
0
0
0
3
0
-3
3
1
0
-1
1
60
-
0
+
d1
1
d2
0
+ Çözüm
d2
80
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.5)
Birinci Simpleks Çözüm Tablosu
A.K.
cj
Temel
0
x1
0
x2
0
s1
0
s2
3
d1
0
+
d1
1
d2
0
+ Çözüm
d2
0
x1
1
0
0
0
1
-1
0
0
15
1
d2 -
0
1
0
0
0
0
1
-1
15
0
s1
0
3
1
0
-6
6
0
0
30
0
s2
0
3
0
1
-3
3
0
0
45
zj
cj - zj
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
3
0
0
1
0
-1
1
15
81
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.5)
İkinci Simpleks (Optimal) Çözüm Tablosu
A.K.
cj
Temel
0
x1
0
x2
0
s1
0
s2
3d1
0
x1
1
0
0
0
1
-1
0
0
15
1
d2
0
0
-1/3
0
2
-2
1
-1
5
0
x2
0
1
1/3
0
-2
2
0
0
10
0
s2
0
0
-1
1
3
-3
0
0
15
zj
cj - zj
0
0
0
0
-1/3
1/3
0
0
2
1
-2
2
1
0
-1
1
5
-
0+
d1
1d2
0+
Çözüm
d2
Tüm cj – zj ≥ 0 olduğundan bu tablo optimal çözüm tablosudur.
Birinci hedefin tam olarak gerçekleşmesine ilişkin verilen ağırlık
nedeniyle birinci hedeften sapma yoktur.
82
Öncelikli Çok Hedefli Programlama
Bir karar verici matematiksel optimizasyon
modellerini kullanırken amaç
fonksiyonunu optimum kılan pek çok
seçenekli çözümlerin birini seçme durumu
ile karşılaşabilir. Karar ikinci derecede,
üçüncü derecede veya daha yüksek
derecede olabilir.
Böyle karara ilişkin problemler öncelikli
hedef programlama ile çözülür.
Öncelikli hedef programlama hedefler
arasındaki önceliklerin sıralanmasına
dayanır.
83
Öncelikli Çok Hedefli Programlama
Öncelikli hedef programlama yönteminde,
amaç fonksiyonunu oluşturmak için
ulaşılması gereken hedeflerin hiyerarşik
bir yapıda verilmesi gerekir.
Karar verici, tercihini kullanarak hedeflerin
en önemliden daha az önemliye doğru
sıralamasını yapar.
Bu sıralama işlemi sayısal veya sözel
yapılabilir.
84
Öncelikli Çok Hedefli Programlama
Birinci öncelikli hedef tam olarak
gerçekleştirilmeden ikinci öncelikli hedefe,
ikinci öncelikli hedef gerçekleştirilmeden
üçüncü öncelikli hedefe geçilmez.
Matematiksel olarak ifade edecek olursak;
p1 >> p2 ≥ p3 ≥≥ … ≥≥ pn
(Burada p1 hedefinin p2 hedefinden çok daha büyük önemli
olduğu belirtilmektedir. Dolayısıyla, p1 hedefinde istenilen
sonuç alınmadan p2 hedefine, p2 hedefinde istenilen sonuca
ulaşılmadan hiçbir zaman p3 hedefinin gerçeklenilmesine
çalışılmaz. p3’ü izleyen tüm hedefler için de aynı koşul
geçerlidir.)
85
Öncelikli Çok Hedefli Programlama
Hedeflerin önceliklerinin sıralanması
hedefler arasındaki ilişkilere verilen
ağırlık ile de yapılabilir.
Çünkü p1 >> pn gösteriminde ilgili
sapma değişkenlerinin k > 0 olma
koşuluyla, bir sayı ile çarpılacağı
anlamı vardır.
Ancak bu çarpılacak sayı ne kadar
büyük olursa olsun, p1’in önemi
p2’den her zaman daha fazla olacaktır.
86
Öncelikli Çok Hedefli Programlama
Öncelikli hedef programlamada
amaç fonksiyonu;
-
Min z = p d + p d + p d + …
+
1
1
2
2
+
3
3
şeklinde yazılabilir.
87
Öncelikli Çok Hedefli Programlama
Hedeflerin tümünde istenilen
düzeyde bir doyuma her zaman
ulaşılamayabilir. Önemli olan, karar
vericinin istediği istediği öncelikli
hedeflerden başlanarak istenilen
doyumlara ulaşılmaya çalışılmasıdır.
Hedeflerin öncelikleri
değiştirilebilindiği gibi, bu
değişikliğin çözüm üzerindeki etkisi
de belirlenebilir.
88
Öncelikli Çok Hedefli Programlama
Öncelikli yapıyı kullanan çok hedefli
problemlerin modellenmesi aşağıdaki
nedenlerden dolayı karar vericiler için
gerçekçi olmayabilir;
Karar vericiler kesin hiyerarşi düzeylerini
oldukça zor belirleyebilmektedirler. Çünkü
bazen farklı düzeyler arasında belirsiz
değiş tokuş olabilmektedir.
Kullanılan sıralı çözüm tekniği çözüm
bölgesinin bazı kısımlarını atabilmekte
fakat bu kısımlar ise karar vericiyi
ilgilendirebilmektedir.
89
Öncelikli Çok Hedefli Programlama
Karar vericiler hedeflerin
önceliklerini tam olarak
belirleyebildikleri
durumlarda ağırlıklı hedef
programlama yerine
öncelikli hedef
programlamayı
kullanmalıdırlar.
90
Öncelikli Çok Hedefli Programlama
Öncelikli hedef programlama problemi,
sadece iki karar değişkeni içerdiğinde
optimal çözüme grafik çözüm tekniği ile de
ulaşılabilir.
Ayrıca problemi çözen kişinin elinde iyi bir
bilgisayar paket programı var ise,
hedeflere yüklenen önceliklere farklı
düzenlemeler yaparak çok sayıda çözüm
üretilebilir. Böylece karar verici de bu
çözümler arasından kendince en uygun
olduğuna inandığı bir çözümü seçebilir.
91
Öncelikli Hedef Programlamada Simpleks Yöntemi
Öncelikli hedef programlama
simpleksi ile klasik simpleks
yöntemi arasında farklar vardır.
Minimizasyon problemlerinin
çözümünde kullanılacak
öncelikli hedef programlama
simpleksi beş adımdan
oluşmaktadır.
92
Adım-1
Problemin başlangıç simpleks tablosu
oluşturulur.
Bu tabloda her pi önceliği için n tane
cj – zj satırı yer alırken, klasik simpleks
tablosunda ise sadece bir tek cj – zj
satırı bulunur.
Burada pi satırlarındaki öncelik sırası
p1, p2, p3, … şeklindedir.
Yani ilk olarak p1 öncelikli amaç
fonksiyonu satırından başlanır ve daha
sonra Adım-2’ye geçilir.
93
Adım-2
Hedef programlama simpleksinde çözüme
girecek değişken belirlenirken öncelikle pi
öncelikli amaç satırındaki cj – zj değerine
bakılır.
En küçük negatif değerli (veya mutlak
değerce en büyük olan) değerli cj – zj
değişken çözüme (temel) girer.
Bu işlem amaç fonksiyonunun değerini
azaltarak birinci hedefin sağlanmasını
sağlar.
Pozitif cj – zj değerli değişkenin çözüme
girmesinin ise yüksek öncelikli hedeften
sapmayı artıracağı bilinmelidir.
94
Adım-3
Çözümden veya temelden çıkacak
değişken içinde bilinen ölçüt
(en küçük bi/aij) kullanılır ve sonra da
temel sıra işlemleri ile her satır için
yeni sıralar bulunur.
Klasik simpleks yönteminde
yaptığımız işlemlerin aynısı yapılarak
birinci simpleks çözüm tablosu
oluşturulur.
95
Adım-4
Birinci hedef öncelikli amaç satırının
cj – zj elemanlarına bakılır, eğer
negatif elemanlar var ise Adım-2 ve
Adım-3 işlemleri yapılarak tüm
cj – zj ≥ 0 oluncaya kadar işlemlere
devam edilir.
96
Adım-5
Tüm pi’ler için cj – zj ≥ 0 oluncaya kadar
Adım-2 ve Adım-3’deki işlemler yapılır.
Böylece, tüm hedeflerde doyuma
ulaşıldığında optimum çözüme ulaşılmış
olur.
Ancak düşük düzeyli bir öncelik satırında
negatif cj – zj değeri var ve onun altındaki
yüksek öncelikli hedefin sütununun değeri
pozitif ise cj – zj değeri negatif olmasına
rağmen çözüme girmez. Bu durumda çözüm
yine optimaldir. Çünkü ondan öncelikli olan
hedefin sapmasını artıracağından amaç
fonksiyonunun değerini azaltır.
97
Örnek Problem
(Örnek 5.2.6)
-
+
2
-
+
3
Min z = p1d1 + p2d + p3d + p4d4
Kısıtlayıcılar;
+
4 x1 + 8 x2 + d1 – d1 = 32
+
6 x1 + 3 x2 + d2 – d2 = 12
+
x1 + 4 x2 + d3 – d3 = 8
+
x1 + d4 – d4 = 8
-
+
1
-
-
-
x1, x2, d1 , d , d2 , d2 , d3 , d3 , d4 , d4 ≥ 0
+
+
+
98
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.6)
Başlangıç Simpleks Tablosu
0
x1
0
x2
4
8
1
-1
0
0
6
3
0
0
1
1
4
0
0
1
cj
Temel
d1
d2
d3
d4 -
1
0
0
p4
cj - zj
-1
0
p3
cj - zj
0
p2
cj - zj
p1
cj - zj
A.K.
1
0
0
1
0
+
d1 d1
0
d2
1
0
+
d2 d3
1
+
d3
1
d4
0
+ Çözüm
d4
0
0
0
0
32
-1
0
0
0
0
12
0
0
1
-1
0
0
8
0
0
0
0
0
1
-1
8
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
-4
-8
0
1
0
1
0
1
1
0
99
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.6)
Birinci Simpleks Çözüm Tablosu
0
cj
Temel
d1
d2
0
x1
0
x2
2
0
1
-1
0
5.25
0
0
0
0
x2
0.25
1
0
1
d4 -
1
0
p4
cj - zj
-1
p3
cj - zj
p2
p1
A.K.
1
1
0
0
1
+
+
d1 d1 d2 d2
0
d3
1
+
d3
1
0
+ Çözüm
d4 d4
0
-2
2
0
0
16
1
-1
-0.75
0.75
0
0
6
0
0
0
0.25
-0.25
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
-1
8
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
cj - zj
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
cj - zj
-2
0
0
1
0
1
2
-1
1
0
100
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.6)
İkinci Simpleks Çözüm Tablosu
A.K.
1
cj
0
Temel x1
d1
0
0
x2
1
0
+
d1 d1
0
d2
1
+
d2
0
d3
1
+
d3
1- 0+
Çözüm
d4 d4
0
1
-1
-0.38
0.38
-1.71
1.71
0
0
13.71
0
x1
1
0
0
0
0.19
-0.19 -0.14
0.14
0
0
1.14
0
x2
0
1
0
0
-0.08
0.08
0.29
-0.29
0
0
1.17
1
d4
0
0
0
0
-0.19
0.19
0.14
-0.14
1
-1
6.86
p4
cj - zj
0
0
1
0
0.19
0.81
-0.14
1.14
0
1
p3
cj - zj
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
p2
cj - zj
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
p1
cj - zj
0
0
0
1
0.38
0.62
1.71
-0.71
1
0
-
101
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.6)
Üçüncü Simpleks (Optimal) Çözüm Tablosu
A.K.
cj
0
Temel x1
+
0
x2
1
d1
0
+
d1
0
d2
1
+
d2
0
1
1 - 0+
+
Çözüm
d3 d3 d4 d4
1
d3
0
0
0.58
-0.58 -0.22
0.22
-1
1
0
0
8.02
0
x1
1
0
-0.08
0.08
0.22
-0.22
0
0
0
0
0.02
0
x2
0
1
0.17
-0.17 -0.14
0.14
0
0
0
0
4.04
1
d4
0
0
0.08
-0.08 -0.22
0.22
0
0
1
-1
7.98
p4
cj - zj
0
0
0.92
0.08
0.22
0.78
0
1
0
1
p3
cj - zj
0
0
0.42
0.58
0.22
0.78
1
0
1
0
p2
cj - zj
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
p1
cj - zj
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
-
102
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.6)
Öncelik satırlarındaki (p1, p2, p3, p4) tüm cj – zj
değerleri sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olduğu
için Üçüncü Simpleks Çözüm Tablosunda
optimal çözüme ulaşılmıştır.
Bu problemde;
- Hedef-1 ve Hedef-2’ye ulaşılmıştır. Çünkü;
Min z1 = p1 . d1 = p1 . 0 = 0
Min z2 = p2 . d2+= p2 . 0 = 0’dır.
- Hedef-3 ve Hedef-4 tam olarak
karşılanamamıştır.
Hedef-3’de 8,02 birim aşılırken,
Hedef-4’te ise 7,98 birim açık verilmiştir.
103
Ağırlıklı - Öncelikli Çok Hedefli Programlama
Bazı hedef programlama
problemlerinde aynı hedefe ilişkin iki
veya daha fazla sapma değişkeni, aynı
öncelik düzeyinde amaç fonksiyonunda
yer alabilir.
Böyle bir durumda, sapma
değişkenlerinin önceliği aynı (pi) ise, bu
sapma değişkenlerde ağırlıklar
kullanılarak hangi sapmanın daha
önemli olduğu belirlenir.
104
Ağırlıklı - Öncelikli Çok Hedefli Programlama
Amaç fonksiyonu;
+
+
Min z = p1d1 + p2d2- + p32d3- + p3d3 + p4d4
Biçiminde verildiğinde, üçüncü hedefin
negatif sapmalı değişkeninin pozitif
sapmalı değişkeninden 2 kat daha
önemli olduğu anlaşılır.
105
Ağırlıklı - Öncelikli Çok Hedefli Programlama
Böyle bir durum, birden fazla hedefin aynı öncelik
düzeyinde bulunmasında da söz konusu olabilir.
Örneğin;
+
+
+
Min z = p1d1 + p2(3d2 + 2d3 + 4d4 + d4 + 5 d5 + 2 d5 )
Bu amaç fonksiyonunda, ikinci değişkenden
beşinci değişkene kadar olan sapmalı değişkenler
aynı öncelik düzeyli (p2) fakat aralarında önem
farklılığı vardır.
Ağırlıklar ile belirtilen önem farklılığına göre, ikinci
öncelikli hedef değişkenlerinin önem sırası;
+
+
+
d5 , d4 , d2 , (d3 = d5 ) ve d4
biçimindedir.
106
Örnek Problem
(Örnek 5.2.3.7)
-
+
-
-
-
Min z = p1 ( 2d4 + d5 ) + p2d1 + p3d2 + p4d3
Kısıtlayıcılar;
+
100 x1 + 150 x2 + d1 – d1 = 2400
+
x2 + d2 – d2 = 15
+
x1 + d3 – d3 = 5
+
4 x1 + 2 x2 + d4 – d4 = 45
+
2 x1 + 2 x2 + d5 – d5 = 35
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
x1, x2, d1 , d1 , d2 , d2 , d3 , d3 , d4 , d4 , d5 , d5 ≥ 0
107
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.3.7)
Başlangıç Simpleks Tablosu
A.K.
cj
Temel
-
0
x1
0
x2
1
d1
0
+
d1
1
d2
0
+
d2
1
d3
0
+
d3
0
d4-
2
d4+
1
d5
0
+
d5
Çözüm
100
150
1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
2400
0
1
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
0
15
1
0
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
5
1
d1
1
d2
1
d3
0
d4 -
4
2
0
0
0
0
0
0
1
-1
0
0
45
1
d5 -
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-1
35
p4
cj - zj
-1
0
1
0
1
0
0
1
0
2
1
0
p3
cj - zj
0
-1
1
0
0
1
1
0
0
2
1
0
p2
cj - zj
-100
-150
0
1
1
0
1
0
0
2
1
0
p1
cj - zj
-2
-2
1
0
1
0
1
0
0
2
0
1
-
108
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.3.7)
Birinci Simpleks Çözüm Tablosu
A.K.
cj
Temel
-
0
x1
0
x2
1
d1
0
+
d1
1
d2
0
+
d2
1
d3
0
+
d3
0
d4-
2
d4+
1
d5
0
+
d5
Çözüm
100
0
1
-1
-150
150
0
0
0
0
0
0
150
0
1
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
0
15
1
0
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
5
1
d1
0
x2
1
d3
0
d4 -
4
0
0
0
-2
2
0
0
1
-1
0
0
15
1
d5 -
2
0
0
0
-2
2
0
0
0
0
1
-1
5
p4
cj - zj
-1
0
1
0
1
0
0
1
0
2
1
0
p3
cj - zj
0
0
1
0
1
0
1
0
0
2
1
0
p2
cj - zj
-100
0
0
1
151
-150
1
0
0
2
1
0
p1
cj - zj
-2
0
1
0
3
-2
1
0
0
2
1
0
-
109
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.3.7)
İkinci Simpleks Çözüm Tablosu
A.K.
cj
Temel
+
0
x1
0
x2
1
d1
0
+
d1
1
d2
0
+
d2
1
d3
0
+
d3
0
d4
2
+
d4
1
d5
0
+
d5
2/3
0
1/150
-1/150
-1
1
0
0
0
0
0
0
1
2/3
1
1/150
-1/150
0
0
0
0
0
0
0
0
16
1
0
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
5
8/3
0
-1/75
1/75
0
0
0
0
1
-1
0
0
13
2/3
0
-1/75
1/75
0
0
0
0
0
0
1
-1
3
0
d2
0
x2
1
d3
0
d4
1
d5
p4
cj - zj
-1
0
1
0
1
0
0
1
0
2
1
0
p3
cj - zj
0
0
1
0
1
0
1
0
0
2
1
0
p2
cj - zj
0
0
1
0
1
0
1
0
0
2
1
0
p1
cj - zj
-2/3
0
1
-1/75
1
0
1
0
0
2
0
1
-
Çözüm
110
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.3.7)
Üçüncü Simpleks Çözüm Tablosu
Temel
0
x1
0
x2
1
d1
0
+
d1
1
d2
0
+
d2
1
d3
0
+
d3
0
d4
2
+
d4
1
d5
0
x1
1
0
1/100
-1/100
-3/2
3/2
0
0
0
0
0
0
3/2
0
x2
0
1
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
0
15
1
d3
0
0
-1/100
1/100
3/2
-3/2
1
-1
0
0
0
0
7/2
0
d4
0
0
-1/25
1/25
4
-4
0
0
1
-1
0
0
9
1
d5
0
0
-1/150
1/50
1
-1
0
0
0
0
1
-1
2
p4
cj - zj
0
0
101/100
-1/100
-1/2
½
0
1
0
2
1
0
p3
cj - zj
0
0
1
0
1
0
1
0
0
2
1
0
p2
cj - zj
0
0
1
0
1
0
1
0
0
2
1
0
p1
cj - zj
0
0
151/150
-1/50
0
1
1
0
0
2
0
1
A.K.
cj
-
0
+
d5
Çözüm
111
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.3.7)
Dördüncü Simpleks Çözüm Tablosu
Temel
0
x1
0
x2
1
d1
0
+
d1
1
d2
1
d3
0
+
d3
0
d4
2
+
d4
1
d5
0
+
d5
0
x1
1
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
1/2
-1/2
5/2
0
x2
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
15
1
d3
0
0
0
0
1
-1
1
-1
0
0
-1/2
1/2
5/2
0
d4
0
0
0
0
2
-2
0
0
1
-1
-2
2
5
0
d1 +
0
0
-1
1
50
-50
0
0
0
0
50
-50
100
p4
cj - zj
0
0
1
0
0
1
0
1
0
2
1/2
-1/2
p3
cj - zj
0
0
1
0
1
0
1
0
0
2
1
0
p2
cj - zj
0
0
1
0
1
0
1
0
0
2
1
0
p1
cj - zj
0
0
1
0
1
0
1
0
0
2
1
0
A.K.
cj
-
0
+
d2
Çözüm
112
Simpleks Yöntemi ile Çözüm
(Örnek 5.2.3.7)
Beşinci Simpleks (Optimal) Çözüm Tablosu
Temel
0
x1
0
x2
1
d1
0
+
d1
1
d2
0
+
d2
1
d3
0
+
d3
0
d4
2
+
d4
1
d5
0
+
d5
Çözüm
0
x1
1
0
0
0
-1/2
1/2
0
0
1/4
-1/4
0
0
75/20
0
x2
0
1
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
0
15
1
d3
0
0
0
0
1/2
-1/2
1
-1
-1/4
1/4
1/2
0
25/20
0
d5+
0
0
0
0
1
-1
0
0
1/2
-1/2
-1
1
2.5
0
d1+
0
0
-1
1
100
-100
0
0
25
-25
0
0
225
p4
cj - zj
0
0
1
0
1/2
1/2
0
1
1/4
7/4
1
0
p3
cj - zj
0
0
1
0
1
0
1
0
0
2
1
0
p2
cj - zj
0
0
1
0
1
0
1
0
0
2
1
0
p1
cj - zj
0
0
1
0
1
0
1
0
0
2
1
0
A.K.
cj
-
113
Genel Hedef Programlama Modeli
Amaç Fonksiyonu :
k
I
-
Min z = ∑∑ P (a * d + a * d )
k
+
+
ik
i
-
ik
i
k=1 i=1
P : k’ıncı hedef önceliği,
+
a , a : k önceliğine sahip i’inci hedefe ilişkin sapma değişken ağırlığı,
+
d , d : i’inci hedefe ilişkin negatif ve pozitif sapma değişkenleri
k
ik
i
ik
i
114
Genel Hedef Programlama Modeli
Kısıtlayıcılar :
n
+
-
i
i
∑tx -d +d =b
ij
j
i
j=1
Pozitif Kısıtlayıcı :
-
+
i
i
x ≥ 0, d ≥ 0, d ≥ 0
j
t
b
ij
i
: i’inci hedef ve xj ile ilişkili teknoloji katsayısı,
: i’inci hedef düzeyi.
115
Genel Hedef Programlama Modelinin Özellikleri
1.
2.
Amaç fonksiyonu, sapma değişkenler
toplamını en küçüklemek için oluşturulur.
Bu fonksiyonun yapısı, modelin türünü
(tek değişkenli, çok değişkenli, sapmalı
değişkenlerin eşit ağırlıklı, ağırlıklı,
öncelikli ve ağırlıklı-öncelikli gibi) belirler.
Hedef ulaşmadaki başarı ve başarısızlığı
ifade eden sapma değişkenleri tüm hedef
kısıtlayıcılarında bulunur.
116
Genel Hedef Programlama Modelinin Özellikleri
3.
4.
5.
Sapma değişkenlerini içermeyen
yapısal kısıtlayıcılar, klasik DP
modelinde yapmış olduğu işlevi
yerine getirir.
Yönetimin hedefleri kısıtlayıcılar ile
modele taşınır.
Modelde bulunan tüm değişkenler,
ya sıfır ya da sıfırdan büyük değer
alabilirler.
117
Genel Hedef Programlama Modelinin Özellikleri
Bu temel özelliklere ek olarak bazı
hedef programlama modellerinde
karşılaşılabilecek bir özel durum
daha vardır. Bu durumda, bazı
modellerde hedefin tamamının
karşılanması yerine gk ile bir alt sınır
hedefi veya üst sınır hedefi
tanımlanabilmesidir.
118
Genel Hedef Programlama Modelinin Özellikleri
gk alt sınır hedefi ise;
n
∑ tjk * xj ≥ gk
eşitsizliği kullanılır.
j=1
Bunun anlamı hedef gk’dan büyük olan her miktar
kabul edilebilir. Ancak hedef gk’dan küçük olan tüm
sapmalardan mümkün olduğunca sakınılmalıdır.
Bu durumda amaç fonksiyonunda yer alan dk+ ‘ları
çıkartmak gerekir. Çünkü yalnızca dk- sapma
değişkeni enküçüklenmek istenmektedir. Bununla
+
birlikte dk ve dk- ‘lerin her ikisi de gk hedefi
kısıtlayıcılarında yer alacağından, her iki sapma
değişkeni de değer alabilecektir.
119
Genel Hedef Programlama Modelinin Özellikleri
n
gk üst sınır hedefi ise;
∑ tjk * xj ≤ gk
eşitsizliği kullanılır.
j=1
Bunun anlamı hedef gk’dan daha küçük her değerin kabul
edilmesine karşın, gk’dan daha büyük miktarlardan
mümkün olduğunca kaçınılmalıdır.
Bu amaçla amaç fonksiyonundan yer alan dk- sapma
değişkenini çıkartmak gerekir. Çünkü bu durumda yalnızca
dk+ sapma değişkeni enküçüklenecektir. Bununla birlikte dk+
ve dk- ‘lerin her ikisi de gk hedefi kısıtlayıcılarında yer
alacağından, her iki sapma değişkeni de modelin bütününe
bağlı olarak değer alabilecektir.
Ancak burada dikkat edilmesi gereken nokta, hedeften
aynı anda iki yönlü sapma olamayacağından, söz konusu
sapma değişkenlerinden birinin değerinin otomatik olarak
sıfır olmasıdır.
120
Örnek Problem (İşgücü Planlaması)
(Örnek 5.2.5.1)
Kent şekerleme fabrikasının üretim müdürü, iki üretim ekibi
arasında iş saatinin dağılımını planlamaktadır. Bu konudaki
bilgiler;
Ekip-1 saatte 40 birim, Ekip-2 ise saatte 35 birim üretmektedir.
Her ekip haftada 40 saat çalışmaktadır.
Yönetici, gelecek hafta üretimin aksamaması için aşağıdaki
hedefleri sırasıyla önceliklendirmiştir;
h1 : Haftalık üretim düzeyi 4500 birimin altına düşmemelidir.
h2 : Ekip-1’in fazla çalışma saati 5 saati geçmemelidir.
h3 : Ekip-1’in haftalık çalışma saati 40 saatin altında olmamalıdır.
h4 : Ekip-2’nin haftalık çalışma saati 40 saatin altına düşmemelidir.
h5 : Ekip-2’nin fazla çalışma saati 10 saati geçmemelidir.
Yöneticinin bu öncelikli hedeflerini karşılayan hedef
programlama modelini kurunuz.
121
Çözüm
(Örnek 5.2.5.1)
Karar değişkenleri;
x1 : Ekip-1 için ayrılacak iş saati
x2 : Ekip-2 için ayrılacak iş saati
Amaç fonksiyonu;
Kısıtlayıcılar;
-
-
Min z = p1d1- + p2d2 + + p3d3 + p4d4 + p5d5 +
-
+
40 x1 + 35 x2 + d1 – d1 = 4500 (Üretim düzeyi)
+
x1 + d2 – d2 = 45 (Ekip-1’in fazla çalışma saatini içeren top. çalışma süresine ilişkin
-
+
hedef kısıtlayıcısı)
(Ekip-1 için haftalık çalışma saati hedef kısıtlayıcısı)
x1 + d3 – d3 = 40
+
x2 + d4 – d4 = 40 (Ekip-2 için haftalık çalışma saati hedef kısıtlayıcısı)
+
x2 + d5 – d5 = 50 (Ekip-2’nin fazla çalışma saatini içeren top. çalışma süresine ilişkin
hedef kısıtlayıcısı)
-
x1, x2, d1- , d1 , d2- , d2+ , d3 , d3 , d4- , d4 + , d5- , d5 ≥ 0
+
+
+
122
Çözüm
(Örnek 5.2.5.1)
-
d1 : Üretim düzeyi hedefinin altındaki miktarını,
+
d1 : Üretim düzeyi- hedefinin
üzerindeki miktarını,
d2 : Ekip-1 için fazla çalışma saati hedefinin altındaki çalışma
+
d2 :
-
d3 :
d3+:
d4 :
+
d4 :
d5 :
+
5
d :
saatini,
Ekip-1 için fazla çalışma saati hedefinin üzerindeki çalışma
saatini,
Ekip-1 için haftalık çalışma saatinin altındaki çalışma saatini,
Ekip-1 için haftalık çalışma saatinin üstündeki çalışma saatini,
Ekip-2 için haftalık çalışma saatinin altındaki çalışma saatini,
Ekip-2 için haftalık çalışma saatinin üstündeki çalışma saatini,
Ekip-2 için fazla çalışma saati hedefinin altındaki çalışma
saatini,
Ekip-2 için fazla çalışma saati hedefinin üzerindeki çalışma
saatini gösterir.
123
Örnek Problem (Reklam Bütçesi)
(Örnek 5.2.5.3)
ABC şirketi ürünlerinin reklamı için televizyon ve
magazin dergilerini kullanmaktadır. Şirketin amacı
ise, aşağıdaki eşit ağırlıklı hedeflerini
gerçekleştirecek bir reklam bütçesi hazırlamaktır.
Hedef-1 : Reklam giderleri için harcanacak para, 40
milyar TL’yi aşmamalıdır.
Hedef-2 : Şirketin vereceği reklamlar en az 15 milyon
kişiye ulaşmalıdır.
Hedef-3 : Reklamlardan en az 8 milyon kişi
etkilenmelidir.
Hedef-4 : Televizyona verilecek reklam sayısı en az 8
olmalıdır.
Hedef-5 : Magazin dergilerine en az 5 reklam
verilmelidir.
124
Örnek Problem (Reklam Bütçesi)
(Örnek 5.2.5.3)
TV reklamıyla 3 milyon izleyiciye ulaşılmakta ve
900.000 izleyici reklamdan etkilenmektedir.
Magazin dergisine reklam verildiğinde 1 milyon
kişiye ulaşılmakta ve bunlardan 400.000 okuyucu
etkilenebilmektedir.
TV’de bir reklam vermenin maliyeti 3 milyar TL’dir.
Magazin dergilerinde reklam vermenin maliyeti 2
milyar TL’dir.
İstenen :
Yukarıdaki hedeflere göre TV ve magazin
dergilerinde ne kadar sayıda reklam verilmesini
belirleyebilmek için problemin hedef programlama
modelini kurunuz.
125
Çözüm
(Örnek 5.2.5.3)
Karar değişkenleri;
x1 : TV’de verilecek reklam sayısı
x2 : Magazin dergisinde verilecek reklam sayısı
Amaç fonksiyonu;
Hedef Kısıtlayıcısı;
-
Min z = d1 + + d2 + d3 - + d4 - + d5 -
+
3 x1 + 2 x2 + d1 – d1 = 40 (Bütçe kısıtlayıcısı)
+
3.000.000 x1 + 1.000.000 x2 + d2 – d2 = 15.000.000
kısıtlayıcısı)
-
(Ulaşılması istenen kişi
+
900.000 x1 + 400.000 x2 + d3 – d3 = 8.000.000 (Reklamdan etkilenen kişi
kısıtlayıcısı)
-
+
x1 + d4 – d4 = 8 (TV’de verilecek reklam sayısı)
+
x2 + d5 – d5 = 5 (Magazinde verilecek reklam sayısı)
-
x1, x2, d1- , d1 , d2- , d2+ , d3 , d3 , d4- , d4 + , d5- , d5 ≥ 0
+
+
+
126