Transcript Esforço Cortante

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
UNESP – Campus de Bauru/SP
FACULDADE DE ENGENHARIA
Departamento de Engenharia Civil
Disciplina: 1309 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE
CONCRETO ARMADO AO ESFORÇO
CORTANTE
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS
1
1. INTRODUÇÃO
No projeto de uma viga:
Dimensionamento à flexão e deslocamentos
verticais (flecha) são fatores determinantes
para a especificação das dimensões da seção
transversal da viga.
Dimensionamento da armadura transversal
para o esforço cortante geralmente é feito após
o de flexão.
A ruptura das vigas por efeito da força
cortante é freqüentemente violenta e frágil,
devendo sempre ser evitada.
A ruptura deve se desenvolver lenta e
gradualmente:
“é necessário garantir uma boa ductilidade,
de forma que uma eventual ruína ocorra de
forma suficientemente avisada, alertando os
usuários” (NBR 6118/2003, item 16.2.3).
A
A
A
V
M
V
A
V
M + dM
M
V
dx
Figura 1 – Esforços solicitantes num elemento de
comprimento dx de uma viga.
3. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE
VIGAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E À
FORÇA CORTANTE
Armadura Transversal
(somente estribos)
P
P
Armadura Transversal
(estribos e barras dobradas)

M
+
+
-
V
Figura 5 – Viga biapoiada e diagramas de esforços solicitantes.
5
tração
compressão
a
b
a
b
Estádio I
Estádio II
Seção a-a
c
s
c
t
=
c E
bc
Estádio I
Seção b-b
c
c
s
<
s
ct,f
b
Estádio II
Seção b-b
c
c = fc
Figura 6 - Comportamento resistente de uma viga biapoiada.
s
s
> fy
Figura 7 - Fissuras na viga no Estádio II.
O comportamento da região sob maior influência
das forças cortantes e com fissuras inclinadas de
cisalhamento pode ser descrito fazendo-se
analogia com uma treliça isostática.
A analogia de treliça consiste em simbolizar a
armadura transversal como as diagonais
inclinadas tracionadas (montantes verticais no
caso de estribos verticais), o concreto comprimido
entre as fissuras (bielas de compressão) como
as diagonais inclinadas comprimidas, o banzo
inferior como a armadura de flexão tracionada e
o banzo superior como o concreto comprimido
acima da linha neutra.
b
Rc
Rs
s
Rc
b
R
fissura de cisalhamento
z
fissura de cisalhamento
Figura 10 - Analogia de treliça para as forças internas na região
de esforço cortante de uma viga.
Treliça clássica de Ritter-Mörsch:
treliça isostática com banzos paralelos e
diagonais comprimidas de 45.
“A treliça clássica de Ritter-Mörsch foi uma das
concepções mais fecundas na história do concreto
armado. Há mais de meio século tem sido a base do
dimensionamento das armaduras transversais –
estribos e barras inclinadas – das vigas de concreto
armado, e está muito longe de ser abandonada ou
considerada superada. As pesquisas sugerem apenas
modificações ou complementações na teoria,
mantendo no entanto o seu aspecto fundamental: a
analogia entre a viga de concreto armado, depois de
fissurada, e a treliça”.
4. FORMAS DE RUPTURA POR FORÇA
CORTANTE
Figura 14 – Ruptura de viga e laje por rompimento do banzo
superior comprimido de concreto.
11
Figura 15 – Ruína da viga por rompimento dos estribos.
Figura 16 - Ruptura das diagonais comprimidas no caso de
armadura transversal reforçada.
5. ESFORÇOS E TENSÕES NA TRELIÇA
CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH
NO QUADRO!
14
6. RELAÇÕES DA TRELIÇA CLÁSSICA
PARA ÂNGULOS  DE 45 E 90
Relação
qualquer
 = 45
 = 90
Resultante
na
diagonal
comprimida (Rcb)
2V
2V
2V
Tensão na diagonal comprimida
(cb)
Resultante
de
tração (Rs)
1
2
b w z 1  cotg 
Tensão
na
armadura
transversal (sw)
V s
1
z A sw, sen   cos 
V
V
sen 
V
bw z
2
V
bw z
V
sen 45
V
V
s
z A sw, 45 2
V s
z A sw,90
15
7. GENERALIZAÇÃO DA TRELIÇA
CLÁSSICA
P
P
- 30° - 38°
a) treliça de alma espessa
- 38° - 45°
b) treliça de alma delgada
Figura 18 - Treliça generalizada (CEB, 1979).
16
a) a inclinação das fissuras é menor que
45;
b) os banzos superior e inferior não são
paralelos. O banzo comprimido inclina-se
em direção ao apoio;
c)
a treliça é altamente hiperestática
internamente. Existe um certo engastamento das diagonais comprimidas no
banzo comprimido.
Dedução das forças na treliça GENERALIZADA:
NO QUADRO!
18
8. DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A
NBR 6118/03
De modo geral, a NBR 611803 segue o MC-90
do CEB-FIP (1991) e o Eurocode 2 (1992),
com algumas modificações e adaptações.
Uma das principais inovações em relação à
NB1/78 está na possibilidade de se poder
considerar inclinações variáveis
(30    45) para as diagonais comprimidas
(bielas de compressão).
19
A NBR 6118/03 admite analogia com o modelo em
treliça, de banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no
interior do elemento estrutural e traduzidos por uma
componente adicional Vc.
Há dois Modelos de Cálculo: I e II.
Modelo de Cálculo I: treliça clássica, com ângulo
 de 45;
Modelo de Cálculo II: treliça generalizada, com
 podendo variar entre 30 e 45.
A condição de segurança do elemento estrutural é
satisfatória quando são verificados os estados limites
últimos, atendidas simultaneamente as duas condições
seguintes:
VSd  VRd 2
VSd  VRd 3  Vc  Vsw
VSd = força cortante solicitante de cálculo na seção;
VRd2 = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das
diagonais comprimidas de concreto;
VRd3 = Vc + Vsw = força cortante resistente de cálculo, relativa à
ruína por tração diagonal;
Vc = parcela de força cortante absorvida por mecanismos
complementares ao de treliça;
Vsw = parcela absorvida pela armadura transversal.
Mecanismos complementares ao de treliça:
a) Vcc – força cortante resistida pela região de concreto
comprimido pelas tensões da flexão;
b) Vengr,y – componente vertical do cortante resistido
pelo engrenamento dos agregados ao longo da fissura
inclinada;
c) Vpino – força cortante devida ao efeito de pino da
armadura longitudinal.
Vcc
Rcc
Fissura
Vengr
Vengr,y
As
R st
Vpino
R
Figura 19 – Forças cortantes internas resistentes
em vigas fissuradas sem estribos.
8.1 Modelos de Cálculos I e II
NO QUADRO!
23
11. EQUAÇÕES SIMPLIFICADAS
Automatizar o cálculo da armadura transversal
(um pouco mais simples e rápido).
11.1 Modelo de Cálculo I ( = 45)
11.1.1 Força Cortante Máxima
VRd2
f ck 

 0,027 1 
 f cd b w d
 250
Se VSd  VRd2 não ocorrerá o esmagamento
das bielas de compressão.
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11.1.2
Força Cortante
Armadura Mínima
A sw,mín
s
Correspondente
à
A sw

s
Asw
Vsw

s
0,9 d f ywd (sen   cos)
VSd,mín  0,0137b w d
3
f ck
2
Se VSd  VSd,mín
 utiliza-se armadura transversal mínima;
Se VSd > VSd,mín
 calcula-se a armadura transversal para VSd
11.1.2 Armadura Transversal
Asw
Vsw

s
0,9 d f ywd (sen   cos)
VSd
A sw,90  2,55
 0,023 b w
d
3
f ck 2
Tabela 3 – Equações simplificadas para diferentes valores de fck .
(Modelo de Cálculo I – estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15).
Concreto
VRd2
VSd,mín
Asw
C15
0,27 b w d
0,083 b w d
2,55
VSd
 0,14 b w
d
C20
0,35 b w d
0,101 b w d
2,55
VSd
 0,17 b w
d
C25
0, 43 b w d
0,117 b w d
2,55
VSd
 0,20 b w
d
0,51 b w d
0,132 b w d
2,55
VSd
 0,22 b w
d
0,58 b w d
0,147 b w d
2,55
VSd
 0,25 b w
d
0,65 b w d
0,160 b w d
2,55
VSd
 0,27 b w
d
2,55
VSd
 0,29 b w
d
2,55
VSd
 0,31 b w
d
C30
C35
C40
0,71 b w d
0,173 b w d
C45
0,77 b w d
C50
0,186 b w d
11.2. Modelo de Cálculo II
Tabela 4 – Equações simplificadas para diferentes valores de fck .
(Modelo de Cálculo II – estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15).
Concreto
VRd2
VSd,mín
C15
0,54 b w . d . sen . cos 
0,029 . b w . d . cot g   Vc1
C20
0,71 b w . d . sen . cos 
0,035 . b w . d . cot g   Vc1
C25
0,87 b w . d . sen . cos 
0,040 . b w . d . cot g   Vc1
C30
1,02 b w . d . sen . cos 
0,045 . b w . d . cot g   Vc1
C35
1,16 b w . d . sen . cos 
0,050 . b w . d . cot g   Vc1
1,30 b w . d . sen . cos 
0,055 . b w . d . cot g   Vc1
1,42 b w . d . sen . cos 
0,059 . b w . d . cot g   Vc1
1,54 b w . d . sen . cos 
0,064 . b w . d . cot g   Vc1
C40
C45
C50
Asw
2,55 t g 
VSd  Vc1 
d
12. DETERMINAÇÃO DO ÂNGULO DE
INCLINAÇÃO DAS DIAGONAIS DE
COMPRESSÃO ()
Após iniciado o processo de fissuração na viga,
ocorre uma redistribuição dos esforços internos,
proporcional à rigidez, principalmente das
diagonais de compressão e do banzo
comprimido.
No caso de seção retangular as diagonais de
compressão são rígidas em relação ao banzo
comprimido, o qual inclina-se em direção ao
apoio, criando o efeito de arco atirantado na viga.
O banzo comprimido, ao inclinar-se em direção
ao apoio pode até mesmo absorver toda a força
transversal, por meio de sua componente
vertical.
29
P
P
q
Figura 20 – Efeito de arco ou pórtico atirantado na viga.
P
R cc
R cc
P
~
~V
b
hf
R cc
R cc
Rs
R cb
bw
Figura 21 – Efeito de arco em viga de seção retangular e seção T com inclinação
do banzo comprimido em direção ao apoio.
~
~V
Com a diminuição da relação b/bw ocorre um
aumento da inclinação da força no banzo
comprimido e uma diminuição da inclinação das
diagonais comprimidas (diminuição de ) e, como
conseqüência, os esforços de tração na alma
diminuem progressivamente em comparação
aqueles calculados segundo a treliça clássica.
Os ensaios experimentais realizados na
Alemanha e descritos por LEONHARDT & MÖNNIG
(1982) mostraram também que “a inclinação das
fissuras de cisalhamento ou das diagonais
comprimidas varia com a relação b/bw; essa
inclinação situa-se em torno de 30 para b/bw = 1 e
cresce para cerca de 45 para b/bw = 8 a 12. As
diagonais de compressão que possuem uma
inclinação menor que 45 conduzem a esforços de
tração na alma de menor valor.”
Seção retangular: fissuras por cortante com
inclinação inferior a 45, reduzindo-se até 30.
Portanto, é adequado considerar ângulos
 variando de 30 a 38.
Seções com banzos comprimidos mais rígidos,
como seções em forma de T, I, etc: a força no
banzo comprimido inclina-se pouco, e as
fissuras por cortante têm inclinação de aproximadamente 45. Recomen-da-se neste caso
adotar  variando de 38 a 45.
13. REDUÇÃO DA FORÇA CORTANTE
Ver na apostila em casa.
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14. ATUAÇÃO DO ESTRIBO NA
ANALOGIA DE TRELIÇA
Figura 22 – Atuação do estribo no modelo de treliça (FUSCO, 2000).
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15. CARREGAMENTO APLICADO NA
PARTE INFERIOR DAS VIGAS
16. ARMADURA DE SUSPENSÃO
Ver esses itens na apostila, em casa.
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17. Exemplos Numéricos 1 e 2
NO QUADRO.
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