Transcript mecanica

I.ESTÀTICA I RESISTÈNCIA
DE MATERIALS
I.1 ESTÀTICA
•
•
•
•
•
Equilibri d’una partícula
Moments
Centre de gravetat
Equilibri del sòlid rígid
Estructures articulades (mètode dels nusos)
Equilibri d’una partícula
ΣF=0
Moment d’una força
De la mateixa manera que una força aïllada actúant sobre un
cos en repòs produeix una acceleració en aquest, un moment
d’una força farà que inicïi un gir.
M=d·F=r·F·sin
I.2 Resistència de materials
•
•
•
•
Elasticitat i plasticitat. Esforç
Tracció i compressió
Esforç tallant
Càlcul de bigues i columnes
– Càlcul de reaccions
– Moments flectors i forces tallants
– Diagrames
• Vinclament
Elasticitat i plasticitat. Esforç
• Definim sòlid elàstic com aquell cos que pateix
deformacions quan és sotmès a una força i recupera les
seves dimensions quan la força deixa d’actuar.
• L’esforç o tensió és el resultat de dividir la força que actua
per l’area de la secció en estudi.
=F/A (N/m2 o Pa)
Tracció i compressió
• Una secció d’un sòlid està sotmesa a tracció quan està
sol·licitada per dues forces d’igual mòdul i direcció, però
sentits oposats perpendiculars a la secció estudiada amb
orientació capo a l’exterior
• Una secció d’un sòlid està sotmesa a compressió quan està
sol·licitada per dues forces d’igual mòdul i direcció, però
sentits oposats perpendiculars a la secció estudiada amb
orientació capo a l’interior
Llei de Hooke per a sòlids
elàstics
• Les deformacions són proporcionals a les
forces deformadores
=Lf-L0=· (L0/E)
E és el mòdul elàstic o mòdul de Young
Per a deformacions unitàries:
= / L0 i = /E
Coeficient de Poisson
• Les deformacions axials provoquen
deformacions transversals i existeix una
relació entre elles:
=y/x= z/x
 És el coeficient de Poisson
Diagrama de tracció
• Zona elàstica: deformacions elàstiques, es compleix la llei
de Hooke s’acaba al límit de proporcionalitat p
• Zona plàstica:
– Límit elàstic E fins a un 0,2% de deformació
– Fluència i enduriment
– Estricció i trencament
Allargament: Desprès del trencament es mesura l’allargament
patit
Esforç de fatiga
• Els esforços que alternen el seu sentit d’aplicació
s’anomenen esforços de fatiga
• La major part del trencament de peces metàl·liques són
degudes a la fatiga
• Els resultats dels assajos de tracció es representen en el
Diagrama de Wöler o corba S-N
Corba S-N
S
Amplitud
de
l’esforç
La vida a la fatiga per
l’esforç S1 és de 105
cicles
S1
N
103
104
105
106
107
108
109
Nombre
de cicles
Esforç tallant pur
• Quan les forces són paral·leles a la secció d’estudi,
poarlarem d’esforç tallant
F
=F/A
• Els esforços tallants provoquen deformacions
angulars
=G· on:
G és el mòdul de rigidessa (N/m2) i
 La deformació d’angle (radians)
F
Càlcul de reblons
• Els reblons i els cargols treballen a esforç
tallant simple o compost
• Per a una unió simple:
F=n·(·d2/4)· (N)
• I per a una doble
F=2·n·(·d2/4)· (N)
On
N és el nombre de reblons
d és eldiàmetre del forat on s’introdueix el
cargol o el rebló
F
F
Esforç simple
F
F
Esforç compost
F
Torsió: càlcul d’arbres de
transmissió
• Parlem de torsió quan una barra està sotmesa a un parell de forces que
intenten fer-la girar en sentits oposats i en un pla perpendicular al seu
eix
• L’efecte de la torsió és, com en el cas dels esforços tallants, un gir d’un
angle
Esforç de flexió
• Combinació d’un esforç de tracció i un de compressió
• Quan una barra està sotmesa a forces puntuals i/o repartides que actuen
sobre el seu eix longitudinal i tenen tendència a corbar-la, diem que
està sotmesa a un esforç de flexió
Bigues.Flexió isostàtica
• Treballarem amb casos de flexió isostàtica, en els quals es poden
calcular les reaccions amb les tres equacions de l’estàtica
• Si hi ha més incògnites tindrem un sistema indeterminat i és més
complex de resoldre, estariem davant una flexió hiperestàtica
Càlcul de reaccions
• El primer pas per a a dimensionar una biga o una columna és
calcular les reaccions.
• Sabem fer-ho en la tres dels quatre casos:
– A) Biga recolzada amb càrrega puntual
P
– B) Biga recolzada amb voladís i càrrega puntual
P
– C) Biga encastada amb càrrega puntual
P
M
R
• El quart cas és el de les bigues amb càrregues uniformement repartides
L
Q=qL
• A efectes de moments, la càrrega Q es pot considerar situada al seu
centre.
Exemples
• Calcula les reaccions en les bigues representades a les figures
següents:
500kN
3kN
3,5m
2m
5m
5m
500kN/m
3m
2,5m
Moments flexors i forces tallants
•
Suposem una biga recolzada amb forces verticals. Estudiarem la secció mn oblidant-nos
de la resta de la biga que queda a la dreta
P1
P2
P1
P3
P2
m
m
V
x
x
R1
n
R2
R1
n
M
Definició i càlcul
La força V és igual a la suma de les forces exteriors i s’anomena força tallant a la secció de
la biga mn
V=R1-P1-P2
El moment M és igual a la suma dels moments a l’esquerra de la secció mn, en relació al
cdg de la secció, i s’anomena moment flexor de la secció recta mn
M=R1x-P1(x-a)-P2(x-b)
Diagrama de forces tallants i
moments flexors
•
P1 P2 P3
m
Es tracta de representar el valor de la força tallant i del
moment flexor per a tota la longitud de la biga
R1
Forces tallants
Moments flexors
x
n
R2
Dimensionament de seccions
Un paràmetre associat als diferents perfils de les bigues és el moment
resistent Wz
Aquest es relaciona amb el moment flexor màxim Mmax i amb el valor de
l’esforç de tracció/compressió x.
Wz= Mmax/ x
El procediment de càlcul és el següent
1.
Càlcul de les forces tallants i moments flexors
2.
Càlcul del moment resistent
3.
Cerca de una taula de les dimensions de la biga
FERRO DOBLE TE (IPN)
II.Màquines i mecanismes
•
•
•
•
Cinemàtica
Màquines i mecanismes
Anàlisi de mecanismes plans
Dinàmica de màquines i mecanismes
Cinemàtica
• Relació entre el moviment circular i el rectilini: v=·r
• Velocitats de gir:
– Fem servir n quan expressem la velocitat en rpm
– Fem servir  quan expressem la velocitat en rad/s
– El rad és una unitat adimensional i equival a un angle
de (360º/2·π)
Exemple de moviment circular
•
Per elevar una càrrega Q s’utilitza un tambor A
de diàmetre DA=200mm, que enrotlla el cable, i
una politja mòbil B també de diàmetre
DB=200mm. Si el tambor arrenca des del repòs
fins a assolir una velocitat de rotació
nA=800min-1 en un temps t=4s, determina:
a)
b)
c)
L’acceleració de pujada de politja B i la del cable
durant l’arrencada
La velocitat d’ascensió de la càrrega Q quan nA
=800min-1
La longitud de cable enrotllat durant la maniobra
A
B
II.2.Màquines i mecanismes
• II.2.1.Definicions
• II.2.2. Parells cinemàtics
• II.2.3. Graus de llibertat
II.2.1 Definicions
• Màquina: sistema format per un o més conjunts
mecànics amb parts mòbils concebut per realitzar
una tasca determinada, que normalment comporta
la transformació d’energia.
• Mecanisme: conjunt d’elements mecànics que
realitza funcions de guiatge i transmissió en el si
d’una màquina
• Membre: element d’una màquina o mecanisme
• Cadena cinemàtica: conjunt o subconjunt de
membres d’un mecanisme enllaçats entre si.
II.2.2. Parells cinemàtics
Un parell cinemàtic és la unió entre dos membres d’un mecanisme.
Els graus de llibertat són el nombre de moviments que poden haver entre
els membres del parell cinemàtic
Poden ser:
• Inferiors: el contacte entre els membres és una superfície.
–
–
–
–
–
–
De revolució o articulació (frontissa) GL=1
Prismàtics o de guia corredora GL=1
Parell cilíndric (cilindre i èmbol) GL=2
Parell esfèric o de ròtula (cap de trípode) GL=3
Parell pla (llibreta a sobre de la taula) GL=3
Parell helicoidal o de cargol GL=1
• Superiors: el contacte es produeix en un punt o línia (roda-superfície,
roda-rail o piu-guia)
II.2.3. Graus de llibertat
• Una altra definició compatible amb l’anterior és: el nombre de graus de
llibertat d’un mecanisme és igual al nombre de paràmetres o variables
que hem de controlar independenment per conèixer la seva posició a
l’espai.
En el pla (2D) el nombre de graus màxim per a un sòlid és de 3 (dos de
traslació i un de rotació)
• Determinació de graus de llibertat:
– Comptar el nombre de membres mòbils
– Multiplicar el nombre de membres per 3 (en el pla)
– Restar les restriccions de cada parell (2 si inferior, 1 si superior)
GL= 3N-R=3N-2pi-ps
- Mirant l’esquema, deduir a cop d’ull si el mecanisme està bloquejat
(GL=0), si nomès te una possibilitat de moviment (GL=1), o si en té més
(GL>1)
Exemples
2
1
3
GL= 3·3 –3·2=3
GL= 4·3 –5·2=2
Centres instantanis de rotació
• Tot moviment d’un sòlid rígid es pot considerar, en cada instant, com
una rotació al voltant d’un punt: el CIR. Coneguda la velocitat d’un
punt A, es pot calcular el valor de la velocitat angular del sòlid respecte
al CIR. A partir d’aquesta, es poden calcular les velocitats d’altres
punts del sòlid.
• El centre instantani de rotació d’una baula respecte a una altra
s’anomena CIR relatiu.
• El centre instantani de rotació d’una baula respecte l’element fix
s’anomena CIR absolut de la baula corresponent.
• Els CIR es representen amb subíndex que indiquen els membres als
quals es refereix.
Determinació dels CIR.Llei dels tres centres
• Quan es coneixen les velocitats de dos punts d’un membre
és fàcil trobar el CIR absolut; aquest es troba a la
intersecció de les perpendiculars a les velocitats.
• Ens serà de gran ajut l’aplicació de la llei dels tres
centres:
– Quan tres sòlids es mouen relativament entre ells, els
tres centres de rotació instantània es troben alineats.
• La resolució d’exercicis s’acostuma a fer de
forma gràfica i no analítica!!!
Exemple
• Determinarem:
– El nombre i tipus de membres que el componen
– El nombre i tipus de parells cinemàtics
– El nombre de graus de llibertat del mecanisme
– El CIR absolut de la barra AB
– La velocitat del punt B
– La velocitat angular de la barra AB
2
A
l
r
O
45º
B
Relació de transmissió en politges i cadenes
La relació de transmissió entre dues politges indica el
nombre de voltes que farà l’eix de sortida per cada volta
de l’eix d’entrada
i12 
2 D1

1 D2
És important la relació entre la relació de transmissió i els moments, que
treiem de la fòrmula de la potència

M
i12  2  1
1 M 2
P  M 
Per a les cadenes cal substituir el diàmetre pel nombre de dents
i12 
2 z1 M 1
 
1 z2 M 2
Engranatges.Definicions
• Diàmetre primitiu: és el diàmetre de la circumferència primitiva que
coincidiria amb el de la roda de fricció si no hi hagués dents.
• Nombre de dents (Z)
• Mòdul(m): és la relació entre el diàmetre primitiu i el nombre de dents
• Pas (p) :és la llargada de l’arc que hi ha entre dos punts homòlegs de dues
dents consecutives mesurat sobre la circumferència primitiva
p·z=·Dp
p= ·m
La relació de transmissió té la mateixa expressió que
per a les cadenes:
i12 
2 z1 M 1
 
1 z2 M 2
Tipus d’engranatges
A les següents pàgines es poden trobar explicacions i imatges
d’engranatges:
•http://www.xtec.es/~jrosell3/engranatges/
•http://www.xtec.es/~ccapell/
Energia, treball i potència
Treball mecànic d’una força
•
W=F·s·cos i, en un moviment circular W=· 
Energia cinètica i potencial
• Em=Ec+Ep; Ec=½m·v2; Ep=mg (h)
Principi de conservació de l’energia
•  Em=W on W és el treball fet sobre el sistema
• Recorda: La unitat de treball i la d’energia és la mateixa; el joule (J)!!
Potència i rendiment
• Potència
• Rendiment
P
W
t
P  F ·V
P  M ·
Wútil
Pútil


Wconsumit Pconsumida
III.Mecànica de fluids
• Mecànica de fluids
• Hidrodinàmica
Mecànica de fluids
• Branca de la mecànica que estudia el comportament dels fluids.
– Hidrostàtica
– Hidrodinàmica
• Fluids: líquids (incompressibles) i gasos (sense volum definit i sense
superfícies lliures).
• Aplicacions:
–
–
–
–
Màquines de fluids (i.e. turbines)
Xarxes de distribució (xarxes d’aigua, oleoductes, gasoductes,...)
Regulació de màquines
Transmissions i controls pneumàtics i hidràulics
Hidrostàtica
• Concepte de pressió. Unitats
– La pressió representa els efectes que provoca una força distribuida
sobre una superfície.
F
P  (Pa )
A
• La hidrostàtica és la part de la mecànica que estudia el
comportament mecànic dels líquids i, per extensió, de
molts gasos quan es troben en equilibri estàtic.
Pressió hidrostàtica
• L’equació fonamental de la hidrostàtica del fluid incompressible surt
d’aplicar l’equilibri de forces a un tros de fluid (F=0)
• p2=p1+gh
• Pressió atmosfèrica és la que exerceix l’aire, concretament la columna
d’aire que va des de la superfície de la Terra fins al final de l’atmosfera.
• El físic italià Evangelista Torriceli la va mesurar al segle 17
• Patm=101,3kPa
Unitats
• Per a la pressió atmosfèrica s’utilitzen els bars, milibars,
atmosferes i milímetres de mercuri.
• 1 bar =105 Pa
• 760mm Hg=1 atmosfera=1013 mbar=101,3kPa
Pressió absoluta i pressió relativa
• La pressió absoluta es mesura en relació al
buit
• La pressió relativa o manomètrica es
mesura prenent com a zero la pressió
atmosfèrica.
• pabs=patm+pr
Exemple (McGraw, p.224)
A B
• Un dipòsit obert amb dos baròmetres 4m
laterals de tub, conté dos líquids
inmiscibles M i N a 0ºC. Determineu:
• a) L’altura de la columna líquida del 0.6m
baròmetre A
0m
• b) L’elevació del líquid al baròmetre B
• c) La pressió total en el fons del
dipòsit
Líquid M
r=0,72
Líquid N
r=2,36
Principi de Pascal.La premsa hidràulica
• La pressió exercida sobre un punt d’un fluid incompressible i en repòs
es transmet íntegrament en totes direccions.
• Aquest principi es posa de manifest a les premses hidràuliques
Principi d’Arquímedes.Flotabilitat
•
•
Tot cos totalment o parcialment inmers en un fluid experimenta una força
ascensional igual al pes del fluid que desocupa.
L’empenta d’arquímedes és la força ascensional causant de la flotabilitat dels
cossos.
E  V · f ·g
Exercicis d’aquest tema
• Del full d’exercicis mecànica de fluids, a aquest tema
corresponen els següents:
Teoria:1, 15, 16, 19, 23, 26
Exercicis: 3, 14, 32
Dinàmica de fluids
• Règims de corrent
Règim
laminar:flux
ordenat
Règim
turbulent:flux
desordenat
Cabals màssics i volumètrics
• S’entèn per cabal la quantitat de fluid que travessa
una secció donada per unitat de temps. En sistema
internacional
– El cabal màssic s’expressa en kg/s
– El cabal volumètric s’expressa en m3/s
Per exemple, el cabal del riu Amazonas és de
120.000 m³/s, també ens podem trobar l/s o
m3/h...
Equació de continuïtat
•
Si tenim un líquid incompressible i amb un flux laminar i estacionari (constant en el
temps per a un determinat punt), el cabal que passa per totes les seccions serà constant.
qv1  qv 2  qv3  ...
•
Com que el volum és l’àrea de la secció del tram per la longitud del tram:
V1 A1 ·L1
qv1  
 A1 ·v1  qi  Ai ·vi  ct .
t
t
equació de continuïtat
q1,v1
q2,v2
q3,v3
Teorema de Bernoulli
•
El teorema de Bernoulli és l’equivalent a la conservació de l’energia per a un fluid
1
2
 ·g ·h  p  · ·v 2  k
Energia potencial
Terme de
pressió
Energia
cinètica
Exercicis
• Teoria:7
• Problemes:18
Potència hidràulica
• Potència hidràulica es calcula com
P  p·qv
Pèrdua de càrrega
• És la disminució de pressió que
experimenta un líquid en circular per un
conducte.