Transcript D - Free

Chapitre 3 :
Contraintes et
grandeurs caractéristiques des sections.
3.1 Notion de contrainte
Pour l’instant nous avons représenté les poutres par des traits (axe
longitudinal de la poutre, fibre moyenne ou ligne moyenne),
mais dans la réalité ces poutres ont aussi des dimensions
transversales (par exemple pour une poutre de section rectangulaire,
une hauteur et une largeur)
Une poutre est donc composée de fibres parallèles à la fibre moyenne.
fibre
x
y
G
z
fibre moyenne
Si le matériau constituant la poutre est homogène,
le point G est le centre de gravité de la section.
Dans le cas contraire il faut d’abord homogénéiser
la section (béton armé ou mixte acier béton).
La poutre est représentée ici coupée et la partie gauche est enlevée.
Comment représenter l’action de la partie droite sur la fibre coupée ?
(section ds en rouge sur la figure ci-dessous)
dF
y
x
ds
z
Uniquement par un effort,
que nous nommerons dF
fibre moyenne
Cet effort peut être décomposé en deux :
• une projection sur une parallèle à la ligne moyenne
• une projection sur la section (plan zy)
dV
dN
dV
y
dN
x
ds
z
Nous appèlerons:
contrainte normale lim (dN/ds) quand ds tend vers 0
symbolisée souvent par la lettre grecque sigma
contrainte tangentielle lim (dV/ds) quand ds tend vers 0
symbolisée souvent par la lettre grecque tau
σ
τ
Dans le chapitre précédent nous avons défini l’action de la partie
gauche sur le partie droite par trois sollicitations N, V et M
V
N
M
τ
x
z
σ
Notre problème va consister à
y
Nous laisserons
τ
exprimer σ et τ en fonction de
N, V et M
pour l’an prochain, nous n’étudierons que
σ cette année
3.2 Contrainte normale due à l’effort normal
N
L’effort normal est appliqué au
centre de gravité de la section, la
contrainte se répartit
uniformément sur toute la section.
σ=N/A
A est l'aire de la section
Arrêtons nous un instant sur les unités
unités de longueur : m
ses sous multiples
mètre
dm (peu utilisé) , cm , mm
ses multiples dam (décamètre) hm (hectomètre) km (kilomètre)
on utilise des multiples ou des sous multiples pour éviter les nombres trop
grands, l’unité est correctement choisie si le résultat a une valeur
numérique comprise entre 0,1 et 10000
unités de surface : m2
ses sous multiples dm2 (peu utilisé) cm2 mm2
dam2 c’est un are symbole a
hm2 c’est l’hectare symbole ha
on trouve même le centiare symbole ca centième d’un are soit 1m2
utilisés dans les relevés de superficies de terrains sur les actes notariés.
ses multiples
L’autre unité fondamentale en RdM est l’unité de force
le Newton symbole N
C’est la force provoquée par une masse de 1kg
soumise à une accélération de 1m/s2
1N = 1 kg m / s2
Isaac NEWTON 1642-1727
C’est une unité très petite P =mg une masse de 1kg soumise à l’accélération
de la pesanteur 9,81 m/s2 donne un poids de 9,81N que nous arrondissons
souvent à 10N
1N représente une masse de 100g
pour le génie civil ce n’est pas une unité très pratique
pendant longtemps on a utilisé le daN décanewton qui correspond à une
masse de 1kg
l’hectonewton n’a jamais été utilisé
le kilonewton kN semble actuellement être l’unité de force qui rassemble le plus
de suffrages
pour les très grosses structures certains utilisent le MN méganewton
En combinant ces unités on peut citer :
Le moment et le moment fléchissant
force x longueur
beaucoup d’anciens parlent encore de tm
Une masse de 1t correspond à un effort de 10kN
1tm
kN m
10kNm
Le taux de charge, valeur de charge répartie
kN/m
on écrit souvent kN/ml ( ml comme mètre linéaire)
La pression ou la contrainte
l’unité internationale est le Pascal (N/m2)
mais ce n’est pas l’unité la plus
adaptée au Génie Civil
Un peu d’histoire sur les unités de contraintes :
Blaise PASCAL 1623 - 1662
Les charpentiers métalliques travaillent en mm, ils utilisaient le daN/mm2
Les bétonniers travaillent en cm, ils utilisaient le daN/cm2 (bar)
Soit un écart de 100 entre les deux unités, pour se mettre d’accord sur
l’utilisation de la même unité chacun a fait un pas vers l’autre et il en est sorti le
MPa méga pascal
1 daN/mm2 = 10 N/ mm2
1daN/cm2 = 0,1 N/mm2
1 MPa = 106 Pa = 106 N/m2 = 1 N/mm2
les géotechniciens utilisent le kilopascal kPa,
et les météorologues l’hectopascal hPa car c’est le milli bar
Le Pascal est une unité trop petite pour être utilisée en calcul de structure
( pour se rendre compte de la valeur numérique d’une pression de 1Pa, il
suffit d’imaginer une masse de 100g reposant sur une surface de 1m2)
on a cherché quel était le multiple qui conviendrait aux calculateurs
le charpentier métallique parlait de 24 daN/mm2 il passera à 240 MPa
c’est acceptable.
le bétonnier parlait de 250 bars il passera à 25 MPa c’est aussi
acceptable.
Pour l’anecdote certains anglais parlent encore en PSI
Pound / Square Inch,
1Pound = 4,448 N
1 inch = 25,4 mm
1PSI = 4,448/0,02542 = 6894 Pa
mais ils sont passés au système d’unité international depuis plus de 30 ans …
Revenons à nos problèmes de contraintes, c’est
très simple pour l’effort normal, mais c’est un peu
plus compliqué pour calculer la contrainte
normale due au moment fléchissant.
3.3 Contrainte normale due au moment fléchissant
M
et la fibre supérieure est comprimée
Henri NAVIER
1785-1835
Navier propose
l’hypothèse suivante:
y
σ
La contrainte normale en
un point est
proportionnelle à la
distance qui sépare ce
point du centre de gravité
σ=ky
Avec ce moment fléchissant positif la fibre inférieure est tendue
Plaçons trois axes pour faciliter le repérage
L’axe des x axe longitudinal de la poutre ou ligne moyenne
Le moment fléchissant est porté par l’axe z , il passe par le centre de gravité
L‘axe des y permet de repérer la position d’une fibre par rapport à l’axe des z
y
σ
x
ds
y
M
Sur cette fibre de section ds
s’applique
une contrainte normale σ
z
L’effort encaissé par la fibre de section ds vaut σ ds
Le moment élémentaire dM de cet effort par rapport à l’axe des z vaut
y. σ ds
Si on intègre ce moment élémentaire dM sur toute la section on obtient le moment
fléchissant
y
y σ ds
M=
(s)
σ
Navier propose
ds
x
y
σ=ky
M=
(s)
k y 2 ds
z
Le coefficient k est
indépendant de y et z , il peut
donc sortir de l’intégrale
y 2 ds
M=k
(s)
On voit apparaître une grandeur, qui ne
dépend que des dimensions de la
section y et z, à laquelle on va donner
un nom.
y 2 ds
(s)
Cette grandeur est exprimée en m4 !!! Ça fait bizarre au début mais
on s’y habitue...
Cette grandeur porte le nom de moment quadratique, ou moment d’inertie ou
encore plus simplement inertie de la section par rapport à Gz
I Gz =
y 2 ds
(s)
M = k I Gz
σ=
k = M / I Gz
My
I Gz
Voyons un peu les problèmes de signe
• L’inertie est toujours positive
• Pour un moment fléchissant positif nous aurons de la compression au
dessus de la ligne moyenne, pour y>0
si on choisit la convention " contrainte de compression positive" alors :
σ=
My
I Gz
si on choisit la convention " contrainte de compression négative " alors :
σ=
My
I Gz
L’allure du diagramme des contraintes sur une
section rectangulaire est la suivante
z
Analysons un peu cette formule
σ=
My
I Gz
Cherchons à quel endroit σ est maximum
Généralement, au moins pour cette année, I Gz est constant sur toute
la longueur de la poutre
σ est maximum lorsque le produit
M.y
est maximal
On cherche d’abord la section dans laquelle le moment fléchissant est
maximal en utilisant la courbe ou l’équation, soit Mmax ce maximum.
Ensuite dans la section retenue il faut rechercher la fibre la plus
éloignée du centre de gravité
σmax
Si la section est symétrique
par rapport à Gz ymax = h / 2
G
Si la section est n’est pas
symétrique par rapport à Gz
la longueur ymax est appelée v
z
y max = v
σmax =
Mmax ymax
IGz
=
Mmax
=
IGz / v
Mmax
wel z
Cette grandeur porte le nom de module
d’inertie ou de module de résistance
Elle est exprimée en m3 ( cm3 ou mm3), avec
M en Nm la contrainte est bien en N/m2
On peut mettre en parallèle les deux formules:
σ=N/S
pour la contrainte due à l’effort normal,
compression ou traction simple
et
σ = M / wel pour la contrainte maximale due au moment fléchissant,
flexion simple
Si on exerce sur la section un effort normal et un moment fléchissant on trouve
de la flexion composée (que nous approfondirons l’an prochain):
Il suffit d’additionner les contraintes normales
σ=N/A+My/ I
+
=
ou superposer les deux diagrammes
On voit apparaître une notion nouvelle: celle d’axe neutre , c’est l’ensemble des
points pour lesquels σ = 0
À ne pas confondre avec ligne moyenne qui relie les centres de gravité des
sections, même si en flexion simple ligne moyenne et axe neutre sont confondus.
3.4 Grandeurs caractéristiques d’une section
3.41 Grandeurs de base
Reprenons maintenant le problème en s’intéressant à la section d’une poutre
ds
Soit la section ci-contre de forme
quelconque
Trois grandeurs de base à retenir :
L' aire ou la section
définie par
A=
ds
(s)
ds
u
Le moment statique de la
section par rapport à un axe Δ
vaut:
Δ
Mstat S/Δ =
u ds
(s)
ds
u
L’ inertie de la section par
rapport à un axe Δ vaut :
Δ
I S/Δ =
u 2 ds
(s)
À partir de ces trois grandeurs on va mener un certain nombre de
calculs très utiles pour le suite.
3.42 Moment statique et centre de gravité
Le moment statique nous permet de calculer la position du centre de gravité
d'une section
Rappel :
ds
G
u
Δ
Mstat S/Δ =
uG
u ds
(s)
Mstat S/Δ = uG A
Avec cette formule, toute simple, on
pourra calculer des moments statiques
de sections compliquées,
décomposées en sections simples dont
on connaît pour chacune la position du
centre de gravité.
i=n
Mstat S/Δ =
Σ
uGi Ai
i=1
Par exemple calculer le moment statique de cette section en Té par rapport à
un axe passant par la base de la section.
0.5m
0.2m
1.2m
Mstat S/Δ = (0.5x0.3)x0.25 + (0.2x1.2)x0.6
G2
= 0,1815 m 3
G1
Δ
0.3m
Mstat S/Δ
Cette formule nous permet aussi de
calculer la position du centre de gravité
d'une section en écrivant :
uG =
A
Il faut calculer l'aire totale de la section
A = (0.5x0.3) + (0.2x1.2) = 0.39 m 2
Nous avons déjà calculé le moment statique de cette section par rapport à Δ
Mstat S/Δ = 0.1815 m 3
uG = 0.1815 / 0.39 = 0.465 m
G2
Le centre de gravité de la section est
placé à 0.465 m de la face inférieure
G1
uG
0.5m
0.2m
1.2m
Δ
0.3m
Cette méthode rappelle les calculs
de barycentre effectués en math et
ceux effectués en début d'année sur
la réduction d'un système de forces.
Autre exemple calculons la position du
centre de gravité d'un triangle.
b(u) est une fonction linéaire de u
qui vaut B pour u=0 et 0 pour u=H
H
du
b(u)
b(u) = B (1 – u / H)
u
Δ
B
ds = du.b(u) = B (1 – u / H) du
u=H
A=
ds =
u=H
[
B(1 – u / H ) du = B u – u 2 / 2H
]
=BH/2
u=0
u=0
(s)
u=H
Mstat A/Δ =
u ds =
(s)
u=H
[
B(u – u 2 / H ) du = B u 2 / 2 – u 3 / 3H
]
u=0
= B H 2/ 6
u=0
uG = Mstat A/Δ / A = H / 3
C'est rassurant ... de retrouver
des résultats connus !!!
Quelques conseils pour terminer la
partie sur les moments statiques
• Le centre de gravité est par définition placé sur un axe de
symétrie, détecter les axes de symétrie permet de s'affranchir de
calculs.
• Pour les sections un peu compliquées, on peut définir un repère
qui permet de clarifier les calculs. Une présentation des résultats
en tableau permet aussi une relecture plus aisée.
z
Exemple sur une cornière à angles vifs et à ailes égales 60x60x6
60 mm
6 mm
On détecte un axe de symétrie,
mais il ne permet pas de définir
la position du centre de gravité
1
On définit un repère, avec les
axes Oy et Oz de la figure
yG
O
2
zG
y
On partage la section en deux
parties (1 et 2)
60 mm
Aire
N°
Moment statique / Oy
( cm 3 )
( cm 2 )
zG = 11.772 / 6.84
= 1.72 cm
1
6x0.6
2
5.4x0.6 = 3.24
3.24x0.3 = 0.972
6.84
11.772
total
= 3.60
3.60x3
= 10.800
Grâce à la symétrie
yG = 1.72 cm
3.43 Inertie
Voyons d'abord l'influence d'un changement d'axes par translation sur la valeur
de l'inertie
ΔG
I S/Δ =
ds
u 2 ds
(s)
w
G
Δ
u
uG
Traçons un axe ΔG parallèle
à Δ passant par G centre
de gravité de la section
u = uG + w
I S/Δ =
u 2 ds =
(s)
(uG + w)2 ds
(s)
=
(uG2 +2uGw + w2) ds
(s)
I S/Δ= uG
2
ds
+ 2uG
wds +
(s)
(s)
w2
ds
I S/Δ = I S/ΔG + A uG 2
(s)
C'est le théorème de Huygens ou
théorème de changement d'axes
0
A
I S/ ΔG
car ΔG passe par le
centre de gravité
ΔG
ds
w
G
uG
u
Δ
L'inertie d'une section par
rapport à un axe est égale à la
somme de l'inertie par rapport
à un axe parallèle passant le
centre de gravité et du produit
de la distance au carré entre
les deux axes par l'aire de la
section.
Christiaan HUYGENS
1629-1695
I S/Δ = I S/ΔG + A uG 2
La deuxième partie de
l'expression porte le nom
de terme de Huygens
Ce terme porte le nom
d'inertie propre de la
section
On remarque que l'inertie propre par rapport à un axe est toujours
inférieure à l'inertie par rapport à un axe parallèle qui ne passe par le
centre de gravité
Attention quelque fois on connaît l'inertie par rapport à un axe qui ne
passe pas par le c de g et on veut calculer l'inertie propre
I S/ΔG = I S/Δ - A uG 2
erreur de signe fréquente
Exemple simple de calcul d'inertie d'un rectangle
Par rapport à sa base
Par rapport à un axe qui passe
par le centre de gravité
b
b
dy
y
dy
h
h
y
D
h/2
h
I/D
=
y 2 b dy = b h 3 / 3
0
I / DG
=
y 2 b dy = b h 3 / 12
-h/2
à retenir
DG
Exemple un peu plus compliqué avec un triangle, calculer l'inertie par
rapport à un axe parallèle à sa base et passant par son centre de gravité
b(u) = B (1 – u / H)
H
du
ds = du.b(u) = B (1 – u / H) du
b(u)
u
Δ
B
u=H
I A/Δ =
u 2 ds =
(s)
B(1 – u / H )u 2 du = B
u=0
[u
u=H
3
/ 3 - u 4 / 4H
]
u=0
I A/ΔG = I A/Δ - (B H / 2)(H / 3)2 = B H 3 (1/12 – 1/18) = BH 3 / 36
= B H 3 / 12
On peut définir des inerties par rapport aux
axes d'un repère
z
y
r
Inertie par
rapport à Oy
ds
I S/0y =
z 2 ds
(s)
z
Inertie par
rapport à Oz
I S/0z =
y 2 ds
(s)
O
y
Inertie polaire
par rapport à O
I S/0 =
r 2 ds = I S/Oy + I S/Oz
(s)
Attention ce moment produit
peut être négatif
Moment
d'inertie produit
par rapport à O
I yz S/0 =
y z ds
(s)
Une application du moment polaire
Calculer l'inertie d'un disque par rapport à un axe passant par son centre
z
ds = r dθ . dr
θ = 2π
I S/0 =
dr
dθ
r
O
θ
r=R
r 2 ds = dθ
(s)
θ=0
r 3 dr
r=0
y
I S/0 = 2π R 4 / 4 = π R 4 / 2
r dθ
I S/0 = I S/0y + I S/0z = 2 I S/0z
I S/0y = I S/0z = π R 4 / 4
Voyons maintenant l'influence d'un changement d'axes par rotation sur la
valeur de l'inertie
Y
ds
z
Y = y cosθ + z sinθ
Z
Z = z cosθ - y sinθ
θ
Y
y
Z
θ
O
Z 2 ds =
I S/OY =
(s)
I S/OY = cos 2 θ
(z cosθ – y sinθ) 2 ds
(s)
z 2 ds + sin 2 θ
(s)
y 2 ds - 2 sin θ cos θ
(s)
I S/OY = cos 2 θ I S/Oy + sin 2 θ I S/Oz - 2 sin θ cos θ I yz S/O
y z ds
(s)
Y 2 ds =
I S/OZ =
(s)
I S/OZ = cos 2 θ
(y cosθ + z sinθ) 2 ds
(s)
y 2 ds + sin 2 θ
(s)
z 2 ds + 2 sin θ cos θ
(s)
I S/OZ = cos 2 θ I S/Oz + sin 2 θ I S/Oy + 2 sin θ cos θ I yz S/O
y z ds
(s)
On peut aussi calculer le moment produit
I YZ S/O =
Y Z ds =
(s)
I YZ S/O =cos2θ
I YZ
(y cosθ + z sinθ)(z cosθ - y sinθ) ds
(s)
yz ds - sin θ cos θ
y 2 ds + sin θ cos θ
(s)
(s)
z 2ds – sin2θ
(s)
I YZ S/O = - sin θ cos θ (I S/Oz - I S/Oy) + (cos 2 θ - sin 2 θ) I yz S/O
I YZ S/O = - sin 2θ (I S/Oz - I S/Oy) / 2 + cos 2θ I yz S/O
On peut trouver un angle θ tel que I YZ S/O = 0
yz ds
(s)
2 I yz S/O
tan 2θ =
I S/Oz - I S/Oy
On va trouver des valeurs de
2θ avec une période de π
tan 2θ
Donc θ avec
2 I yz S/O
π
une période de π / 2
I S/Oz - I S/Oy
2θ
Soit deux axes
perpendiculaires.
Ces axes sont appelés
axes principaux d'inertie
z
17.2 mm
Application sur une
cornière à aile égale
60 mm
1
Le centre de gravité G est
placé à 17,2 mm des
bords extérieurs, voir
calculs précédents
+ G1
y
6 mm
G
2
+
G2
60 mm
Aire
N°
( cm 2 )
1
6x0.6
2
5.4x0.6 = 3.24
total
= 3.60
6.84
17.2 mm
Calculons d'abord les inerties
par rapport à Gy et Gz
Inertie / Gy
( cm 4 )
0.6x63/12 + 3,6x(3 – 1,72)2 = 16,70
5,4x0.63/12 + 3,24x(1,72-0,3)2 = 6,63
23,33
IGz = 23,33 cm4 par symétrie
IGy = 23,33 cm4
Il faut calculer aussi le moment produit
Voyons dans le cas général le calcul du moment produit d'un rectangle / O
z
y2
I yz S/O = yz dy dz =
(s)
z2
y dy
y1
z2
z dz
z1
z
= (y22 – y12 )/ 2
*
(z22 – z12 )/ 2
= (y2 – y1 ) (z2 – z1 ) * (y2 + y1 )/2
*
z1
(z2 + z1 )/ 2
O
= section rectangle
*
abscisse cdg
*
ordonnée cdg
y
y1 y
y2
z
Calculons le moment produit de la
cornière par rapport à Gy et Gz
60 mm
1
+ G1
y
6 mm
G
2
+
G2
17.2 mm
Attention ces termes
sont négatifs
60 mm
Aire
N°
( cm 2 )
1
6x0.6
2
5.4x0.6 = 3.24
total
Moment produit / G ( cm 4 )
= 3.60
6.84
3,6x(-1,72+0,3)(3 – 1,72) = - 6,54
3,24x(2,7+0,6-1,72)(-1,72+0,3) = - 7,27
-13,81
z
Z
Calculons maintenant
la valeur de θ pour
laquelle I YZ /G = 0
Y
60 mm
1
θ
y
6 mm
G
2
2 I yz S/G
17.2 mm
tan 2θ =
60 mm
Ici
I S/Gz = I S/Gy
2θ = π/2 + kπ
Donc tan 2θ =
θ = π/4 + kπ/2
h
I S/Gz - I S/Gy
Axes principaux d'inertie
de la cornière
v
u
On remarque que l'axe u est aussi
un axe de symétrie
45°
Démontrons que tout axe de
symétrie est axe principal d'inertie
G
I S/Gu = cos 2 45° I S/Gy + sin 2 45° I S/Gz - 2 sin 45° cos 45°
I yz S/G
I S/Gu = ( I S/Gy + I S/Gz ) / 2 - I yz S/G = 23,33 – (– 13,81) = 37,14 cm 4
I S/Gv = cos 2 45° I S/Gz + sin 2 45° I S/Gy + 2 sin 45° cos 45° I yz S/G
I S/Gv = ( I S/Gy + I S/Gz ) / 2 + I yz S/G = 23,33 + (– 13,81) = 9,52 cm 4
Z
-y(z)
Sur une section
symétrique calculons le
moment produit
y(z)
Y
= 0 à cause de la symétrie
Si le moment produit est nul
z2
I yz S/O =
(
yz dy dz =
(s)
z1
y (z)
2 I yz S/G
)
y dy
- y (z)
tan 2θ =
z dz
=0
I S/Gz - I S/Gy
donc θ = 0 +kπ / 2
Les deux axes Y et Z sont donc axes principaux d'inertie
=0
Ce qu'il faut retenir:
La définition du moment statique et de l'inertie
Comment déterminer la position du c dg d'une section
Comment calculer une inertie, théorème de Huygens
Contrainte normale de traction ou de compression σ = N / A
Contrainte normale due à la flexion simple
σ=My /I
Il ne reste qu'à appliquer ces principes à des
cas particuliers, c'est l'objet des TD qui suivent