Transcript x 1

Movimiento
ondulatorio
Una onda es una perturbación que se
propaga desde el punto en que se
produjo, a través del espacio
transportando energía y no materia.
El medio perturbado puede ser de
naturaleza diversa como aire, agua, un
sólido o el vacío.
Clasificación de las ondas:
Según el medio en el que se propagan:
- Ondas mecánicas
- Ondas electromagnéticas
En función de su propagación:
- Unidimensionales
- Bidimensionales o superficiales
- Tridimensionales o esféricas
En función de la dirección de perturbación:
- Ondas longitudinales
- Ondas transversales
Según el medio en el que se propagan
Ondas mecánicas
Son perturbaciones físicas que se
propagan en un medio elástico
Considere una piedra que se suelta en un lago.
Se transfiere energía de la piedra al tronco
que flota, pero sólo viaja la perturbación.
Ondas electromagnéticas
Se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, pudiendo
por lo tanto propagarse en el vacío.
En función de su propagación o
frente de onda
Ondas unidimensionales
Son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del
espacio, como las ondas en los resortes o en las cuerdas.
Ondas bidimensionales o superficiales
-Son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en
cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan
también ondas superficiales.
- FRENTE DE ONDA.- Líneas que une todos los puntos que en un mismo instante
se encuentran en idéntico estado de vibración (misma elongación y misma
velocidad de vibración)
- Un ejemplo son las ondas que se producen en una superficie líquida en
reposo cuando, por ejemplo, se deja caer una piedra en ella.
Ondas tridimensionales o esféricas
- Son ondas que se propagan en tres direcciones.
- Sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la
fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones.
- FRENTE DE ONDA.- Superficie esférica que une todos los puntos que en
un mismo instante se encuentran en idéntico estado de vibración (misma
elongación y misma velocidad de vibración)
Sonido
luz
En función de la dirección de la
perturbación
Ondas
longitudinales
La perturbación se produce
de manera paralela a la
dirección de propagación de
la onda.
Ejemplos
-Un resorte que se comprime
da lugar a una onda
longitudinal
-Las ondas sonoras: la
perturbación es una
compresión o descompresión
del aire
Ondas
transversales
La perturbación es en
sentido perpendicular a la
dirección de propagación de
la onda.
Ejemplos:
-Las ondas que se generan al
agitar una cuerda.
-Las ondas
electromagnéticas.
Olas
Una ola oceánica es una
combinación de transversal
y longitudinal.
Las partículas
individuales se mueven
en elipses conforme la
perturbación de la onda
se mueve hacia la playa.
Ecuación de propagación de una onda
mecánica unidimensional y transversal
- Toda función matemática que dependa de la coordenada de avance y del
tiempo se denomina FUNCIÓN DE ONDA → y = f(x,t)
- Supongamos una recta de pendiente “m” que se desplaza, hacia la
derecha o hacia la izquierda, a velocidad constante “v”
y
y
.El valor de la abcisa en el instante “t”→ a = vt
a.- Desplazamiento DERECHA:
x
+a x
Si la ecuación de la recta en el instante t = 0
es y = mx ¿Cuál será la ecuación de la recta en
el instante “t”?. Para ello calcula la ordenada en
t
t=0
el origen “n”, conociendo que para y = 0→ x = +a
[Sol: y = m(x-a);; y = m(x-vt);; y = f(x-vt)]
y
y
b.- Desplazamiento IZQUIERDA:
Si la ecuación de la recta en el instante t = 0
x es y = mx ¿Cuál será la ecuación de la recta en
x
-a
el instante “t”?. Para ello calcula la ordenada en
el origen “n”, conociendo que para y = 0→ x = -a
t=0
t
[Sol: y = m(x+a);; y = m(x+vt);; y = f(x+vt)]
Velocidad de propagación de una onda
mecánica unidimensional y transversal
.Para que una onda mecánica se propague, el medio ha de poseer:
a) Elasticidad → Existencia de fuerzas restauradoras.
b) Inercia → Propia de la densidad del medio.
- En una cuerda tensa podemos comprobar empíricamente:
a) Cuanto más tensa está la cuerda mayor es la velocidad de propagación de un pulso
generado en el otro extremo.
b) Cuanto más pesada es la cuerda menor será la velocidad de propagación.
Para determinar la velocidad de propagación bastaría con medir el tiempo que
tarda el pulso en recorrer la longitud de la cuerda.
c) En efecto:
v

T

m
kg
(densidad lineal- )
L
m
EJEMPLO DE ONDA MECÁNICA UNIDIMENSIONAL TRANSVERSAL
LAS ONDAS ARMÓNICAS
y
PONGAMOS EL TIEMPO EN
MARCHA
vp
x
t=0
-La velocidad de propagación indica la rapidez de avance de la
onda en la dirección X.
-Es siempre constante y solamente depende del medio físico.
y
vp
x1
t=t1
x
y
vp
x2
t=t2
x
y
vp
x
t=t3
y
vp
x
t=T/4
y
vp
x
t>T/4
La primera partícula ha cambiado el sentido de su
movimiento
y
vp
x
t>T/4
Ya son varias las partículas que han invertido el sentido
de su movimiento
y
vp
x
t=T/2
y
vp
x
t>T/2
x
Una partícula cualquiera situada a una distancia “x” del origen,
llevará un desfase con respecto a la primera.
y
vp
x
t=3T/4
y
vp
x
t>3T/4
La amplitud oscilación de todas las partículas es la misma A
y
vp
x
t=T
Ha transcurrido un periodo completo
La frecuencia angular de todas es la misma, w(rad/s), ya que
todas tardan el mismo tiempo en realizar una oscilación
completa.
y

vp
¿QUÉ TENEMOS TU Y YO EN
COMÚN?
VIBRAMOS EN FASE, ES DECIR, QUE EN TODO
MOMENTO TENEMOS LA MISMA ELONGACIÓN,
Y EL MISMO SENTIDO EN LA VELOCIDAD
y
/2
¿Y YO?, ¿NO TENGO EL MISMO
ESTADO QUE VOSOTROS DOS?
/2
vp
NEGATIVO.
TU VIBRAS EN OPOSICIÓN DE
FASE, ES DECIR, TENEMOS
SENTIDO DE MOVIMIENTO
CONTRARIOS
DIFERENCIA DE FASE (d)
Concordancia de fase: Puntos con la misma elongación y mismo sentido en la
Concordancia
velocidad. de fase = Misma amplitud y mismo sentido en la velocidad
Oposición de fase = Misma amplitud, en valor absoluto, y distinto sentido en la velocidad
Oposición de fase: Puntos con la misma elongación en valor absoluto y distinto
sentido en la velocidad.
15,00
y(m)
10,00
5,00
0,00
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x(m)
-5,00
-10,00
-15,00
(La diferencia de fase “d “ para cada medio ciclo es igual a p radianes)
A.1 ¿Cuál será la diferencia de fase para las partículas que estén
en concordancia de fase?. ¿Y para las que estén en oposición de fase?
3,5
ONDAS ARMÓNICAS
a) LA FUNCIÓN DE ONDA QUE LA DESCRIBE ES UNA FUNCIÓN SINUSOIDAL.
b) CADA PUNTO DEL MEDIO OSCILA CON UN M.A.S.
c) SI LA ONDA ARMÓNICA SE DESPLAZA HACIA LA DERECHA:
y( x, t )  Asen(kx  wt  o )
c) SI LA ONDA ARMÓNICA SE DESPLAZA HACIA LA IZQUIERDA:
y( x, t )  Asen(kx  wt  o )
Parámetros de una onda armónica
• Longitud de onda (λ): Distancia entre dos
puntos consecutivos en idéntica fase.
• Período (T): Tiempo que tarda la
perturbación en recorrer una λ.
• Frecuencia (u): Número de λ por segundo.
• Velocidad de propagación (v):
Desplazamiento efectuado por la perturbación
en la unidad de tiempo.

v   u
Es constante
T
• Número de onda (k): Número de λ en una
distancia 2p metros.
2p
-1
k

(m )
• Frecuencia angular (w): Número de T en un
tiempo 2p segundos.
2p
w
(s -1 )
T
• Fase inicial (o): Ángulo (en radianes) para
t=0 y x=0
A.2 ¿Qué relación se obtendrá al dividir la frecuencia angular
por el número de onda?
Diferencia de fase d(rad) en una onda armónica:
a) Entre dos puntos separados una distancia Dx = x2-x1, siendo t = cte
Onda (abcisa x2)
y=Asen(kx2 – wt + o )
Onda (abcisa x1)
y'=Asen(kx1 – wt + o)
d = (kx 2- wt + o) - (kx 1- wt + o)
d = k(x2 –x1)
15.00
y(m)
x1
10.00
5.00
t = cte
0.00
0
0.5
1
1.5
-5.00
-10.00
x2
-15.00
2
2.5
3
x(m)
3.5
y
5/2
/2
3/2
vp

2
CONDICIÓN QUE CUMPLEN DOS PUNTOS EN CONCORDANCIA DE FASE:
•LA DISTANCIA ENTRE ELLOS ES UN MÚLTIPLO ENTERO DE SU LONGITUD DE ONDA
•x2 – x1 =N· donde N es un número entero (1,2,3…..)
CONDICIÓN QUE CUMPLEN DOS PUNTOS EN OPOSICIÓN DE FASE:
•LA DISTANCIA ENTRE ELLOS ES UN NÚMERO IMPAR DE SEMILONGITUDES DE ONDA
•x2 – x1 =(2N-1)·/2 donde N es un número entero (1,2,3…..)
A.3.- Demostrar las ecuaciones anteriores
Diferencia de fase d(rad) en una onda armónica:
b) En un punto separado un intervalo de tiempo Dt = t2-t1, siendo x = cte
Onda (instante t1)
y=Asen(kx –wt1 + o)
Onda (instante t2)
y'=Asen(kx –wt2 + o)
d = (kx - wt1 + o) - (kx - wt2 + o)
d =w (t2 –t1)
15.00
y(m)
x
10.00
t1
5.00
0.00
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x(m)
3.5
-5.00
-10.00
x = cte
-15.00
15.00
y(m)
x
10.00
5.00
0.00
0
-5.00
-10.00
-15.00
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x(m)
3.5
t 2 > t1
Energía transmitida por las ondas armónicas:
Energía totalde un oscilador armónico(foco)
1 2 1
E  kA  mw 2 A2 (Julios)
2
2
P otenciade emisión del oscilador armónico(foco)
E
Julios
P
(vatios
)
Dt
segundo
Intensidadde la onda en un puntodel medio
I
P E
J

(
)
2
S tS s * m
a) Energía transmitida por las ondas unidimensionales:
De n sidadline al
m
   m  x
x
En e rgíatotal
1
E  xw 2 A2
2
E  xA2  C om oE  cte  x1 A12  x2 A22
La amplitud decrece con la distancia al foco de emisión pero la frecuencia de
emisión y la energía total permanecen constantes.
b) Energía transmitida por las ondas bidimensionales:
De n sidadlin e al
m
 m   2pr
2pr
En e rgíatotal
1
E   2prw 2 A2
2
E  rA 2  C om oE  cte  r1 A12  r2 A22

La amplitud decrece con la distancia al foco de emisión pero la frecuencia de
emisión y la energía total permanecen constantes.
c) Energía transmitida por las ondas tridimensionales:
De n si dadsu pe rficila
m
2


m


4
p
r
4pr 2
En e rgíatotal
1
E   4pr 2w 2 A2
2
E  r 2 A2  C om oE  cte  r1 A1  r2 A2 (1)
I2
r2
I1
r1
S i con si de ram
os la in te n sidad
de la on dae n u n pu n to
de l m e dio
E 1 w 2 A2
I
I
I 
 I  A2  12  22 (2)
tS 2 t
A1
A2
S i su stitu imso(1)  (2) n osqu e da: I1r12  I 2 r22 (3)
La amplitud y la intensidad decrecen con la distancia al foco de emisión pero la
frecuencia de emisión y la energía total permanecen constantes.
EJERCICIOS.-
4.- Se tensa una cuerda larga que tiene una longitud de 1 metro y una masa de 10 g, colgando
de uno de sus extremos una masa de 6 kg. Si se hace oscilar transversal el otro extremo de la
cuerda, ¿con qué velocidad se propagarán las ondas en la cuerda?.(Sol: 77.5 m/s)
g = 10 m/s2
5.- Una cuerda sometida a una tensión constante de 60 N tiene una densidad lineal de 150g/m
¿Cuánta potencia debe suministrarse a la cuerda para producir ondas armónicas de una
amplitud de 10 cm y una frecuencia de 30 Hz?. (Sol: 533 w).
6.- Una cuerda tensa tiene una longitud de 8 m y pesa 8.7 N. Indica la potencia que debemos
suministrarle para producir ondas armónicas que responden a esta ecuación:
y = 10 sen p(4x-80t) (cm, s). (Sol: 6.95 w)
7.- Escribe la ecuación de una onda armónica que avanza en el sentido positivo de las x con
Una amplitud de 15 cm y una frecuencia de oscilación de 350 Hz, si su velocidad de
Propagación es de 200 cm/s. (Sol: y = 15 sen(3.5px-700pt) (cm, s) )
8.- Una onda armónica se mueve hacia la izquierda con una amplitud de 10 cm, una longitud
de onda de 0.5 m y un período de 0.2 s. Escribe la ecuación que representa dicha onda si
la elongación “y” vale 10 cm en x=0 y en el instante inicial. Determina igualmente la
velocidad de propagación de la onda. (Sol: y = 0.1 cos(4px+10pt) (m, s); v = 2.5 m/s).
9.- Una onda armónica viene descrita mediante la ecuación:
y = 15 sen(0.4x-20t) (cm, s)
a) La amplitud, frecuencia angular y el número de onda. (Sol: 15 cm; 20 rad/s; 0.4 cm-1)
b) La longitud de onda, la frecuencia y el período. (Sol: 15.7 cm; 3.2 Hz; 0.31 s)
c) La velocidad de propagación de la onda y su sentido. (Sol: 50, cm/s; eje-x(+))
10.- Una partícula oscila verticalmente en la dirección “y”, en torno al origen de coordenadas,
con una amplitud de 2 cm y una frecuencia de 1/8 Hz. La posición inicial de la partícula es
y=2 cm. Las oscilaciones de la partícula originan una onda armónica transversal que se
propaga hacia el eje-x (+). Sabiendo que la distancia entre dos puntos consecutivos del
eje-x que oscilan con un desfase d = p rad es de 20 cm, determina:
La amplitud y la frecuencia angular de la onda armónica. (Sol: 2 cm; p/4 rad).
a) Su longitud de onda y su velocidad de propagación. (Sol: 0.4 m; 0.05 m/s)
b) La expresión matemática de la elongación. (Sol: y = 0.02 cos[5px-(p/4)t] (m, s))
c) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para un punto del eje-x
situado a 20 cm de la partícula vibrante.(Sol: v = 5p 10-3 sen[5px-(p/4)t] (m, s))
d) El valor de la velocidad de oscilación del punto anterior en t = 10 s. (Sol: 1.57 10-2 m/s)
11.- La ecuación de una onda es y = 0.02 sen[10p(x-2t)+0.52] (m, s). Calcula:
a) La amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, la velocidad de propagación y la fase inicial
de dicha onda.
b) La velocidad de oscilación de una partícula situada a 20 cm del foco en el instante 5 s.
12.- La ecuación de una onda tiene la expresión: y = A sen(2pbt – cx)
a) ¿Qué representan los coeficientes b y c?. ¿Cuáles son sus unidades en el SI?.
b) ¿Qué interpretación tendría que el signo de dentro del paréntesis fuese positivo
en lugar de negativo?.
c) Una onda armónica viaja a 30 m/s en la dirección positiva del eje X con una
amplitud de 0.5 m y una longitud de onda de 0.6 m. Escribe la ecuación del
movimiento, como una función del tiempo, para un punto al que le llega la
perturbación y está situado en x = 0.8 m.
13.- .- Una onda transversal armónica puede expresarse en la forma:
y = A sen (k x – ωt + o).
a) Explica el significado físico de cada una de las magnitudes que aparecen en esta
expresión.
b) Si A = 0,01 m, ω = 100p rad/s, 0 = 0 y la velocidad de propagación de la onda
es de 300 m/s, representa el perfil de la onda, y(x), en el instante t = 0,02 s.
14.- La ecuación de una onda viene dada por la expresión y = 0.5cos4p(10t-x) en el
S.I. Calcular:
a) Amplitud, periodo, longitud de onda y sentido de desplazamiento.
b) Velocidad de propagación y velocidad de vibración de un punto del medio situado
a 5 metros del origen en el instante 10 segundos después de iniciado el
movimiento
c) Diferencia de fase que existirá entre dos puntos del medio de propagación
separados:1) por una distancia de 0.5 m y 2) por una distancia de 0.25 m.
¿Cómo estarán estos puntos del medio entre sí?.
15.- Se hace vibrar una cuerda de 4'2 m con oscilaciones armónicas transversales
con una frecuencia de 300 Hz y una amplitud de 10 cm, tardando las ondas en
llegar al otro extremo 0'02 s. Calcular los parámetros de la onda y su elongación,
velocidad y aceleración máximos transversales.