Transcript Séries temporelles – cyclicité. Fourier

Licence 3 – Outils mathématiques &
statistiques
1
Plan
Série d’évènements
Le problème
Phénomènes aléatoires
Tester les tendances
Tester l’uniformité
Tester un motif
Cyclicité
Autocorrélation
Méthodes de Fourier
2
Séries d’évènements - Le problème
1229
1376
1583
1780
1927
1239
1377
1584
1804
1928
1240
1387
1587
1806
1929
1265
1388
1598
1814
1931
1269
1434
1611
1815
1932
1270
1438
1612
1826
1933
1272
1473
1613
1827
1934
1273
1485
1620
1828
1935
1274
1505
1631
1829
1938
1281
1506
1637
1830
1949
1286
1522
1649
1854
1950
1305
1533
1668
1872
1951
1324
1542
1675
1874
1953
1331
1558
1683
1884
1954
1335
1562
1691
1894
1955
1340
1563
1708
1897
1956
1346
1564
1709
1906
1957
1369
1576
1765
1916
1958
1375
1582
1772
1920
1962
Années d’éruption du volcan Aso durant la période 1229-1962
3
Séries d’évènements - Le problème
100
90
nombre d'evenements
80
70
60
50
Cum n
40
30
20
10
0
1200
1400
1600
1800
2000
year
Régulier ou pas?
4
Séries d’évènements - Le problème
5
Séries d’évènements - Le problème
Le plus simple : traiter une série de dates!
But: rechercher un critère d’extrapolation, de
compréhension…
Géologie
Tremblements de terre, éruptions volcaniques, impacts
météoritiques, extinctions de masse.
Les données sont regardées comme des points dans le
temps :très courts face à la période considérée.
Données excédant un seuil (threshold).
6
Séries d’évènements - Le problème
Comment faire?
La fin du temps est souvent le présent
Choix d’un seuil suivant des critères précis (i.e. séismes)
Si c’est aléatoire (random) c’est cuit!
Sinon : régularité (regularity), tendance (trend), motif (pattern).
Importance de la définition du départ et de la fin de la période
ciblée. Les évènements ne doivent pas être les limites sinon
biais.
7
Séries d’évènements - Le problème
Aléatoire (randomness): l’occurrence d’un événement
n’affecte pas la probabilité d’occurrence des autres
évènements.
Indépendance: Pas très respectée en géologie
séismes ou éruptions volcaniques relâchent des
contraintes ou causent des instabilités.
8
Série d’évènements - phénomène aléatoire
10 ans = 10 x 1 an
10 évènements aléatoires
Nombre d’intervalles ou l’on attend k évènements donné
par le modèle de Poisson :P(k)xT (vu en L1)
P(k ) 
k e  
k!
n : nombre total d’évènements, T : nombre d’intervalles
 = n/T
-> Test du c2
9
Série d’évènements - phénomène aléatoire
H0 : Les évènements sont distribués aléatoirement dans le temps
H1 : Les évènements sont groupés ou réguliers
Avec n évènements, dans T intervalles. (Oj) : nombre d’intervalles
observés avec j évènements comparés à (Ek) prédits par la
distribution de Poisson. Test du chi-2 (vu en L1)
Ek  T  P(k )
2
(
O

E
)
k
c2   k
Ek
Ek > 5
d.l = (nombre de classes – 2)
ATTENTION : Ce test ne convient pas aux tendances
(augmentation ou diminution de la fréquence dans le temps)
10
Série d’évènements - phénomène aléatoire
Un exemple:
Dans une série de 45 m de carbonates du Dévonien, des
horizons de tufs apparaissent :
Position en m:
0.5
2.3
3.2
16.0 21.5 22.5
4.2
25.8
4.9
30.3
7.0
31.9
11.4
36.2
12.7
42.8
14.6
La position est-elle aléatoire?
11
Série d’évènements - phénomène aléatoire
Observation
Intervalle
k
0-3
3-6
6-9
9-12
12-15
15-18
18-21
21-24
24-27
27-30
30-33
33-36
36-39
39-42
42-45
2
3
1
1
2
1
0
2
1
0
2
0
1
0
1
Distribution de fréquence
observée:
k
Ok
0
1
2
3
4
4
6
4
1
0
12
Série d’évènements - phénomène aléatoire
Ek  T 
Nombre d’intervalles : T = 15
Nombre d’évènements : n = 17
k 
e
k!
Pour k=0, E0= 15 x e-17/15 = 4.829
k
Ek
0
1
2
3
4
5
4.829
5.470
3.101
1.173
0.333
0.063
13
Série d’évènements - phénomène aléatoire
Test du c2.
H0: les données viennent d’une distribution de Poisson (randomness)
H1: Les données ne sont pas issues d’une distribution de Poisson
k
Ok
Ek
(Ok-Ek)2/Ek
0
1
2-inf
Total
4
6
5
15
4.829
5.470
4.701
15
0.142
0.051
0.019
c2=0.212
A peu près 5 dans chaque classe : ok
= 0.05, dl = 3 (c’est le nbre classes) – 1 = 2
c2 = 5.99
H0 n’est pas rejeté. Les données peuvent s’ajuster à la distribution de
Poisson
ATTENTION : Ce test ne convient pas aux tendances
14
Série d’évènements – Tester les tendances (trends)
Trend : fréquences croissantes ou décroissantes.
Changement de fréquences = changement dans la
longueur des intervalles entre les évènements.
Graphe ordinal entre le numéro des évènements et
l’intervalle entre événement.
Statistiques non-paramétriques :coefficient de Spearman
(vu en L2!).
15
Charles Spearman (1863-1945)
Série d’évènements – Tester les tendances (trends)
Echelle de la 1ere variable : ordinale
Echelle de la 2eme variable : intervalle
rs :coefficient de rang (Spearman)
H 0 : s  0. Pasde trend
H1 : s  0. Les intervalles deviennentplus courts/plus longs
n
hi : longueur du i ième
intervalle.
n = nbre d’intervalles =
nbre d’évènements -1.
rs  1 
6 i  R( hi ) 
2
i 1
n( n 2  1)
16
Série d’évènements – Tester les tendances (trends)
Même jeu de données que tout à l’heure
Position en m:
0.5
2.3
3.2
4.2
4.9
7.0
11.4
12.7
14.6
21.5
22.5
25.8
30.3
31.9
36.2
Intervalles
1.8
0.9
1.0
0.7
2.1
4.4
1.3
1.9
5.5
3.3
4.5
1.6
4.3
6.6
16.0
1.0
42.8
17
Série d’évènements – Tester les tendances (trends)
18
Série d’évènements – Tester les tendances (trends)
Rang de l’obs.
Intervalle hi
Rang de hi
D2 = (Rang obs-Rang de hi)2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.8
0.9
1.0
0.7
2.1
4.4
1.3
1.9
1.4
5.5
1.0
3.3
4.5
1.6
4.3
6.6
8
2
3.5
1
10
13
5
9
6
15
3.5
11
14
7
12
16
49
0
0.25
9
25
49
4
1
9
25
56.25
1
1
49
9
0
SD2=287.5
19
Série d’évènements – Tester les tendances (trends)
n
rs  1 
6 D 2
i 1
2
n(n  1)
rs = 0.577.  = 0.05 et n = 16, rs critique = 0.427
La valeur calculée excède la valeur critique.
Il y a une tendance!
20
Série d’évènements – Tester l’uniformité
Les évènements uniformément distribués peuvent se
retrouver en géologie quand l’occurrence d’un événement
réduit la probabilité d’autres évènements dans un futur
proche mais l’augmente après.
Ex: séismes
Test de Kolmogorov (K test) : hypothèse nulle
d’uniformité. (vu en L2)
21
Tester l’uniformité
Basé sur un diagramme de cumul de fréquence. On recherche la différence
verticale maximale entre le modèle et les data.
22
Tester l’uniformité
Test sensible aux tendances et aux clusters
(regroupements)
Le calcul du K met en jeu la proportion d’évènements ayant
eu lieu (i/n) et la proportion de temps écoulé (ti/T).
n évènements, T temps total.
Calcul de (i/n) – (ti/T) et ((i-1)/n) – (ti/T)
Plus ces différences sont petites, plus c’est uniforme
23
Tester l’uniformité
Kolmogorov test
H0 : les évènements sont uniformes ou aléatoires
H1 : les évènements sont regroupés ou avec une tendance
K  n max i  1 / n  ti / T , i / n  ti / T 
K est comparé avec des valeurs critiques issues de tables
Un exemple avec toujours les mêmes données…
24
Tester l’uniformité
1/17
i
ti/T
i/n
(i-1)/n
ti/T-i/n
ti/T-(i-1)/n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0.011
0.051
0.071
0.093
0.109
0.156
0.253
0.282
0.324
0.356
0.478
0.500
0.573
0.673
0.709
0.804
0.951
0.059
0.118
0.176
0.235
0.294
0.353
0.412
0.471
0.529
0.588
0.647
0.706
0.765
0.823
0.882
0.941
1.000
0
0.059
0.118
0.176
0.235
0.294
0.353
0.412
0.471
0.529
0.588
0.647
0.706
0.765
0.823
0.882
0.941
-0.048
-0.067
-0.105
-0.142
-0.185
-0.197
-0.159
-0.189
-0.205
-0.232
-0.169
-0.206
-0.192
-0.150
-0.173
-0.137
-0.049
0.011
-0.008
-0.047
-0.083
-0.126
-0.138
-0.100
-0.130
-0.147
-0.173
-0.110
-0.147
-0.133
-0.092
-0.114
-0.078
0.010
25
0,5/45
Tester l’uniformité
K = 4.126 x 0.232 = 0.957
Valeur critique dans la table pour  = 0.05 et n = 17 : 0.318
On rejette l’hypothèse nulle. Les évènements ne sont pas uniformes.
Ici, plus haute densité en début de série.
26
Tester l’uniformité
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
n>100
Alpha = 0.10
0,95
0,7764
0,636
0,5652
0,5095
0,468
0,4361
0,4096
0,3875
0,3697
0,3524
0,3381
0,3255
0,3142
0,304
0,2947
0,2863
0,2785
0,2714
0,2377
0,2176
0,2019
0,1891
0,1786
0,1696
0,1551
0,1438
0,1347
0,1271
0,1207
1,223/racine(n)
Alpha = 0.05
0.9750
0.8419
0.7076
0.6239
0.5633
0.5193
0.4834
0.4543
0.4300
0.4092
0.3912
0.3754
0.3614
0.3489
0.3376
0.3273
0.3180
0.3094
0.3014
0.2640
0.2417
0.2242
0.2101
0.1984
0.1884
0.1723
0.1598
0.1496
0.1412
0.1340
1,358/racine(n)
Alpha = 0.01
0.9950
0.9293
0.8290
0.7342
0.6685
0.6166
0.5758
0.5418
0.5133
0.4889
0.4677
0.4491
0.4325
0.4176
0.4042
0.3920
0.3809
0.3706
0.3612
0.3166
0.2899
0.2690
0.2521
0.2380
0.2260
0.2067
0.1917
0.1795
0.1694
0.1608
1,629/racine(n)
Formulaire - Table de la loi de Kolmogorov-Smirnov
27
Tester un motif (pattern)
Il y a des distributions non aléatoires qui ne vont pas être
détectées avec les méthodes précédentes : patterns.
Par exemple phases d’activité (pattern = uniformité +
clusters)
On considère une succession d’intervalles. Calcul d’un
coefficient de corrélation (de Spearman) entre h et h+1.
Si il n’y a pas de pattern, rs = 0.
Si rs < 0 : intervalles longs puis courts
Si rs > 0 : les intervalles successifs sont similaires
28
Tester un motif (pattern)
H0 : Pas de relation entre les intervalles successifs
H1 : corrélation entre la longueur des intervalles successifs
n
rs  1 
6 R(hi )  R(hi 1 ) 
2
i 1
n(n 2  1)
n = (nbre d’évènements) – 2
29
Tester un motif (pattern)
hi
R(hi)
hi+1
R(hi+1)
(R(hi)- R(hi+1))2
1.8
0.9
1.0
0.7
2.1
4.4
1.3
1.9
1.4
5.5
1.0
3.3
4.5
1.6
4.3
8
2
3.5
1
10
13
5
9
6
15
3.5
11
14
7
12
0.9
1.0
0.7
2.1
4.4
1.3
1.9
1.4
5.5
1.0
3.3
4.5
1.6
4.3
6.6
2
3.5
1
9
12
5
8
6
14
3.5
10
13
7
11
15
36
2.25
6.25
64
4
64
9
9
64
132.25
42.25
4
49
16
9
S=511
30
Tester un motif (pattern)
hi
hi+1
R(hi)
R(hi+1)
1,8
0,9
8
2
0,9
1
2
3
1
0,7
3
1
0,7
2,1
1
9
2,1
4,4
10
12
4,4
1,3
13
5
1,3
1,9
5
8
1,9
1,4
9
6
1,4
5,5
6
14
5,5
1
15
3
1
3,3
3
10
3,3
4,5
11
13
4,5
1,6
14
7
1,6
4,3
7
11
6,6
12
15
4,3
31
Tester un motif (pattern)
rs = 0.0875
rs critique pour  = 0.05 et n = 15 : 0.443
Nous ne rejetons pas H0. Il n’y a pas de corrélation
évidente entre les intervalles successifs. Les intervalles
consécutifs semblent être indépendants.
32
Tester un motif (pattern)
t
hi
hi+1
r(Hi)
r(hi+1
3
1,2
0,91
5
4
4,2
0,91
8,89
4
11
5,11
8,89
2,4
11
9
14
2,4
1,4
9
6
16,4
1,4
7,5
7
10
17,8
7,5
0,7
10
3
25,3
0,7
1,5
3
7
26
1,5
0,5
8
2
27,5
0,5
12
2
13
28
12
1,3
13
5
40
1,3
9,3
6
12
41,3
9,3
0,4
12
1
50,6
0,4
1,56
1
8
51
1,56
52,56
0,5
-0, 5
0
10
20
30
40
50
60
33
Tester un motif (pattern)
14
12
R(hi+1)
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
R(hi)
34
Séries temporelles – cyclicité. Autocorrélation
•
Comparer les valeurs observées
en un point avec les valeurs
observées en un ou plusieurs
points plus tôt (valeurs retardées lagged values).
Notion importante en analyse
spatiale
•
Décalage de
100h, puis
200h etc…
Chaque observation est très semblable à sa valeur
adjacente (lag = 1); mais aussi à la même observation
24h plus tôt (lag = 24).
Scatterplot of TempLag1; TempLag24 vs Temp
Time Series Plot of Temp
35,0
45,0
TempLag1
42,5
Temp
42,5
40,0
40,0
37,5
35,0
1400 2200
700
1600
100
1000 1900
Hour
400
1300
2200
700
35,0
35,0
37,5
40,0
40,0
42,5
TempLag24
45,0
37,5
37,5
42,5
45,0
Temp
45,0
Séries temporelles – cyclicité. Autocorrélation
Chronogramme. L’evolution des T° a Nottingham Castle
36
Séries temporelles – cyclicité. Autocorrélation


L’idée: Trouver le pattern et
en tirer avantage.
La corrélation entre les
données originales et les klagged se nomme
l’autocorrélation d’ordre k.
L’Autocorrelation Function
(ACF) donne les coefficients
de corrélation entre pour les
lag consécutifs.
Autocorrelation Function for Temp
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
1,0
0,8
0,6
Autocorrelation

0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0

Le corrélogramme est la
représentation graphique de
l’ACF.

Attention si les séries ont une
variance instable. Une
transformation est nécessaire
avant d’utiliser l’AFC.
2
4
6
8
10
12
14
Lag
16
18
20
22
24
Séries temporelles – cyclicité. Autocorrélation
Attention pour la préparation des données:
•
Les observations doivent être régulièrement espacées dans le
temps
•
Toute tendance linéaire doit être éliminée avant l’analyse
•
Règle empirique: au moins 50 valeurs dans la série, le lag ne
doit pas excéder n/4.
Séries temporelles – cyclicité. Autocorrélation
Test de significativité du coefficient d’autocorrélation.
H0 : rs = 0
H1 : rs ≠ 0
zr  r (n   3)
Avec  le lag, rs le coefficient d’autocorrelation pour ce
lag et n le nombre d’observations.
Zr suit une loi normale centrée réduite. Les bornes sont 1.96 et 1.96 à 95% de confiance.
39
Séries temporelles – cyclicité. Méthodes de Fourier
370
360
CO2 (ppm)
350
340
330
320
310
1955
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
Années
Augmentation du CO2 dans l’atmosphère en fonction du temps.
Superposition de plusieurs signaux
Quels sont leurs origines?
Variation séculaire
Variation annuelle?
ICI C’EST TRES SIMPLE… MAIS CE N’EST PAS TOUJOURS LE CAS
Séries temporelles – cyclicité. Méthodes de Fourier
Prenons un autre exemple:
Years BP
0
2000
4000
6000
8000
10000
-33
-33,5
-34
-35
D18O
-34,5
-35,5
-36
-36,5
-37
Variation du d18O dans la carotte GISP-2 du Groenland sur les 10000 dernières années
Séries temporelles – cyclicité. Méthodes de Fourier
Principe de la transformée de Fourier
Décomposition de la lumière par un prisme
Décomposition d’un signal temporel par transformée de Fourier
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - traitement préalable
Elimination du bruit par lissage (Smoothing)
Données brutes = 1 signal + bruit.
Le bruit apparaît sur les hautes fréquences. Il a peu d’influence sur les
données adjacentes et peut être réduit en moyennant une courte série.
Utilisation de moyennes arithmétiques pondérées.
Questions :
1.
2.
Nombre d’observations prises en compte?
Valeur des poids?
Séries temporelles – cyclicité. Traitement préalable
yi’=(-3yi-2 + 12 yi-1 + 17 yi + 12 yi+1 – 3 yi+2) / 35
Quadratic polynomial smoothing : 5 termes
ti-2
ti-1
ti
ti+1
ti+2
-3
12
17
12
-3
Quadratic polynomial smoothing : 5-9 termes
No termes
ti
ti+1
ti-1
ti+2
ti-2
ti+3
ti-3
ti+4
ti-4
5
7
9
17
7
59
12
6
54
-3
3
39
-2
14
-21
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - traitement préalable
8
8
6
6
Lissées (moyenne sur 5 points)
4
0
-2
-4
-6
-8
4
2
0
-2
-4
-6
-10
0
20
40
60
80
100
120
-8
140
0
20
40
Lignes de croissance
60
80
Lignes de croissance
6
4
Lissées (moyenne sur 9 points)
Brutes
2
2
0
-2
-4
-6
-8
0
20
40
60
80
Lignes de croissance
100
120
140
100
120
140
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - traitement préalable
Les tendances doivent être éliminées avant traitement par
transformée de Fourier.
Si il y a un trend linéaire
y = a + bt
On doit travailler sur le résidu:
ei = yi – bti - a
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Décomposition d’une série temporelle en une suite de
sinusoïdes (amplitude, phase et fréquence).
Voyons le plus simple
Ajoutons l’amplitude
y  cos
y  A cos
Comment changer la fréquence?
y  A cos(k)
Et la phase?
y  A cos(k   )
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Donc pour une fréquence spécifique on a:
yk  Ak cos(k  k )
Comme on a également :
cos(R  S )  cos S cos R  sin S sin R
On tire
En posant:
yk  Ak cosk cos(k)  Ak sin k sin(k)
k  Ak cosk et k  Ak sin k
On tire
yk   k cos(k)  k sin(k)
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Finalement on somme toutes ces sinusoïdes!! Toutes les fonctions, à
condition qu’elles soient continues, et qu’il n’y ait qu’une valeur de Y
pour chaque valeur de X, peuvent être écrites sous la forme:
Relation de Fourier
Y  [k cos(k)  k sin(k)]
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Sum of Three Harmonics
1,5
Wave Amplitude
1
0,5
0
0
3,14
-0,5
-1
-1,5
Time
6,28
N=1
N=3
N=5
Sum
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
L’amplitude pour une fréquence donnée :
Ak  ( 2   2 )
En général on définit plutôt la puissance ou la variance:
sk2 
2  2
2
Ak2

2
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Calcul très complexe alors tout à l’ordinateur!
Algorithme FFT (Fast Fourier Transform) mais quelques contraintes :
1.
2.
3.
4.
5.
Les données doivent être également espacées dans le temps
Le nombre de données doit être 2n avec n entier.
Il ne doit pas y avoir de trend
Les fréquences entières sont calculées
En conséquence de 4. Les cycles doivent être complets.
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Problème en géologie dans
la définition du temps
Sédiments :
• 1 varve = 1 an
• Croissance sur les coquilles :
rythmes lunaires, années,
jours…
• Si le taux de sédimentation
est constant, alors le temps est
assimilable à une distance.
• Quoi qu’il en soit, attention à
la corruption du temps!
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Les résultats sont exprimés sous forme de puissance
(power spectrum)
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Simulation:
par exemple:
avec w1 = fréquence de la fondamentale (en Hz) fois 2p,
s(t) = sin(w1t) + 0.75*sin(3*w1t) + 0.5*sin(5*w1t) + 0.14*sin(7*w1t) +
0.5*sin(9*w1t) + 0.12*sin(11*w1t) + 0.17*sin(13*w1t)
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Si T temps total et présence d’un
pic à k, la période peut être
calculée avec T/k.
Contrainte: La fréquence
maximale est déterminée par le
nombre d’observations /2.
Fréquence de Nyquist.
Problème: l’aliasing! La variance
de tous les signaux dont la
fréquence est supérieure à la
fréquence de Nyquist seront
ajoutées aux variances des plus
basses fréquences dans le
périodigramme!!!
Solution: on filtre les hautes
fréquences.
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Filtres
Filtres :
Séries temporelles – cyclicité. Fourier – Le bruit
Bruit blanc : La puissance est uniformément distribuée sur
le spectre
Séries temporelles – cyclicité. Fourier – Le bruit
Bruit rose: C’est un bruit dit "1/f noise’. Perte de 3dB a
chaque octave. C’est le bruit le plus fréquent dans la
nature.
Séries temporelles – cyclicité. Fourier – Le bruit
Bruit bleu: gain de 3dB a chaque octave.
Séries temporelles – cyclicité. Fourier « glissant »
Séries temporelles – cyclicité. Tests de significativité
Les données réelles sont bruitées (noisy) -> pics mineurs (spikes)
Question : signal ou bruit?
Réponse : g-test, White noise test.
gˆ 
H0: Puissance à f due à un phénomène
Aléatoire
H1: Une cyclicité existe à cette fréquence
2
max
s
2 s
2
Valeur critique:
g  1 e
ln p ln m
m 1
Variation totale
p= niveau de signification (=0.05)
m=(nombre d’observations)/2
Séries temporelles – cyclicité. Tests de significativité
Lignes de croissance sur des nautiles du Silurien
1
0,8
Série1
0,6
0,4
0,2
60
54
48
42
36
30
24
18
0
12
g crit  0,107
1,2
6
gˆ  0,07
1,4
0
Puissance=1,28
k=12 (freq max)
Variance totale: 9,9
n=128
m=n/2=64
On ne rejette pas H0.
Conclusion: Ce pic peut résulter d’un phénomène aléatoire
Séries temporelles – cyclicité. Tests de significativité
‘White-noise’ test
Puissance uniformément distribuée le long du spectre?
Basé sur le KS test
Puissance cumulée vs. fréquence.
Hypothèses:
H0: bruit blanc
H1: ce n’est pas un bruit blanc
Séries temporelles – cyclicité. Tests de significativité
Proportion de puissance
cumulée à la fréquence k.
k
ˆ k 
s
2
i
s
2
i
i 1
n/2
i 1
Si bruit blanc, ce qui est attendu
2k
k 
n
Séries temporelles – cyclicité. Tests de significativité
Avec a=0.05, les intervalles de confiance sont:
2k
1.36

n
n
1
2
et
2k 1.36

n
n
1
2
Si gk sort de l’intervalle, il y a 95% de chances pour que les
données ne résultent pas d’un processus type ‘bruit blanc’
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
Excentricité de l’orbite terrestre
(100,000 ans)
Précession de l’axe de la Terre
(26,000 ans)
Angle d’inclinaison sur l’axe
(40,000 ans)
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
-30
-40
-50
-60
Within-run RSD%
-70
16 rpm
-40
-50
-60
Within-run RSD%
-70
-40
-50
-60
-70
0
2
4
6
Frequency (Hz)
8
10
0.80 mL.min-1
0,4
0,2
0,0
0,4
0.75 mL.min-1
0,2
0,0
0,4
1.50 mL.min-1
0,2
0,0
20
6P
b/
20
4P
20
b
7P
b/
20
4P
20
b
8P
b/
20
4P
20
b
6P
b/
20
7P
20
b
8P
b/
20
6P
b
Noise intensity (dB)
-30
Within-run RSD%
Noise intensity (dB)
-30
Noise intensity (dB)
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
Fréquence d'échantillonnage et bande passante: Pour définir numériquement un son de
fréquence F, il faut appliquer une fréquence d'échantillonnage Fs telle que: Fs>2F.La valeur du
taux d'échantillonnage pour un cd, par exemple n'est pas arbitraire, elle découle en réalité du
théorème de Shannon/Nyquist, qui stipule que pour numériser fidèlement une valeur ayant
une fréquence donnée, il faut numériser au double de cette fréquence. Or l'oreille humaine
n'arrive pas à distinguer des sons dont la fréquence dépasse 22 000 Hz, ainsi il faut
numériser à 44 000 Hz soit 44 kHz.
Différent taux d'échantillonnage :
- 44 kHz : qualité cd
- 22 kHz : qualité radio
- 8 kHz : qualité téléphone
http://www3.leradome.com/bdd-heureka/numerisation/numerisation-du-son.htm
Analyse de Fourier – Principe du CD
R=2n-1 (Où n est le nombre de bits).Ainsi les formats utilisés sont:
8 et 16 bits en micro-informatique et minidisque Sony
16 bits en audio amateur (CD et DAT)
16, 18, 20 et 24 bits en audio professionnelle
Codage sur 8 bits : 256 valeurs possibles
codage sur 16 bits: 65 536 valeurs possibles
Quelle est la signification pratique de la résolution ? Plus on enregistre
un son avec une résolution élevée, plus on va pouvoir en enregistrer
les infimes détails. La précision maximale obtenue est celle du plus
petit échantillon.