Gazdaságstatisztika
Download
Report
Transcript Gazdaságstatisztika
Gazdaságstatisztika
Idősorok elemzése
21. előadás
Hol járunk?
Valószínűségszámítás
Valószínűségelmélet
Matematikai statisztika
Mintavétel
Leíró statisztika
Becslés
Hipotézisvizsgálat
Összefüggésvizsgálat
2
Gazdaságstatisztika
Idősorok
Az X magyarázó változó és az Y eredményváltozó
sztochasztikus kapcsolatának speciális esete
Idősorok esetén
Az X magyarázó változó lehetséges értékei időpontok,
vagy időtartamok.
Az Y eredményváltozó sztochasztikusan függ X lehetséges
értékeitől.
Gyakran alkalmazunk idősorokat gazdasági
jelenségek leírására. Például:
a felsőfokú végzettséget szerző hallgatók száma évente
BUX index napi záró értékei
egy vállalkozás havi árbevételei
egy bizonyos termék havonta értékesített mennyiségei
3
Gazdaságstatisztika
Idősorok elemzése
Grafikus ábrázolás
Vonaldiagramot célszerű készíteni, ez jól sugallja az adatsorban rejlő
szabályszerűségeket
4
Gazdaságstatisztika
Idősorok elemzése
Idősorok elemzése
Tartamidősor
Alapvetően leíró statisztikai módszerekkel
Átlagszámítás tekintetében azonban különbséget kell tennünk a
tartamidősorok és állapotidősorok között
A magyarázó X változó értékei (általában azonos hosszúságú)
időtartamok, az Y eredményváltozó értékei tartamadatok, amelyek
összegezhetők, és egyszerű számtani átlaggal átlagolhatók.
Állapotidősor
A magyarázó X változó értékei időpontok, így az Y eredményváltozó
értékei egy-egy időpontra vonatkozó adatok, melyek összegzésének
tartalmi értelme nincs. Y értékeinek átlaga az átlagos
állománynagyság, melyet a kronologikus átlaggal határozunk meg.
Ha Y1, Y2, … Yn egy állapotidősor n db egymást követő értéke, akkor
kronologikus átlaguk:
Yn
Y1 n 1
Yk
2
Yt
t 2
n 1
Gazdaságstatisztika
2
5
Példa tartam- és állapotidősorra
Egy utazási iroda valutakészletének és értékesítésének adatai az alábbiak
Hónap
Június
Július
Augusztus
Szeptember
Október
November
December
Valutakészlet a hónap
utolsó napján [eUSD]
18,8
19,6
20,2
19,8
21,1
20,3
19,2
Valutaértékesítés
[eUSD]
--35,8
35,2
34,3
33,5
32,4
35,8
Határozzuk meg a 2. félévben a havi átlagos valutaértékesítést, s az
átlagos valutakészletet!
A havi valutaértékseítés adatok tartamidősort alkotnak
A 2. félév adatainak átlaga: Y 35,8 35,2 34,3 33,5 32,4 35,8 207 34,5eUSD
6
6
A hónap utolsó napján tekintett valutakészlet adatok állapotidősort
alkotnak
Az átlagos valutakészlet a kronologikus átlaggal számítható:
18,8
19,2
19,6 20,2 19,8 21,1 20,3
2 20eUSD
Yk 2
6
6
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata
Idősorok elemzésének két fő megközelítési módja ismert
1. Sztochasztikus modell
Az idősor pillanatnyi értékeit saját korábbi állapotából és a
véletlen hatásokból lehet magyarázni.
A véletlen változó a jelenség fő mozgatója.
2.
Determinisztikus modell
Az idősor alakulását a következő összetevők határozzák meg:
Tartósan érvényesülő hosszútávú tendencia (trend)
Tartósan ható, szabályos, jól modellezhető periodikus ingadozás
A véletlen, amely eseti-egyedi eltérítő hatást eredményez
Két szemlélet, két modell
Mi a determinisztikus modellt tárgyaljuk.
7
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata trendhatás
Hosszútávú, tartósan érvényesülő irányzat a trend
Hogyan határozzuk meg a trendet?
Mozgóátlagolással (mi ezt alkalmazzuk…)
Analitikusan, valamilyen trendfüggvény típus segítségével
Lineáris, exponenciális, logaritmikus, hatvány, polinom
8
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata periodikus ingadozás
Két fajtáját különböztetjük meg
Ciklikus (konjunkturális) ingadozást
Az üzleti és gazdasági tevékenységek esetében az ingadozásokat
akkor nevezzük ciklikusnak, ha azok több mint egy éves
időintervallum után ismétlődnek. Például: konjunktúra,
recesszió, stagnálás, megújulás
A hullámzás periódusa nem állandó
Ezt a tárgy kereteiben nem vizsgáljuk
Szezonális (idényszerű) ingadozás
Az idősort úgy tekintjük, mint azonos hosszúságú időszakok
(vagy időpontok) adatainak egymás utáni sorozatát.
A trendtől nagyon hasonló, ismétlődő mintázatot mutató
eltéréseket a szezonális ingadozás eredményének tudhatjuk be.
Például: karácsony előtt a vásárlások
A hullámzás periódusa állandó
9
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata szezonális ingadozás
Hasonló, ismétlődő trendtől való eltérés mintázatok
10
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata szabálytalan, véletlen ingadozás
Valószínűségi változónak tekintjük
A véletlen ingadozás sok, önmagában nem jelentős tényező
együttes hatása az idősorra
Lehet, hogy egy-egy tényező (sztrájk, árvíz, stb.) jelentősebb
hatást gyakorol a megfigyelt mennyiségre, de feltesszük,
hogy ezek csak rövid ideig okoznak változást, így hatásuk
összességében véletlennek tekinthető
11
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata dekompozíciós eljárás
A determinisztikus modell az Y eredményváltozó
összetevőkre (trend-, szezonális- és véletlen hatás) történő
felbontásának matematikai leírása.
Ezért szokták a modellt dekompozíciós eljárásnak is nevezni.
Attól függően, hogy az idősor összetevői között milyen
kapcsolatot tételezünk fel, a determinisztikus modell lehet
additív vagy multiplikatív.
Additív modell
Y-t az összetevők összegének tekintjük
Multiplikatív modell
Y-t az összetevők szorzatának tekintjük
12
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata additív és multiplikatív dekompozíció
n: az idősor elemeinek száma
p: szezonok száma egy periódusban
n/p: a periódusok száma
yij : az idősor i-edik periódusának (i=1..n/p), j-edik (j=1..p)
szezonjához tartozó adat
Additív
modell
Multiplikatív
modell
yij yˆij s j ij
Szezonális
hatás
yij yˆij s ij
*
j
Véletlen
hatás
Trendhatás
Szezonális
hatás
Véletlen
hatás
Trendhatás
13
Gazdaságstatisztika
Trend becslése mozgóátlaggal
Cél: szezonális és véletlen ingadozás hatásának “kiszűrése”,
azaz a trendhatás, amennyire csak lehet, legyen mentes a
szezonális és véletlen hatásoktól
Eszközként a mozgóátlagot használjuk (sok más módszer is
ismert)
Mozgóátlag
Az idősor első előre rögzített számú eleméből számtani átlagot
képezünk, majd az első elemet kihagyva, s a következőt bevonva
folytatjuk a számítást az utolsó adatig.
Ha van szezonalitás, akkor a mozgóátlag taglétszámát úgy kell
megválasztani, hogy az a perióduson belüli szakaszok (szezonok)
számával azonos, vagy annak egész számú többszöröse legyen.
14
Gazdaságstatisztika
Trend becslése mozgóátlaggal
Ha a mozgóátlag elemeinek száma páratlan (2l+1), akkor a trend kadik eleme (k=l+1, l+2,…):
yˆ k
yk l ... yk ... yk l
2l 1
Ha a mozgóátlag elemeinek száma páros (2l), akkor a trend k-adik
eleme (k=l+1, l+2, …):
yˆ k
ahol
yˆ k ,1 yˆ k , 2
2
yk l ... yk ... yk l 1
2l
y
... yk ... yk l
k l 1
2l
yˆ k ,1
yˆ k , 2
Ez a centírozás
yk l k (l 1)
yk l
yi
2 i k (l 1)
2
ˆyk
2l
15
Gazdaságstatisztika
Példa*
Háztartások számára értékesített gázmennyiség (milló m3)
Nógrád megyében 1990 és 1994 között negyedéves bontásban
az alábbiak szerint alakult.
1990
1991
1992
1993
1994
I.
3,5
6,7
7,4
8,2
9,3
II.
3,1
6,4
7,2
8,1
8,0
III.
2,4
5,1
5,2
7,2
7,2
IV.
3,9
7,2
8,0
8,5
11,7
Határozzuk meg a gázfogyasztás alakulását jellemző trendet
mozgóátlagolás alkalmazásával!
* Forrás: Korpás A.-né: Általános statisztika II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997
16
Gazdaságstatisztika
Példa - trend meghatározása
Ábrázoljuk az adatokat!
Az adatok emelkedő trendhatásra utalnak
Periódus az év
Negyedéves szezonalitás feltételezhető, azaz a szezonok száma
egy periódusban 4
Mozgóátlag elemszámának célszerű a 4-et választani
17
Gazdaságstatisztika
Példa - trend meghatározása
Ért. Gáz (m3) Időszak
3.51990 - I
3.11990 - II
2.41990 - III
3.91990 - IV
6.71991 - I
6.41991 - II
5.11991 - III
7.21991 - IV
7.41992 - I
7.21992 - II
5.21992 - III
81992 - IV
8.21993 - I
8.11993 - II
7.21993 - III
8.51993 - IV
9.31994 - I
81994 - II
7.21994 - III
11.71994 - IV
cMA(4)
3.63
4.44
5.19
5.94
6.44
6.63
6.74
6.85
7.05
7.26
7.63
7.94
8.14
8.26
8.25
8.65
?
yk l k (l 1)
y
yi k l
2 i k (l 1)
2
yˆ k
2l
k=4,l=2
l=2
k=3,
y5y6
y1y2
y2y3 y3y4 y4y5
2 2
yˆ 3yˆ 32 2
44
3.35.1
6.67.4
3.21.4 2.34.93.69.7
2 2 3.463
.44
2 2
44
18
Gazdaságstatisztika
Példa - trend meghatározása
19
Gazdaságstatisztika
Szezonalitás vizsgálata
Azt vizsgáljuk, hogy a rendszeresen (azonos periódushosszal)
ismétlődő hatások, milyen mértékben vagy arányban térítik
el az idősor értékeit a trendtől
Cél: a trendhatás és a véletlen hatásának “kiszűrése” az
adatokból
Additív modell esetén a szezonalitást a trendtől való eltérés
nagyságával, azaz a trendtől vett eltéréssel, multiplikatív
modellnél a relatív eltéréssel jellemezzük
20
Gazdaságstatisztika
Szezonalitás vizsgálata
A trendhatást úgy szűrjük ki, hogy az idősor értékeiből
rendre kivonjuk (ill. az idősor értékeit rendre elosztjuk) a
trendértékeket (értékekkel). Ezek az egyedi szezonális
eltérések (hányadosok).
Additív modell
Multiplikatív modell
yij
*
*
s j ij
yˆ ij
yij yˆij s j ij
21
Gazdaságstatisztika
Szezonalitás vizsgálata
A véletlen hatást úgy szűrjük ki, hogy minden periódusból
vesszük az adott szezonhoz tartozó egyedi szezonális eltérések
(hányadosok) átlagát. Ezek adják a szezonok nyers
szezonális eltéréseit (szezondindexeit).
Additív modell
y
n/ p
sj
i 1
ij
Multiplikatív modell
yˆ ij
y
n/ p
s
*
j
n/ p
j-edik nyers
szezonális eltérés
i 1
ij
/ yˆ ij
n/ p
j-edik nyers
szezonindex
22
Gazdaságstatisztika
Szezonalitás vizsgálata
Ha a trendet nem lineáris függvénnyel határozzuk meg, akkor nem
teljesül az a feltétel, hogy a szezonális eltérések összege (illetve átlaga) 0
(multiplikatív modellnél, hogy szorzatuk 1).
Ilyenkor a szezonális eltéréseket (ill. szezonindexeket) korrigáljuk.
Additív modell
Multiplikatív modell
p
p
s sj
'
j
s
j 1
j
s sj
*'
j
p
j-edik korrigált
szezonális eltérés
*
*
s
j
j 1
p
j-edik korrigált
szezonindex
Az idősor értéke az adott szezonban
átlagosan hányszorosa a trend szerinti
értéknek.
Az idősor értéke az adott szezonban
átlagosan mennyivel tér el a trend szerinti
értéktől.
23
Gazdaságstatisztika
Példa - szezonalitás meghatározása
Itt additív szezonalítás feltétezhető.
24
Gazdaságstatisztika
Példa - szezonalitás meghatározása
yÉrt.ij Gáz
(m3)
yˆij
2.4cMA(4)
3.Egyedi
63 sz.eltérések
1.23
Időszak
3.51990 - I
3.11990 - II
2.41990 - III
3.91990 - IV
6.71991 - I
3
4- II
6.41991
5.11991 - III
7.21991 - IV
7.41992 - I
7.21992 - II
5.21992 - III
81992 - IV
8.21993
-2I
1
8.11993 - II
7.21993 - III
8.51993 - IV
9.31994 - I
81994 - II
7.21994 - III
11.71994 - IV
3.63
4.44
5.19
5.94
6.44
6.63
6.74
6.85
7.05
7.26
7.634
7.94
8.14
8.26
8.25
8.65
s1 s2 s s
0.01453 0
4
-1.23
-0.54
1.51
0.46
-1.34
0.58
0.66
0.35
-1.85
0.74
0.57
0.16
-0.94
0.24
1.05
-0.65
sj
0.95
0.08
-1.34
0.25
0.95
0.08
ij-1.34
0.25
0.95
0.08
-1.34
0.25
0.95
0.08
-1.34
0.25
0.95
0.08
-1.34
0.25
sj'
Sz.korr. ért.
0.96
2.54
0.10
3.00
-1.32
3.72
0.27
3.63
0.96
5.74
0.10
6.30
-1.32ij
ij6.42
0.27
6.93
0.96
6.44
0.10
7.10
-1.32
6.52
0.27
7.73
0.96
7.24
0.10
8.00
-1.32
8.52
0.27
8.23
0.96
8.34
0.10
7.90
-1.32
8.52
0.27
11.43
y s yˆ
,
j
Trend + véletlen
s s s3 s
s s3
4
1.34 (0.01453) 1.32
1.23 1.34 1.85 0.94
s3
1.34
4
,
3
25
Gazdaságstatisztika
Példa – grafikus összegzés
26
Gazdaságstatisztika
Autó- és keresztkorreláció idősorok
elemzésénél
Egy vagy több idősor egymást követő adatai szoros
korrelációban állhatnak egymással (erős közöttük a
sztochasztikus kapcsolat).
Autókorreláció
Egy változó egymást követő adatai közötti korreláció,
azaz egy változó egymást követő adatai közötti
sztochasztikus kapcsolat erőssége az autókorreláció.
Keresztkorreláció
Két különböző idősor időben eltolt adatai közötti
korreláció a keresztkorreláció.
27
Gazdaságstatisztika