Transcript Gazdaságstatisztika

Gazdaságstatisztika
Idősorok elemzése
21. előadás
Hol járunk?
Valószínűségszámítás
Valószínűségelmélet
Matematikai statisztika
Mintavétel
Leíró statisztika
Becslés
Hipotézisvizsgálat
Összefüggésvizsgálat
2
Gazdaságstatisztika
Idősorok


Az X magyarázó változó és az Y eredményváltozó
sztochasztikus kapcsolatának speciális esete
Idősorok esetén



Az X magyarázó változó lehetséges értékei időpontok,
vagy időtartamok.
Az Y eredményváltozó sztochasztikusan függ X lehetséges
értékeitől.
Gyakran alkalmazunk idősorokat gazdasági
jelenségek leírására. Például:




a felsőfokú végzettséget szerző hallgatók száma évente
BUX index napi záró értékei
egy vállalkozás havi árbevételei
egy bizonyos termék havonta értékesített mennyiségei
3
Gazdaságstatisztika
Idősorok elemzése

Grafikus ábrázolás

Vonaldiagramot célszerű készíteni, ez jól sugallja az adatsorban rejlő
szabályszerűségeket
4
Gazdaságstatisztika
Idősorok elemzése

Idősorok elemzése



Tartamidősor


Alapvetően leíró statisztikai módszerekkel
Átlagszámítás tekintetében azonban különbséget kell tennünk a
tartamidősorok és állapotidősorok között
A magyarázó X változó értékei (általában azonos hosszúságú)
időtartamok, az Y eredményváltozó értékei tartamadatok, amelyek
összegezhetők, és egyszerű számtani átlaggal átlagolhatók.
Állapotidősor

A magyarázó X változó értékei időpontok, így az Y eredményváltozó
értékei egy-egy időpontra vonatkozó adatok, melyek összegzésének
tartalmi értelme nincs. Y értékeinek átlaga az átlagos
állománynagyság, melyet a kronologikus átlaggal határozunk meg.
Ha Y1, Y2, … Yn egy állapotidősor n db egymást követő értéke, akkor
kronologikus átlaguk:
Yn
Y1 n 1
Yk 
2
  Yt 
t 2
n 1
Gazdaságstatisztika
2
5
Példa tartam- és állapotidősorra

Egy utazási iroda valutakészletének és értékesítésének adatai az alábbiak
Hónap
Június
Július
Augusztus
Szeptember
Október
November
December



Valutakészlet a hónap
utolsó napján [eUSD]
18,8
19,6
20,2
19,8
21,1
20,3
19,2
Valutaértékesítés
[eUSD]
--35,8
35,2
34,3
33,5
32,4
35,8
Határozzuk meg a 2. félévben a havi átlagos valutaértékesítést, s az
átlagos valutakészletet!
A havi valutaértékseítés adatok tartamidősort alkotnak

A 2. félév adatainak átlaga: Y  35,8  35,2  34,3  33,5  32,4  35,8  207  34,5eUSD
6
6
A hónap utolsó napján tekintett valutakészlet adatok állapotidősort
alkotnak

Az átlagos valutakészlet a kronologikus átlaggal számítható:
18,8
19,2
 19,6  20,2  19,8  21,1  20,3 
2  20eUSD
Yk  2
6
6
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata

Idősorok elemzésének két fő megközelítési módja ismert
1. Sztochasztikus modell



Az idősor pillanatnyi értékeit saját korábbi állapotából és a
véletlen hatásokból lehet magyarázni.
A véletlen változó a jelenség fő mozgatója.
2.
Determinisztikus modell

Az idősor alakulását a következő összetevők határozzák meg:

Tartósan érvényesülő hosszútávú tendencia (trend)

Tartósan ható, szabályos, jól modellezhető periodikus ingadozás

A véletlen, amely eseti-egyedi eltérítő hatást eredményez
Két szemlélet, két modell

Mi a determinisztikus modellt tárgyaljuk.
7
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata trendhatás

Hosszútávú, tartósan érvényesülő irányzat a trend

Hogyan határozzuk meg a trendet?


Mozgóátlagolással (mi ezt alkalmazzuk…)
Analitikusan, valamilyen trendfüggvény típus segítségével

Lineáris, exponenciális, logaritmikus, hatvány, polinom
8
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata periodikus ingadozás

Két fajtáját különböztetjük meg
 Ciklikus (konjunkturális) ingadozást




Az üzleti és gazdasági tevékenységek esetében az ingadozásokat
akkor nevezzük ciklikusnak, ha azok több mint egy éves
időintervallum után ismétlődnek. Például: konjunktúra,
recesszió, stagnálás, megújulás
A hullámzás periódusa nem állandó
Ezt a tárgy kereteiben nem vizsgáljuk
Szezonális (idényszerű) ingadozás



Az idősort úgy tekintjük, mint azonos hosszúságú időszakok
(vagy időpontok) adatainak egymás utáni sorozatát.
A trendtől nagyon hasonló, ismétlődő mintázatot mutató
eltéréseket a szezonális ingadozás eredményének tudhatjuk be.
Például: karácsony előtt a vásárlások
A hullámzás periódusa állandó
9
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata szezonális ingadozás

Hasonló, ismétlődő trendtől való eltérés mintázatok
10
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata szabálytalan, véletlen ingadozás



Valószínűségi változónak tekintjük
A véletlen ingadozás sok, önmagában nem jelentős tényező
együttes hatása az idősorra
Lehet, hogy egy-egy tényező (sztrájk, árvíz, stb.) jelentősebb
hatást gyakorol a megfigyelt mennyiségre, de feltesszük,
hogy ezek csak rövid ideig okoznak változást, így hatásuk
összességében véletlennek tekinthető
11
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata dekompozíciós eljárás



A determinisztikus modell az Y eredményváltozó
összetevőkre (trend-, szezonális- és véletlen hatás) történő
felbontásának matematikai leírása.
Ezért szokták a modellt dekompozíciós eljárásnak is nevezni.
Attól függően, hogy az idősor összetevői között milyen
kapcsolatot tételezünk fel, a determinisztikus modell lehet
additív vagy multiplikatív.
 Additív modell
 Y-t az összetevők összegének tekintjük
 Multiplikatív modell
 Y-t az összetevők szorzatának tekintjük
12
Gazdaságstatisztika
Idősorok összetevőinek vizsgálata additív és multiplikatív dekompozíció




n: az idősor elemeinek száma
p: szezonok száma egy periódusban
n/p: a periódusok száma
yij : az idősor i-edik periódusának (i=1..n/p), j-edik (j=1..p)
szezonjához tartozó adat
Additív
modell
Multiplikatív
modell
yij  yˆij  s j   ij
Szezonális
hatás
yij  yˆij  s   ij
*
j
Véletlen
hatás
Trendhatás
Szezonális
hatás
Véletlen
hatás
Trendhatás
13
Gazdaságstatisztika
Trend becslése mozgóátlaggal



Cél: szezonális és véletlen ingadozás hatásának “kiszűrése”,
azaz a trendhatás, amennyire csak lehet, legyen mentes a
szezonális és véletlen hatásoktól
Eszközként a mozgóátlagot használjuk (sok más módszer is
ismert)
Mozgóátlag


Az idősor első előre rögzített számú eleméből számtani átlagot
képezünk, majd az első elemet kihagyva, s a következőt bevonva
folytatjuk a számítást az utolsó adatig.
Ha van szezonalitás, akkor a mozgóátlag taglétszámát úgy kell
megválasztani, hogy az a perióduson belüli szakaszok (szezonok)
számával azonos, vagy annak egész számú többszöröse legyen.
14
Gazdaságstatisztika
Trend becslése mozgóátlaggal

Ha a mozgóátlag elemeinek száma páratlan (2l+1), akkor a trend kadik eleme (k=l+1, l+2,…):
yˆ k 

yk l  ...  yk  ...  yk l
2l  1
Ha a mozgóátlag elemeinek száma páros (2l), akkor a trend k-adik
eleme (k=l+1, l+2, …):
yˆ k 
ahol
yˆ k ,1  yˆ k , 2
2
yk l  ...  yk  ...  yk l 1
2l
y
 ...  yk  ...  yk l
 k l 1
2l
yˆ k ,1 
yˆ k , 2
Ez a centírozás
yk l k  (l 1)
yk  l
  yi 
2 i k (l 1)
2
ˆyk 
2l
15
Gazdaságstatisztika
Példa*

Háztartások számára értékesített gázmennyiség (milló m3)
Nógrád megyében 1990 és 1994 között negyedéves bontásban
az alábbiak szerint alakult.
1990
1991
1992
1993
1994

I.
3,5
6,7
7,4
8,2
9,3
II.
3,1
6,4
7,2
8,1
8,0
III.
2,4
5,1
5,2
7,2
7,2
IV.
3,9
7,2
8,0
8,5
11,7
Határozzuk meg a gázfogyasztás alakulását jellemző trendet
mozgóátlagolás alkalmazásával!
* Forrás: Korpás A.-né: Általános statisztika II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997
16
Gazdaságstatisztika
Példa - trend meghatározása

Ábrázoljuk az adatokat!

Az adatok emelkedő trendhatásra utalnak
Periódus az év
Negyedéves szezonalitás feltételezhető, azaz a szezonok száma
egy periódusban 4
Mozgóátlag elemszámának célszerű a 4-et választani



17
Gazdaságstatisztika
Példa - trend meghatározása
Ért. Gáz (m3) Időszak
3.51990 - I
3.11990 - II
2.41990 - III
3.91990 - IV
6.71991 - I
6.41991 - II
5.11991 - III
7.21991 - IV
7.41992 - I
7.21992 - II
5.21992 - III
81992 - IV
8.21993 - I
8.11993 - II
7.21993 - III
8.51993 - IV
9.31994 - I
81994 - II
7.21994 - III
11.71994 - IV
cMA(4)
3.63
4.44
5.19
5.94
6.44
6.63
6.74
6.85
7.05
7.26
7.63
7.94
8.14
8.26
8.25
8.65
?
yk l k  (l 1)
y
  yi  k l
2 i k (l 1)
2
yˆ k 
2l
k=4,l=2
l=2
k=3,
y5y6
y1y2
 y2y3 y3y4 y4y5 
2 2 
yˆ 3yˆ 32 2
44
3.35.1
6.67.4
3.21.4 2.34.93.69.7 
2 2  3.463
.44
 2 2
44
18
Gazdaságstatisztika
Példa - trend meghatározása
19
Gazdaságstatisztika
Szezonalitás vizsgálata



Azt vizsgáljuk, hogy a rendszeresen (azonos periódushosszal)
ismétlődő hatások, milyen mértékben vagy arányban térítik
el az idősor értékeit a trendtől
Cél: a trendhatás és a véletlen hatásának “kiszűrése” az
adatokból
Additív modell esetén a szezonalitást a trendtől való eltérés
nagyságával, azaz a trendtől vett eltéréssel, multiplikatív
modellnél a relatív eltéréssel jellemezzük
20
Gazdaságstatisztika
Szezonalitás vizsgálata

A trendhatást úgy szűrjük ki, hogy az idősor értékeiből
rendre kivonjuk (ill. az idősor értékeit rendre elosztjuk) a
trendértékeket (értékekkel). Ezek az egyedi szezonális
eltérések (hányadosok).
Additív modell
Multiplikatív modell
yij
*
*
 s j   ij
yˆ ij
yij  yˆij  s j   ij
21
Gazdaságstatisztika
Szezonalitás vizsgálata

A véletlen hatást úgy szűrjük ki, hogy minden periódusból
vesszük az adott szezonhoz tartozó egyedi szezonális eltérések
(hányadosok) átlagát. Ezek adják a szezonok nyers
szezonális eltéréseit (szezondindexeit).
Additív modell
 y
n/ p
sj 
i 1
ij
Multiplikatív modell
 yˆ ij 
 y
n/ p
s 
*
j
n/ p
j-edik nyers
szezonális eltérés
i 1
ij
/ yˆ ij 
n/ p
j-edik nyers
szezonindex
22
Gazdaságstatisztika
Szezonalitás vizsgálata


Ha a trendet nem lineáris függvénnyel határozzuk meg, akkor nem
teljesül az a feltétel, hogy a szezonális eltérések összege (illetve átlaga) 0
(multiplikatív modellnél, hogy szorzatuk 1).
Ilyenkor a szezonális eltéréseket (ill. szezonindexeket) korrigáljuk.
Additív modell
Multiplikatív modell
p
p
s  sj 
'
j
s
j 1
j
s  sj 
*'
j
p
j-edik korrigált
szezonális eltérés
*
*
s
 j
j 1
p
j-edik korrigált
szezonindex
Az idősor értéke az adott szezonban
átlagosan hányszorosa a trend szerinti
értéknek.
Az idősor értéke az adott szezonban
átlagosan mennyivel tér el a trend szerinti
értéktől.
23
Gazdaságstatisztika
Példa - szezonalitás meghatározása

Itt additív szezonalítás feltétezhető.
24
Gazdaságstatisztika
Példa - szezonalitás meghatározása
yÉrt.ij Gáz
 (m3)
yˆij 
2.4cMA(4)
 3.Egyedi
63 sz.eltérések
1.23
Időszak
3.51990 - I
3.11990 - II
2.41990 - III
3.91990 - IV
6.71991 - I
3
4- II
6.41991
5.11991 - III
7.21991 - IV
7.41992 - I
7.21992 - II
5.21992 - III
81992 - IV
8.21993
-2I
1
8.11993 - II
7.21993 - III
8.51993 - IV
9.31994 - I
81994 - II
7.21994 - III
11.71994 - IV
3.63
4.44
5.19
5.94
6.44
6.63
6.74
6.85
7.05
7.26
7.634
7.94
8.14
8.26
8.25
8.65
s1  s2  s  s
 0.01453  0
4
-1.23
-0.54
1.51
0.46
-1.34
0.58
0.66
0.35
-1.85
0.74
0.57
0.16
-0.94
0.24
1.05
-0.65
sj
0.95
0.08
-1.34
0.25
0.95
0.08
ij-1.34
0.25
0.95
0.08
-1.34
0.25
0.95
0.08
-1.34
0.25
0.95
0.08
-1.34
0.25
sj'
Sz.korr. ért.
0.96
2.54
0.10
3.00
-1.32
3.72
0.27
3.63
0.96
5.74
0.10
6.30
-1.32ij
ij6.42
0.27
6.93
0.96
6.44
0.10
7.10
-1.32
6.52
0.27
7.73
0.96
7.24
0.10
8.00
-1.32
8.52
0.27
8.23
0.96
8.34
0.10
7.90
-1.32
8.52
0.27
11.43
y  s  yˆ  
,
j
Trend + véletlen
s  s  s3  s
s  s3 

4
 1.34  (0.01453)  1.32
 1.23  1.34  1.85  0.94
s3 
 1.34
4
,
3
25
Gazdaságstatisztika
Példa – grafikus összegzés
26
Gazdaságstatisztika
Autó- és keresztkorreláció idősorok
elemzésénél



Egy vagy több idősor egymást követő adatai szoros
korrelációban állhatnak egymással (erős közöttük a
sztochasztikus kapcsolat).
Autókorreláció
 Egy változó egymást követő adatai közötti korreláció,
azaz egy változó egymást követő adatai közötti
sztochasztikus kapcsolat erőssége az autókorreláció.
Keresztkorreláció
 Két különböző idősor időben eltolt adatai közötti
korreláció a keresztkorreláció.
27
Gazdaságstatisztika