Transcript bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Giáo viên: Trần Bảo Huy
Trường THPT Phan Bội Châu
Khái niệm bất
đẳng thức
Bất đẳng thức
về giá trị tuyệt
đối
R  R  0 R
R
0




R

R

R : Tập các số thực âm

R : Tập các số thực dương
0
0
R
: Tập chỉ gồm 1 phần tử là số không

A  B  0  A  B

(đẳng thức)
A  B  R  A  B  0  A  B


A  B  R  A  B  0  A  B
Bất đẳng thức mở rộng:
A  B
A B  
A  B
(BĐT)
Định nghĩa
Giả sử a, b là 2 số thực
 Các mệnh đề: " a  b, a  b, a  b, a  b" được
gọi là bất đẳng thức.

Tính chất
a  b
1.
ac
b  c
2.a  b  a  c  b  c
3. Nếu c  0 : a  b  ac  bc
Nếu c  0 : a  b  ac  bc
a  b
*

c  d
ac bd
*a  c  b 
a bc
a  b  0
*
 ac  bd
c  d  0
n
n
* a  b  0, n  N *  a  b
*a  b  0 
*a  b 
3
a b
a 3 b
Không được trừ vế với vế của hai bất
đẳng thức cùng chiều
 Ví dụ:
9  8 (đúng)
7  1 (đúng)
 9  7  8  1 (sai)

VD 1: Hãy so sánh 2 số 2  5và 3
Giải
Giả sử
2  5  3 (1)
(1) 


2
2 5 9
 7  2 10  9
 10  1
 10  1(!)
Kết luận :
2 5 3
VD2: Chứng minh rằng: x  4x  2
2
Giải
2
x
 4( x  2) (1)
 Ta có:
(1)  x 2  4 x  8  0
 x2  4x  4  4  0
 x  1  4  0 x (2)
(2) Đúng  (1) Đúng
2
VD3: CMR: Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh
của 1 tam giác thì
a  b  c  2ab  bc  ca
2
2
2
Giải
2
2
2
2
Ta có:a  b  c   b  c  2bc
b  c  a   a  c  2ac
2
2
2
2
c  a  b   a  b  2ac
2
2
2

2

 a  b  c  2 a  b  c  2ab  bc  ca
2
2
2
2
2
2
 a  b  c  2ab  bc  ca
2
2
2
(đpcm)

Tính chất 1:
 a a a

Tính chất 2:
x  a  a  x  a (a  0)
Tính chất 3:
x  a
x a
(a  0)
 x  a

a
VD4: Giải bất phương trình sau:
a ) chất
1  2 x4: 3a  b  a  b  a  b a, b  R
 Tính
x  2 với
 4 mọi số thực a, b, c ta có:
VD5:b)CMR
a c  a b  b c


BT1/SGK: CMR, nếu a  b và ab  0 thì 1  1
a b
BT3/SGK: CMR a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
với mọi số thực a, b, c. Đẳng thức xảy ra khi và
chỉ khi a  b  c
1. Tìm mệnh đề đúng:
1 1
A. a  b  ac  bc
B. a  b  
a b
C. a  b và c  d  ac  bd D. Cả A, B, C đều sai
2. Tìm mệnh đề sai:
A. a  b  a  b ; a, b
B. a  b  a  b ; a, b
C. a 2  0; a
D.  a  a  a ; a
Bài tập thêm:
CMR nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
thì b  c  a c  a  ba  b  c  abc
Hướng dẫn bài tập về nhà
Làm bài tập còn lại trong SGK.
 Nắm vững các tính chất, hệ quả của bất
đẳng thức.
 Nắm vững các bất đẳng thức về giá trị
tuyệt đối.

a)
1  2 x  3 (1)
(1)  3  1  2 x  3
 3  1  2 x
x  2


 1  x  2
1  2 x  3
 1  x
Vậy tập nghiệm của bpt (1) là
b)
S  (1;2)
x  2  4 (*)
x  2  4
x  6
(*)  

 x  2  4
 x  2
Vậy tập nghiệm của bpt (*) là S  (;2)  (6;)
a c  a b  bc
(1)
Ta có: a  c  a  b  b  c  a  b  b  c
ab
a b
 
ab ab
1 1
 
b a
BT1: Ta có
BT3:
(ab  0)
a  b  c  ab  bc  ca (1)
2
2
2
(1)  2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2bc  2ca
 a  b   b  c   a  c   0 (2)
2
(2) đúng
2
2
 (1) đúng
a  b  0

dấu " " xảy ra  b  c  0  a  b  c
a  c  0

b  c  a c  a  b a  b  c   abc
2
2
2
 Ta có a  a  b  c   a  b  c a  b  c 
2
2
2
b  b  c  a   b  c  a b  c  a 
2
2
2
c  c  a  b   c  a  b c  a  b 
2
2
2
2 2 2
 a b c  b  c  a  c  a  b  a  b  c 
 b  c  a c  a  b a  b  c   abc (đpcm)