Transcript Wykładniczy model trendu

Trend wykładniczy
dr Małgorzata Radziukiewicz
Funkcja wykładnicza
• Funkcją wykładniczą jest funkcja postaci:
Y  ax
• gdzie a>0 jest ustaloną liczbą
(1)
Funkcja wykładnicza
• Funkcja ta znajduje najczęściej zastosowanie jako model ekonometryczny, w którym występuje tylko
jedna zmienna objaśniająca X:
Y   01X ,
•
dla 1  0
(2)
Rys.1a. Funkcja wykładnicza
Y
α1>1
α1=1
α0
0<α1<1
•
•
X
parametr α0 interpretowany jest jako poziom zmiennej Y, gdy zmienna objaśniająca X
przyjmie wartość zero
α1 nazywane jest stopą wzrostu, tzn. wzrost wartości zmiennej objaśniającej X o
jednostkę powoduje zmianę poziomu zmiennej objaśnianej Y o (α1 – 1) 100%.
Funkcja wykładnicza
● Większe od jedności wartości parametru α1 oznaczają wzrost wartości zmiennej
objaśnianej Y
np. gdy α1 =1,15, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (1,15 - 1) 100% = 15%
● Mniejsze od jedności (ale zawsze większe od zera) wartości parametru α1 świadczą o
spadku wartości zmiennej objaśnianej Y
np. dla α1 =0,94, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (0,94 - 1) 100% = -6%,
zatem spadek
Model wykładniczy
● Model wykładniczy:
Y   01X e
(3)
● Aby oszacować parametry modelu wykładniczego MNK model musi być sprowadzony
do postaci liniowej;
● Model wykładniczy (nieliniowy ze względu na zmienną) sprowadza się do postaci
liniowej poprzez logarytmowanie;
● Logarytmujemy obie strony równania (3), w wyniku czego otrzymujemy:
lnY  ln 0  X ln1  
gdzie:
lne Y  logarytm
lnY naturalny, którego podstawa e=2.71828…
(4)
Trend wykładniczy
●Funkcja wykładnicza znajduje najczęściej zastosowanie jako model tendencji rozwojowej (w
którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca – zmienna czasowa t):
Y   01t e ,
dla 1  0
(5)
● parametr α0 interpretowany jest jako średni poziom zmiennej Y w roku poprzedzającym
badanie (t=0)
● α1 nazywane jest średnioroczną stopą wzrostu (spadku) badanego zjawiska w przedziale
czasu [1, n], tzn. co roku wartość Y wzrasta (spada) średnio o (α1 – 1) 100%.
Trend wykładniczy
▪ model musi być sprowadzony do postaci liniowej poprzez logarytmowanie;
▪ otrzymujemy wówczas:
e 0
lnY  ln 0  t ln1  
logY  log 0  X log1  
Y  100 1t 
(6)
(10c)
▪ przy sprowadzeniu do postaci liniowej została przekształcona jedynie zmienna Y, (nie
(11)
została przekształcona zmienna t) a więc
Trend wykładniczy
▪ dane niezbędne do obliczeń:
X – macierz wartości zmiennej czasowej;
~y - wektor zaobserwowanych wartości zmiennej Y po przekształceniu
Y  100 1t 
e 0
 ln y1 
(11)
ln

y
2

~
y . 


.


ln y n 


logY  log 0  X log1  
(7 )
1 t1 
1 t 
2

X  . . 


.
.


1 t n 


(8)
(10c)
Trend wykładniczy
▪ wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego
do postaci liniowej)
~  ln a 
a

e~
a   ~0    0  (9)
obliczamy
ze wzoru:(11)  a1   ln a1 
logY  log  X log  
0
0
Y  100 1t 
1
a~  ( X T X ) 1 X T ~
y
(10)
(10c)
Trend wykładniczy
•
Mamy wówczas:
 t 
  t 
 n
X X 
 t
T
2

~
oraz X y  

T
 ln y 
 t ln y 
t
(11)
t
•
Po wykonaniu obliczeń model ma postać liniową (6);
•
Pozytywna weryfikacja modelu pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji
• Dla modelu w postaci liniowej obliczamy parametry struktury stochastycznej;
wykładniczej przez odlogarytmowanie:
~
czyli
a0  e a0 
a      a~  (12)
 a1   e 1 
Yˆ  a0 a1t
(13)
Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
•
Sposób obliczenia prognozy punktowej:
ln a0 
P
~
~
yT  [1 T ] a  [1 T ]
 ln a0  ln a1T

 ln a1 
•
stąd
yTP  exp ( ~yTP )
(14a)
(14)
Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
•
Ocena ex ante średniego błędu prognozy logarytmu zmiennej Y:
~
1
(T  t ) 2
~
gdzie: VT  S (e) 1   n
n
(t  t ) 2

(15)
t 1
n
oraz:

n
(t  t ) 
2
t 1
•
•
•

t 2  n  (t ) 2
t 1
oznaczenia:
~
S (e)
jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po transformacji prognozowanej zmiennej
Średni błąd ex ante prognozy dla zmiennej Y (pierwotnej):
~
VT  exp (VT )
(15a)
Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
•
Przykład 3.
Wartość produkcji (Yt w mld zł) w pewnym przedsiębiorstwie w latach 1993 – 2002
kształtowała się następująco:
lata
Produkcja
w mld zł
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
4,5
3,5
4,1
5,0
7,6
11,0
16,1
15,5
21,0
26,4
wartość produkcji w latach 1993-2002 (w mld zł)
30
26,4
25
21
mld zł
20
16,1 15,5
15
11
10
7,6
5
4,5
3,5
4,1
5
0
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
•
•
a) oszacować parametry strukturalne i parametry struktury stochastycznej funkcji trendu;
b) wyznaczyć prognozę kształtowania się wartości produkcji w kolejnych latach 2003,
2004 i 2005;
•
c) ocenić dokładność dokonanej predykcji.
Postać modelu trendu wykładniczego
●na podstawie analizy graficznej (a także na podstawie analizy przyrostów) dla danych produkcji najbardziej
odpowiednia będzie funkcja wykładnicza postaci:
Y
t 
  01 e ,
dla 1  0
(5)
gdzie:
t - zmienna czasowa (t=1,2,…10)
▪ Parametry tej funkcji można oszacować MNK po uprzednim sprowadzeniu jej do postaci liniowej poprzez
logarytmowanie:
lnY  ln 0  t ln1  
(6)
Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego
▪ wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego do postaci liniowej)
obliczamy ze wzoru:
a~  ( X T X ) 1 X T ~
y
(10)
e 0
logY  log 0  X log1  
Y  100 1t 
(10c)
(11)
lub ze wzorów:
n
a~1 

n
~
~
t yt  n t y
t 1
n

 t ln y  nt ln y
t

t
t 1
t2  nt 2
t 1
~ ~
~
a0  y  a1t  ln yt  a~1t
n

t 2  nt 2
t 1
(10a)
Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego
Tablica 1. Obliczenia pomocnicze
lata
Nakład (Y)
ln Y
t
lnY· t
t2
1993
4,5
1,504077
1
1,504077
1
1994
3,5
1,252763
2
2,505526
4
1995
4,1
1,410987
3
4,232961
9
1996
5
1,609438
4
6,437752
16
1997
7,6
2,028148
5
10,14074
25
1998
11,0
2,397895
6
14,38737
36
1999
16,1
2,778819
7
19,45173
49
2000
15,5
2,740840
8
21,92672
64
2001
21,0
3,044522
9
27,40070
81
2002
26,4
3,273364
10
32,73364
100
∑
114,7
22,04085
55
140,7212
385
Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego
n
~ 
a
1
 t ln y
t
 n t ln y
t 1
t
n
t
2
n
 nt
2
t
t 1
n
55
 5,5
10
n
t 1
~  ya t
a
0
1

ln yt 
 ln y
t 1
n
t

22,04085
 2,20408
10
140,7212 10  5,5  2,20408 19,49653
a~1 

 0,236322
2
82,5
385 10  (5,5)
a~0  2,20408 0,236322 5,5  0,904317
Weryfikacja modelu trendu wykładniczego
• Parametry struktury stochastycznej obliczamy dla modelu w postaci liniowej.
• Całość wyników (obliczenia w Excel) można zapisać następująco:
ln Yˆt  0,904317 0,236322t
( 0,13378 )
( 0, 02156 )
~
S (e)  0,195838
t ln a0  6,76;
t ln a1  10,96;
R 2  0,937;
V  8,9%.
• Model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych (parametry strukturalne są statystycznie istotne,
współczynniki φ2 i V przyjmują wartości stosunkowo małe).
• Stwierdzenie to pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej przez
odlogarytmowanie.
Postać modelu trendu wykładniczego
● otrzymamy wówczas:
~  ln a  0,904317
a

a~   ~0    0   

a
ln
a
0
,
236322

 1  1 
(9)
~
a0  e a0  e 0,904317  2,470
a      a~    0, 236322   

1
a
1
,
266
 

 1   e  e
▪ czyli funkcję wykładniczą postaci:
Yˆ  2,4701,266t
(5)
Interpretacja:
Można zatem stwierdzić, iż średni poziom produkcji w badanym przedsiębiorstwie w 1992 roku (t=0) wynosił 2,47
mld zł, a w rozpatrywanym okresie średnioroczna stopa wzrostu wynosiła 1,266;
czyli co roku wartość produkcji wzrastała średnio o 26,6%.
Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
•
Sposób obliczenia prognozy punktowej:
ln a0 
~
yTP  [1 T ] a~  [1 T ]
  ln a0  ln a1T
ln
a
1

0,904317
P
~
y11
 [1 11]
 0,904317 0,23632211  3,503854

0,236322
0,904317
P
~
y12
 [1 12]
  0,904317 0,23632212  3,740175
0
,
236322


•
Stąd
P
ln y13
 3,976497
~P
yTP  e yT
P
y11
 e 3,503854  33,243
(14a)
P
y12
 e 3,740175  42,105
P
y 2005
 e 3,976497  53,329
•
Produkcja w latach 2003 -2005 będzie wynosiła kolejno 33,2, 42,1 oraz 53,3 mld zł .
(14)
Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
•
Ocena ex ante średniego błędu logarytmu zmiennej Y:
~
1
(T  t ) 2
~
VT  S (e) 1   n
n
(t  t ) 2

t 1
•
•
•
1 (11 5,5) 2
~
V11  0,195838 1  
 0,1958381,211 0,237172
10
82,5
~
V12  0,248654;
~
V13  0,261414.
oznaczenia:
~
S (e) jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po transformacji prognozowanej zmiennej.
Średni błąd prognozy dla zmiennej Y:
V11  e 0, 237172  1,267
V12  1,282 ;
V13  1,298 .
(15a )
(15)
Prognozy produkcji
60
50
produkcja
prognoza
53,3
42,1
mld zł
40
33,2
30
26,2
20
20,7
10
0
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005