Transcript 复杂网络上传染病动力学概述

复杂网络上传染病动力学概述
张海峰
[email protected]
提纲
• 传染病动力学基本概念
• 复杂网络上传染病动力学的基本结果与推
广
• 个体、社会行为反应对传播行为的影响
• 总结与展望
一、基本概念
专业名词
• S-susceptible（易感染者，健康者）;I-infected（感染者）; Rrecovery/removed（恢复者、移除者）;V-vaccinated(接种者）;Eexposed（暴露但不具有感染性，或称潜伏）。
•
SIS模型：易染个体被感染后，可以被治愈但无免疫力（还可以再被感染）（感冒等）
 SIR模型：易染个体被感染后，可以被治愈且有免疫力（不会被感染，也不会感染其它
节点，相当于已经从传播网络中被清除了）（天花等）
 SI模型：易染个体被感染后，不能被治愈（艾滋病等）

SIRS模型：易染个体被感染后，可以被治愈且有免疫力，但免疫期是有限的，还会再
次回到易染状态。（乙肝？）
基本微分方程
SIS的微分方程
 dS
 dt   SI  I
 dI

 SI  I
 dt
dI

  (1  I ) I  I
dt
表示传播率，表示恢复率，
1 / 表示平均恢复时间。
R0   / 定义为基本再生数,
R0是刻画疾病传播能力的最基本
指标。R0  1，疾病会爆发，
否则疾病会灭亡。R0 越大，
疾病越容易爆发。
SIR的微分方程
 dS
 dt    SI
 dI
   SI  I
 dt
 dR  I
 dt
更一般的模型，可以考虑人口数量
变化的、传播率变化的、多种群的、
时间滞后的、加入媒介的、加入接
种措施的，等等。
二、复杂网络上的疾病传播
复杂网络上研究的主要参量
① 感染密度（感染水平或者波及范围）ρ(t)
ρ(t)：传播过程中,感染节点总数占总节点数的比例。ρ：传播到稳态时
t 
（
）感染密度的值,称为稳态感染密度。
② 有效传播率λ(=/)
λ非常小（很小，很大），传播达稳态时，
所有节点都会变成健康节点，这种情况下就认为疾病
没有在网络上传播开来，并记该疾病的稳态感染密度
ρ =0。
反之，当λ足够大时，疾病将一直在网络中存在而不会完全消失，只是染病节
点的数目有时多有时少，这时稳态感染水平（波及范围） ρ  0。把稳态感染
密度从零向正实数变化的那个点所对应的有效传播率称作传播阈值（临界
值） λc。它是衡量网络上的传播行为最重要的参量之一。
均匀网络中的SIS模型
Ⅰ. 均匀网络：
Ⅱ. 解析模型
三个假设：
① 均匀混合假设：感染强度和感染个体密度  t 成比例。即：

  , 和为常数（均匀混合）。不失一般性，可假设=1

，因为这只影响疾病传播的时间尺度；
② 均匀性假设：均匀网络中，每个节点的度都等于网络的平均
度<k>；
③ 规模不变假设：不考虑个体的出生和自然死亡
运用平均场的方法可得：被感染个体密度ρ(t)的变化率
 t 
   t    k  t 1   t 
t
 被感染节点以单位速率恢复健康
 单个感染节点产生的新感染节点的平均速度，它与有效传
播率、节点的平均度〈k〉，健康节点相连概率1-ρ(t)成比
例，（其他的高阶校正项忽略了）。
当传播达到稳态时，变化率为0，所以令上式右端为0；
 t 
   t    k  t 1   t   0
t
即：-ρ+<k>ρ[1-ρ]=0
ρ（1-λ<k>+λ<k>ρ）=0；
ρ（ρ-
1
(1

)
）=0；
k
1
当λ<  k时，ρ
1
(1 必大于0，所以ρ=0；
)
k
1
当λ  时，ρ=
k 
1
(1 ；
)
k
1
所以，  k即为临界传播值，记

=

c
1
。
k 
结论：
 在均匀网络中存在一个有限的正的传播临界值λc。
 如果有效传播率λ  λc，则病毒可以在网络中传播
开来，并最终稳定于
此时称网络处于激活相态；
 如果有效传播率λ<λc，病毒
感染个体数呈指数衰减，无法大
范围传播，最终将不能传播,
此时网络称为吸收相态。
,
无标度网络中的疾病传播
Ⅰ. 无标度网络：具有幂律度分布的网络，即：Pk  ∝
k 
；
网络中节点的度没有明显的特征长度
Ⅱ. 解析模型
无标度网络的度分布是呈幂律分布，因而度具有很大的
波动性，定义一个相对感染密度 k (t )：度数为k的感染节点
数占总节点数的比例。当t趋于无穷大时，相对稳态感染密
度记为 k 。
平均感染密度：  (t )= P(k )k (t )
k
稳态平均感染密度： =
 P(k )
k
k
同样我们能采用MF理论来求 (t ) 的变化率得:度为k的节点相对
感染密度的变化方程为： k
 k t 
   k t   k 1   k t  t 
t
 t  ：任意一条给定的边与一个被感染节点相连的概率
任意一条给定边指向度为k的节点的概率为
（与度为k节点关联的边数与总边数的比值）
kP
（k）
 sP( s)
s
则任意一条给定边指向度为k的感染节点的概率为
从而，
kP
（k）
kP
（k）
( )  
k
k
 sP(s)
s

k
k
k 
kP
（k） k
 sP(s)
s
根据稳态条件
 k t 
，可得：
0
t
 k ( )
 k   k[1  k ]( )  0;  k 
1   k ( )
( )  
k
kP
（k）k
k 
(1)
(2)
把（1）代人（2）可以得到如下自洽方程
1
k
  f () 
kP
（k）

k  k
1+ k 
有一个平凡解
0
如果该方程要存在一个非零稳定解   0 ，需要满足如下条
件：
d
1
k
(
kP
（k）
) |   0 1

d  k  k
1+ k 
k
c 
 k2 
结论：对于SF（无标度）网络，节点度数具
有很大的浮动性，当 N   ,导致  k 2  
，从而   0
c
特别地，作为SF网络的一个典型例子，考虑
BA无标度网络。
BA无标度网络的传播临界值
 BA无标度网络：(1) 增长特性，(2) 优先连接特性（富者更富，
或马太效应）
 度分布 Pk   2m k ，平均度 k   kPk dk  2m, 其中m是网络最小度
 将平均度 k  2m ，度分布 Pk   2m k ，以及  k  k  带入
1  k 
1
  
 kPk k ，可得：
2
3

m
2
k
3
k
2m 2  k 
k 3

1
k
k 1+ k 
k
(  ) 
kP
（k）


k  k
1+ k 
2m
1
1
  m( ) .
k k 1+ k 
1
1
1
1
1
 .
 .
dk
 m k k 1+ k  m k 1+ k 

1
1
1  m
 (

)d ( k )  ln
m k
1+ k 
m
1/ m
e
1  m

m
(me
1/ m
me
1/ m
 1  m
 m )  1
1
1
1 e1/ m e1/ m
( )   1/ m   1/ m 
(1  e1/ m )1
m e  1 m 1  e
m
又因为

2m 2 kdk
dk
2
   Pk  k   3 
 2m   2
m k
m k 1  k 
1  k
k

 1
  dk

1 
 2 m    2    

d k 
m k
m k
1  k 



2
1
1 

 2m     ln1 

 m 
m
2
e1/ m
将( ) 
(1  e1/ m ) 1 代入上式中
m
化简后得：
1/ m
1/ m
2e
e
1
1/ m

（1） e
1/ m
1/ m
1 e
1 e
ln 
当λ=0时，有   0;
当λ>0时，有   0
结论：
BA无标度网络在SIS模型下的 c  0; 只要有效传播率
λ>0，病毒就能传播开来，并将达到一个稳定感染水平

，这反映了无标度网络对抵抗病毒的脆弱性
WS网络与BA网络的比较
总结
1. SIS模型在均匀网络中，存在一个传播临界值 c 
1
 0。
k
当   c 时，疾病在时间演化过程中逐渐衰减，最终被灭；
当    时，疾病在时间演化过程中传播开来，并稳定于某
c
一  值（稳态感染密度）： ~   c
k 
0
2
k 
只要有效传播率λ>0，病毒就能传播开来，并将达到一稳定
2. SIS模型在SF网络中，传播临界值：c 
感染水平  值： ~ exp(1/ m ) ，这反映了无标度网络对
抵抗病毒的脆弱性。
均匀网络中的SIR模型
k 表示平均度。表示传播率，
表示恢复率
对自洽方程求导
结论：疾病阈值也是
最终感染范围为：
1
1
λc  
k k
无标度网络中的SIR模型
其中辅助函数：
t
t

0
 kP(k ) k (t )
k 
 kP(k )  (t )dt 
k
dt  
0
k 
对于SIR模型，最终感染比例为0！所以根据恒等式：
可以得到以下关系式，
当t  时，
 ()  0,所以根据可以得到
因此由得到
类似求SIS中的方法，有
结
论
类似的方法同样可以发现，无标度网络上最终感染范围也是：
结论：无标度上的SIR模型和SIS模型具有
相同的爆发阈值，以及同等规模的感染范围！
免疫策略
1. 随机免疫：随机选一部分人进行免疫
2.目标免疫：免疫度大的结点
3. 熟人免疫：随机找一个结点，再随机选一个邻居进行免疫
4.环状接种：隔离或免疫染病个体的所有(距离为k)邻居
5.接触追踪：对与有传染性个体的接触者进行跟踪，然后以一定
的概率进行免疫
结论：
 
c
在均匀网络中：只要 g c 
，就可保证疾病不在网络中传播

开来；SF网络中：免疫临界值约为１，即任给定一λ值，都需
要对网络中的所有个体进行免疫才能使疾病不传播开来。说明
随机免疫只对均匀网络有效（有较小的gc ),而对SF网络效果很
差（ gc =1）。
原因：
这是由于SF网络是异质网络，节点度呈两极分化，采用随
机免疫，哪些最容易传播病毒的节点（度大的节点）不一定获
得免疫。所以，如果对SF网络采取随机免疫的策略，需要对网
络中几乎所有的节点都实施免疫才能保证最终消灭病毒传染。
因此对SF网络这样的异质网络，普遍认为：随机免疫策略
对于无标度网络是无效的！
其他网络结构对传播行为的影响
• 加权网络：Yan Gang等，CPL,Vol. 22, No.
2 (2005) 510
• 社团网络：刘宗华等，EPL, 72 , 315, 2006
• 层状网络：郑大昉等，Physica A,352, 659,
2006
• 具有地理效应的网络：许新建等，
PRE,Phys. Rev. E, 76, 056109, 2007
其他方面
• 网络与传播共同演化
T. Gross, C. J. D. D'Lima, B. Blasius,Phys. Rev.Lett. , 96, 208701, 2006.;
T. Gross, B. Blasius, Adaptive coevolutionary networks: a review, J. R. Soc.
Interface, 5, 259-271, 2008;
T. Gross, I. G. Kevrekidis, Europhys. Lett. 82, 38004, 2008;
S. Risau-Gusmsán, D. H. Zanette, J. Theor. Biol. , 257, 52-60, 2009;
D. H. Zanette, S. Risau-Gusmsán, J. Biol. Phys. ,34, 135-148, 2008;
L. B. Shaw and I. B. Schwartz, Phys. Rev. E,77, 066101, 2008.
L. B. Shaw and I. B. Schwartz, Phys. Rev. E, 81, 046120, 2010.
人口移动：
V.Colizza, A. Vespignani, Phys. Rev. Lett., 99 ,148701, 2007.
V. Colizza, R. Pastor-Satorras, A. Vespignani, Nature Physics 3, 276-282,
2007.
V. Colizza, A.Barrat, M. Barthelemy, A. Vespignani, International Journal of
Bif. and Chaos. 17, 2491-2500, 2007.
M. Tang, Z. H. Liu, and B. W. Li, Europhys. Lett. ,87, 18005, 2009.
S. Meloni, A. Arenas, Y. Moreno, Proc. Natl Acad. Sci. USA, 106, 16897, 2009.
S. J. Ni，W. G. Weng, Phys. Rev. E, 79,016111, 2009.
Vitaly Belik et al, PRX 1, 011001 (2011)
三、个体、社会行为反应对传
播行为的影响
动力学与个体行为、政府决策的相互关系
示意图
用来刻画传染病动力学与个体行为，政府决策等因素之间的相互影响
1.Group interest versus self-interest in smallpox vaccination
policy, PNAS,100 (2003) 1564
模型：
由于接种天花存在着一个困境，预防面临
代价，不预防也有被感染的风险；另外由
于(herd immunity）群体免疫的作用，如果
别人采取了免疫那么我被感染的风险减小
，我可以不免疫，但是别人也有这样的想
法，所以这是一个预防困境问题。用博弈
中的收益（payoff)来描述接种的收益 E和
vac
暂时不接种的收益 Edel：
模型
• 假设每个个体采取接种的概率为p,在群体中
就有p比例的人选择接种，此时
其中dv 表示死亡率
r 理解为发生天花的概率，ds 表示感染以后的死亡率，s ( p) 和v ( p)
分别表示被感染的概率和被击中后具有免疫的概率
对应个体而言，个体的平衡点为： Evac  Edel ( p0 )
对于整个集体的最优为,代价C(p):
最小。
主要结果（个体最优和全局最优的差距）
2.Can Influenza epidemics be prevented by voluntary
vaccination, PLoS computational biology, 3(5) (2007) e85
模型：
流感疫苗的有效期是有限的（比如一年，一个季度），但是流感又是不
断发的，因此对于理性个体就要不断做决定是否采取接种疫苗，那么
他/她就会根据当前的爆发范围、接种疫苗的范围、以及以前的成败史
来判断当前是否采取接种。
思想：
a,上个季节采取接种，但是总的接种范围超过“需要接种范围”，则下个
季节接种意愿减小！
b,上个季节采取接种，但是总的接种范围低于“需要接种范围”，则下个
季节接种意愿增加！
c,上个季节没有采取接种，但是没有被感染，则下个季节接种意愿减小！
d,上个季节没有采取接种，但是被感染，则下个季节接种意愿增加！
模型示意图
主要结果
免疫比例p (black) 和感染比例f (red)的时间演化图
两种不同的政府补贴
引起的不同效果
3，F. Fu , D. I. Rosenbloom, L. Wang ,M. A. Nowak ,
Imitation dynamics of vaccination behavior on social
networks, Proc. R. Soc. B, 278, 42-49, 2011.
• 模型：
在流感爆发爆发季节之前，每个个体要选择是否接种流感
疫苗：(a), 接种，在接下来的季节不会被感染，但是要付出
V的代价;(b),如果不接种，可能面临两种不同的结果：被感
染，付出1的代价；没有被感染付出代价为0！
模型示意图：
模型
• 在每个传播季节以后，个体的收益P(i,t)可以是：
-1(infected); -c(vaccinated); 0(free-rider).
• 个体随机选择一个邻居，学习邻居策略（接种或
不接种）的概率由收益差决定：
1
W ( si  s j ) 
1  exp[  ( P( j, t )  P(i, t ))]
反映个体的理性程度，越大越敏感！
结果
全连通网络
方格
结论：方格上的接种人数受c的影响更明显，
稍微的增加c就使得接种人数锐减！
结果
无标度网络
随机网络
结论：随机网络和无标度网络上的疾病在c不是很大的时候
可以有效控制，然后随着c的增大而增加，但不像方格那样剧烈！
4，Imitation dynamics predict vaccinating
behaviour,Proc.R.Soc.B 272, (2005),1669
• 模型：
• 父母决定让自己的孩子接种。
• 随机从人群中抽样一部分人，比较接种的收益高还是不接
种的收益高，然后采取收益高的行为。
• 定义接种的收益为：
rv 表示对免疫的死亡率的风险估计.
•
不免疫被可能被感染的收益为：
m量化个体对疾病行为的敏感性，
r i 表示被感染带来的死亡率。
令E  fv  fn (I ), 如果抽样的E  0则采取接种，否则不接种
相应的微分方程
分两种情况
当E  0时，
当E  0时，
其中，x表示接种者的相对比例，（1-x）就是不接种的比例，
 是抽样比例，是一个比例参数。经过令k= 得到：
dx
 kx(1  x)( f v  f n ( I ))  kx(1  x)[rv  ri mI ]
dt
再和SIR模型结合就得到：
令 =krv ,  mri / rv
结论:在不同的条件下出现不同的
相
Hopf bifurcation
around \epislon_{4}
结论
选择接种的人数x和被感染的人数在不同的条件下
随着参数omega(L)和kappa（R）的变化情况。
4、展望