Transcript ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Данная работа подготовлена для учителей математики и информатики.
Имеет цель ознакомления учащихся на уроках и факультативных занятиях.
Автор: учитель информатики и ИКТ Глушков Н. В.
2010 г.
Содержание презентации
• 1.
• 2.
• 3.
Взаимно-однозначное соответствие
• 4.
• 5.
• 6.
• 7.
• 8.
Системы и совокупности неравенств
• 9.
• 10.
• 11.
1.Одним из фундаментальных понятий математики является понятие множества. Множество можно представить себе как совокупность (собрание) некоторых объектов, объединенных по какому либо признаку.
2. Множество может состоять из чисел (предметов) и т.д. Каждое число (предмет), входящее в множество, называется
элементом
множества. Так, множество однозначных чисел состоит элементов 0,1,2,3.4,5,6,7,8,9.
3. Для записи множества с любыми элементами используются фигурные скобки. Элементы множества можно записать в любом порядке; например, {2;3;1;} и {1;3;2} - это одно и то же множество, состоящее из чисел 1,2,3.
4. Чтобы отличать множества друг от друга, их обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например , А={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} -- множество однозначных чисел; число 4 принадлежит множеству А ( 4 ϵ А); число 20 множеству А не принадлежит (20 \ ϵ А)
5. Множество, которое не содержит элементов, называют пустым и обозначают символом Ø 6 .Из рис.1 видно, что каждый элемент множества М принадлежит так же и множеству К Если каждый элемент одного множества М является элементом другого множества К, то говорят, что множество М является
подмножеством
множества К Это выражается записью М К Рис.1
7.
Пустое множество Ø и само множество также считают подмножествами данного множества. Так, множество {1;2;3} имеет 8 подмножеств: Ø,{1},{2},{3},{1;2},{1;3},{2;3},{1;2;3} 9. Различают конечные и бесконечные множества.
Например, множество всех трехзначных чисел – конечное, а множество натуральных чисел – бесконечное.
N 8.
Если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В (A множества B) и каждый элемент множества В – элементом А (В A), то множества А и В называют равными и пишут А=В
1.
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадле жат каждому из данных множеств А и В (рис.2а). Пересечение множеств обозначают символом
∩
и пишут С= А
∩
В={x:x
ϵ
A и x
ϵ B}
Например,
А={1;2;5;7}, B={3;5;7;8
} Тогда пересечением Этих множеств служит множество
C={5;7}
Рис. 2а
A C B
2. Если множества А и В (рис.2б). не имеют общих элементов, то пересечением таких множеств является пустое множество С= А
∩
В=
Ø Например,
А={1;2;5}, B={3;4;7
} Тогда пересечением
Рис. 2б
В Этих множеств служит множество
C=
Ø
3.
Объединением
множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множеств А и В и только из них (рис.2в).
Объединение
множеств обозна чают символом
U
и пишут C= А U В={x:x
ϵ
A или x
ϵ B}
Например,
А={1;2;5;7}, B={3;5;7
} Тогда объединением Этих множеств служит множество
D={1;2;5;7;3}
Рис. 2в
A
C
B Если множества А и В имеют общие элементы, то каждый из этих общих элементов в объединение входит только один раз.
1. Если каждому элементу множества множества А В можно поставить в соответствие один и только один элемент множества один элемент множества В А и, наоборот, каждому элементу можно поставить в соответствие один и только , то такое соответствие между множествами А и В называется
взаимно однозначным.
Таким образом, эти два множества равносильны 2. Если между множествами А и В можно установить (ВОС), называются (равносильными).
взаимно однозначное соответствие то такие множества эквивалентными 3. Установление (ВОС) дает возможность сравнивать множества с бесконечным числом элементов. Например, между множеством
N натуральных чисел и множеством всех четных натуральных чисел можно установить (ВОС):
1 2 3 4 5 6 7 ………n 2 4 6 8 10 12 14 ……2n
1. Рассмотрим множество А делителей числа , например, 45 и множество В делителей числа 60, т.е.
А={1;3;5;9;15;45}; B={1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60 60 называются числа, являющиеся элементами как множеств: А ∩ В={1;3;5;15} } Общими делителями чисел 45 и множества А, так и множества В, т.е. элементы пересечения этих 2.
Наибольший из этих элементов ( число 15) называется наибольшим общим делителем и обозначается так : НОД (45,60)= 15
(НОД)
3. Если наибольший общий делитель чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми. Например, числа 16 и 25 – взаимно простые, так как НОД (16,25)=1.
4. Пример. Найти Д(126,540). Решение. Имеем: A={2;2;3;3;3;5} 540|2 126|2 270|2 63|3 B={2;3;3;7} 135|3 21|3 A ∩ B={2;3;3} 45|3 7|7 15|3 1 НОД=2*3*3=18 5|5 1
1. Рассмотрим множество А чисел, кратных 4, и множество В чисел кратных 6, т.е.
А={4;8;12;16;20;24,28,36…….}; B={6;12;18;24;30;36 …… } Числа 12, 24,36 являются кратными 4 и 6. Множество С общих кратных есть пересечение множеств А и В, т.е. С = А ∩В.
2.
Наименьший элемент множества С называется наименьшим общим кратным данных чисел и обозначается так НОК(4,6)=12
(НОК)
3. Пример. Найти НОК(270,300). Решение. Имеем: 270|2 300|2 135|3 150|2 45|3 75|3 15|3 25|5 5|5 5|5 1 1 A={2;3;3;3;5} B={2;2;3;5;5} AUB={2;2;3;5;5;3;3} НОК=2*2*3*5*5*3*3=2700
1. Функцией называется отношение f между множествами X и Y, при котором каждому элементу х элемент y функции ϵY. При этом используют запись y=f(x).
областью определения , а множество ϵ Х соответствует единственный Множество Х ( D(f))называется { y ϵY|y=f(x), х ϵ Х} - множеством значений функции E(f). 2.
Функцию называют так же отображением множества D(f) на множество E(f). Например, для функции f, заданной на рис.3а элементы a,b,c множества А отобража ются на элементы 1,2,3 множества В. При этом D(f )=А, а E(f)=В Для функции f, заданной на рис. 3б D(f)={b;c}, а E(f)={1;3}
A b a c B ` 1 2 3 а b c Рис 3 а Элементы множества D(f) также называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы множества Е(f) – значениями функции .
1 2 3
Теория множеств является управляющим инструментом для решения уравнений, систем , неравенств и их систем.
1.Уравнение с двумя переменными x и y имеет вид F(x,y)=g(x,y), где f и g выражения с переменными x и y.
2. Решением уравнения с двумя ( тремя и т.д.) переменными называют множество упорядоченных пар (троек и т.д.) значений переменных, обращающих это уравнение в верное равенство.
3. Если требуется найти все пары, тройки и т. д. чисел, являющихся решением всех данных уравнений, то множество этих уравнений называют системой уравнений. Например, 2
x xy
y
x
2 6 5 ,
x
2
x x
y z
x
2 2 1
z y
2 ,
x
2 ,
1.Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких неравенств, то говорят, что надо решить
систему неравенств
2. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется
решением системы неравенств .
2.Множество решений системы неравенств есть множеств решений входящих в нее неравенств.
пересечение 3.Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой. Иногда вместо фигурной скобки используется запись системы в виде двойного неравенства. Например систему: 3 3
x x
1 1 2 8 , Можно записать таким образом: 2<3x-1<8
x x
4.
Решение системы линейных неравенств с одной переменной сводится к следующим случаям:
a b
, (1)
x x
a b
, (2)
x
a
,
x
b
(3)
x x
a
,
b
(4) a В случае (1) решением системы служит промежуток (b,+ ∞ ) ( рис.4а); в случае (2) -- промежуток (a,b) ( рис.4б); в случае (3) решением системы служит промежуток ( ∞ ,a) ( рис.4в); В случае (4) система не имеет решений – Ø (рис.4
г
).
a) b a б) b В) a b a
г)
b
1 ,
x
2 4
x
5. Пример. Решить систему неравенств: Имеем
x
2 9
x
8 , 11 4
x
, 14 24 0 , 0 ( 1
x
, (
x
2 4
x х x x
2 9
x
8 , 4 6 , 14 , 11
x
2 3 )( 0 , )( 8
x
7
x
) ) 0 , 0 Для первого неравенства множеством решений служит промежуток (- ∞,6), для второго , используя метод парабол– промежуток (2,7), а для третьего объединение промежутков ( ∞,3] и [8,+ ∞). С помощью числовой прямой (рис.5) находим, что решением системы неравенств является пересечение указанных множеств т.е. числовой промежуток (2,3] 2 3 6 77 8 Рис.5
6. Если ставится задача найти множество всех таких значений переменной, каждое из которых является реше нием хотя бы одного из дан ных неравенств, то говорят, что надо решить совокупность неравенств .
7. Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств совокупности обращается в верное числовое неравенство, неравенств. называется решением совокупности Множество решений совокупности неравенств есть объединение множеств решений входящих в нее неравенств.
1/4 8. Пример. Решить совокупность неравенств 0 5 ,
x
2 ( 2 7
x
3
x
) 6
x
2 , Решение. Преобразовав каждое из неравенств, получим равно сильную совокупность: x>7/3, x>1/4. Для первого неравенства множеством решений служит промежуток (7/3, + ∞), а для второго – промежуток (1/4,+ ∞). помощью числовой прямой (рис.6) находим, что объединением этих множеств является промежуток С (1/4,+ ∞ ).
7/3 Рис. 6
Если задана система неравенств с двумя переменными
f f
1 2 ( (
x x
, ,
y y
) )
g g
1 ( 2 (
x x
, ,
y y
), ) то решением системы называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому из неравенств этой системы. Поэтому множество решений системы есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Это множество можно изобразить графически на координатной плоскости.
Пусть, например, задана система
x
2
x
y
3 2
y
2 0 , Для первого неравенства множество решений есть круг с радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго - полуплоскость, расположенная над прямой 2x+3y=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств , т.е. полукруг рис 7
Рис.7
0 Y Множество решений данной системы неравенств -- полукруг
X 2 +y 2 =2 x 2x+3y=0
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1 какие числа относятся ко множеству N 2. Всегда ли выполнимо вычитание на множестве N 3. Что значит умножить число а на число b 4. Приведите примеры множеств 5. Вместо звездочки поставьте знак : ϵ , / ϵ , так , чтобы полученная запись была верной : а) {3;7}*{7;8;3} ; б) 7*{3;7;8}; в) Ø * {0;1;2}; г){3;4}*{3;4} д)5*{1;10;15) 6. Запишите множество натуральных чисел , расположенных между числами 10, и 16. Какое из чисел 0, 1, 10, 13, 20 принадлежит ( не принадлежит) этому множеству . Используйте соответствующие знаки.
два треугольника так, чтобы их пересечением был отрезок, а объединением --четырехугольник.
8. Начертите две концентрические окружности , найти их пересечение и объединение.
1) 3) 5) 7)
9) Решить системы уравнений
2
x x
3
y y
5 2 2) 3
x x
2 2 2
xy
3
xy
2 160
y
2 8
x
2
xy
36
xy
y
2 45 4) 6)
x x
2 3
y
2
y
10 100 2
x
2
x
2
y
2
y
2
x
2
x y
y
2 4
x x
2
y
y
2 2 100
x x
3
y
y
3 5 35 8)
x
3
y
3 8
x
2
y
2 4
1)
x
2 13
x
10 . Решить неравенства , системы и совокупность неравенств 3
x x
2 18 42 0 2)
x
2 3 3
x
4
x
5 0 3)
x x
2 2
x
x
64 4 1 4)
x
1 3 Совокупность неравенств 5) 2
x
3
x
3 2 1 6) 3
x
1
x
/ 2 2 ; 2
x
3
x
/ 4 1 ; 3
x
2 4
x
Ответ к заданию № 7 Объединение пересечение Ответ к заданию № 8 Объединение пересечение
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ 9 И 10
9.2 (-2;-4) , (10;0) 9.3 (8;2), (-8;-2),(-5;8,5),(5;-8,5) 10.1 -3=