Transcript M05-perbandingan2elemen

PERBANDINGAN DUA ELEMEN
Harni Kusniyati
Perbandingan Dua Elemen
1
Dalam relasi Partial Order, dua buah elemen x dan y
yang berrelasi dapat dibandingkan (comparable).
Jika semua elemen dapat dibandingkan, maka relasi
Partial Order tersebut disebut Relasi Total Order
Perbandingan Dua Elemen
2
Misal ( A, ≤ ) adalah POSET (Partially Ordered Set), maka
1). Suatu elemen a A disebut Elemen Maksimal bhb (bila
dan hanya bila)
a ≥ semua elemen yang comparable dengan a.
( a A, a = Elemen Maksimal)
2). Suatu elemen a A disebut Elemen Terbesar bhb (bila dan
hanya bila)
a ≥ semua elemen dalam A.
( a A, a = Elemen Terbesar)
3). Suatu elemen a A disebut Elemen Minimal bhb (bila dan
hanya bila)
a ≤ semua elemen yang comparable dengan a.
( a A, a = Elemen Minimal
Perbandingan Dua Elemen
3
4). Suatu elemen a A disebut Elemen Terkecil bhb (bila
dan hanya bila)
a ≤ semua elemen dalam A.
( a A, a = Elemen Terkecil)
Perbandingan Dua Elemen
4
Contoh:
Misal A = { a, b, c, d, e, f, g, h, i }. Relasi Partial
Order didefinisikan pada himpunan A atau (A, ≤)
dalam diagram Hasse di bawah ini. Carilah elemen
maksimal, minimal, terbesar dan terkecil !
Perbandingan Dua Elemen
5
Jawab:
Elemen maksimal = g
Elemen terbesar = g
Elemen minimal = c, d dan i
Elemen terkecil tidak ada. Sebab:
c bukan elemen terkecil, karena c ≤ d
Perbandingan Dua Elemen
6
BATAS ATAS & BATAS BAWAH
Misal a,b Poset (A, ≤)
1). c  A, c = batas atas dari a & b bhb a ≤ c & b ≤ c.
c  A, c = batas atas terkecil (Least Upper Bound
(LUB)) dari a & b bhb
a). c batas atas dari a & b,
b). Jika d batas atas dari a & b yang lain, maka c ≤ d.
2). c  A, c = batas bawah dari a & b bhb c ≤ a & c ≤ b
c  A, c = batas bawah terbesar (Greatest Lower
Bound (GLB)) dari a & b bhb
a). c batas bawah dari a & b,
b). Jika d batas bawah dari a & b yang lain, maka d ≤ c
Perbandingan Dua Elemen
7
Contoh 1:
Diketahui himpunan A = { 2, 3, 6 } dan Poset (A,”|”).
Cari batas atas (b.a), b.a.t, batas bawah (b.b), b.b.t
dari: ( 3 & 6) dan (2 & 3)
Perbandingan Dua Elemen
8
Contoh 2:
Carilah batas atas (b.a), b.a.tk, batas bawah (b.b),
b.b.tb dari c & d pada diagram Hasse Poset berikut
ini:
Perbandingan Dua Elemen
9
Perbandingan Dua Elemen
10
Contoh 3:
Carilah batas atas (b.a), b.a.t, batas bawah (b.b), b.b.t dari
f & g pada diagram Hasse Poset berikut ini:
Perbandingan Dua Elemen
11
Perbandingan Dua Elemen
12
LATEKS ( LATTICE )
Berdasar konsep b.a.t dan b.b.t, didefinisikan LATTICE
sebagai berikut:
Suatu Poset (A, ≤) disebut LATTICE apabila
setiap dua elemen Poset (A, ≤) mempunyai
b.a.t & b.b.t.
Perbandingan Dua Elemen
13
Contoh:
Tentukan apakah Poset yang dinyatakan dengan
diagram Hasse di bawah ini merupakan Lattice !
Perbandingan Dua Elemen
14
Jawab:
(a). Lattice, sebab setiap dua Titik mempunyai b.a.t dan
b.b.t.
(b). Bukan Lattice, sebab b.a.t dari a & b tidak ada.
(c). Bukan Lattice, sebab b.a.t dari c & d tidak ada,
( b ≤ a ).
(d). Lattice, sebab setiap pasang titik mempunya b.a.t &
b.b.t.
Perbandingan Dua Elemen
15
Latihan 1
Perbandingan Dua Elemen
16
Perbandingan Dua Elemen
17
Perbandingan Dua Elemen
18
Perbandingan Dua Elemen
19
d). Untuk elemen 4 dan 6 :
batas atas (b.a.) : 24, jadi b.a.t nya juga 24
batas bawah (b.b.) : 2, jadi b.b.t nya juga 2.
Perbandingan Dua Elemen
20
Perbandingan Dua Elemen
21
LATIHAN
Perbandingan Dua Elemen
22
Perbandingan Dua Elemen
23