Transcript Warteschlangen Modelle

Warteschlangen
Modelle
Marie-Therese Stumberger
Bettina Totz



Dynamik von Warteschlangen
Eins der besten Beispiele:
Disney World
Konstruktion, Kapazitäts- und
Layoutplanung, Verwaltung des
Inventars, Zeitablaufplanung
(scheduling)
Warum sich
Warteschlangen bilden



Warten auf Bedienung
Menschen, Maschinen,
Verkaufsaufträge
Momentane Unausgeglichenheit
zwischen Nachfrage und Kapazität
Beispiel (Bank)



15 Kunden kommen in einer Stunde an
20 Kunden können bedient werden
Mittlere Bedienrate >
mittlere Ankunftsrate
=> trotzdem Warteschlange
Struktur von
Warteschlangen-Problemen




Input – Customer Population
Warteschlange von Kunden
Bedieneinrichtung
Prioritätsregel
Customer
population
Bediensystem
Warteschlange
Prioritätsregel
Bedieneinrichtung
Bediente Kunden
Customer Population




Quelle für den Input des
Bediensystems
Endliche Inputquelle
Unendliche Inputquelle
Geduldige/ungeduldige Kunden
Das Bediensystem

Anzahl der Bedienungskanäle
Bedieneinrichtungen
Bedieneinrichtungen
Einzelne Schlange
Mehrere Schlangen
Ausstattung der Bedieneinrichtung



Personal, Betriebsmittel
Optimale Ausstattung
Abhängig von Kundenanzahl und der
Art der angebotenen Leistung
Einzelner oder mehrere Arbeitsschritte
Prioritätsregel




FCFS – First come, first serve
SPT – shortest expected processing
time
EDD – earliest promised due date
Prä-emptiv
Verwendung von WarteschlangenModellen zur Analyse von
Arbeitsabläufen (operations)


Vorteile der Effizienzsteigerung vs.
dadurch entstehende Kosten
Kosten durch das Nichtverbessern
Betriebseigenschaften des Systems
1.
2.
3.
4.
5.
Schlangenlänge
Anzahl der Kunden im System
Wartezeit
Gesamte Zeit im System
Nutzung der Bedieneinrichtung
Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Ankunftszeiten folgen oft einer
Poissonverteilung:
PN T   n 

T n
n!
e
 T
für n=0,1,2,…
Erwartungswert u. Varianz sind λT
Beispiel (Kundenbüro)

Wie groß ist die Ws., dass in der
nächsten Stunde 4 Kunden kommen?
– Ankunftsrate:
– Zeitperiode:
– Anzahl der Kunden:
 PN 1  4 
2
λ=2
T=1
n=4
4
4!
e
2

2
3
e
2
 0,090

Ankunftszeiten – Poissonprozess
=> Zwischenankunftszeiten
exponentialverteilt
Pt  T   1  e
 T

Bedienzeiten oft exponentialverteilt
Px  T   1  e


Mittlere Bedienzeit:
Varianz:
 T
E x  
Var x  
1

1
2
2
1.8
λ=2
λ=1
λ=0,5
1.6
1.4
1.2
1
0.8
Dichtefunktion der
Exponentialverteilung
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
1
0.9
0.8
0.7
0.6
λ=2
λ=1
λ=0,5
0.5
Verteilungsfunktion der
Exponentialverteilung
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Beispiel (Kundenbüro)

Wie groß ist die Ws., dass ein Kunde
weniger als 10 min Bedienzeit hat?
– Bedienrate: μ=3
– Zeitperiode: T=1/6
 Pt 
1
6
  1 e
3
1
6
1
 1  e 2  0,39



Gedächtnislosigkeit
A/B/s
M/M/s (memoryless)
Single-Server Model (M/M/1)





Customer Population unendlich
Kunden geduldig
Ankunft poissonverteilt
Bedienzeiten exponentialverteilt
FCFS
Warteschlange unbeschränkt
Operative Eigenschaften


Auslastung des Systems

Pn  (1   ) 
L

 
Lq  L
W 
n
Ws., dass n Kunden im System sind (
Wq  W
n
1)
mittlere Anzahl an Kunden im System
mittlere Anzahl an Kunden in der Warteschlange
1
 
P
mittlere Zeit im System
mittlere Wartezeit
Beispiel (Supermarkt)



Eigene Kassa für Senioren
30 Kunden/Stunde bezahlen
35 Kunden bedienen



L

30
 0,857
Der Kassier ist 85,7% seiner Zeit beschäftigt.
35

 

30
35  30
6
Lq  L  0,857  6  5,14
W 
1
 

1
35  30
 0,20
Im Schnitt sind 6 Senioren im System.
Im Mittel warten 5,14 Kunden auf ihre
Bedienung.
Im Schnitt verbringen die Kunden 12
Minuten im System.
Wq  W  0,857  0,2  0,17 Die mittlere Wartezeit beträgt gute 10 Minuten.

Welche Bedienrate wäre notwendig, so
dass die Kunden nur 8 min im System
sind?
W 
1
 


1
W
 
1
0,133
 30  37,52

Wie hoch ist dann die Ws., dass mehr
als 4 Kunden im System sind?
P(n  4)  1  P(n  4)
4
4
P  1   Pn  1   (1   ) 
n 0
mit

n 0
30
37,52
 0,80
n
 1  0,672  0,328

Welche Bedienrate wäre notwendig, so
dass diese Ws. Nur 10% beträgt?
P  1  (1   )(1         )  
2
1
1
   P 5  (0.10) 5  0,63




30
0,63
 47,62
3
4
5
Multiple-Server Model (M/M/s)




Wählen einen der Bedienungskanäle,
wenn einer frei ist
Ein Arbeitsschritt
Gleiche Annahmen wie bei M/M/1
Zusätzlich: Bedienungskanäle identisch
Operative Eigenschaften


s
Auslastung des Systems
 s 1 1    n 1    s  1 

P0        
s!     1   
 n 0 n!   

 1   n
   P0
 n!   
Pn  
s
 1 
  P0

ns 

 s! s
1
für 0  n  s
für
ns
Ws., dass kein Kunde
im System ist
Wahrscheinlichkeit, dass n
Kunden im System sind
s
1

Lq   
P0
2
s!    (1   )
Wq 
Lq
mittlere Wartezeit

W  Wq 
L  W
mittlere Anzahl an Kunden in
der Warteschlange
1

mittlere Zeit im System
mittlere Anzahl an Kunden im System
Beispiel (Verladestation)





4 Ablade-Stationen
Pro Station ein Arbeitsteam - $30/h
Verlust - $50/h
3 LKWs pro Stunde
Team benötigt 1 Stunde fürs Ausladen
Wie hoch sind nun die stündlichen
Kosten dieses Betriebs?


s

3
1 4
 0,75
 s 1 1    n 1    s  1 

P0        
s!     1   
 n 0 n!   

s
Lq 
Wq 
1

81 
1

 13 


24  1  0.75 

1

81
0,75
 
P

0,0377  1,53
0
2
2
s!    (1   )
24 (1  0,75)
Lq

W  Wq 

1,53
 0,51
3
1

 0,51  1  1,51
1
 0,0377
 L  W  3  1,51  4,53
Lohnkosten
LKWs im System
$30∙s=$30∙4 = $120,00
Verlust der LKWs
$50∙L=$50∙4,53 = $226,50
Gesamte Kosten/Stunde
$346,50
Finite-Source Model

Gleiche Annahmen wie Single-Server
außer:
Customer Population endlich (N)
Operative Eigenschaften
n
N
 
N
  
P0  
 n 0 ( N  n)!    
LN
Ws., dass kein Kunde im System ist
Auslastung des Systems
  1  P0
Lq  N 
1




(1  P0 )
(1  P0 )
mittlere Anzahl an Kunden in
der Warteschlange
mittlere Anzahl an Kunden im System
Wq  Lq ( N  L) 
1
mittlere Wartezeit
1
W  L( N  L) 
mittlere Zeit im System
Beispiel (Roboter)





10 Roboter in Betrieb
Zeit zwischen Ausfälle: 200 Stunden
Pro Stunde Ausfall Kosten von $30
10 Stunden für Reparatur
Arbeiter bekommt $10/h
Wie hoch sind nun die täglichen Kosten für den
Arbeiter und der ausgefallenen Maschinen?

1
 0,005
Ausfälle pro Stunde
200

1
 0,10
Roboter werden pro Stunde bedient
10


N
 
P0  
 n 0 ( N  n)!   
N
  1  P0  0,462
n



1

10
 0,005 
 


 n 0 (10  n)!  0,10 
10
oder 46,2%
n



1
 0,538
Lq  N 
LN



(1  P0 )  10 

(1  P0 )  10 
Wq  Lq ( N  L) 
1
W  L( N  L) 
1
0,105
0,462  0,30
0,005
0,10
0,462  0,76
Roboter in der
Warteschlange
Roboter im System
0,005
 0,309,24  0,005
1
 0,769,24  0,005
1
 6,49
 16,45
Stunden Wartezeit
Stunden im System
Lohnkosten
$10∙8∙0,462 = $ 36,96
Verlust durch Ausfall
$30∙8∙0,76 = $182,40
Gesamte Kosten/Tag
$219,36
Entscheidungsbereich des
Managements
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ankunftsrate
Anzahl der Bedienungseinrichtungen
Anzahl der Arbeitsschritte
Anzahl der Bediener pro Bedieneinrichtung
Effizienz der Bediener
Prioritätsregel
Anzahl der Warteschlangen