Transcript Wie sieht unser Universum aus ?

Wie sieht unser
Universum aus ?
Überlegung
aus der Sicht der Mathematik
Die Poincaré-Vermutung besagt:
Analog zur 2 Mannigfaltigkeit ist
auch jede 3 - Mannigfaltigkeit, auf der
alle Schleifen nullhomotop sind,
bereits der 3 - Sphäre äquivalent.
Henri Poincaré: Mathematiker 1854 - 1912
Diese Vermutung wurde erst 1 Jhdt später bewiesen durch den
Mathematiker Grigori
Perelman (2002 bzw. 2006)
Was bedeutet diese
Vermutung?
Analog zur 2 - Mannigfaltigkeit ist
auch jede 3 - Mannigfaltigkeit, auf
der alle Schleifen nullhomotop sind,
bereits der 3 - Sphäre äquivalent.
Was ist eine Mannigfaltigkeit?
Man könnte sagen: Der
Rand
Er kann endlich aber auch
unendlich sein.
0 - D Rand
Die beiden Endpunkte der Strecke ist eine 0 - D
Mannigfaltigkeit (endlich) und heißt 0 - Sphäre.
Diese 0 - D Mannigfaltikeit ist aber in
einem um 1 Dimension höheren Raum
eingebettet.
(Gerade = 1D)
1 - D Ränder
Gerade =Mannigfaltigkeit
(unendlich)
Kreisfläche
Kreis =Mannigfaltigkeit
(endlich)
Wird auch als 1 - D Sphäre
bezeichnet
Diese 1 - D Mannigfaltigkeiten sind
aber in einem um 1 Dimension
höheren Raum eingebettet.
(Ebene = 2D)
2 - D Ränder
Es gibt unendlich viele Mannigfaltigkeiten (=Ebenen), die den
Raum teilen (Ihre Flächen sind unendlich).
Es gibt aber nur 3 Typen von
Mannigfaltigkeiten, die endlich sind:
2 - D Sphäre
(=Oberfläche einer
Kugel)
(endlich)
Krümmung positiv
Torus
(=Quadrat)
(endlich)
Keine Krümmung
Sattelfläche
(endlich)
Krümmung negativ
Warum gibt s nur diese 3 verschiedenen Mannigfaltigkeiten in 2 - D?
Diese 2 - D Mannigfaltikeiten sind aber
in einem um 1 Dimension höheren
Raum eingebettet.
(Raum = 3D)
Aus 2 Exemplaren (=Kreisflächen), die die 1 - D Sphären (=Kreise) eingegrenzt
haben, können wir diese mit Verformen (= Ausbeulen) zu einer 2-D Sphäre
(Kugeloberfläche) machen.
Wir kleben die zwei 1 - D Sphären (=Kreise) an allen äquivalenten Punkten
zusammen.
Aus 2 Exemplaren (=Kugel), die die 2 - D Sphären eingegrenzt haben, können
wir diese mit Verformen (= Ausbeulen) zu einer 3 - D Sphäre machen.
Wir kleben die zwei 2 - D Sphären (=Kugeloberflächen) an allen gleichen
Punkten zusammen.
Was bedeutet diese
Vermutung?
Analog zur 2 -Mannigfaltigkeit ist
auch jede 3 -Mannigfaltigkeit, auf
der alle Schleifen nullhomotop sind,
bereits der 3 -Sphäre äquivalent.
Wie kann man erkennen auf welcher
Mannigfaltigkeit, die in einer um einer
Dimension höheren Dimension
eingebettet ist als sie selbst, man
sich befindet?
In 2 - D
Nullhomotop ------ 1 - D Sphäre
In 3 - D
Nullhomotop ------ 2 - D Sphäre
In 3-D
Nicht Nullhomotop ------ 2 - D Torus
In 3 - D
Nicht Nullhomotop ---- 2 - D Doppel - Torus
Was bedeutet diese
Vermutung?
Analog zur 2 - Mannigfaltigkeit ist
auch jede 3 - Mannigfaltigkeit, auf
der alle Schleifen nullhomotop sind,
bereits der 3 - Sphäre äquivalent.
Was bedeutet das für die
Form unseres Universums?
Aus der Geschichte sollte man lernen!
Man glaubte:
Die Erde ist eine Scheibe, da sie flach ist und begrenzt ist.
Man konnte sich nicht vorstellen, dass ein Fläche unbegrenzt
und doch endlich groß sein kann.
(Die Krümmung im Raum konnte man nicht erkennen!)
Wie kann ich erkennen, ob ich auf einer
2 - D Sphäre lebe?
Ich mache einen Kreis und messe sowohl Durchmesser als auch Umfang
und vergleiche!
Wie kann ich erkennen, ob ich auf einer 3 - D
Sphäre lebe?
Ich nehme einen Kreiselkompass und mache mit ihm eine Kreisreise. Wenn
ich beim Ausgangspunkt angekommen bin muss der Kreiselkompass wieder
in die gleiche Richtung zeigen!
Wie schaut es in verschiedenen Dimensionen
aus, wenn ich mich auf einer 2 - D Sphäre
bewege?
Wenn ich mich immer in dieselbe Richtung bewege, komme ich wieder am
Ausgangspunkt an!
Wie schaut es aus, wenn ich mich auf einem
Torus bewege?
In 2 - D:
A
B
http://www.geometrygames.org/
TorusGames/index.html
Wie schaut es in 3 - D aus, wenn ich mich auf
einer 3 - D Sphäre bewege?
Wenn ich mich immer in dieselbe Richtung bewege, komme ich
wieder am Ausgangspunkt an!
Wie kann ich erkennen in
welchem Universum wir
leben?
In einer 3 - D Sphäre:
Wenn das Universum endlich und nicht zu
groß ist, müssten wir rundherum blicken
können.
Ein und dasselbe Gebilde müsste nicht nur 1
Mal zu sehen sein. (Statistisches Problem Kosmische Kristallographie)
In einer 3 - D Sphäre:
Geschlossene Schleifen, die sich nicht auf
einen Punkt schrumpfen lassen, müssten
sich im Paarverteilungshistogramm (math.
Werkzeug zur Suche nach Periodizität) als
Spitzen zeigen.
Das Fehlen solcher Spitzen würde darauf
schließen lassen, dass unser Universum
einfach zusammenhängend ist.
In einer 3 - D Sphäre:
In einem einfachen nicht
zusammenhängenden Universum
müssten die so genannten „letzten
streuenden Oberflächen“ entlang ihrer
Schnitte blasse Kreise bilden. Auf Grund
der Anordnung der Kreise könnte man auf
die Form des Universums schließen. Bis
jetzt wurden trotz intensiver Suche keine
Kreise gefunden. (Entweder das
Universum ist zu groß oder einige
„rauschende“ Quellen überlagern die
Seifenblasennebel
Keise.)
Die neuesten astronomischen Beobachtungen
weisen darauf hin, dass die durchschnittliche
Krümmung unseres Universums dicht bei Null
liegt.
Würde für einen Hypertorus (Torus in 3 - D)
sprechen!
Auf Grund von Perelmans Arbeit wissen wir,
dass das Universum positiv gekrümmt sein
muss, wenn es nur eine endliche Anzahl von
nicht äquivalent geschlossenen Schleifen gibt.
Wie soll man das aber beweisen?
Ob das Universum eine 3 - Sphäre ist, die in
einem 4 - D Raum eingebettet ist oder ob noch
mehr Dimensionen involviert sind, wie die
Stringtheoretiker glauben, wird sicher noch
nicht so schnell geklärt werden können.
Hauptproblem:
Menschen können sich keine 4 - D Gebilde
vorstellen.
HP