Transcript Note Matematice cu privire la aplicatii ale teoremei Lagrange

NOTE MATEMATICE
CU PRIVIRE LA UNELE APLICAŢII ALE GENERALIZĂRII TEOREMEI
LUI LAGRANGE
În cele ce urmează se va folosi o generalizare
a teoremei lui Lagrange pentru demonstrarea
unor inegalităţi. Vom demonstra, mai întâi, o
generalizare a teoremei creşterilor finite.
Fie
,
,
,
Dacă
1. f este continuă pe
,
2. f este derivabilă pe
,
3.
,
atunci există, cel puţin, un punct
,
,
cu
,
.
, astfel încât:
(1)
Demonstraţie. Se consideră funcţia
,
. Cum este
funcţie Rolle pe
, k urmează a fi determinat astfel încât
adică,
de unde:
(2)
Pentru această valoare a lui k, funcţia h verifică ipotezele teoremei lui Rolle.
Atunci există cel puţin un punct
astfel încât
.
Cum
rezultă
de unde:
(3)
Din (2) şi (3) rezultă:
(4)
Cum dreapta AB are ecuaţia
atunci
care introdusă în (4) dă:
de unde
de unde
de unde
şi punctul
,
, relaţie
adica:
, adica relatia (1).
Interpretarea geometrică a generalizării teoremei lui
Lagrange
Dacă
, satisface condiţiile 1., 2., 3., atunci există cel puţin un
punct
astfel încât tangenta la graficul funcţiei în punctul
întâlneşte coarda AB în
(fig. 1).
Observaţii.
1) Dacă
, atunci tangenta în punctul
la graficul funcţiei şi
coarda AB se întâlnesc pe axa Oy (fig. 2) şi se obţine teorema lui
D. Pompeiu prezentată într-o comunicare la Congresul al III-lea al
matematicienilor români din anul 1945:
Fie
,
. Dacă:
a) f este continuă pe
,
atunci există cel puţin un punct
b) f este derivabilă pe
astfel încât:
2) Dacă
, atunci tangenta în punctul
coarda AB se întâlnesc pe axa Ox (fig. 3), adică
(6)
,
(5)
la graficul funcţiei şi
şi relaţia (4) devine:
Ca şi în cazul teoremei lui Lagrange se poate găsi un număr mare de
inegalităţi care să aibă la bază această generalizare.
Dificultatea demonstrării acestora constă în găsirea funcţiei
şi a punctului
pe care le-a considerat propunătorul.
Exemple
1. Dacă 0< a< b
, atunci
Soluţie. Fie
,
Din (5) rezultă că există
.
,
care este funcţie Rolle pe
astfel încât:
.
, de unde:
.
Cum funcţia
,
este strict descrescătoare pe
rezulta:
de unde:
de unde:
,
, adică relaţia cerută.
şi
2. Dacă
, atunci
Soluţie. Fie
rezultă că există
,
.
, care este funcţie Rolle pe
. Din (6)
, astfel încât:
adica:
Fie funcţia
,
descrescătoare pe intervalul
,
. Cum
deci
este strict
rezultă:
3. Dacă
, atunci
.
Soluţie. Fie
,
, care este funcţie Rolle pe
rezultă că există
astfel încât
.
Fie funcţia
,
crescătoare pe intervalul
Cum
rezultă
adică tocmai relaţia cerută.
,
, deci
.
de unde:
. Din (5)
este strict
4. Fie
,
, atunci
Soluţie. Fie
,
Din (6) rezultă că există
Fie funcţia
Cum
rezultă
adică relaţia cerută.
,
.
care este funcţie Rolle pe
, astfel încât:
.
care este strict crescătoare pe intervalul
de unde:
5. Dacă
, atunci:
Soluţie. Fie
,
Din (5) rezultă că exista
Fie funcţia
,
descrescătoare pe intervalul
adică relaţia cerută.
, care este funcţie Rolle pe intervalul
, astfel încât:
,
. Avem:
deci
este strict
.
6. Dacă
Soluţie. Fie
, atunci
,
Din (6) rezultă că există
.
, care este funcţie Rolle pe intervalul
, astfel încât:
adică
Fie funcţia
,
descrescătoare pe intervalul
adică relaţia cerută.
,
. Avem:
, deci
este strict
7. Dacă
, atunci:
Soluţie. Fie
,
Din (5) rezultă că există
Fie funcţia
,
strict crescătoare pe intervalul
adică relaţia cerută.
, care este funcţie Rolle pe intervalul
astfel încât:
. Cum
. Avem:
, atunci
este
8. Dacă
, atunci
Soluţie. Fie
,
Din (6) rezultă că există
Fie funcţia
,
descrescătoare pe intervalul
adică relaţia cerută.
, care este funcţie Rolle pe intervalul
astfel încât:
. Cum
. Avem:
, atunci
.
este strict
9. Dacă
, atunci:
Soluţie. Fie
,
Din (6) rezultă că există
Fie funcţia
strict descrescătoare pe
care este funcţie Rolle pe intervalul
astfel încât:
,
şi
,
, avem:
. Cum
.
este
adică relaţia cerută.
Bibliografie
[1] C. Avădanei, N. Avădanei, C. Borş, C. Ciurea, De la matematica
elementară spre matematica superioară, Editura Academiei, Bucureşti,
1987.
[2] V. Nicula, Analiza matematică, Editura Teora, Bucureşti, 1997.
[3] Gh. Sireţchi, Calcul diferenţial şi integral, vol. I, II, Editura ştiinţifică şi
.
Enciclopedică, Bucureşti, 1985
LAVINIA RAD – XII G
COLEGIUL NATIONAL “M.EMINESCU”
prof. coordonator CARMEN DELCEA