Transcript Medidas de Ángulos - Colegio Bosquemar

Sistemas de medida para ángulos
Para medir ángulos se dispone de tres sistemas de medida, que son:
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Sistema absoluto
Cada uno de estos sistemas posee su propia unidad de medida,
sólo estudiaremos aquí el primer sistema:
La unidad de medida del sistema sexagesimal es el grado
sexagesimal, y cada grado se subdivide en minutos
sexagesimales y cada minuto se subdivide el segundos
sexagesimales
Sistemas de medida para ángulos
Grado sexagesimal: se define como la medida de un ángulo central
que subtiende un arco de longitud igual a la trescientos sesenta ava
parte de la longitud de la circunferencia.
Lo que se entiende por un ángulo central se muestra en la siguiente
figura:
B
O
Ángulo central
A
arco
Sistemas de medida para ángulos
Un grado sexagesimal se denota por : 1º
Es así que si nos referimos a 30 grados sexagesimales, esto se denota
por 30º , de la misma forma se denota cualquier otro valor
Cada grado sexagesimal se subdivide en sesenta partes iguales ,
llamados minutos sexagesimales, lo que se denota por :
1º = 60’
Donde la comilla que acompaña al lado derecho del sesenta
nos dice que la medida está dada en minutos
Entonces, para denotar 36 minutos, esto se escribe 36’,
de la misma forma se denota cualquier otro valor
Sistemas de medida para ángulos
Cada minuto sexagesimal se subdivide el 60 partes iguales,
donde cada una de estas partes se llaman segundo
sexagesimal. Lo que se denota por:
1’ = 60’’
La doble comilla a la derecha del sesenta dice que la medida
se refiere a segundo sexagesimal
Es así, entonces, que la equivalencia entre las diferentes unidades
de medida del sistema sexagesimal está dada por:
1º = 60’ = 3600’’
Lo que en palabras se lee “ un grado es igual a sesenta minutos e
igual a tres mil seiscientos segundos”
OBSEVACIÓN IMPORTANTES: De aquí en adelante el grado
sexagesimal lo llamaremos simplemente grado
LA GRAN PREGUNTA
¿ QUÉ SE ENTIENDE POR MEDIR
UN ÁNGULO?
LA GRAN RESPUESTA
Cuando se habla de medir un ángulo se refiere a medir
la mayor o menor abertura de los lados del ángulo
Para medir los ángulos existe un instrumento que se llama
transportador, se caracteriza por tener una reglilla en
semicírculo donde aparecen las medidas sexagesimales
para ángulos, es decir, los grados, minutos y segundos.
Este instrumento lo estudiaremos a continuación:
EL GRAN INSTRUMENTO
El transportador
¿CÓMO SE USA?
Punto cero
O
Todo transportador posee un punto central O el que corresponde al
centro del semicírculo de la reglilla, y un punto cero.
Este punto central O siempre se debe hacer coincidir con el vértice
del ángulo que se desea medir, ver figura:
¿CÓMO SE USA?
Además de hacer
coincidir el vértice del
ángulo AOB con el
centro O del
transportador se debe
hacer coincidir el lado
OA con el punto cero
del transportador.
Al observar el lado OB
del ángulo AOB se ve
que pasa por el lugar
de la reglilla que marca
30º.
Es así entonces, que la
medida del ángulo AOB
es de 30º
B
O
A
¿Cuál es la forma de denotar la
medida de un ángulo?
Existen muchas maneras de escribir en forma abreviada la medida
de un ángulo, se usará aquí la siguiente notación:
Medida del ángulo AOB = m AOB
LA GRAN PREGUNTA 2
¿ y esto cómo sigue?
Se continua con el estudio de los ángulos, requisito que es
fundamental para lograr una clasificación más precisa de
ellos. Luego “la medida”pasa a ser el punto de partida en el
estudio tanto de los polígonos como de los poliedros.
CLASIFICACIÓN DE LOS
ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA
ÁNGULO RECTO
ÁNGULO EXTENDIDO
ÁNGULO COMPLETO
ÁNGULO AGUDO
ÁNGULO OBTUSO
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Veamos la definición de cada una de estos ángulos, desde el
punto de vista de su medida.
Ángulo recto
Aquel ángulo que al ser medido, mide 90º, es llamado ángulo
recto. Ver figura:
B
O
A
Ángulo extendido
Se dijo que el ángulo extendido era igual a dos ángulos
rectos, y como un ángulo recto mide 90º, es claro que el
ángulo extendido debe medir 180º, ya que su medida
debe ser igual al doble del ángulo recto.
B
O
A
Ángulo completo
El ángulo completo es igual a cuatro ángulos rectos, lo que
nos lleva a pensar que la medida de éste ángulo es igual
360º, que es justamente igual a cuatro veces 90º.
Entonces, un ángulo completo puede definirse como aquel
ángulo cuya medida es igual a 360º
O
B
A
Ángulo agudo
Se dijo que el ángulo agudo era menor que un ángulo
recto, razón por la cual éste ángulo debe medir menos de
90º, es decir, que la medida debe estar comprendida entre
los 0º y 90º
B
0º < m AOB < 90º
En este caso:
O
A
m AOB = 35º
Ángulo obtuso
Un ángulo cualquiera se llama ángulo obtuso cuando
y sólo cuando su medida está entre 90º y 180º, lo que
se denota:
90º < m AOB < 180º
B
O
A
En este caso la medida del ángulo AOB se denota
por :
m AOB = 135º
Ángulos complementarios
Recordemos que los ángulos complementarios son aquellos pares
de ángulos consecutivos cuyos lados no común son
perpendiculares entre sí.
Dos ángulos se dice que son complementarios cuando y sólo
cuando la suma de sus medidas es 90º.
Es así, entonces, que si la medida de un ángulo AOB es 30º, su
ángulo complementario CDE debe medir 60º , lo que
simbólicamente se denota por:
m AOB + m CDE = 90º
30º + 60º
= 90º
Esto mismo se puede denotar de la siguiente manera:
Ángulos complementarios
m AOB = 90º - m CDE = 90º - 60º
O bien :
m CDE = 90º - m AOB = 90º - 30º
E
B
C
O
A
D
Ángulos complementarios
Al observar los dos ángulos presentados anteriormente, se
puede ver que los lados OA y DE son perpendiculares
entre sí, tal como se muestra en la figura:
E
C
B
D
O
A
Ángulos suplementarios
Se dijo que dos ángulos eran suplementarios cuando ellos eran
adyacentes, y además se dijo que este concepto también
estaba asociado con la medida de los ángulos.
Veamos esto de la siguiente forma:
Consideremos dos ángulos adyacente AOB y BOC , tal como
lo muestra la figura:
B
C
O
A
Nótese que los lados OA y OC están sobre la recta CA
y cuando esto ocurre se dice que el ángulo AOC es un
ángulo extendido, es decir,
m AOC = 180º
Ángulos suplementarios
B
C
A
O
Al igual que para los ángulos complementarios, veamos
esto de la siguiente forma:
m AOB + m BOC = 180º
45º +
135º
= 180º
Ángulos suplementarios
B
C
O
A
m AOB = 180º - m BOC = 180º - 135º = 45º
m BOC = 180º - m AOB = 180º - 45º = 135º
Es importante destacar, al igual que para ángulos complementarios,
los ángulo suplementarios no necesariamente son consecutivos,
sino que pueden presentarse de la siguiente forma:
Ángulos suplementarios
B
C
O
B
A
Al observar este dibujo es posible afirmar que para que dos
ángulos sean suplementarios sólo se requiere que ellos, los
ángulos, sumen 180º o formen lo que se llama un par lineal
Igualdad de ángulos
Hemos podido hasta aquí tener claro lo que se entiende por
ángulo, hemos podido clasificarlos, ya sea considerando sus
características más importante, como también la medida de ellos.
Lo anterior sólo nos permite establecer una comparación de tipo
más bien general, es decir, cuando estamos en presencia de dos
ángulos, ellos pueden ser iguales o distintos.
Al decir que los ángulos son iguales, quiere decir que sus
medidas son iguales, o bien que ellos son congruentes,
concepto este último relacionado sólo con las figuras
geométricas
Si los ángulos son distintos, ellos pueden ser uno mayor o
menor que el otro, esto último sólo se puede establecer
cuando es posible conocer sus medidas.
Igualdad de ángulos
Si los ángulos AOB y CDE fueran iguales, ello se denotaría
por:
m AOB = m CDE , o bien, AOB

CDE
Si los ángulos AOB Y CDE fueran distintos, esto se denotaría
por:
m AOB > m CDE , o bien, m AOB < m CDE