Transcript Modelování a simulace

Modelování a simulace
Speciální simulační techniky
Modelování biologických systémů
Speciální simulační techniky a
nástroje
 Jednoduché účelově orientované prostředky pro řešení
simulačních úloh v technické praxi a především
v netechnických oborech – v biologii, lékařství, ekologii,
ekonomii, ...
 Popis reálného světa v logice a pojmech blízkých
uživateli – odborníkovi z dané oblasti
 Jejich užití nevyžaduje detailní znalosti z matematiky,
programování, ...
 Problém řešen intuitivně v grafickém rozhraní
Analýza medicínského problému
 Vytváření modelu systému na základě matematického
vyjádření biologických vlastností objektu, 2 přístupy:

deduktivní – potřeba přesné znalosti vyšetřovaných jevů
a vstupních podmínek (teoretický přístup – problém!)

induktivní – neznáme přesně fyzikální zákonitosti či nejsou
odpovídající podmínky (medicína)
 Jde o znalost dynamiky daného děje, ne o matematická pravidla
Základní vlastnosti biologického
systému

Přirozenost

Velký rozměr

Složitá hierarchická struktura

Významná interakce na všech úrovních jejich struktury

Velké rozdíly mezi jednotlivými realizacemi

Velké rozdíly v chování jednotlivých realizací (jedinců) v čase

Předpoklady o linearitě = velice hrubá a omezená aproximace

Významné omezení počtu experimentů

Experimenty na jedincích různého typu mohou přinášet různé
výsledky
Vytváření modelu dle povahy
problému

Růst buněčné populace


Porodnost, úmrtnost


popis diferenciálními rovnicemi (Forresterova
dynamika)
Ekvivalence elektrickým schématem


závislé na fázi vývoje populace; negativní ZV ovlivnění
rychlosti množení buněk jejich okamžitým počtem (celulární
automaty)
na základě znalostí elektrických vlastností objektu (např.
nervové vlákno, vede na parciální diferenciální rovnice)
Transport látek

nejčastěji změna uvažované veličiny v důsledku transportu
látek (kompartmentová analýza)
 Charakter a typ modelu z velké části závisí
na dominantních vlastnostech zkoumaného
biologického systému
 Pro všechny metody modelování
platí: velmi opatrně, podmínky
nikdy zcela neodpovídají reálným!
Forresterova (systémová)
dynamika I
 spíše ekonomický a ekologický model
 založena na vyšetření dynamických modelů vzájemně
propojených systémů – navržen, aby umožnil predikce
vlivu některých, ve světovém měřítku důležitých jevů na
stav obyvatelstva na Zemi a kvalitu lidského života
 využito metodiky řešení diferenční rovnice prvého
řádu
 45 let stará metoda, velmi omezená, ale vhodná jako
metoda způsobu myšlení
Příklad Forresterovy dynamiky

Dle grafického zobrazení se sestavují matematické rovnice:
y (t  t )  y (t )  (n  u )dt , y (0)  y0 , p  ...
Forresterova (systémová)
dynamika II

Přístupu je vytýkána:

interpretace výsledků modelových vyšetření získávaných ze
zjednodušených algoritmů linearizovaného přístupu ke studiu
problematiky

nesmírně obtížné získávání počátečních podmínek řešení a vazebních
parametrů rovnic

přílišné matematické zaujetí, grafický způsob zadávání

omezení teoretického zájmu jen na problematiku ekonomických
systémů a obcházení sociálních, právních i etických problémů

výsledky studia ve své podstatě zvyšují průhlednost světové dynamiky,
takže globální organizace evidentně neprojevují přílišný zájem a jen
sporadicky podporují tyto studie

vysoké školy se odvrátily od přednášek spoléhajících na technologický
determinismus a spoléhají na závěry vzniklé statistickými přístupy
zpracování a posteriori
Ekvivalence elektrickým
schématem I


Vhodné pro modelování systémů, u kterých dochází k transportu
látky v prostoru i času
Např. nervové vlákno z hlediska elektrických vlastností:


Úbytek napětí na jednom úseku
způsobený odporem R a úbytek
proudu na jednom úseku způsobený
nabíjením kondenzátoru C
Předpoklad R a C přímo úměrné délce x:
Ri  a  x, Ci  b  x

U   a   x  I
dU (t )
I  b   x 
dt
Limitní přechod -> soustava parciálních diferenciálních rovnic:
U (t , x)
 a  I (t , x), I (0, x)  I 0 ( x)
x
I (t , x)
U (t , x)
 b 
, U (0, x)  U 0 ( x)
x
dt
Ekvivalence elektrickým
schématem II – šíření AP
Kompartmentové modelování

Popis zkoumaného systému prostřednictvím diskrétních oblastí (zón) mezi
nimiž protéká kanály určitá látka

Rychlost změny určité látky v čase závisí na množství látky, jež do
kompartmentu vstoupilo a vystoupilo (např. změny v endokrinním systému)

Látka – elementy stejného typu či chemického složení

Kompartmentový systém

Kompartment


Kanály


propojení kompartmentů, kterými protéká určitá látka, jejíž dynamika nás zajímá,
idealizujeme - nulový objem
Vstup kompartmentu


diskrétní oblast (zóna) určitého systému, kterou je možné nějakým způsobem
logicky či kineticky odlišit od okolí, homogenní
reprezentován přivedením látky z jeho okolí nebo syntézou této látky uvnitř
kompartment
Výstup kompartmentu

pohyb látky mimo prostor kompartmentu nebo její transformací do jiné formy
Jednokompartmentový systém
 Systém s n vstupy a m výstupy
m
dx(t ) n in
  ki ui (t )   kiout x(t ), x(t0 )  x0
dt
i 1
i 1
k1out
u1(t), k1in
u2(t), k2in
x(t)
un(t), knin
x(t )
k2out
kmout
proměnná kompartmentu; popisuje stav látky, kterou sledujeme
un (t ) proměnné, které popisují průběh vstupních veličin
k iin
k iout
vstupní rychlostní konstanty
výstupní rychlostní konstanty
Obecný k-kompartmentový systém
K
K
m
dxk (t ) n in
  kik ui (t )   k jk x j (t )   kkj xk (t )   kikout xk (t ), xk (t0 )  x0 k , k  1, .., K
dt
i 1
j 1
j 1
i 1
j k
j k
xk (t )
stavová veličina k-tého kompartmentu
ui (t )
proměnné popisující průběh n-vstupních veličin
kikin
vstupní rychlostní parametry (konstanty) k-tého kompartmentu
kikout
výstupní rychlostní parametry (konstanty) k-tého kompartmentu
k jk
vnitřní rychlostní parametry (konstanty) mezi j-tým a k-tým
kompartmentem
Kompartmentový systém příjmu
potravy
 Chceme sledovat dynamiku koncentrace nějaké látky,
která je součástí potravy
u1(t)
C1(t)
k12

k23
C2(t)
C3(t)
k32
k24




Kompartment C1 – koncentrace sledované
látky v žaludku a střevním traktu
C2 v krvi
C3 v tkáních
C4 ve vylučovacím systému
u1(t) – příjem stravy z vnějšího prostředí
C4(t)
k4out
Odpovídající matematický popis
obsahuje čtyři diferenciální
stavové rovnice (systém 4. řádu):
dC1 (t )
 u1 (t )  k12C1 (t ), C1 (t0 )  C10
dt
dC2 (t )
 k12C1 (t )  (k23  k24 )C2 (t )  k32C3 (t ), C2 (t0 )  C20
dt
dC3 (t )
 k23C2 (t )  k32C3 (t ), C3 (t0 )  C30
dt
dC4 (t )
 k24C2 (t )  k4out C4 (t ), C4 (t0 )  C40
dt
Modelování funkce ledvin
(vylučování vody) I
krev
Glomerulární řečiště
vas afferens
preferenční
kanál
glomerulární
krevní kličky
vas efferens
aferentní
sinusy
proximální
tubulus
tenké sestupné
raménko Henleovy
kličky
tlusté vzestupné
raménko Henleovy
kličky
distální
tubulus
sběrací kanálek
močový měchýř
Modelování funkce ledvin
(vylučování vody) II
 Funkce ledvin – zbavování organismu nadbytečné vody


u1(t)
krev
C1
nevyloučí veškerou vodu, která do nich krví přitéká, ale většinu
jí recipují zpět do krve
zbylá voda obohacená o močovinu a látky nepotřebné pro
metabolismus odváděna do močového měchýře
k12
k21
ledviny
C2
k23
močový
měchýř
C3
k4
dC1 (t )
 u1 (t )  k12C1 (t )  k21C2 , C1 (t0 )  C10
dt
dC2 (t )
 k12C1 (t )  k21C2 (t )  k23C2 (t ), C2 (t0 )  C20
dt
dC3 (t )
 k23C2 (t )  k4C3 (t ), C3 (t0 )  C30
dt
Časový průběh simulace funkce
ledvin
Hormonální změny v ose hypothalamus – hypofýza - nadledviny


Hypothalamus


funkce např. kontrola hladiny různých hormonů v krvi
vysílá chemické signály do hypofýzy

reaguje vyplavením hormonů přímo ovlivňujících činnost jiných
žláz s vnitřní sekrecí
v případě stresové reakce je stimulována činnost nadledvin
Hypofýza


Ne zcela vhodná metoda
Simulace hormonálních změn
Celulární (buněčné) automaty I

Dynamické systémy s diskrétním prostorem a časem

Zpravidla z pravidelné N rozměrné soustavy buněk, z nichž
je každá v jednom z k možných stavů, který se synchronně
mění v diskrétních časech podle lokálních, identických
pravidel

Často se jedná pouze o dvoustavové buňky, vyjadřující
aktivitu buňky – aktivní x neaktivní, živá x mrtvá

Stav každé buňky v následujícím okamžiku závisí na
okamžitém stavu té které buňky a okamžitých stavech
buněk v jejím okolí

V případě jednorozměrných celulárních automatů je okolí
definované tzv. poloměrem konektivity
Celulární (buněčné) automaty II
 Základní typy okolí buněk v celulárních automatech:

Von Neumannovo okolí

Moorovo okolí
von Neumann
Moor
rozšířený Moor
 Charakterizován čtyřmi základními vlastnostmi:

geometrií buněčné mřížky

specifikací okolí buňky

množinou stavů buňky

algoritmem vypočtu příštího stavu buňky na základě
současného stavu této buňky a jejího okolí
Příklad CA – šíření epidemie I
 Uvažujeme

epidemie se šíří kontaktem mezi infikovaným a vnímavým
jedincem

délku nemoci na n taktů (např. dnů)

po prodělání nemoci je získána dočasná imunita a to na m
taktů
 stav buňky bude vyjádřen číslem

vnímavý jedinec bude ve stavu 0

bude-li stav buňky v rozmezí 1…n, bude se jednat o
infikovaného jedince

bude-li stav buňky v rozmezí n+1…m, jedná se o imunního
jedince
Příklad CA – šíření epidemie II
 Používáme 5 pravidel

vnímavý jedinec, který nemá ve svém okolí infikovaného
jedince, zůstává nadále vnímavým

vnímavý jedinec, který má ve svém okolí infikovaného,
se infikuje

infikovaný jedinec, který je infikován n taktů, se stává
imunním

imunní jedinec se nemůže po dobu své imunity infikovat

imunní jedinec, který je imunní m taktů, se opět stává
vnímavým
Vývoj CA při šíření epidemie
 Vnímavé jedince obarvíme zelenou barvou, infikované
červenou a imunní žlutou
 Možný průběh epidemického šíření po 10 a po 200
taktech celulárního automatu:
Další metody pro modelování
biologických systémů
 Petriho sítě

patří mezi grafické a matematické nástroje, které jsou vhodné
pro modelování a analýzu systémů diskrétních událostí

struktura modelovaného distribuovaného systému je
reprezentována orientovaným bipartitním grafem
s ohodnocením
 Modely systémů hromadné obsluhy

SHO reprezentuje takový systém, jež slouží k uspokojování
požadavků, které do tohoto systému vstupují právě za účelem
jejich uspokojení

pro modelování biologických systémů (diskrétního v úrovni) se
využívají konkrétněji Markovovy modely
 …