vektor 01 xii ipa
Download
Report
Transcript vektor 01 xii ipa
Setelah menyaksikan tayangan ini
anda dapat
Menentukan penyelesaian
operasi aljabar vektor
Adalah Himpunan ruas garis-ruas
garis berarah yang mempunyai
besar dan arah yang sama,dimana
panjang ruas garis berarah itu
disebut panjang vektor dan arah
ruas garis berarah disebut arah
vektor
Besar vektor
artinya panjang vektor
Arah vektor
artinya sudut yang dibentuk
dengan sumbu X positif
Vektor disajikan dalam bentuk
ruas garis berarah
Gambar Vektor
B
u
45
A
X
ditulis vektor AB atau u
A disebut titik pangkal
B disebut titik ujung
Notasi Penulisan Vektor
Bentuk vektor kolom:
3
u
4
atau
1
PQ 2
0
Bentuk vektor baris:
AB 3, 4 atau v 2, 3, 0
Vektor ditulis dengan notasi:
i, j dan k
misal : a = 3i – 2j + 7k
VEKTOR DI
2
R
Vektor di R2
adalah
vektor yang terletak di satu bidang
atau
Vektor yang hanya mempunyai
dua komponen yaitu x dan y
VEKTOR DI R2
Y
A(x,y)
yQ
j
a
x
O
i
P
i vektor satuan searah
sumbu X
j vektor satuan searah
sumbu Y
X
OP PA OA
OP OQ OA
OP = xi; OQ= yj
Jadi
OA =xi + yj
atau
a = xi + yj
Vektor di R3
Vektor di R3
adalah Vektor yang terletak di
ruang dimensi tiga
atau
Vektor yang mempunyai
tiga komponen
yaitu x, y dan z
Misalkan koordinat titik T di R3
adalah (x, y, z) maka OP = xi;
OQ = yj dan OS = zk
Z
S
zk
O
xi
P
X
T(x,y,z)
yj
Q
Y
OP + PR = OR atau
OP + OQ = OR
OR + RT = OT atau
OP + OQ + OS = OT
Z
S
zk
t
O
xi
X P
T(x,y,z)
Jadi
yj
OT = xi + yj + zk
Y
Q
R(x,y) atau t = xi + yj + zk
Panjang vektor
Dilambangkan dengan
tanda ‘harga mutlak’
a1
Di R2, panjang vektor: a
a2
atau a = a1i + a2j
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
a a1 a 2
2
2
x
Di R3 , panjang vektor: v y
z
atau v = xi + yj + zk
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
v x y z
2
2
2
Contoh:
3
1. Panjang vektor: a 4
adalah a
32 4 2 = 25 = 5
2. Panjang vektor: v 2i j - 2k
adalah v 2 1 (2)
2
= 9 = 3
2
2
Vektor Satuan
adalah suatu vektor yang
panjangnya satu
Vektor satuan searah sumbu X,
sumbu Y , dan sumbu Z
berturut-turut
adalah vektor i , j dan k
1
0
0
i 0 , j 1 dan k 0
0
0
1
Vektor Satuan
dari vektor a = a1i + a2j+ a3k
adalah
a
ea a
e
a
a1i a 2 j a3 k
a1 a 2 a3
2
2
2
Vektor Satuan dari
vektor a = i - 2j+ 2k
adalah….
e
a
e
a
a
a
i 2 j 2k
12 (2) 2 2 2
e
a
i 2 j 2k
12 (2) 2 2 2
i 2 j 2k
e
e
13 i 23 j 23 k
a
a
3
Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor dengan
bilangan real
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a = b , maka a1 = b1
a2 = b2 dan
a3 = b 3
Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
Jika a = b, maka x + y = ....
Jawab:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
a=b
1=x-y
x = -2; disubstitusikan
1 = -2 – y; y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5
Penjumlahan Vektor
a1
b1
Misalkan: a a 2 dan b b 2
b
a
3
3
Jika: a + b = c , maka vektor
a1 b1
c a 2 b2
a b
3 3
Contoh
p
3
Diketahui: a - 2p b 6
3
-1
- 5
dan c 4q
2
Jika a + b = c , maka p – q =....
jawab:
a+b=c
3 p 5
- 2p 6 4q
-1 3 2
3 p 5
2 p 6 4 q
(1) 3 2
3 p 5
2 p 6 4 q
(1) 3 2
3 + p = -5 p = -8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q q = 5½;
Jadi p – q = -8 – 5½
= -13½
Pengurangan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a - b = c , maka
c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 - b3)k
Perhatikan gambar:
Y
B(2,4)
vektor AB =
b
A(4,1) vektor posisi:
a
O
- 2
3
X
titik A(4,1) adalah:
2
titik B(2,4) adalah: b
4
4
a
1
vektor AB =
4
a
1
- 2
3
2
b
4
2 4
b a
4 1
- 2
3
AB
Jadi secara umum: AB b a
Contoh 1
Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan
B(1,2,4). Tentukan komponenkomponen vektor AB
Jawab: AB b a
1 3 2
2
2 - 5 3 Jadi AB 3
4 2 2
2
Contoh 2
Diketahui titik-titik P(-1,3,0)
dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang vektor PQ
(atau jarak P ke Q)
1
Jawab: P(-1,3,0) p 2
2
1
Q(1,2,-2) q 3
0
1 - 1 2
PQ = q – p = 2 - 3 1
- 2 0 2
2
PQ 1
2
PQ 2 (1) (2)
2
Jadi PQ 9 3
2
2
Perkalian Vektor dengan Bilangan Real
a1
Misalkan: a a 2 dan
a m = bilangan real
3
Jika: c = m.a, maka a1 m.a1
c m a 2 m.a 2
a m.a
3
3
Contoh
2
2
Diketahui: a - 1 dan b - 1
6
4
Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab: x1 2 x1 2
misal x x 1 2 x 3 1
2
x
3
6
2
x
3
4
2 x1 2
1 2 x2 3 1
6 x 4
3
2 2 x1 6
1 2 x2 3
6 2 x 12
3
2 – 2x1 = 6 -2x1 = 4 x1= -2
-1 – 2x2 = -3 -2x2 = -2 x2 = 1
6 – 2x3 = 12 -2x3 = 6 x3 = -3
Jadi
2
vektor x 1
3
Vektor Posisi
Vektor posisi
adalah
Vektor yang
titik pangkalnya O(0,0)
Vektor Posisi
Vektor posisi
adalah
Vektor yang
titik pangkalnya O(0,0)
Y
Contoh:
B(2,4)
Vektor posisi
b
a
O
A(4,1) titik A(4,1) adalah
X
4
OA a
1
Vektor posisi titik B(2,4) adalah
OB b 2i 4 j
B(x 2 , y2 )
b
c
O
n
C(x, y)
m
a
A(x1 , y1 )
AC : CB m : n c - a : b - c m : n
c-a m
c n na b m c m
b-c n
cn cm mb na
c(m n) mb na
mb na
c
mn
xc
nx 1 mx 2
mb na
1
c
yc
ny 1 my 2
mn
z m n nz mz
2
1
c
nx 1 mx 2
xc
mn
ny 1 my 2
yc
mn
nz 1 mz 2
zc
mn
Rumus Perbanding an dalam bentuk koordinat
Pada gambar disamping ABC adalah bangun Geometri
segitiga.V ektor - vektor posisi dari titik - titik sudut A, B, dan C
pada segitiga ABC itu berturut - turut adalah a, b, dan c.
Tunjukan bahwa :
a. AB b - a
b. BC c - b