Transcript Geometria solida

Illustrazione dal
“Paradiso Perduto” di Milton
(libro VII)
LA GEOMETRIA SOLIDA
A cura della prof.ssa Enza Morvile – a. sc. 2007/2008
GEOMETRIA SOLIDA
•
•
•
•
•
•
La geometria dello spazio
Rette e piani nello spazio
Diedri e angoloidi
Poliedri
– Prisma, piramide, tronco di piramide
Solidi di rotazione
– Cilindro, cono, tronco di cono
Equivalenza dei solidi
 ALCUNI POSTULATI DELLO SPAZIO
·C
·A
a
P 1- Per tre punti non allineati
passa uno ed un solo piano.
·B
P (A,B,C)=a
P 2- Se due punti di una retta
·A
appartengono a un piano,
r
·B
a
essa giace interamente sul
r(A,B)a
piano.
P 3- Un qualunque piano divide
l’insieme dei punti dello spazio
in due regioni dette semispazi.
S1
a
S1 , S2 semispazi
2
 ALCUNI POSTULATI DELLO SPAZIO
P 4- Ogni piano a divide lo spazio in due insiemi infiniti e disgiunti
S1 e S2, detti semispazi aperti tali che per ogni coppia di punti non
appartenenti ad a si ha :
-se A e B appartengono allo stesso semispazio allora il segmento
AB non interseca il piano a;
-se C e D appartengono a semispazi opposti allora il segmento CD
interseca il piano a.
D
C

S11
a
S1 , S2 semispazi
A
B
2
RETTE E PIANI NELLO SPAZIO
D 1- Si chiama fascio proprio di piani l’insieme di tutti e soli i piani
che passano per una stessa retta r, detta sostegno o asse del fascio.
D 2- Si chiama stella propria di piani l’insieme di tutti e soli i piani che
hanno un punto P in comune, detto centro della stella.
·
a
r
g
C
b
fascio proprio di
piani
stella di piani
RETTE E PIANI NELLO SPAZIO
D 3- Si chiama fascio proprio di rette l’insieme di tutte e sole le
rette appartenenti ad uno stesso piano α e passanti per un dato
punto C detto centro del fascio.
D 4- Si chiama stella di rette l’insieme di tutte e sole le rette
che passano per un punto C detto centro della stella.
C
u
C
a
t
s
r
r
a
s
stella di rette
fascio di rette
u
t
RETTE E PIANI NELLO SPAZIO
 LA POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO
D - Due rette distinte nello spazio si dicono:
D
a
- complanari se esiste un piano che le
A
s
r
B

C
r e s parallele
contiene. In tal caso possono essere
incidenti o parallele.
A
B
D s
r
P
C
a
r e s incidenti
s
- sghembe se non esiste un piano che le
A r
contenga entrambe.
a
C
B
r e s sghembe
 LA POSIZIONE DI UNA RETTA E DI UN PIANO
NELLO SPAZIO
D- Una retta e un piano nello spazio
r
si dicono :
.P
a
- incidenti: se hanno un solo punto
r  a =  P
in comune.
r
-paralleli: se non hanno punti in
a
comune, oppure se li hanno tutti
r // a
T- Se una retta è parallela ad una
retta di un piano, essa è parallela al
piano
s
a
r
b
s//r  ra  s//a
 LA POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIO
Due piani distinti nello spazio possono
essere :
r
a
b
piani incidenti ab=r
- incidenti se hanno una retta in comune,
che è l’intersezione tra i due piani
- paralleli se non hanno punti in comune.
b
a
piani paralleli ab=
La relazione di parallelismo tra piani (o tra rette) è una relazione
di equivalenza.
L’insieme di tutte le rette parallele ad una retta data è detto
fascio improprio di rette: esso individua la direzione della retta
L’insieme di tutti i piani paralleli ad un piano dato si dice fascio
improprio di piani esso individua la giacitura del piano
 LA POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIO
g
b
T- Le intersezioni di piani paralleli
con un piano incidente sono rette
parallele.
a
s
r
a//b r=ag s=bg  r//s
T- Per un punto esterno ad un
piano si può condurre uno ed un
P
.
b
a
solo piano parallelo al piano dato.
Pa b//a Pb
 LE RETTE PERPENDICOLARI AD UN PIANO
T- Se una retta r è perpendicolare a due
rette ,s e t, passanti per un suo punto P,
r
essa (r) è pure perpendicolare a tutte le
u
altre rette, u, passanti per il punto P e
giacenti nel piano individuato dalle due
rette s e t.
P
t

s
a
ar
T- Tutte le rette perpendicolari ad una
retta data in un suo punto giacciono sullo
stesso piano.
D- Una retta ed un piano si dicono perpendicolari quando la retta
interseca il piano ed è perpendicolare a tutte le rette del piano che
passano per il punto di intersezione, detto piede della
perpendicolare.
T- Dati un punto P e un piano a, esiste
una sola retta passante per il punto e
perpendicolare al piano.
T- Dati un punto e una retta, esiste un
solo piano passante per il punto e
perpendicolare alla retta
T- Piani perpendicolari alla stessa retta
sono paralleli tra loro.
T- Rette perpendicolari allo stesso piano
sono parallele tra loro.
Teorema delle tre perpendicolari
Se dal piede P di una perpendicolare r ad un piano a si conduce la
perpendicolare s ad una retta qualunque t del piano, questa retta t
risulta perpendicolare al piano individuato dalle prime due rette r,s.
r
p
t
P

s
a
ra ra=P sa sP st 
tpr,s
 LA DISTANZA PUNTO- PIANO E RETTA-PIANO
P
Proiezione ortogonale di un punto su un
piano è il piede della perpendicolare
condotta dal punto al piano.
D-La lunghezza del segmento che ha per
H
a
estremi il punto e la sua proiezione sul
piano si dice distanza del punto dal piano.
b
T-Se una retta è parallela ad un piano
allora tutti i suoi punti sono equidistanti
a
·A
1
s
·
A
r
·
B
Dist(s,a) – dist(a,b)
dal piano
r
P
D-Si dice distanza di una retta da un piano
ad essa parallelo la distanza di un punto
qualsiasi della retta dal piano.
· B
1
a
H
D-Si dice proiezione ortogonale di una figura
F su un piano la figura F’ costituita dalle
proiezioni dei punti di F sul piano.
La proiezione di una retta r su un piano a non
perpendicolare ad essa è una retta r’.
D-Si dice retta obliqua ad un piano una retta
secante il piano e ad esso non
perpendicolare.
r
r’
a
P
T-Se da un punto esterno ad un piano si
conducono il segmento perpendicolare e
alcuni segmenti obliqui, si ha:
• il segmento perpendicolare è minore di
qualunque segmento obliquo;
• due segmenti obliqui aventi proiezioni
congruenti sono congruenti e viceversa;
• due segmenti obliqui aventi proiezioni
disuguali sono disuguali nello stesso verso.
Q
H
PH<PQ
Q
T-Date due rette sghembe esiste
una ed una sola retta
perpendicolare ad entrambe.
r
D-Si dice distanza di due rette
sghembe il segmento compreso tra
le due rette e giacente sulla loro
perpendicolare.
P
s
( r, s) e (s,t) complanari
(r,t) sghembe
dist(r,t) =dist(P,Q)
r
D-Si chiama angolo di una retta con
un piano l’angolo acuto che la retta
forma con la sua proiezione sul
piano.
r’
a
t
DIEDRI
D-Si dice diedro ciascuna delle due parti
di spazio delimitate da due semipiani
aventi la stessa origine ( semipiani
compresi ).
r
b
a
I due semipiani si chiamano facce del
diedro e la loro origine comune si dice
spigolo del diedro.
S
angolo diedro
Un diedro è convesso se è una figura
convessa, concavo se non è convesso.
D-Si dice sezione normale di un diedro
l’angolo che si ottiene intersecando il
diedro con un piano perpendicolare al
suo spigolo.
Sezioni normali di uno stesso diedro
sono congruenti.
Diedri congruenti hanno sezioni normali
congruenti e viceversa.
r
a
b
S
Sezione normale di un diedro
DIEDRI
Si dice ampiezza di un diedro
l’ampiezza della sua sezione
normale.
Si dice diedro retto un diedro la cui
ampiezza è un angolo retto
Diedri retti
Due piani incidenti si dicono
perpendicolari se formano quattro
diedri retti.
b
a
Analogamente agli angoli piani, si
hanno diedri acuti, diedri adiacenti,
diedri opposti allo spigolo.....)
Piani perpendicolari
Teorema di Talete nello spazio
Un fascio di piani paralleli determina su due rette trasversali
segmenti corrispondenti direttamente proporzionali.
r
r
d
s
g
g
d
b
b
a
t
s
a
Le due rette trasversali sono, in generale, sghembe tra loro.
Se le due rette trasversali sono complanari il teorema si riduce al
teorema di Talete nel piano.
ANGOLOIDE
D-Dato un poligono convesso ABCD… e un punto
V non appartenente al piano del poligono, si
chiama superficie piramidale indefinita la figura
formata dagli angoli AVB , BVC, CVD…
V
Il punto V si chiama vertice della superficie
piramidale.
Le semirette AV , BV, CV, DV.. si chiamano spigoli .
Gli angoli AVB, BVC , CVD … ...... si chiamano
facce.
D
a
D-Si chiama angoloide la parte di spazio formata
da tutte le semirette che hanno origine in V e che
passano per un punto di un poligono convesso
C
E
A
B
Superficie piramidale
T- L’ampiezza di ogni faccia di un angoloide è minore delle somma di
tutte le altre.
T- La somma delle ampiezze delle facce di un angoloide è minore di un
angolo giro.
ANGOLOIDE
Le sezioni di un angoloide con dei piani
paralleli sono poligoni simili
D’
E’
C’
A’
B’
D
I perimetri dei poligoni sono
proporzionali alle distanze del vertice
dai piani delle sezioni
Le aree dei poligoni sono proporzionali
ai quadrati delle distanze del vertice dai
piani sezioni
C
E
a
A
B
Sezione angoloide
TRIEDRI
D-Si dice triedro un angoloide con tre
facce.
V
T- La somma delle facce di un triedro è
minore di un angolo giro : AVB +BVC
+CVA < 2P
Criteri di congruenza dei triedri
1. Due triedri che hanno due facce e il
diedro compreso congruenti sono
congruenti
2. Due triedri che hanno due diedri e la
faccia compresa congruenti sono
congruenti
3. Due triedri che hanno le tre facce
congruenti sono congruenti
4. Due triedri che hanno i tre diedri
congruenti sono congruenti.
C
A
B
triedro
MISURA DI SUPERFICI
La superficie di un solido si dice sviluppabile se, mediante un numero finito
di tagli, si può distendere completamente su un piano senza deformarla.
Poliedri, cilindri, coni e loro parti hanno le superfici sviluppabili
La misura delle loro superfici è riconducibile ad un problema di misura di
superfici piane.
L’area della superficie di un poliedro è uguale alla somma delle aree di tutte
le facce
La sfera e le sue parti non sono sviluppabili.
La misura della superficie sferica si può calcolare come limite della misura
della superficie di un poliedro inscritto (o circoscritto) nella sfera quando il
numero delle facce tende all’infinito.
Sviluppo sup_lat cono
POLIEDRI
PIRAMIDE
D-Si chiama piramide l’intersezione tra un
angoloide di vertice V ed un semispazio
contenente V e tale che il suo piano origine
intersechi tutti gli spigoli laterali.
V
Il vertice dell’angoloide si dice vertice della
piramide
La sezione dell’angoloide con il piano origine del
semispazio si chiama base della piramide
I triangoli che delimitano la piramide si dicono
facce della piramide ed i loro lati spigoli
Secondo il numero delle facce la piramide si dice
triangolare, quadrangolare, ecc...
L’altezza di una piramide è il segmento di
perpendicolare condotto dal vertice al piano di
base.
C
B
H
D
A
Piramide
quadrangolare
PIRAMIDE
Una piramide si dice retta se ha per base un
poligono circoscrittibile ad una circonferenza
il cui centro coincide con il piede dell’altezza
della piramide
T-In una piramide retta i segmenti che
congiungono il vertice con i punti di tangenza
dei lati del poligono di base con la
circonferenza inscritta sono congruenti
Piramide retta
quadrandolare
In una piramide retta l’altezza della faccia
laterale si chiama apotema
Una piramide retta si dice regolare se ha per base un poligono
regolare.
Nelle piramidi regolari gli spigoli laterali sono congruenti e
le facce laterali sono triangoli isosceli
PIRAMIDE
Misura della superficie
a
h
O
AB = Area di base
AL,= Area laterale
AT = Area totale
pB = perimetro di base
a = apotema
r
Piramide retta
h2 + r2= a2
AL=½·pB·a
AT=AL+AB
se piramide retta
TRONCO PIRAMIDE
TRONCO DI PIIRAMIDE
C’
Sezionando una piramide con un piano
parallelo alla base, nel semispazio non
contenete il vertice si ottiene un tronco di
piramide .
A’
b
C
a
Le due basi sono poligoni simili
C’
b
C
a
B
A
Tronco
piramide
La distanza dei due piani paralleli delle basi è
l’altezza del tronco.
Un tronco di piramide si dice retto o regolare
se la piramide da cui è stato ottenuto è retta o
regolare.
B’
O
B’
’ A’
O°
B
A
Tronco piramide retto
TRONCO PIRAMIDE
In un tronco di piramide retto :
V
-i segmenti, che uniscono i punti di
tangenza delle circonferenze
inscritte nelle due basi ai lati
omologhi dei poligoni di base, sono
congruenti;
D’
-le facce laterali sono trapezi aventi
la stessa altezza.
O
1
K’
·
A’
H’
C
B
O
Si chiama apotema del tronco di
piramide retto l’altezza della faccia
laterale
B’
C’
·
D
K
H
A
Tronco piramide retto
quadrangolare
TRONCO PIRAMIDE
Misura della superficie
AL = area laterale
AT =area totale
AB =area base
pB =perimetro base
h =altezza
a= apotema
h
AL=½·(pB1+ pB2)·a
retto
AT=AL+AB1+AB2
a
se
POLIEDRI
PRISMA
D-Si
. chiama prisma indefinito il solido
costituito da tutte le rette parallele tra loro
passanti per i punti di un poligono convesso e
non appartenenti al piano di questo.
Le rette passanti per i vertici del poligono si
dicono spigoli del prisma.
L’insieme di tutte le rette parallele che passano
per un lato del poligono formano una striscia di
piano che si dice faccia del prisma indefinito
Prisma indefinito
Se il poligono che genera il prisma ha n lati (n vertici) il prisma risulta delimitato
da n diedri.
Le sezioni di un prisma indefinito con piani paralleli tra loro sono poligoni
congruenti
PRISMA
D-Si dice prisma finito o prisma la parte di
prisma indefinito compreso tra due piani
paralleli distinti (piani delle basi).
C’
Le sezioni poligonali appartenenti ai piani delle
basi sono le basi del prisma.
L’altezza del prisma è la distanza tra i due piani
di base
Le facce laterali di un prisma sono
parallelogrammi.
D’
b
B’
E’
A’
C
D
a
E
B
A
Prisma retto
Gli spigoli laterali di un prisma sono
congruenti.
Un prisma si dice retto se gli spigoli sono perpendicolari ai piani delle
basi. Le facce laterali di un prisma retto sono rettangoli
Un prisma si dice regolare se è retto ed ha per basi poligoni regolari.
Le facce laterali di un prisma regolare sono rettangoli tutti congruenti
tra loro.
PRISMA
Misura della superficie
h
AB =area base
AL = area laterale
AT =area totale
pB =perimetro base
h =altezza
AL= pB·h
AT=AL+ 2·AB
POLIEDRI
PARALLELEPIPEDO
D-Si chiama parallelepipedo un
prisma le cui basi sono
parallelogrammi
Le facce opposte di un
parallelepipedo sono parallele e
congruenti.
Le diagonali di un parallelepipedo
si intersecano in uno stesso punto,
centro di simmetria del
parallelepipedo
PARALLELEPIPEDO - CUBO
Un parallelepipedo si dice rettangolo se è
retto ed ha per base un rettangolo
d
Le facce di un parallelepipedo rettangolo
sono rettangoli
d
Le diagonali di un parallelepipedo
rettangolo sono congruenti.
l
D-Si chiama cubo o esaedro regolare un
parallelepipedo rettangolo con gli spigoli
congruenti (a = b = c = l )
b
a
Le lunghezze dei tre spigoli uscenti da un
vertice del parallelepipedo rettangolo si
chiamano dimensioni del parallelepipedo
(a,b,c )
c
PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO - CUBO
Misura della superficie
AB =area base
AL = area laterale
AT =area totale
pB =perimetro base
d
a, b, c =dimensioni parallelepipedo
rettangolo
d =diagonale
l =spigolo del cubo
d
c
a
b
l
AB = a·b
AB = l2
AL= 2·(a·c+b·c)
AL= 4·l2
AT= 2·(a·b+a·c+b·c)
AT= 6·l2
d2 = a2+b2+c2
d2 = 3·l2
POLIEDRI
D-Si chiama poliedro convesso un solido
delimitato da poligoni (facce) che si saldano lungo
i lati (spigoli) e tali che il piano di ciascuno di essi
non attraversi il solido.
I vertici di ciascun poligono sono anche vertici del
poliedro.
Ogni vertice del poligono è vertice di un angoloide
che contiene il poliedro.
Teorema di Eulero
Indicati con f, v, s rispettivamente il numero di
facce, di vertici e di spigoli di un poliedro, risulta
f + v =s + 2
POLIEDRI REGOLARI
Un poliedro si dice regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari
e congruenti e tutti gli angoloidi sono congruenti..
Esistono soltanto cinque poliedri regolari. Essi sono detti solidi
platonici.
Tutti i poliedri regolari si possono inscrivere e circoscrivere ad una
sfera.
1. tetraedro regolare :piramide triangolare
regolare con le facce uguali alla base;
2. esaedro regolare (cubo);
3. ottaedro regolare:unione di due piramidi
quadrangolari regolari situate da parti
opposte rispetto alla comune base e le cui
facce sono triangoli equilateri;
4. dodecaedro regolare che ha per facce 12
pentagoni regolari
5. icosaedro regolare che ha per facce venti
triangoli equilateri
SOLIDI DI ROTAZIONE
D-Dato un semipiano a limitato dalla retta
a, sia g una linea appartenente al
semipiano a; ruotando il semipiano a di
un angolo giro attorno alla retta a, la linea
g genera una superficie di rotazione:
-se la generatrice g è una retta parallela
all’asse di rotazione , si chiama superficie
cilindrica indefinita;
-se la generatrice g è una semiretta avente
l’origine sull’asse di rotazione, si chiama
superficie conica indefinita.
L’ampiezza dell’angolo acuto formato
dalla generatrice e dall’asse di rotazione è
detta semiapertura del cono.
La retta a si chiama asse di rotazione e la
linea g si chiama generatrice della
superficie di rotazione.
a
g
a
a
a
g
a
a
g
SOLIDI DI ROTAZIONE - Coniche
Se la generatrice g è una retta incidente l’asse di rotazione a in un
punto V e non perpendicolare ad esso si ottiene una superficie conica
a due falde.
Le sezioni di una superficie conica a due falde con un piano che non
passi per il suo vertice V sono curve piane dette sezioni coniche o
coniche
( parabola, ellisse, iperbole).
SOLIDI DI ROTAZIONE
D-La parte di spazio costituita dalla
superficie di rotazione e da tutti i punti ad
essa interni si chiama solido di rotazione.
a
Ogni punto di g descrive una
circonferenza.
Tale circonferenza si chiamano parallelo
della superficie.
I paralleli si ottengono come sezione della
superficie di rotazione con piani normali al
suo asse di rotazione.
Un piano passante per l’asse di rotazione
interseca la superficie secondo due
generatrici, simmetriche rispetto ad esso,
dette meridiani.
g
SOLIDI DI ROTAZIONE
CILINDRO
C
C
’
Si dice cilindro retto il solido generato da un
rettangolo nella rotazione completa attorno
alla retta cui appartiene un lato, detta asse
di rotazione.
Il lato (su cui ruota) è l’altezza del cilindro
mentre l’altro lato è il raggio di base che ,
nella sua rotazione , descrive un cerchio
D
h
B
A
B’
r
Il cilindro si dice equilatero se l’altezza è
congruente al diametro di base (h= 2·r)
Prisma triangolare
inscritto nel cilindro
CONO
SOLIDI DI ROTAZIONE
D-Si dice cono retto (cono) il solido generato da un
triangolo rettangolo nella sua rotazione completa
attorno ad una retta contenente un cateto ,ovvero la
figura limitata compresa tra una superficie conica
indefinita ed un piano perpendicolare al suo asse di
rotazione.
V
a
h
Il cateto su cui ruota il triangolo è l’altezza del cono.
il cateto che descrive il cerchio di base è il raggio di
base del cono.
A
O
r
A’
cono retto
I segmenti che uniscono il vertice del cono con un
punto qualsiasi della circonferenza di base sono
congruenti
Essi sono detti apotema del cono.
L’apotema del cono è uguale all’ipotenusa del
triangolo
Un cono retto si dice equilatero se l’apotema è
congruente al diametro di base.( a= 2·r)
SOLIDI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
Una piramide retta si dice inscritta
(circoscritta) a un cono se il suo
vertice coincide con il vertice del
cono e la sua base è inscritta
(circoscritta) al cerchio di base del
cono
Una piramide regolare è inscrittibile
e circoscrittibile ad un cono.
Piramide triangolare
inscritta nel cono
Un prisma retto si dice inscritto
(circoscritto) in un cilindro quando le
sue basi sono inscritte (circoscritte )
nelle basi del cilindro.
Un prisma regolare è inscrittibile e
circoscrittibile ad un cilindro.
Prisma triangolare
inscritto nel cilindro
CILINDRO E CONO
Misura della superficie
AL = area laterale
AT =area totale
a= apotema
h =altezza
r =raggio
h
h
r
r
AL=2 · p · r · h
AT=2 · p · r·(r+h)
a
AL= p · r · a
AT= p · r ·(r+a)
retto
SOLIDI DI ROTAZIONE
TRONCO DI CONO
Si dice tronco di cono a basi parallele il solido
generato da un trapezio rettangolo nella sua
rotazione completa attorno ad una retta
contenente il lato perpendicolare alle basi
(altezza) ,ovvero l’intersezione di un cono con
un semispazio che non contiene il vertice e che
ha per origine un piano parallelo alla base.
La base maggiore ed la base minore del tronco
sono i cerchi descritti dalla base maggiore e
dalla base minore del trapezio.
La distanza tra le due basi è l’altezza del tronco
di cono
L’altezza del tronco è uguale all’altezza del
trapezio
La generatrice della superficie del tronco si
chiama apotema.
L’apotema è uguale al lato obliquo del trapezio
A’
O’
B’
A
O
B
Tronco di cono
SOLIDI DI ROTAZIONE
SFERA
D-La sfera è il solido ottenuto dalla
rotazione completa di un semicerchio
attorno al proprio diametro
Il centro e il raggio del semicerchio sono
anche centro e raggio della sfera.
D-La superficie sferica è il luogo geometrico
dei punti dello spazio equidistanti da un
punto fisso, detto centro
Un diametro della sfera è un segmento che
passa per il centro avente gli estremi sulla
superficie sferica.
A
r
O
SFERA
Una circonferenza massima è
l’intersezione di una superficie sferica
con un piano passante per il centro
della sfera.
Il centro di ogni circonferenza
massima coincide con il centro della
sfera.
Per i due estremi di un qualunque
diametro di una sfera passano infinite
circonferenze massime
O
B
A
Circonferenza massima
linea geodetica
Per due punti di una superficie sferica
non allineati con il centro passa una
ed una sola circonferenza massima.
Si chiama linea geodetica la linea di minima distanza tra due
punti di una superficie sferica
è l’arco di circonferenza massima passante per essi
TRONCO DI CONO - SFERA
Misura della superficie
AL = area laterale AT =area totale
S=superficie sfera a= apotema
h =altezza r =raggio
r2
a
h
r
r1
AL= p ·(r1+r2) · a
se tronco retto
AT= p ·(r1+r2) · a +p·(r12 +r22)
S = 4· p · r2
VOLUME DEI SOLIDI
La misura di un solido si
dice volume
Due solidi si dicono
equivalenti quando hanno
la stessa estensione
spaziale o uguale volume.
.
Solidi equiscomponibili
sono equivalenti, ma non
viceversa.
cono e piramede equivalenti
Principio di Cavalieri
- Se due solidi si possono disporre, rispetto a un piano dato, in modo che le
loro sezioni con un piano parallelo a quello dato siano equivalenti, allora i
due solidi sono equivalenti.
VOLUME DEI SOLIDI
Prisma
V= AB · h
Parallelepipedo
Cubo
Piramide
V=a·b·c
V = l3
V= 1/3 · AB · h
Tronco Piramide V= 1/3 (AB1+AB2+
AB1·AB2) · h
Cilindro
Cono
V= p · r2 · h
V= p/3 · r2 · h
Tronco Cono
V= p/3 ·r12+r22+r1·r2) · h
Sfera
V= 4/3 · p · r3
Parti della superficie sferica e della sfera
Superficie sferica
Un piano secante una
superficie sferica la divide in
due parti,ciascuna delle quali
si chiama calotta sferica.
Sfera
Un piano secante una sfera la
divide in due parti, ciascuna
delle quali si chiama
segmento sferico ad una base.
Si chiama altezza di un segmento sferico ad una base o di una
calotta sferica la parte del diametro perpendicolare al piano
secante, compresa tra tale piano e la calotta
V =volume A =area h =altezza r =raggio
Acal=2· p · r· h
Vseg=p/3 · h2 · (3·r-h)
Parti della superficie sferica e della sfera
Superficie sferica
Sfera
Si chiama zona sferica la parte
di superficie sferica compresa
tra due piani paralleli ,
entrambi secanti la sfera
Si chiama segmento sferico a
due basi la parte di sfera
compresa tra due piani
paralleli , entrambi secanti la
sfera
V =volume A =area h =altezza r =raggio
Azona=2 ·p· r·h
Vseg=p/6·h (3r12 +3r2 2 + h2)
r1
h
r
r2
Parti della superficie sferica e della sfera
Superficie sferica
Sfera
Considerati due semipiani aventi per origine comune la retta di un
diametro , la parte compresa tra i due semipiani si chiama
fuso sferico
spicchio sferico
V =volume A =area h =altezza r =raggio
a=misura in radianti dell’angolo del fuso
Area fuso = 2 r2
a
Volume spicchio=2/3
 r3  a
O
Il diedro formato dai due semipiani si chiama angolo del fuso.
I fusi (e gli spicchi) di uguale raggio sono direttamente
proporzionali ai corrispondenti angoli diedri
Formulario
V =volume AL = area laterale AT =area totale AB =area base
pB =perimetro base h =altezza d=diagonale l =spigolo
prisma
AL= pBh
AT=AL+ 2  AB
h
V= AB  h
parallelepipedo
rettangolo
AL= 2  (ac+bc)
AT=2 (a b+a c+b c)
d
V= a  b  c
d= a2+b2+c2
cubo
c
b
a
AL=4  l2
AT=6  l2
V= l3
d
l
Formulario
V =volume AL = area laterale AT =area totale AB =area base
pB =perimetro base h =altezza a= apotema
Piramide
AL=½  pB  a
retta
AT=AL+AB
h
a
V= 1/3  AB  h
Tronco
Piramide
AL=½  (PB1+ PB2)  a
retto
AT=AL+AB1+AB2
h
V= 1/3 (AB1+AB2 +
AB1 AB2)  h
a
Formulario
V =volume AL = area laterale AT =area totale
a= apotema h =altezza r =raggio
cilindro
Cono
AL=2  p  r  h
AT=2  p  r  (r+h)
h
V= p  r2  h
r
AL=p  r  a
retto
AT=p  r  (r+a)
h
V= p/3  r2  h
r
a
Formulario
V =volume AL = area laterale AT =area totale
S=superficie sfera a= apotema h =altezza r =raggio
Tronco cono
retto
AL=p (r1+r2)  a
AT= p(r1+r2)a +p(r12 +r22)
V= p/3  r12+r22+r1  r2)  h
Sfera
r2
retto
a
h
r1
S=4  p  r2
r
V=4/3  p  r3
Formulario
V =volume A =area h =altezza r =raggio
Calotta sferica
Acal=2  p  r  h
Segmento sferico
ad una base
Vseg=p/3  h2  (3r-h)
Zona sferica
Azona=2  p  r  h
Segmento sferico
a due basi
Vseg=p/6  h2  (3r-h)
h
r1
r
r1
r
h
r2