Transcript TFM_EA-4 - E

TRANSZPORT FOLYAMATOK
MODELLEZÉSE
Dr. Iványi Miklósné
professor emeritus
4. előadás
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/1
C) Merev testek kényszermozgása,
1. Két merev test ütközése, (3. előadás)
2. Mechanikai hullámmozgás
hullámmozgás: energiát, impulzust szálit,
•Longitudinális hullám: a hullámmozgással páthuzamos
az anyagi részecskék kimozdulása,
pl. harmonikus rezgőmozgás, rugómozgás,
•Tranzverzális hullám: a hullám terjedési irányára merőleges
az anyagi részecskék kimozdulása,
pl. kötélen haladó hullámmozgás,
elektromágneses hullámok,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/2
2.1. Longitudinális hullámmozgás bevezető,
Matematikai Összefoglaló
dinamikus elem
Az x t  elmozdulásra, mint változóra vonatkozó mozgásegyenlet egy
másodrendű differenciál egyenlet,a (RE) rendszeregyenlet,
megoldása,
2
d x t 
dx t 
összetevőkre bontással,
k
 k x t   g t ,
dt
1
2
0
dt
x t   x f t   x g t ,
az x f t  szabad válasz a homogén differenciálegyenletet elégíti ki, g(t)=0
d 2 x f t 
dt
2
 k1
dx f t 
dt
 k0 x f t   0,
t
a szabad választ a következő alakban keressük, x f t   Me ,


2 Me t  k1Me t  k0 Me t  2  k1  k0 Me t  0,
karakterisztikus egyenlet
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
  k1  k0  0,
2
sajátértékek
1 , 2
TFM/210/v/4/EA-IV/3
az x f t  szabad válasz: x f t   M1e 1t  M 2e 2t ,
az x g t  gerjesztett válasz kielégíti a teljes differenciál egyenletet,
d 2 x g t 
dt 2
 k1
dx g t 
dt
 k0 x g t   g t ,
lineáris rendszerben a gerjesztett válasz hasonlít a gerjesztésre,
a gerjesztett választ próbafüggvény módszerrel keressük;
a RE megoldása:
x t   M1e 1t  M 2e 2t  x g t ,
Az M1 és az M2 konstansokat a kezdeti feltételekből határozzuk meg:
x t  0  x0  M1  M 2  x g t  0,
x t  0  v0  1 M1  2 M 2  x g t  0,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
M1 , M 2 .
TFM/210/v/4/EA-IV/4
3. Harmonikus rezgőmozgás, longitudinális hullámok
3.1. Csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenlete:
a rugót nyugalmi helyzetéből kitérítve,
az m tömegre a rugóerő hat:  kxt   mxt ,
elengedve rezgőmozgás jön létre,
mxt   kxt   0,
A mozgásegyenlet= Rendszer Egyenlet= Homogén Differenciál Egyenlet,
a RE megoldása a szabad válasz: g t   0,  x g t   0,  x( t )  x f ( t ),
a szabad válasz x f t   d e t általános alakját a mozgásegyenletbe
helyettesítve, a karakterisztikus egyenletből a sajátértékek:


m2de t  kdet  m2  k de t  0,  12  
k
k
j
  j0 ,
m
m
 0  a rugómozgás saját-körfrekvenciája
a szabad válasz: x t   d1e j0t  d 2e  j0t ,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/5
a szabad válasz:
x t   d1e j0t  d 2e  j0t ,
egyik megoldási mód: a konstansok meghatározása
t  0, x 0  x0 ,
kezdeti feltételek: 
t  0, x 0  v 0  v0 ,
x 0  x0  d1  d 2 , v0  j 0 x0  2 j 0d1 ,

x 0   v 0  v0  j 0d1  j 0d 2 , v0  j 0 x0  2 j 0d 2 ,
v 0  j 0 x 0 
d1 
,
 d1  d 2  x 0 ,
a d1, d2 konstansok
2 j 0

* 
komplex konjugált
v0
 d 2  d1 , 
d1  d 2 
, párt alkotnak
v 0  j 0 x 0 

d2 
,
j 0


 2 j 0 
a szabad válasz:
j0t
x  t   d1
e
cos 0t  j sin 0t
 d2
 j0t
e

 d1  d 2  cos0 t  j d1  d 2  sin 0 t ,
cos  0 t  j sin  0 t
v0


x t  x0 cos 0 t 
sin  0 t ,
0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/6
másik megoldási mód:
a szabad válasz az Euler formula alkalmazásával
x t   d1
j 0 t
e

 j 0 t
e

 d2
cos  0 t  j sin  0 t

cos  0 t  j sin  0 t
 d1  d 2  cos 0 t  j d1  d 2  sin  0 t ,
új változók bevezetésével:
A  d1  d2 , B  jd1  d2 ,
x t   A cos 0 t  B sin  0 t ,
A,B állandók a kezdeti feltételekből:
a kezdeti elmozdulás: t  0, x 0   x0  A cos 0  B sin 0,  A  x0 ,
a mozgás sebessége: v t   x t    A 0 sin  0 t  B 0 cos 0 t ,
t  0, v 0   x 0    A 0 sin 0  B 0 cos 0,  B 
v0
,
0
v
a kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: x t   x0 cos 0 t  0 sin  0 t ,
0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/7
A csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenletének megoldása:
mxt   kxt   0,
x t   A cos 0 t  B sin  0 t  C sin  0 t   ,
x t   C cos sin  0 t  C sin  cos 0 t ,
v0
A  C sin   x0 , B  C cos 
, C
0
A
A  B ,   arctg ,
B
2
2
a harmonikus rezgőmozgás egyenlete: x t   C sin  0 t   ,
 – kezdőfázis,
0 – saját körfrekvencia, [rad/s],
k
0 
, – a rezgő rendszerre jellemző,
m
2
T0 
, – saját rezgésidő,
0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/8
1. Példa,
Egy 3,2 N/m rugóállandójú rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a
vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után
4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a kialakuló
csillapítatlan rezgőmozgás körfrekvenciáját, valamint a rezgés
amplitúdóját és kezdőfázisát.
Megoldás:
A rugó mozgásegyenlete: mxt   kxt   0,  0,2 xt   3,2 xt   0,
t
Megoldása a szabadválasz: x t   x f t   d e ,
A karakterisztikus polinom és a sajátértékek:
3,2
0,2  3,2  0,  12  
  j 4   j 0 ,
0,2
A rezgő rendszer saját (kör)frekvenciája:
 0  4 rad/s ,
A rezgő rendszer elmozdulása: x t   d1 e 1t  d 2 e 2t ,
2
Figyelembe véve, hogy d1, d2 komplex konjugált párok:
j
*
d1  d1 e
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
, d 2  d1  d1 e  j
TFM/210/v/4/EA-IV/9
A rezgő rendszer elmozdulása:
x t   d1 e 1t  d 2 e 2t  d1 e j e j0t  d1 e  j e  j0t 




e j 0t   e  j 0t 
 d1 2
 2 Re d1 e j e j0t 
2
 2 d1 cos 0 t   ,

x t  0   x0  0,05  d1  d 2 ,
x t  0  v0  0,04  1d1  2d 2


A kezdeti feltételekből:
 j0 d1  d 2   j 4d1  d 2 ,
1  j0, 2   j0,
Az első egyenletet megszorozva j4 értékkel és a két egyenletet összeadva
0,05  j 4  j 4d1  d 2 
0,04  0,05  j 4
 0,025  j 0,005
  ,  d1 
2  j4
0,04  j 4d1  d 2 
 j11,3099o
d1  0,025  j 0,005  0,0255e
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/10
Tehát a rezgő rendszer x t   2 d1 cos 0 t   , elmozdulása:




x t   2  0,0255 cos 4t  11,3099o m  0,051 cos 4t  11,3099o ,
azaz a t=0 pillanatban a rugó kitérése:
x0  0,0510 cos(11,3099o )  0,05 m,
a t=0 pillanatban az elmozdulás sebessége:


v0  x 0  4  0,051sin  11,3099o  0,0400 m/s,
azaz a t=0 pillanatban a rugó sebessége a kitéréssel ellenkező irányú lesz.
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/11
3.2. Csillapított szabad rezgés,
az m tömegre a rugóerő és a
sebességgel arányos csillapító erő hat:
 kxt   cx t   mxt ,
a csillapított szabad rezgés mozgásegyenlete:
mxt   cx t   kxt   0,
lengéscsillapító
mozgásegyenlete általános megoldása=szabad válasz:
g t   0  x g t   0;  x t   x f t   d e t ,
a karakterisztikus egyenletből:
m2  c  k  0,
2
a sajátértékek:
c
k
 c 
12  
 

,

2m
m
 2m 
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/12
2
c
k
 c 
 
  ,
a sajátértékek: 12  
2m
m
 2m 
3.2. a) eset, nagy csillapítású a rendszer:
2
2
k
 c 
c 
k

r 


0
,

, c  2 km ,



m
 2m 
m
 2m 
a sajátértékek
negatív valós értékek:
1     r   1 ,
2     r    2 ,
a mozgó rendszer kitérése:
xt   d e  1t  d e   2t ,
1
2
 x v
t  0, x 0  x0  d1  d 2 , d1  2 0  0 ,
2 1
kezdeti feltételek:

 x v
t  0, x 0  v0   1d1   2d 2 , d 2  1 0 0 ,
1   2
az általános megoldás, a szabad válasz,
két monoton csökkenő exponenciális
görbe összege, nincs rezgés:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/13
2. Példa,
Egy 2,8 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g
tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel
megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni.
Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a
csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében.
Megoldás:
A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete:
mxt   cx t   kxt   0,  0,2 xt   2,8 x t   3,2 xt   0,
Megoldása a szabadválasz: x t   x f t   d e t ,
2
A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: 0,2  2,8  3,2  0,
 2,8  2,82  4  0,2  3,2
12 
,  1  1,2554 1s , 2  12,7446 1s ,
2  0,2
A mozgó rendszer elmozdulása:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
xt   d1 e 1t  d 2 e 2t ,
TFM/210/v/4/EA-IV/14
A mozgó rendszer elmozdulása:
xt   d1 e 1t  d 2 e 2t ,
A kezdeti feltételekből d1, d2 meghatározhatók:
A t=0 pillanatban a rugó kitérése:
x0  0,05  d1  d 2 ,
A t=0 pillanatban a rugó sebessége:
v0  0,04  1d1  2d 2 ,
0,05  2  0,04
d1 
 0,0589 m, d 2  0,05  1  0,04  0,0089 m,
2  1
1  2
A mozgó rendszer elmozdulása:


xt   0,0589 e 1,2554t  0,0089 e 12,7446t m,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/15
2
c
k
 c 





,


a sajátértékek: 12
2m
m
 2m 
3.2. b) eset, kritikus csillapítású a rendszer:
2
2
k
 c 
k
 c 
r 


0
,

, c  2 km ,



m
 2m 
m
 2m 
két azonos nagyságú,
c
 ,
negatív, valós értékű sajátérték: 1  2  
2m
az általános megoldás, a szabad válasz valós,
kezdeti feltételek: t=0,
xt   e   t d1  d 2t ,
x 0  x0  d1 ,  d1  x0 ,
x 0  v0    d1  td 2   d 2 e  t
v0   d1  d 2 ,  d 2  v0  d1 ,
t 0
,
d1, d2 valós értékű, nincs rezgés,
az exponenciális tényező gyorsabban csökken, mint ahogy t nő,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/16
3. Példa,
Egy 1.6 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g
tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel
megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni.
Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a
csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében.
Megoldás:
A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete:
mxt   cx t   kxt   0,  0,2 xt   1,6 x t   3,2 xt   0,
Megoldása a szabadválasz: x t   x f t   d e t ,
2
A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: 0,2  1,6  3,2  0,
 1,6  1,62  4  0,2  3,2
12 
 4,  1  2  4 1s ,
2  0,2
A mozgó rendszer elmozdulása:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
x t   d1  td 2  e 1t ,
TFM/210/v/4/EA-IV/17
A mozgó rendszer elmozdulása: x t   d  td  e 1t ,
1
2
A kezdeti feltételekből d1, d2 meghatározhatók:
A t=0 pillanatban a rugó kitérése:
x0  0,05  d1 ,
A t=0 pillanatban a rugó sebessége:
v0  0,04  1d1  d 2  4d1  d 2 ,
d1  0,05 m, d2  0,04  4  0,05  0,2400m,
A mozgó rendszer elmozdulása egy időben csillapodó mozgás:
xt   0,05  0,24t  e 4t m,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/18
2
c
k
 c 





,


a sajátértékek: 12
2m
m
 2m 
3.2. c ) eset, kis csillapítású a rendszer:
2
2
k
k
 c 
 c 

, c  2 km ,


0
,




m
 2m 
m
 2m 
2
2
k  c 

  1 ,
m  2m 
k
 c 

 j1 ,


m
 2m 
A sajátértékek komplex konjugáltak:
1   0 ,
1     j1 ,
2     j1 ,
a mozgásegyenlete megoldása:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
xt   d1e 1t  d 2e 2t ,
TFM/210/v/4/EA-IV/19
a mozgásegyenlete megoldása:
1t
2 t
xt   d1e
 d 2e
,
a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást:
t  0, x 0   x0  d1  d 2 ,
t  0, v 0   v0  1d1  2d 2 ,
   j1  x0  v0
   j1  x0  v0
2 x0  v0
d1 


,




2  1
   j1     j1
 2 j1
   j1  x0  v0
   j1  x0  v0
1 x0  v0
d2 


,
   j1      j1 
1  2
2 j1
d1  d1 e j , d 2  d1*  d1 e  j ,
d1 
 x0  v0 2  1 x0 2
21
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
,
  1 x0 
  90o ,
  arctg
  x0  v0 
TFM/210/v/4/EA-IV/20
a mozgásegyenlete megoldása:
1t
2 t
xt   d1e
 d 2e
,
d1  d1 e j , d 2  d1*  d1 e  j ,
x t   d1 e 1t  d 2 e 2t  d1 e j e    j1 t  d1 e  j e    j1 t 
j 1t  
 j 1t  
e

e
 d1 e  t 2
 2 Re d1 e  t e j 1t   
2


 2 d1 e  t cos1t   ,
a mozgásegyenlet egy csillapított szabad rezgést ír le

x t   2 Re d1 e  t e j 1t  
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
  2 d1 e  t cos1t   ,
TFM/210/v/4/EA-IV/21
a mozgásegyenlet megoldása egy
exponenciálisan csillapított szabad rezgést ír le:

x t   2 Re d1 e  t e j 1t  

 2 d1 e  t cos1t   ,
a saját rezgésidő hosszabb,
mint a csillapítatlan rezgésé:
T1 
2
1
a saját körfrekvencia kisebb mint a
csillapítatlan esetben
2
,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
k  c 
k
c2
1 

1
 0 ,
 
m  2m 
m
4km
TFM/210/v/4/EA-IV/22
4. Példa,
Egy 0,8 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g
tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel
megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni.
Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a
csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében.
Megoldás:
A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete:
mxt   cx t   kxt   0,  0,2 xt   0,8 x t   3,2 xt   0,
Megoldása a szabadválasz: x t   x f t   d e t ,
2
A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: 0,2  0,8  3,2  0,
12 
2
 0,8  0,8  4  0,2  3,2
,
2  0,2
2  *1
A mozgó rendszer elmozdulása:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
1   2,0000 + j 3,4641 1 ,

s

2   2,0000  j 3,4641 1s ,
xt   d1 e 1t  d 2 e 2t ,
TFM/210/v/4/EA-IV/23
A mozgó rendszer elmozdulása:
xt   d1 e 1t  d 2 e 2t ,
A kezdeti feltételekből d1, d2 meghatározhatók:
x0  0,05  d1  d 2 ,
A t=0 pillanatban a rugó kitérése:
A t=0 pillanatban a rugó sebessége:
v0  0,04  1d1  2d 2 ,
0,05  2  0,04
 j 38,9483o
d1 
 0,0250  j 0,0202 m  0,0321e
m,
2  1
d1  d1 e j , d 2  d1*  d1 e  j ,
0,05  1  0,04
d2 
 0,0250 + j 0,0202 m,
1  2
A mozgó rendszer elmozdulása egy csillapodó rezgőmozgás:
x t   0,0321e

e

 2,0000t 

j 3,4641t  38,9483o

  e  j 3,4641t  38,9483o   


 2  0,0321e  2,0000t cos 3,4641t  38,9483o m,
1  3,4641 rad/s   0  4 rad/s,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/24
3.3. Állandó erővel gerjesztett csillapítatlan rezgések,
a csillapítatlan gerjesztett rezgés
mozgásegyenlete: mxt   kxt   F ,
megoldása:
xt   x f t   x g t ,
a szabad válasz és a gerjesztett válasz összege
m x f t   kx f t   0,  x f t   d e t , 12   j 0 ,
a szabad válasz:
x f t   d1e j0t  d 2e  j0t
a lineáris rendszergerjesztett válasza hasonlít a gerjesztésre
a gerjesztés állandó erő, ezért a gerjesztett válasz konstans/állandó:
F
x g t   X g , x g t   0, xg t   0, m xg t   k x g t   F ,  X g  ,


k
a gerjesztett rendszer válasza:
0
x t   x f t   x g t   d1e
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
j 0 t
Xg
 d 2e
 j 0 t
F
 ,
k
TFM/210/v/4/EA-IV/25
a gerjesztett rendszer válasza a mozgásegyenlet
megoldása:
j 0 t
 j 0 t F
x t   d1e
 d 2e

k
,
a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást:
t  0, x0  0, v0  0,
F 
x 0  0  d1  d 2  , 
F
k   d1  d 2  
2k

v 0  0  j0 d1  d 2 ,


F 2 j 0 t
F
F
F F
 j 0 t
x t   
e
e
   cos 0 t   1  cos 0 t ,
2k
k
k
k k
2
a csillapítatlan, állandó erővel gerjesztet
rendszer válasza, 0 és 2F/k között F/k
állandó amplitúdójú rezgés
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
2F / k
TFM/210/v/4/EA-IV/26
5. Példa,
Egy 3,2 N/m rugóállandójú, nyugalomban lévő rugóhoz 200g tömeget
csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 4,8N állandó erővel
gerjesztünk. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint
adja meg a kialakuló, csillapítatlan rezgőmozgás amplitúdóját.
Megoldás:
A csillapítatalan rezgőmozgás mozgásegyenlete:
mxt   kxt   F ,  0,2 xt   3,2 xt   5,
Megoldása a szabad-, és a gerjeszett válasz összege:
x t   x f t   x g t   d e t  x g t ,
A szabad válaszhoz tartozó karakterisztikus polinom és a sajátértékek:
0,22  3,2  0,  12   j0 ,  1  j 4 1s , 2   j 4 1s ,
A gerjesztettválasz konstans:
x g t   X g ,  xg t   0,  X g  4,8 / 3,2  1,5 m,
A rezgő rendszer elmozdulása:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
xt   d1 e j 4t  d 2 e  j 4t  1,5
TFM/210/v/4/EA-IV/27
A rezgő rendszer elmozdulása:
xt   d1 e j 4t  d 2 e  j 4t  1,5
A kezdeti feltételekből:
A t=0 pillanatban a rugó kitérése:
x0  0  d1  d 2  1,5
A t=0 pillanatban a rugó sebessége:
v0  0  j 0 d1  d 2 ,
0,05  2  0,04
 j 38,9483o
d1 
 0,0250  j 0,0202 m  0,0321e
m,
2  1
d1  d1 e j , d 2  d1*  d1 e  j ,
0,05  1  0,04
d2 
 0,0250 + j 0,0202 m,
1  2
A mozgó rendszer elmozdulása egy csillapodó rezgőmozgás:
x t   0,0321e

e

 2,0000t 

j 3,4641t  38,9483o

  e  j 3,4641t  38,9483o   


 2  0,0321e  2,0000t cos 3,4641t  38,9483o m,
1  3,4641 rad/s   0  4 rad/s,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/28
3.4. Állandó erővel gerjesztett csillapított rezgések,
a rendszer mozgását leíró egyenlet:
mxt   cx t   kxt   F ,
a mozgásegyenlet megoldása:
x t   x f t   x g t   det  x g t ,
F
m xg t   c x g t   k x g t   F ,  X g  ,
 

k
a gerjesztett válasz:
0
0
a szabad válasz kis csillapítás esetén:
Xg
xt   d1e 1t  d 2e 2t ,
1  *2 ,  1     j1 , 2     j1 ,
a teljes megoldás:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
F
x t   d1e 1t  d 2e 2t  ,
k
TFM/210/v/4/EA-IV/29
a teljes megoldás:
x t   d1e
1t
 d 2e
2 t
F
 ,
k
a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást:
x 0  0  d1  d 2 
F
, v 0  0  1d1  2d 2 ,
k
F 2
F    j1 
F    j1 
F
 
d1  


  1  j ,
k 2  1
k 2  1
k  2 j1
2k 
1 
F
*
d 2  d 1 , d1    1  j
2k 
2
   j
  
 
F

1    e ,   arctg ,
1 
2k
 1 
 1 
a kezdeti feltételt kielégítő megoldás:


2
F F
   t j 1t  
 j 1t  

x t   
1 
e
e

e
,

k 2k
 1 
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/30
állandó erővel gerjesztett kis csillapítású
rezgőmozgás esetén a kezdeti feltételekhez
illesztett megoldásegy
csillapított harmonikus rezgőmozgás:
a kezdeti feltételt kielégítő megoldás:


2
F F
   t j 1t  
 j 1t  

x t   
1 
e
e

e
,

k 2k
 1 
2

F 
   t

x t  
1  1   e
cos1t    ,

k 
 1 

PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/31
3.5. Harmonikus erővel gerjesztett csillapítatlan rezgések,
a csillapítatlan gerjesztett rezgés
mozgásegyenlete:
mxt   kxt   F sin t  F t ,
a mozgásegyenlet megoldása:
x t   x f t   x g t   det  x g t ,
a gerjesztett válasz:
mxg t   kx g t   F sin t ,  x g t   X 0 sin t ,
F
F
1
F
1
2
k   m X0  F , X0 


2
2
k   m k 1   m k 1  ( )2


k
F
1
x g t  
sin t ,
2
k 1(  )

0 
0
k
m
0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/32
a szabad válasz:
1t

x f t  d1e
 d 2e 2 t ,
1  j0 , 2   j0 , 0 
a teljes megoldás:
1t
2 t

x t  d1e
 d 2e
a megoldás illesztése a kezdeti feltételekhez:
a t=0 pillanatban az elmozdulás:
F
1

sin t ,
2

k 1 ( )

0
x0  0  d1  d2 ,
a t=0 pillanatban a sebesség: v 0  0  j0 d1  d 2   
F
1
 1,
2

k 1 ( )

 F
1
 F
1
d1  
, d2 
,
2
2


2 j0 k 1  ( )
2 j0 k 1  ( )
0
0
 F
1
e j  0 t  e  j 0 t
1t
2 t
x f t   d1e  d 2e

,
2
 0 k 1  (  ) 
2j

0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
k
m
0
sin  0 t
TFM/210/v/4/EA-IV/33
a kezdeti feltételekhez illesztett megoldás
két harmonikus rezgés szuperpozíciója:


F
1

 sin t 
x t  
sin  0 t ,
2

k 1( ) 
0

0
k
ha a két körfrekvencia közel van egymáshoz:   0  1,  0 
m
F
1
Matematika:



xt 
sin t  sin 0 t ,
 
 
k 1  (  )2
sin   sin   2 sin
cos
,
   
2
0
2
F
2
 
 
x t  
sin  2 0 t  cos 2 0 t ,
 

lebegés jön létre
k 1  (  )2 
0
F
2
 
x t  
sin  2 0 t  cost ,

k 1  (  )2 
0
kis frekvenciájú
rezgés hullám
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
nagy frekvenciájú
rezgés hullám
TFM/210/v/4/EA-IV/34
lebegés jön létre
x t  
F
2
 
sin  2 0 t  cost ,

k 1  (  )2 

0
kis frekvenciájú,
hosszú periódusidejű
rezgés hullám
nagy frekvenciájú,
rövid periódusidejű
rezgés hullám
a lebegés periódus ideje:
2
4
Tl 

   0  2   0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/35
rezonancia vizsgálat I:


F
1

 sin t 
x t  
sin  0 t ,
2
k 1(  ) 
0


0
F0 0 sin t   sin 0 t
x t  
,
2
2
rezonancia tényező:
k
0  
1
0

,
rezonancia esetén: x t    0   ?
2

0
1  ( )
0
F 0
 0 t cost  sin  0 t


lim
,
határérték-L'Hospital: lim x t 
k   0
 2
  0
F 0
F
lim x t  
sin  0 t 
t cos 0 t ,
2k
2k
  0
rezonancia esetén a megoldás határértéke
az idővel lineárisan növekvő amplitúdójú
harmonikus rezgőmozgás:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/36
rezonancia vizsgálat II:
F 0
F
lim x t  
sin  0 t 
t cos 0 t ,
2k
2k
  0
rezonancia tényező:

1
1  (  )2
rezonancia esetén a megoldás határértéke
az idővel lineárisan növekvő amplitúdójú
harmonikus rezgőmozgás:
,
0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/37
3.6. Harmonikus erővel gerjesztett csillapított rezgések,
harmonikus erővel gerjesztett
rezgés mozgásegyenlete:
mxt   cx t   kxt   F sin t  F t ,
a gerjesztett válasz: x g t   X 0 sin t   ,

  Im Fˆ e jt ,
x g t   X 0 sin t     Im X 0e  j e jt   Im Xˆ e jt ,
m Im  j 2 Xˆ e jt  c Im jXˆ e jt   k Im Xˆ e jt  Im Fˆ e jt ,
  2m  jc  k Xˆ  Fˆ ,
Komplex
F t   F sin t  Im Fe jt
formalizmus:
Xˆ 
Fˆ
F
  m  jc   k  k   2m 2  c 2
2

PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
 c 

 jarctg 
2
 k  m 
e
TFM/210/v/4/EA-IV/38


x g t   X 0 sin t     Im X 0e  j e jt   Im Xˆ e jt ,
ˆ
F
Xˆ 

2
  m  jc   k 
X0 
F
k   2m 2  c 2
 c 
 jarctg

2
 k  m 
e
F
1
 c 
,   arctg
,

2
2
k 
 k  m 
2
2
2

1     c 
  2  km  2

0
0
t
 t
kis csillapítású a szabad válasz: x t   d1e 1  d 2e 2 ,
a teljes megoldás:
1t

x t  d1e
1     j1 , 2     j1 ,
 d 2e 2t  X 0 sin t   ,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/39
a teljes megoldás:
1t

 d 2e 2t  X 0 sin t   ,
x t  d1e
a kezdeti feltételekhez illesztve:
az elmozdulás: x0  0  d1  d 2 ,
a sebesség: v 0   0  1d1   2d 2  X 0 cos ,
X 0 cos
X 0 cos
X 0 cos X 0 cos
*
d1 

, d2 

, d 2  d1 ,
2  1
2 j1
1  2
2 j1
a kezdeti feltételeket kielégítő megoldás:
X 0 cos  t  e j1t  e  j1t 
x t   
e
 X 0 sin t   ,


1
2j


F
1
X

,
sin 1t
0
k 
2 2
2 2

c



1




 cos
2
 2 
km
x t   X 0  sin t     e  t
sin 1t ,


0
0


PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
1

TFM/210/v/4/EA-IV/40


 cos
x t   X 0  sin t     e  t
sin 1t ,
1


F
1
X0 
,
2
k 
2
2 2

c

1 
 
2
 2 
km


0
0
a második tag gyorsan lecseng, az állandósult
F


x
t


sin t   ,
állapothoz tartozó gerjesztett válasz:
g
k
a rezonancia tényező:

1
2
,
2 2
 2 
c

1 
 
  2  km  2

0
0
Függőhíd, USA, Washington State,
1940. június-november, szél kb. 70 km/óra
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
Tacoma Narrows Bridge
TFM/210/v/4/EA-IV/41
4. Harmonikus rezgőmozgás, tranzverzális hullámok
4.1. 1D hullámegyenlet
egy kötelet mozgatva, egységnyi hossz tömege:   m l [kg/m],
a kötél elemi tömegeinek y irányú
kitérése a hely és az idő függvénye:
y x , t 
a kötél elemi szakaszára ható erők: és az erők komponensei
(a)   kicsi,
cos   cos  Δ   1,
dy
sin    tg   ,
dx
(b) F  áll .
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/42
Fx   Fx  x   Fx  x  Δx   0,
F y  F y  x  Δx   F y  x ,
  y  x , t  
 y  x , t   


 
  x 
 x  Δx  x  x 

lim
Δx
Δx  0
  y  x , t    2 y  x , t 
 
,

2
x   x 
x
 y x , t  
 2 y x , t 
 y x , t   
F y  F 

Δx ,

 F
2
x
 x  x Δx  x  x 
a Dx szakasz elemi tömege y-irányú gyorsuló mozgásba kezd
F y  ma y , F
 2 y x , t 
x
2
Δx  Δx
 2 y x , t 
t
2
,
a hullám terjedési sebessége:
F

 v,
2
F y
 x 2

2
 y
t 2
,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
v
2

y
2
x
2

2 y
t
2
,
1D hullámegyenlet,
a tranzverzális mozgást
végző tömegpontok
mozgásegyenlete,
TFM/210/v/4/EA-IV/43
4.2. A hullámegyenlet megoldása
4.2. a) A megoldás haladó hullám
2
2
2  y x , t   y x , t 
v

,
2
2
x
t
a megoldás alakja: y x, t   f t  x v ,
retardált (késleltetett) hullámok, idő szükséges az információ,
az elmozdulás továbbításához,
igazolás:
v
 2 f t  x v 
t 2

f t  x v ,
 2 f t  x v 
x 2
1
 2 f t  x v ,
v
dx
 áll. -fázissebesség, a hullám x-irányú terjedésének sebessége
dt
+ x tengely irányában haladó hullám,
y   x , t   f   x , t   f  t  x v ,
- x tengely irányában haladó hullám,
y   x , t   f   x , t   f  t  x v ,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/44
4.2. b) A hullámegyenlet megoldása periodikus gerjesztés esetére
2
2
2  y x , t   y x , t 
v

,
2
2
x
A hullámmozgást gerjesztő erő
a komplex formalizmus alkalmazásával:
F t   F cos t  Re Fe j t ,

t

A vizsgált rendszer lineáris, ezért a hullámmozgás is szinuszos lesz:
y x , t   Y  x cos t  Re Yˆ  x e j t ,




  2Yˆ  x  jt   2 y  x , t 
 2 y x , t 
 Re 
e ,
 Re  j 2 Yˆ  x e jt ,
2
x 2
t 2
 x

2Yˆ  x 

v2
  j 2 Yˆ  x ,
x 2



a megoldás alakja: Yˆ  x   Ye kx ,

v 2k 2 Y0e kx   j 2 Y0e kx ,

k   j   jk0 ,
v
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
az y irányú kitérés x szerinti változása
Y  x   Y e  jk0 x  Y e  jk0 x ,
TFM/210/v/4/EA-IV/45
az y irányú kitérés x szerinti változása: Yˆ  x   Y  e  jk0 x  Y e  jk0 x ,
kj

v
  jk0 ,
k 0 - cirkuláris hullámszám,

2 1 2
k0  

,
v T v 
T - a kötélen haladó hullám periódus ideje,
 - a kötélen haladó hullám hullámhossza,
Y  e  jk0 x -a pozitív x irányban terjedő hullám komponens,
Y e  jk0 x -a negatív x irányban terjedő hullám komponens,
a periodikus gerjesztésű hullámmozgás teljes megoldása:

 
y x, t   Re Y e  j x v  Y e j x v e jt ,
y x, t   Y  cos ωt  x v   Y  cos ωt  x v  ,
a +x irányban haladó hullám
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
a -x irányban haladó hullám
TFM/210/v/4/EA-IV/46
4.3. Hullámok reflexiója, visszaverődése
4.3. a) A befogás figyelembe vétele: Yˆ  x   Y  e  jk0 x  Y e  jk0 x ,
a befogásnál a kötél kitérése:
Yˆ l   Y  e  jk0l  Y  e  jk0l ,
a befogásnál
a beeső és a reflektált komponens:
Y2  Y  e  jk0l , Y2  Y  e  jk0l ,
a befogásnál a reflexiós tényező:
r2  r  x  l  
a befogástól induló
koordináta rendszer bevezetése: x  l  z
Y  e jk0l
  jk0 l

Y e
Y2
Y2
Yˆ  x   Y  e  jk0 x  Y  e  jk0 x  Y2 e jk0 l  x   Y2 e  jk0 l  x  ,

,

Yˆ  x   Y2e jk0 l  x   Y2e  jk0 l  x   Y2 e jk0 l  x   r2e  jk0 l  x  ,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/47


Yˆ  x   Y2 e jk0 l  x   Y2e  jk0 l  x   Y2 e jk0 l  x   r2e  jk0 l  x  ,
a reflexió tényező a kötél mentén:
Y2 e  jk0 l  x  Y2  j 2k0 l  x 
 j 2 k0  l  x 
rx 


e

r
e
,
2
  jk0 x
  jk0 l  x  Y 
Y e
Y2 e
2
Y  e jk0 x
4.3. b) Merev falhoz való csatlakozás esetén:


Yˆ  x   Y2 e jk0 l  x   r2e  jk0 l  x  ,
k  m / l , bef  ,
a befogott végen reflexió lép fel:
1
r2 
bef
1
bef


1
k
1
 1,
k
a merev falhoz csatlakozó kötélen a beérkező hullám ellenkező fázisban
verődik vissza,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/48
ˆ
4.3. c) reflexió szabad végű kötélen: Y z   Y2 e jk0 l  x   Y2e  jk0 l  x  ,
a szabad végen reflexió lép fel:
1
k  m / l , bef  0,
r2 
bef
1
bef


1
k
1
 1
k
a szabad végű kötélen a reflektált hullám
azonos fázisban halad végig,
4.3. d) Reflexió két különböző kötél csatlakozásánál:
két különböző anyagállandójú kötél
csatlakozásánál reflexió lép fel, az 1. szakasz
végén és a 2. szakasz elején a kitérés azonos,
1
1
2
r12  1
2


1
1
, 1  2 ,  r12  0,
1
Y1  x  l1   Y1  Y1  Y1 1  r12   Y2  Y2 z  l1 ,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/49


4.4. Állóhullámok kialakulása Yˆ  x   Y  e jk0 l  x   r e  jk0 l  x  ,
2
2
r2  1,
cos     cos cos   sin  sin  ,


r2  1, Yˆ  x   Y2 e jk0 l  x   1e  jk0 l  x  
 2Y2 cos k0 l  x ,


r2  1, Yˆ  x   Y2 e jk0 l  x   1e  jk0 l  x  
 2Y2 j sin k0 l  x ,
a hely szerint állóhullámok alakulnak ki,


y x, t   Re Yˆ  x  e jt ,
csomópontok
duzzadó pontok
r2  1, yz , t   Y2 2 cost  cos k0 l  x ,
r2  1, yz , t   Y2 2 sin t  sin k0 l  x ,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/50
4.4. a) a csomópontok helye r2=1 esetén :
r2  1, Yˆ  x   2Y2 cos k0 l  x ,

k0 l  x   2n  1 , n  0,1,2,,
2
 2
 2

l  x   2n  1
 2n  1
 2n  1 ,
k0
2 
4
4.4. b) a csomópontok helye r2=-1 esetén :
r2  1, Yˆ  x   2Y2 j sin k0 l  x ,
k 0 l  x   2n

, n  0,1,2,,
2
 2
 2

l  x   2n
 2n
 2n ,
k0
2 
4
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/51
Ellenőrző kérdések
• Ismertesse a longitudinális hullámterjedés jellemzőit,
• Ismertesse a csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenletét és megoldását,
• Ismertesse a csillapított szabad rezgés mozgásegyenletét és megoldását,
térjen ki a kis csillapítású szabad rezgések elemzésére,
• Ismertesse az állandó erővel gerjesztett csillapítatlan és csillapított
rezgések viselkedését,
• Foglalja össze a harmonikus erővel gerjesztett csillapított és csillapítatlan
rezgések viselkedését,
• Ismertesse a lebegés és a rezonancia jelenségét,
•Ismertesse az 1D hullámegyenletet és a retardálás fogalmát,
• Ismertesse az 1D hullámegyenlet megoldását szinuszos gerjesztés esetére,
• Ismertesse a hullámok reflexiójára, az állóhullámok kialakulására
vonatkozó összefüggéseket.
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/52
Irodalom
Tankönyv:
Ivanyi A. Transzport folyamatok modellezése, előadás vázlat,
www.e-oktat.pmmk.pte.hu
Ivanyi A. Műszaki fizika informatikusoknak, Tankönyv, Pollack Press, 2010,
Alvin Hudson, Rex Nelson, Útban a modern fizikához, LSI Oktatóközpont, 1994,
ISBN 963 577 197 5, .(15, 18 fejezetek)
Ajánlott irodalom:
M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő, (szerk), Mozgástan, Nemzeti Tankönyvkiadó,
Budapest, 1997, ISBN 963 19 2353 3,
Felhasznált irodalom:
Béda Gyula, Bezák Gáspár, Kinematika és dinamika, Műegyetemi Kiadó, 1989.
ISBN 963 420 596 8
Györgyi József, Dinamika, Műegyetemi Kiadó, 2003, ISBN 963 420 712 X
Szőke Béla, Fizika 2, Előadás vázlat, 2004.
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/53
Gyakorló feladatok,
Megoldandó feladatok a merev testek kényszermozgása, a harmonikus
rezgőmozgás témaköréből.
Tankönyv,
Alvin Hudson, Rex Nelson, Útban a modern fizikához, LSI Oktatóközpont,
1994,
XV. fejezet, 15-1, 15-2, 15-3, 15-4, 15-6, 15-10, 15A-10, 15C-37, 15C-39 feladatok,
súrlódással csillapított rezgési feladatok megoldása, rugók függőleges rezgőmozgása,
XVIII. fejezet, 18-1, 18A-5 feladatok, reflexió számítása, állóhullámok
hullámhosszának meghatározása,
Ivanyi A. Műszaki fizika informatikusoknak, Tankönyv, Pollack Press, 2010.
5.7. Feladatok, 5.7.1. Feladat – 5.7.30. Feladat.
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/54