TFM_EA-4 - E
Download
Report
Transcript TFM_EA-4 - E
TRANSZPORT FOLYAMATOK
MODELLEZÉSE
Dr. Iványi Miklósné
professor emeritus
4. előadás
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/1
C) Merev testek kényszermozgása,
1. Két merev test ütközése, (3. előadás)
2. Mechanikai hullámmozgás
hullámmozgás: energiát, impulzust szálit,
•Longitudinális hullám: a hullámmozgással páthuzamos
az anyagi részecskék kimozdulása,
pl. harmonikus rezgőmozgás, rugómozgás,
•Tranzverzális hullám: a hullám terjedési irányára merőleges
az anyagi részecskék kimozdulása,
pl. kötélen haladó hullámmozgás,
elektromágneses hullámok,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/2
2.1. Longitudinális hullámmozgás bevezető,
Matematikai Összefoglaló
dinamikus elem
Az x t elmozdulásra, mint változóra vonatkozó mozgásegyenlet egy
másodrendű differenciál egyenlet,a (RE) rendszeregyenlet,
megoldása,
2
d x t
dx t
összetevőkre bontással,
k
k x t g t ,
dt
1
2
0
dt
x t x f t x g t ,
az x f t szabad válasz a homogén differenciálegyenletet elégíti ki, g(t)=0
d 2 x f t
dt
2
k1
dx f t
dt
k0 x f t 0,
t
a szabad választ a következő alakban keressük, x f t Me ,
2 Me t k1Me t k0 Me t 2 k1 k0 Me t 0,
karakterisztikus egyenlet
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
k1 k0 0,
2
sajátértékek
1 , 2
TFM/210/v/4/EA-IV/3
az x f t szabad válasz: x f t M1e 1t M 2e 2t ,
az x g t gerjesztett válasz kielégíti a teljes differenciál egyenletet,
d 2 x g t
dt 2
k1
dx g t
dt
k0 x g t g t ,
lineáris rendszerben a gerjesztett válasz hasonlít a gerjesztésre,
a gerjesztett választ próbafüggvény módszerrel keressük;
a RE megoldása:
x t M1e 1t M 2e 2t x g t ,
Az M1 és az M2 konstansokat a kezdeti feltételekből határozzuk meg:
x t 0 x0 M1 M 2 x g t 0,
x t 0 v0 1 M1 2 M 2 x g t 0,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
M1 , M 2 .
TFM/210/v/4/EA-IV/4
3. Harmonikus rezgőmozgás, longitudinális hullámok
3.1. Csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenlete:
a rugót nyugalmi helyzetéből kitérítve,
az m tömegre a rugóerő hat: kxt mxt ,
elengedve rezgőmozgás jön létre,
mxt kxt 0,
A mozgásegyenlet= Rendszer Egyenlet= Homogén Differenciál Egyenlet,
a RE megoldása a szabad válasz: g t 0, x g t 0, x( t ) x f ( t ),
a szabad válasz x f t d e t általános alakját a mozgásegyenletbe
helyettesítve, a karakterisztikus egyenletből a sajátértékek:
m2de t kdet m2 k de t 0, 12
k
k
j
j0 ,
m
m
0 a rugómozgás saját-körfrekvenciája
a szabad válasz: x t d1e j0t d 2e j0t ,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/5
a szabad válasz:
x t d1e j0t d 2e j0t ,
egyik megoldási mód: a konstansok meghatározása
t 0, x 0 x0 ,
kezdeti feltételek:
t 0, x 0 v 0 v0 ,
x 0 x0 d1 d 2 , v0 j 0 x0 2 j 0d1 ,
x 0 v 0 v0 j 0d1 j 0d 2 , v0 j 0 x0 2 j 0d 2 ,
v 0 j 0 x 0
d1
,
d1 d 2 x 0 ,
a d1, d2 konstansok
2 j 0
*
komplex konjugált
v0
d 2 d1 ,
d1 d 2
, párt alkotnak
v 0 j 0 x 0
d2
,
j 0
2 j 0
a szabad válasz:
j0t
x t d1
e
cos 0t j sin 0t
d2
j0t
e
d1 d 2 cos0 t j d1 d 2 sin 0 t ,
cos 0 t j sin 0 t
v0
x t x0 cos 0 t
sin 0 t ,
0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/6
másik megoldási mód:
a szabad válasz az Euler formula alkalmazásával
x t d1
j 0 t
e
j 0 t
e
d2
cos 0 t j sin 0 t
cos 0 t j sin 0 t
d1 d 2 cos 0 t j d1 d 2 sin 0 t ,
új változók bevezetésével:
A d1 d2 , B jd1 d2 ,
x t A cos 0 t B sin 0 t ,
A,B állandók a kezdeti feltételekből:
a kezdeti elmozdulás: t 0, x 0 x0 A cos 0 B sin 0, A x0 ,
a mozgás sebessége: v t x t A 0 sin 0 t B 0 cos 0 t ,
t 0, v 0 x 0 A 0 sin 0 B 0 cos 0, B
v0
,
0
v
a kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: x t x0 cos 0 t 0 sin 0 t ,
0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/7
A csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenletének megoldása:
mxt kxt 0,
x t A cos 0 t B sin 0 t C sin 0 t ,
x t C cos sin 0 t C sin cos 0 t ,
v0
A C sin x0 , B C cos
, C
0
A
A B , arctg ,
B
2
2
a harmonikus rezgőmozgás egyenlete: x t C sin 0 t ,
– kezdőfázis,
0 – saját körfrekvencia, [rad/s],
k
0
, – a rezgő rendszerre jellemző,
m
2
T0
, – saját rezgésidő,
0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/8
1. Példa,
Egy 3,2 N/m rugóállandójú rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a
vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után
4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a kialakuló
csillapítatlan rezgőmozgás körfrekvenciáját, valamint a rezgés
amplitúdóját és kezdőfázisát.
Megoldás:
A rugó mozgásegyenlete: mxt kxt 0, 0,2 xt 3,2 xt 0,
t
Megoldása a szabadválasz: x t x f t d e ,
A karakterisztikus polinom és a sajátértékek:
3,2
0,2 3,2 0, 12
j 4 j 0 ,
0,2
A rezgő rendszer saját (kör)frekvenciája:
0 4 rad/s ,
A rezgő rendszer elmozdulása: x t d1 e 1t d 2 e 2t ,
2
Figyelembe véve, hogy d1, d2 komplex konjugált párok:
j
*
d1 d1 e
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
, d 2 d1 d1 e j
TFM/210/v/4/EA-IV/9
A rezgő rendszer elmozdulása:
x t d1 e 1t d 2 e 2t d1 e j e j0t d1 e j e j0t
e j 0t e j 0t
d1 2
2 Re d1 e j e j0t
2
2 d1 cos 0 t ,
x t 0 x0 0,05 d1 d 2 ,
x t 0 v0 0,04 1d1 2d 2
A kezdeti feltételekből:
j0 d1 d 2 j 4d1 d 2 ,
1 j0, 2 j0,
Az első egyenletet megszorozva j4 értékkel és a két egyenletet összeadva
0,05 j 4 j 4d1 d 2
0,04 0,05 j 4
0,025 j 0,005
, d1
2 j4
0,04 j 4d1 d 2
j11,3099o
d1 0,025 j 0,005 0,0255e
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/10
Tehát a rezgő rendszer x t 2 d1 cos 0 t , elmozdulása:
x t 2 0,0255 cos 4t 11,3099o m 0,051 cos 4t 11,3099o ,
azaz a t=0 pillanatban a rugó kitérése:
x0 0,0510 cos(11,3099o ) 0,05 m,
a t=0 pillanatban az elmozdulás sebessége:
v0 x 0 4 0,051sin 11,3099o 0,0400 m/s,
azaz a t=0 pillanatban a rugó sebessége a kitéréssel ellenkező irányú lesz.
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/11
3.2. Csillapított szabad rezgés,
az m tömegre a rugóerő és a
sebességgel arányos csillapító erő hat:
kxt cx t mxt ,
a csillapított szabad rezgés mozgásegyenlete:
mxt cx t kxt 0,
lengéscsillapító
mozgásegyenlete általános megoldása=szabad válasz:
g t 0 x g t 0; x t x f t d e t ,
a karakterisztikus egyenletből:
m2 c k 0,
2
a sajátértékek:
c
k
c
12
,
2m
m
2m
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/12
2
c
k
c
,
a sajátértékek: 12
2m
m
2m
3.2. a) eset, nagy csillapítású a rendszer:
2
2
k
c
c
k
r
0
,
, c 2 km ,
m
2m
m
2m
a sajátértékek
negatív valós értékek:
1 r 1 ,
2 r 2 ,
a mozgó rendszer kitérése:
xt d e 1t d e 2t ,
1
2
x v
t 0, x 0 x0 d1 d 2 , d1 2 0 0 ,
2 1
kezdeti feltételek:
x v
t 0, x 0 v0 1d1 2d 2 , d 2 1 0 0 ,
1 2
az általános megoldás, a szabad válasz,
két monoton csökkenő exponenciális
görbe összege, nincs rezgés:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/13
2. Példa,
Egy 2,8 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g
tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel
megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni.
Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a
csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében.
Megoldás:
A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete:
mxt cx t kxt 0, 0,2 xt 2,8 x t 3,2 xt 0,
Megoldása a szabadválasz: x t x f t d e t ,
2
A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: 0,2 2,8 3,2 0,
2,8 2,82 4 0,2 3,2
12
, 1 1,2554 1s , 2 12,7446 1s ,
2 0,2
A mozgó rendszer elmozdulása:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
xt d1 e 1t d 2 e 2t ,
TFM/210/v/4/EA-IV/14
A mozgó rendszer elmozdulása:
xt d1 e 1t d 2 e 2t ,
A kezdeti feltételekből d1, d2 meghatározhatók:
A t=0 pillanatban a rugó kitérése:
x0 0,05 d1 d 2 ,
A t=0 pillanatban a rugó sebessége:
v0 0,04 1d1 2d 2 ,
0,05 2 0,04
d1
0,0589 m, d 2 0,05 1 0,04 0,0089 m,
2 1
1 2
A mozgó rendszer elmozdulása:
xt 0,0589 e 1,2554t 0,0089 e 12,7446t m,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/15
2
c
k
c
,
a sajátértékek: 12
2m
m
2m
3.2. b) eset, kritikus csillapítású a rendszer:
2
2
k
c
k
c
r
0
,
, c 2 km ,
m
2m
m
2m
két azonos nagyságú,
c
,
negatív, valós értékű sajátérték: 1 2
2m
az általános megoldás, a szabad válasz valós,
kezdeti feltételek: t=0,
xt e t d1 d 2t ,
x 0 x0 d1 , d1 x0 ,
x 0 v0 d1 td 2 d 2 e t
v0 d1 d 2 , d 2 v0 d1 ,
t 0
,
d1, d2 valós értékű, nincs rezgés,
az exponenciális tényező gyorsabban csökken, mint ahogy t nő,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/16
3. Példa,
Egy 1.6 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g
tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel
megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni.
Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a
csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében.
Megoldás:
A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete:
mxt cx t kxt 0, 0,2 xt 1,6 x t 3,2 xt 0,
Megoldása a szabadválasz: x t x f t d e t ,
2
A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: 0,2 1,6 3,2 0,
1,6 1,62 4 0,2 3,2
12
4, 1 2 4 1s ,
2 0,2
A mozgó rendszer elmozdulása:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
x t d1 td 2 e 1t ,
TFM/210/v/4/EA-IV/17
A mozgó rendszer elmozdulása: x t d td e 1t ,
1
2
A kezdeti feltételekből d1, d2 meghatározhatók:
A t=0 pillanatban a rugó kitérése:
x0 0,05 d1 ,
A t=0 pillanatban a rugó sebessége:
v0 0,04 1d1 d 2 4d1 d 2 ,
d1 0,05 m, d2 0,04 4 0,05 0,2400m,
A mozgó rendszer elmozdulása egy időben csillapodó mozgás:
xt 0,05 0,24t e 4t m,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/18
2
c
k
c
,
a sajátértékek: 12
2m
m
2m
3.2. c ) eset, kis csillapítású a rendszer:
2
2
k
k
c
c
, c 2 km ,
0
,
m
2m
m
2m
2
2
k c
1 ,
m 2m
k
c
j1 ,
m
2m
A sajátértékek komplex konjugáltak:
1 0 ,
1 j1 ,
2 j1 ,
a mozgásegyenlete megoldása:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
xt d1e 1t d 2e 2t ,
TFM/210/v/4/EA-IV/19
a mozgásegyenlete megoldása:
1t
2 t
xt d1e
d 2e
,
a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást:
t 0, x 0 x0 d1 d 2 ,
t 0, v 0 v0 1d1 2d 2 ,
j1 x0 v0
j1 x0 v0
2 x0 v0
d1
,
2 1
j1 j1
2 j1
j1 x0 v0
j1 x0 v0
1 x0 v0
d2
,
j1 j1
1 2
2 j1
d1 d1 e j , d 2 d1* d1 e j ,
d1
x0 v0 2 1 x0 2
21
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
,
1 x0
90o ,
arctg
x0 v0
TFM/210/v/4/EA-IV/20
a mozgásegyenlete megoldása:
1t
2 t
xt d1e
d 2e
,
d1 d1 e j , d 2 d1* d1 e j ,
x t d1 e 1t d 2 e 2t d1 e j e j1 t d1 e j e j1 t
j 1t
j 1t
e
e
d1 e t 2
2 Re d1 e t e j 1t
2
2 d1 e t cos1t ,
a mozgásegyenlet egy csillapított szabad rezgést ír le
x t 2 Re d1 e t e j 1t
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
2 d1 e t cos1t ,
TFM/210/v/4/EA-IV/21
a mozgásegyenlet megoldása egy
exponenciálisan csillapított szabad rezgést ír le:
x t 2 Re d1 e t e j 1t
2 d1 e t cos1t ,
a saját rezgésidő hosszabb,
mint a csillapítatlan rezgésé:
T1
2
1
a saját körfrekvencia kisebb mint a
csillapítatlan esetben
2
,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
k c
k
c2
1
1
0 ,
m 2m
m
4km
TFM/210/v/4/EA-IV/22
4. Példa,
Egy 0,8 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g
tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel
megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni.
Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a
csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében.
Megoldás:
A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete:
mxt cx t kxt 0, 0,2 xt 0,8 x t 3,2 xt 0,
Megoldása a szabadválasz: x t x f t d e t ,
2
A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: 0,2 0,8 3,2 0,
12
2
0,8 0,8 4 0,2 3,2
,
2 0,2
2 *1
A mozgó rendszer elmozdulása:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
1 2,0000 + j 3,4641 1 ,
s
2 2,0000 j 3,4641 1s ,
xt d1 e 1t d 2 e 2t ,
TFM/210/v/4/EA-IV/23
A mozgó rendszer elmozdulása:
xt d1 e 1t d 2 e 2t ,
A kezdeti feltételekből d1, d2 meghatározhatók:
x0 0,05 d1 d 2 ,
A t=0 pillanatban a rugó kitérése:
A t=0 pillanatban a rugó sebessége:
v0 0,04 1d1 2d 2 ,
0,05 2 0,04
j 38,9483o
d1
0,0250 j 0,0202 m 0,0321e
m,
2 1
d1 d1 e j , d 2 d1* d1 e j ,
0,05 1 0,04
d2
0,0250 + j 0,0202 m,
1 2
A mozgó rendszer elmozdulása egy csillapodó rezgőmozgás:
x t 0,0321e
e
2,0000t
j 3,4641t 38,9483o
e j 3,4641t 38,9483o
2 0,0321e 2,0000t cos 3,4641t 38,9483o m,
1 3,4641 rad/s 0 4 rad/s,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/24
3.3. Állandó erővel gerjesztett csillapítatlan rezgések,
a csillapítatlan gerjesztett rezgés
mozgásegyenlete: mxt kxt F ,
megoldása:
xt x f t x g t ,
a szabad válasz és a gerjesztett válasz összege
m x f t kx f t 0, x f t d e t , 12 j 0 ,
a szabad válasz:
x f t d1e j0t d 2e j0t
a lineáris rendszergerjesztett válasza hasonlít a gerjesztésre
a gerjesztés állandó erő, ezért a gerjesztett válasz konstans/állandó:
F
x g t X g , x g t 0, xg t 0, m xg t k x g t F , X g ,
k
a gerjesztett rendszer válasza:
0
x t x f t x g t d1e
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
j 0 t
Xg
d 2e
j 0 t
F
,
k
TFM/210/v/4/EA-IV/25
a gerjesztett rendszer válasza a mozgásegyenlet
megoldása:
j 0 t
j 0 t F
x t d1e
d 2e
k
,
a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást:
t 0, x0 0, v0 0,
F
x 0 0 d1 d 2 ,
F
k d1 d 2
2k
v 0 0 j0 d1 d 2 ,
F 2 j 0 t
F
F
F F
j 0 t
x t
e
e
cos 0 t 1 cos 0 t ,
2k
k
k
k k
2
a csillapítatlan, állandó erővel gerjesztet
rendszer válasza, 0 és 2F/k között F/k
állandó amplitúdójú rezgés
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
2F / k
TFM/210/v/4/EA-IV/26
5. Példa,
Egy 3,2 N/m rugóállandójú, nyugalomban lévő rugóhoz 200g tömeget
csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 4,8N állandó erővel
gerjesztünk. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint
adja meg a kialakuló, csillapítatlan rezgőmozgás amplitúdóját.
Megoldás:
A csillapítatalan rezgőmozgás mozgásegyenlete:
mxt kxt F , 0,2 xt 3,2 xt 5,
Megoldása a szabad-, és a gerjeszett válasz összege:
x t x f t x g t d e t x g t ,
A szabad válaszhoz tartozó karakterisztikus polinom és a sajátértékek:
0,22 3,2 0, 12 j0 , 1 j 4 1s , 2 j 4 1s ,
A gerjesztettválasz konstans:
x g t X g , xg t 0, X g 4,8 / 3,2 1,5 m,
A rezgő rendszer elmozdulása:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
xt d1 e j 4t d 2 e j 4t 1,5
TFM/210/v/4/EA-IV/27
A rezgő rendszer elmozdulása:
xt d1 e j 4t d 2 e j 4t 1,5
A kezdeti feltételekből:
A t=0 pillanatban a rugó kitérése:
x0 0 d1 d 2 1,5
A t=0 pillanatban a rugó sebessége:
v0 0 j 0 d1 d 2 ,
0,05 2 0,04
j 38,9483o
d1
0,0250 j 0,0202 m 0,0321e
m,
2 1
d1 d1 e j , d 2 d1* d1 e j ,
0,05 1 0,04
d2
0,0250 + j 0,0202 m,
1 2
A mozgó rendszer elmozdulása egy csillapodó rezgőmozgás:
x t 0,0321e
e
2,0000t
j 3,4641t 38,9483o
e j 3,4641t 38,9483o
2 0,0321e 2,0000t cos 3,4641t 38,9483o m,
1 3,4641 rad/s 0 4 rad/s,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/28
3.4. Állandó erővel gerjesztett csillapított rezgések,
a rendszer mozgását leíró egyenlet:
mxt cx t kxt F ,
a mozgásegyenlet megoldása:
x t x f t x g t det x g t ,
F
m xg t c x g t k x g t F , X g ,
k
a gerjesztett válasz:
0
0
a szabad válasz kis csillapítás esetén:
Xg
xt d1e 1t d 2e 2t ,
1 *2 , 1 j1 , 2 j1 ,
a teljes megoldás:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
F
x t d1e 1t d 2e 2t ,
k
TFM/210/v/4/EA-IV/29
a teljes megoldás:
x t d1e
1t
d 2e
2 t
F
,
k
a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást:
x 0 0 d1 d 2
F
, v 0 0 1d1 2d 2 ,
k
F 2
F j1
F j1
F
d1
1 j ,
k 2 1
k 2 1
k 2 j1
2k
1
F
*
d 2 d 1 , d1 1 j
2k
2
j
F
1 e , arctg ,
1
2k
1
1
a kezdeti feltételt kielégítő megoldás:
2
F F
t j 1t
j 1t
x t
1
e
e
e
,
k 2k
1
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/30
állandó erővel gerjesztett kis csillapítású
rezgőmozgás esetén a kezdeti feltételekhez
illesztett megoldásegy
csillapított harmonikus rezgőmozgás:
a kezdeti feltételt kielégítő megoldás:
2
F F
t j 1t
j 1t
x t
1
e
e
e
,
k 2k
1
2
F
t
x t
1 1 e
cos1t ,
k
1
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/31
3.5. Harmonikus erővel gerjesztett csillapítatlan rezgések,
a csillapítatlan gerjesztett rezgés
mozgásegyenlete:
mxt kxt F sin t F t ,
a mozgásegyenlet megoldása:
x t x f t x g t det x g t ,
a gerjesztett válasz:
mxg t kx g t F sin t , x g t X 0 sin t ,
F
F
1
F
1
2
k m X0 F , X0
2
2
k m k 1 m k 1 ( )2
k
F
1
x g t
sin t ,
2
k 1( )
0
0
k
m
0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/32
a szabad válasz:
1t
x f t d1e
d 2e 2 t ,
1 j0 , 2 j0 , 0
a teljes megoldás:
1t
2 t
x t d1e
d 2e
a megoldás illesztése a kezdeti feltételekhez:
a t=0 pillanatban az elmozdulás:
F
1
sin t ,
2
k 1 ( )
0
x0 0 d1 d2 ,
a t=0 pillanatban a sebesség: v 0 0 j0 d1 d 2
F
1
1,
2
k 1 ( )
F
1
F
1
d1
, d2
,
2
2
2 j0 k 1 ( )
2 j0 k 1 ( )
0
0
F
1
e j 0 t e j 0 t
1t
2 t
x f t d1e d 2e
,
2
0 k 1 ( )
2j
0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
k
m
0
sin 0 t
TFM/210/v/4/EA-IV/33
a kezdeti feltételekhez illesztett megoldás
két harmonikus rezgés szuperpozíciója:
F
1
sin t
x t
sin 0 t ,
2
k 1( )
0
0
k
ha a két körfrekvencia közel van egymáshoz: 0 1, 0
m
F
1
Matematika:
xt
sin t sin 0 t ,
k 1 ( )2
sin sin 2 sin
cos
,
2
0
2
F
2
x t
sin 2 0 t cos 2 0 t ,
lebegés jön létre
k 1 ( )2
0
F
2
x t
sin 2 0 t cost ,
k 1 ( )2
0
kis frekvenciájú
rezgés hullám
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
nagy frekvenciájú
rezgés hullám
TFM/210/v/4/EA-IV/34
lebegés jön létre
x t
F
2
sin 2 0 t cost ,
k 1 ( )2
0
kis frekvenciájú,
hosszú periódusidejű
rezgés hullám
nagy frekvenciájú,
rövid periódusidejű
rezgés hullám
a lebegés periódus ideje:
2
4
Tl
0 2 0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/35
rezonancia vizsgálat I:
F
1
sin t
x t
sin 0 t ,
2
k 1( )
0
0
F0 0 sin t sin 0 t
x t
,
2
2
rezonancia tényező:
k
0
1
0
,
rezonancia esetén: x t 0 ?
2
0
1 ( )
0
F 0
0 t cost sin 0 t
lim
,
határérték-L'Hospital: lim x t
k 0
2
0
F 0
F
lim x t
sin 0 t
t cos 0 t ,
2k
2k
0
rezonancia esetén a megoldás határértéke
az idővel lineárisan növekvő amplitúdójú
harmonikus rezgőmozgás:
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/36
rezonancia vizsgálat II:
F 0
F
lim x t
sin 0 t
t cos 0 t ,
2k
2k
0
rezonancia tényező:
1
1 ( )2
rezonancia esetén a megoldás határértéke
az idővel lineárisan növekvő amplitúdójú
harmonikus rezgőmozgás:
,
0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/37
3.6. Harmonikus erővel gerjesztett csillapított rezgések,
harmonikus erővel gerjesztett
rezgés mozgásegyenlete:
mxt cx t kxt F sin t F t ,
a gerjesztett válasz: x g t X 0 sin t ,
Im Fˆ e jt ,
x g t X 0 sin t Im X 0e j e jt Im Xˆ e jt ,
m Im j 2 Xˆ e jt c Im jXˆ e jt k Im Xˆ e jt Im Fˆ e jt ,
2m jc k Xˆ Fˆ ,
Komplex
F t F sin t Im Fe jt
formalizmus:
Xˆ
Fˆ
F
m jc k k 2m 2 c 2
2
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
c
jarctg
2
k m
e
TFM/210/v/4/EA-IV/38
x g t X 0 sin t Im X 0e j e jt Im Xˆ e jt ,
ˆ
F
Xˆ
2
m jc k
X0
F
k 2m 2 c 2
c
jarctg
2
k m
e
F
1
c
, arctg
,
2
2
k
k m
2
2
2
1 c
2 km 2
0
0
t
t
kis csillapítású a szabad válasz: x t d1e 1 d 2e 2 ,
a teljes megoldás:
1t
x t d1e
1 j1 , 2 j1 ,
d 2e 2t X 0 sin t ,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/39
a teljes megoldás:
1t
d 2e 2t X 0 sin t ,
x t d1e
a kezdeti feltételekhez illesztve:
az elmozdulás: x0 0 d1 d 2 ,
a sebesség: v 0 0 1d1 2d 2 X 0 cos ,
X 0 cos
X 0 cos
X 0 cos X 0 cos
*
d1
, d2
, d 2 d1 ,
2 1
2 j1
1 2
2 j1
a kezdeti feltételeket kielégítő megoldás:
X 0 cos t e j1t e j1t
x t
e
X 0 sin t ,
1
2j
F
1
X
,
sin 1t
0
k
2 2
2 2
c
1
cos
2
2
km
x t X 0 sin t e t
sin 1t ,
0
0
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
1
TFM/210/v/4/EA-IV/40
cos
x t X 0 sin t e t
sin 1t ,
1
F
1
X0
,
2
k
2
2 2
c
1
2
2
km
0
0
a második tag gyorsan lecseng, az állandósult
F
x
t
sin t ,
állapothoz tartozó gerjesztett válasz:
g
k
a rezonancia tényező:
1
2
,
2 2
2
c
1
2 km 2
0
0
Függőhíd, USA, Washington State,
1940. június-november, szél kb. 70 km/óra
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
Tacoma Narrows Bridge
TFM/210/v/4/EA-IV/41
4. Harmonikus rezgőmozgás, tranzverzális hullámok
4.1. 1D hullámegyenlet
egy kötelet mozgatva, egységnyi hossz tömege: m l [kg/m],
a kötél elemi tömegeinek y irányú
kitérése a hely és az idő függvénye:
y x , t
a kötél elemi szakaszára ható erők: és az erők komponensei
(a) kicsi,
cos cos Δ 1,
dy
sin tg ,
dx
(b) F áll .
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/42
Fx Fx x Fx x Δx 0,
F y F y x Δx F y x ,
y x , t
y x , t
x
x Δx x x
lim
Δx
Δx 0
y x , t 2 y x , t
,
2
x x
x
y x , t
2 y x , t
y x , t
F y F
Δx ,
F
2
x
x x Δx x x
a Dx szakasz elemi tömege y-irányú gyorsuló mozgásba kezd
F y ma y , F
2 y x , t
x
2
Δx Δx
2 y x , t
t
2
,
a hullám terjedési sebessége:
F
v,
2
F y
x 2
2
y
t 2
,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
v
2
y
2
x
2
2 y
t
2
,
1D hullámegyenlet,
a tranzverzális mozgást
végző tömegpontok
mozgásegyenlete,
TFM/210/v/4/EA-IV/43
4.2. A hullámegyenlet megoldása
4.2. a) A megoldás haladó hullám
2
2
2 y x , t y x , t
v
,
2
2
x
t
a megoldás alakja: y x, t f t x v ,
retardált (késleltetett) hullámok, idő szükséges az információ,
az elmozdulás továbbításához,
igazolás:
v
2 f t x v
t 2
f t x v ,
2 f t x v
x 2
1
2 f t x v ,
v
dx
áll. -fázissebesség, a hullám x-irányú terjedésének sebessége
dt
+ x tengely irányában haladó hullám,
y x , t f x , t f t x v ,
- x tengely irányában haladó hullám,
y x , t f x , t f t x v ,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/44
4.2. b) A hullámegyenlet megoldása periodikus gerjesztés esetére
2
2
2 y x , t y x , t
v
,
2
2
x
A hullámmozgást gerjesztő erő
a komplex formalizmus alkalmazásával:
F t F cos t Re Fe j t ,
t
A vizsgált rendszer lineáris, ezért a hullámmozgás is szinuszos lesz:
y x , t Y x cos t Re Yˆ x e j t ,
2Yˆ x jt 2 y x , t
2 y x , t
Re
e ,
Re j 2 Yˆ x e jt ,
2
x 2
t 2
x
2Yˆ x
v2
j 2 Yˆ x ,
x 2
a megoldás alakja: Yˆ x Ye kx ,
v 2k 2 Y0e kx j 2 Y0e kx ,
k j jk0 ,
v
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
az y irányú kitérés x szerinti változása
Y x Y e jk0 x Y e jk0 x ,
TFM/210/v/4/EA-IV/45
az y irányú kitérés x szerinti változása: Yˆ x Y e jk0 x Y e jk0 x ,
kj
v
jk0 ,
k 0 - cirkuláris hullámszám,
2 1 2
k0
,
v T v
T - a kötélen haladó hullám periódus ideje,
- a kötélen haladó hullám hullámhossza,
Y e jk0 x -a pozitív x irányban terjedő hullám komponens,
Y e jk0 x -a negatív x irányban terjedő hullám komponens,
a periodikus gerjesztésű hullámmozgás teljes megoldása:
y x, t Re Y e j x v Y e j x v e jt ,
y x, t Y cos ωt x v Y cos ωt x v ,
a +x irányban haladó hullám
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
a -x irányban haladó hullám
TFM/210/v/4/EA-IV/46
4.3. Hullámok reflexiója, visszaverődése
4.3. a) A befogás figyelembe vétele: Yˆ x Y e jk0 x Y e jk0 x ,
a befogásnál a kötél kitérése:
Yˆ l Y e jk0l Y e jk0l ,
a befogásnál
a beeső és a reflektált komponens:
Y2 Y e jk0l , Y2 Y e jk0l ,
a befogásnál a reflexiós tényező:
r2 r x l
a befogástól induló
koordináta rendszer bevezetése: x l z
Y e jk0l
jk0 l
Y e
Y2
Y2
Yˆ x Y e jk0 x Y e jk0 x Y2 e jk0 l x Y2 e jk0 l x ,
,
Yˆ x Y2e jk0 l x Y2e jk0 l x Y2 e jk0 l x r2e jk0 l x ,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/47
Yˆ x Y2 e jk0 l x Y2e jk0 l x Y2 e jk0 l x r2e jk0 l x ,
a reflexió tényező a kötél mentén:
Y2 e jk0 l x Y2 j 2k0 l x
j 2 k0 l x
rx
e
r
e
,
2
jk0 x
jk0 l x Y
Y e
Y2 e
2
Y e jk0 x
4.3. b) Merev falhoz való csatlakozás esetén:
Yˆ x Y2 e jk0 l x r2e jk0 l x ,
k m / l , bef ,
a befogott végen reflexió lép fel:
1
r2
bef
1
bef
1
k
1
1,
k
a merev falhoz csatlakozó kötélen a beérkező hullám ellenkező fázisban
verődik vissza,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/48
ˆ
4.3. c) reflexió szabad végű kötélen: Y z Y2 e jk0 l x Y2e jk0 l x ,
a szabad végen reflexió lép fel:
1
k m / l , bef 0,
r2
bef
1
bef
1
k
1
1
k
a szabad végű kötélen a reflektált hullám
azonos fázisban halad végig,
4.3. d) Reflexió két különböző kötél csatlakozásánál:
két különböző anyagállandójú kötél
csatlakozásánál reflexió lép fel, az 1. szakasz
végén és a 2. szakasz elején a kitérés azonos,
1
1
2
r12 1
2
1
1
, 1 2 , r12 0,
1
Y1 x l1 Y1 Y1 Y1 1 r12 Y2 Y2 z l1 ,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/49
4.4. Állóhullámok kialakulása Yˆ x Y e jk0 l x r e jk0 l x ,
2
2
r2 1,
cos cos cos sin sin ,
r2 1, Yˆ x Y2 e jk0 l x 1e jk0 l x
2Y2 cos k0 l x ,
r2 1, Yˆ x Y2 e jk0 l x 1e jk0 l x
2Y2 j sin k0 l x ,
a hely szerint állóhullámok alakulnak ki,
y x, t Re Yˆ x e jt ,
csomópontok
duzzadó pontok
r2 1, yz , t Y2 2 cost cos k0 l x ,
r2 1, yz , t Y2 2 sin t sin k0 l x ,
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/50
4.4. a) a csomópontok helye r2=1 esetén :
r2 1, Yˆ x 2Y2 cos k0 l x ,
k0 l x 2n 1 , n 0,1,2,,
2
2
2
l x 2n 1
2n 1
2n 1 ,
k0
2
4
4.4. b) a csomópontok helye r2=-1 esetén :
r2 1, Yˆ x 2Y2 j sin k0 l x ,
k 0 l x 2n
, n 0,1,2,,
2
2
2
l x 2n
2n
2n ,
k0
2
4
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/51
Ellenőrző kérdések
• Ismertesse a longitudinális hullámterjedés jellemzőit,
• Ismertesse a csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenletét és megoldását,
• Ismertesse a csillapított szabad rezgés mozgásegyenletét és megoldását,
térjen ki a kis csillapítású szabad rezgések elemzésére,
• Ismertesse az állandó erővel gerjesztett csillapítatlan és csillapított
rezgések viselkedését,
• Foglalja össze a harmonikus erővel gerjesztett csillapított és csillapítatlan
rezgések viselkedését,
• Ismertesse a lebegés és a rezonancia jelenségét,
•Ismertesse az 1D hullámegyenletet és a retardálás fogalmát,
• Ismertesse az 1D hullámegyenlet megoldását szinuszos gerjesztés esetére,
• Ismertesse a hullámok reflexiójára, az állóhullámok kialakulására
vonatkozó összefüggéseket.
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/52
Irodalom
Tankönyv:
Ivanyi A. Transzport folyamatok modellezése, előadás vázlat,
www.e-oktat.pmmk.pte.hu
Ivanyi A. Műszaki fizika informatikusoknak, Tankönyv, Pollack Press, 2010,
Alvin Hudson, Rex Nelson, Útban a modern fizikához, LSI Oktatóközpont, 1994,
ISBN 963 577 197 5, .(15, 18 fejezetek)
Ajánlott irodalom:
M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő, (szerk), Mozgástan, Nemzeti Tankönyvkiadó,
Budapest, 1997, ISBN 963 19 2353 3,
Felhasznált irodalom:
Béda Gyula, Bezák Gáspár, Kinematika és dinamika, Műegyetemi Kiadó, 1989.
ISBN 963 420 596 8
Györgyi József, Dinamika, Műegyetemi Kiadó, 2003, ISBN 963 420 712 X
Szőke Béla, Fizika 2, Előadás vázlat, 2004.
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/53
Gyakorló feladatok,
Megoldandó feladatok a merev testek kényszermozgása, a harmonikus
rezgőmozgás témaköréből.
Tankönyv,
Alvin Hudson, Rex Nelson, Útban a modern fizikához, LSI Oktatóközpont,
1994,
XV. fejezet, 15-1, 15-2, 15-3, 15-4, 15-6, 15-10, 15A-10, 15C-37, 15C-39 feladatok,
súrlódással csillapított rezgési feladatok megoldása, rugók függőleges rezgőmozgása,
XVIII. fejezet, 18-1, 18A-5 feladatok, reflexió számítása, állóhullámok
hullámhosszának meghatározása,
Ivanyi A. Műszaki fizika informatikusoknak, Tankönyv, Pollack Press, 2010.
5.7. Feladatok, 5.7.1. Feladat – 5.7.30. Feladat.
PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
TFM/210/v/4/EA-IV/54