Transcript geometria: i luoghi geometrici

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Luoghi geometrici di punti
a cura di Elisabetta Boselli – [email protected]
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Alcune definizioni
DEF: un luogo geometrico (piano) è l’insieme di tutti e
soli i punti (di un piano) che godono di una stessa
proprietà caratteristica.
Esempi di luoghi geometrici:
Circonferenza: insieme di tutti e soli i punti
del piano aventi la stessa distanza r da un
punto fisso detto centro della circonferenza
Cerchio: insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno da un punto fisso (il centro
della cerchio) distanza uguale o minore di
una distanza r assegnata
C
r
C
r
Un’importante osservazione
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DEF: un luogo geometrico L è l’insieme di tutti e soli i punti di
un piano che godono di una stessa proprietà caratteristica P.
TUTTI = ogni punto che gode della proprietà P appartiene al luogo
L
equivale a dire:
Se un punto gode della proprietà P, allora appartiene al luogo L
SOLI = solo i punti che godono della proprietà P appartengono al
luogo L
equivale a dire:
Se un punto non gode della proprietà P, allora non appartiene al
luogo L
ovvero (affermazione contronomianle):
Se un punto appartiene al luogo L, allora gode della proprietà P
quindi…
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… se vogliamo dimostrare che una data figura geometrica F è
un luogo geometrico di punti che godono di una certa proprietà
P, la dimostrazione si comporrà di due parti:
1a parte - ogni punto che gode della proprietà P appartiene al
luogo, ovvero alla figura F
e questo equivale a dover dimostrare che:
1 - Se un punto gode della proprietà P, allora appartiene alla figura F
2a parte - solo i punti che godono della proprietà P appartengono
al luogo considerato, ovvero alla figura F
e questo equivale a dover dimostrare che :
2 - Se un punto appartiene alla figura F, allora gode
della proprietà P
(N.B. si tratta dell’ inversa della 1)
L’asse di un segmento
come luogo geometrico di punti
r
DEF: Si dice asse di un segmento la retta perpendiA
M B
colare ad esso che lo interseca nel suo punto
medio.
TEOREMA: L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti
che hanno la medesima distanza dagli estremi del segmento stesso
Ovvero: Dato un segmento AB, il suo asse è costituito da tutti e soli
i punti P per i quali vale che PAPB
Dovremo allora dimostrare che:
1 - Se un punto P ha la stessa distanza da A e da B, allora
appartiene all’asse del segmento AB
e, viceversa:
2 - Se un punto P appartiene all’asse del segmento AB, allora ha la stessa distanza da A e da B.
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Dimostrazione 1a parte
1 - Se un punto P ha la stessa distanza da A e da B, allora
appartiene all’asse del segmento AB
Hp: r è asse di AB (ovv: rAB, rABM, AM MB )
PAPB
r
P
Th: Pr
Consideriamo il punto P ed il triangolo ABP.
ABP è isoscele, poiché PA PB per ipotesi.
A
M
B
La mediana PM condotta da P ad AB divide ABP in due triangoli
congruenti (da dimostrare applicando il 3° criterio di congruenza):
^ BMP,
^ e quindi i due angoli sono retti,
in particolare vale che AMP
visto che sommati danno un angolo piatto.
La mediana PM è allora perpendicolare ad AB e coincide quindi con
l’asse del segmento AB.
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Dimostrazione 2a parte
2 - Se un punto P appartiene all’asse del segmento AB, allora ha la stessa distanza da A e da B.
P
Hp: r è asse di AB (ovv.: rAB, rABM, AM MB )
Pr
r
Th: PAPB
Consideriamo i triangoli AMP e BMP:
AM MB (M è punto medio di AB per ipotesi)
^
^
AMP BMP (entrambi retti per l’ipotesi che rAB)
PM PM (lato in comune)
A
M
B
I due triangoli sono quindi congruenti per il 1° criterio di congruenza per i triangoli; in particolare si avrà che PA PB
La bisettrice di un angolo
come luogo geometrico di punti
DEF: Si dice bisettrice di un angolo convesso la semiretta che esce dal suo
vertice che lo divide in due parti
congruenti.
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A
P
O
B
Vale il seguente teorema:
TEOREMA: La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti
che hanno la medesima distanza dai lati dell’angolo.
Ovvero: Dato un angolo AÔB, la sua bisettrice è costituita da tutti e
soli i punti P per i quali vale che la distanza di P dal lato OA sia
uguale alla distanza dello stesso punto P dal lato OB