Transcript Etude en bruit

ETUDE DU BRUIT
 Bruit dans un transistor MOS
Les bruits étant toujours des signaux de très petites amplitudes se
superposant aux valeurs moyennes déterministes représentant un point
de polarisation, le modèle de bruit d’un composant actif consiste à ajouter
au modèle petits signaux une source de bruit caractérisée par sa DSP
(densité spectrale de puissance de bruit). Dans le cas du transistor MOS,
au courant déterministe iDS s’ajoute un courant de bruit :
D
G
CGD
gm  vgs
2
ids
C DS
g ds
CGS  CGB
S
Micro-électronique CMOS
1
ETUDE DU BRUIT
2
f 
ids
Bruit en 1/f
Bruit thermique (bruit blanc)
f
2
 f   ith2  i12/ f
ids
Bruit thermique Bruit en 1/f
(Bruit de grenaille négligé)
• Bruit thermique :
Dans l’hypothèse du LEVEL1, si le TMOS est en régime saturé, on a :
2
8
ith2  4  kT   gm   kT  gm
3
3
Remarques :
1) Cette expression n’est pas valable en régime linéaire. Si elle l’était, elle
conduirait à un bruit thermique nul pour VDS=0, ce qui n ’est pas physique!
Micro-électronique CMOS
2
ETUDE DU BRUIT
Remarques :
2) En toute rigueur (cf. modèle EKV), on montre que si le TMOS est en
mode d’inversion forte :
 g mS

2
ith
 4  k  T  2
  g mS
3
en conduction
où g mS 
I DS
VSB
Transconductance
de source
en saturation
facteur de pente (c.f. EKV)
NB.: En saturation, gmS  n  gm et les hypothèses simplificatrice du
LEVEL1 reviennent à dire n=1!
En réalité, n est souvent proche de 1,5 (pour VGS-VTH compris entre 100
et 500mV).
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3
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Remarques :
Ainsi, bien que la plupart des livres ou articles scientifiques parlant de
conception utilise l’expression historique 8/3kTgm, il serait plus réaliste
d’utiliser l’expression : i 2  4  k  T  g
th
m
lorsque le TMOS est en inversion forte et en régime saturé.
N.B.: En raison du fait que la valeur 8/3.k.T.gm est la plus usitée, nous
l’utiliserons par la suite!
3) En inversion faible, on a
 g m avec VDS  0 (régime de conduction )

i  4  kT   g m
kT
 2 avec VDS  q (régime saturé)

S
2
th
avec g mS 
S
IF
où I F représente le courant I DS en saturation .
kT / q
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4
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Bruit en 1/f dans le TMOS :
Aucun modèle ne s’impose réellement, le plus utilisé étant de considérer
que les fluctuations proviennent des fluctuations de la quantité de porteurs
dues aux piégeages aléatoires de ces derniers par les états d’interfaces et
les défauts. On montre alors que l’on a :
i12/ f 
2
N p  I DS
 q4
2
1
I DS
  
en inversion faible
2
2
2 2 f
W L
W  L  n  Cox  k  T
2
q
 N p  I DS 1
I
2
i1 / f 
   DS en inversion forte
2  L2  Cox f
L2
N p représenta nt le nombre de pièges par unité de surface.
De manière générale, le bruit en 1/f est proportionnel au courant de
AF où 1 < AF < 2, et est inversement proportionnel à WL
polarisation I DS
où à L2 selon que le transistor est en inversion faible ou forte.
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5
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En inversion modérée, la situation est intermédiaire. Ainsi, un modèle
simple et souvent utilisé pour le calcul manuel, voire en simulation, est
le suivant :
AF
KFwi  I DS wi
2
i1 / f 
en inversion faible (weak inversion)
Cox  W  L  f
AFsi
KF

I
si DS
i12/ f 
en inversion forte (strong inversion)
2
Cox  L  f
N.B.: Le modèle implémenté dans le simulateur (sous Cadence) que vous
utiliserez est plus compliqué. Néanmoins, pour le calcul manuel le modèle
ci-dessus peut-être utilisé. Les paramètres KF et AF n’étant pas donnés
par le fondeur, il convient de les « mesurer » par simulation !
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Bruit de grenaille:
Considérons une jonction PN polarisée par un courant I0. Les porteurs
traversent la barrière de potentiel associée à la jonction de façon aléatoire,
en suivant une loi de Poisson.
Ce processus aléatoire entraîne un courant de bruit dont la DSP s’exprime
par :
S I  f   q  I 0  2  I S   sin c 2   f   t   q  I 0  2  I S 
pour f 
1
 100GHz
  t
IS : courant de saturation de la diode
t : temps de transit des porteurs à travers la jonction
Le bruit de grenaille est un bruit est blanc aux fréquences usuelles,
Souvent négligeable dans un transistor devant le bruit thermique.
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 Signification pratique du bruit
La physique statistique permet de montrer que la distribution des vitesses
des électrons de conduction qui se déplacent en raison de l’agitation
thermique suit une loi de Maxwell, qui n’est rien d’autre qu’une loi de Gauss,
appelée aussi loi normale. De même, le processus de Poisson converge vers
une loi normale lorsque le nombre d’évènements par seconde est grand, ce
qui est le cas pour le courant d’une diode (nb d’électrons traversant la
jonction par seconde). De manière générale, lorsqu’une erreur (variable
aléatoire) dépend d’un grand nombre de causes indépendantes dont les
effets s’additionnent et dont aucune n’est prépondérante, sa loi statistique
converge vers une loi normale (Théorème central limite), i.e. une loi de Gauss.
Les processus physiques en jeu dans la plupart des
composants élémentaires suivent une loi normale
(ou loi de Gauss).
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8
ETUDE DU BRUIT
Or, un processus gaussien P(x) est entièrement caractérisé par sa moyenne
m et son écart-type s, et l’on a :
P x  
1
e
2  s

x  m 2

2s
2

s
 P x   dx  0,68
s
Remarque : On note très souvent la densité spectrale de courant de bruit par
2
ids
 SiDS  f 
• Niveau rms de bruit
On définit alors le niveau rms de bruit par :

1 T 2
s   Sids  f   df 
  ids t  
T 0

Pids
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 Addition de bruits
Supposons que v1(t) et v2(t) sont deux signaux de bruit issus de sources
différentes (composants élémentaires différents) et qu’un dispositif
électronique nous fournissent le signal w(t) = v1(t) + v2(t). D’autre part,
les bruits sont considérés parfaitement aléatoires (moyenne nulle),
Indépendants, stationnaires et ergodiques.
Le signal w(t) est évidemment parfaitement aléatoire, stationnaire et
ergodique. Sa puissance moyenne s’écrit alors :
1 T 2
1 T
Pw    w t   dt    v1  v2 2  dt
T 0
T 0
1 T 2
1 T 2
2 T
Pw    v1  dt    v2  dt 
  v1  v2  dt
T 0
T 0
T 0
 



E v1 t ,t
E v1 t ,t
E v1 t v2 t 0,t
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10
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1 T 2
1 T 2
2 T
Pw    v1  dt    v2  dt 
  v1  v2  dt
T 0
T 0
T 0
 



E v1 t ,t
E v1 t ,t
E v1 t v2 t 0,t
car les signaux
sont stationnaires
car les signaux
sont ergodiques

car v1 et v2 sont
indépendants

Pw  Pv  Pv   Sv  f   df   Sv  f   df
1
2

1

2
  Sv  f   Sv  f  df   Sw  f   df



1
2

La puissance moyenne de bruit de la somme de deux signaux de bruit
indépendants est égale à la somme des puissances des bruits primaires.
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11
ETUDE DU BRUIT
La densité spectrale de puissance de bruit de la somme de deux
bruits indépendants est la somme des dsp des bruits primaires.
N.B.: Si les deux signaux de bruit ne sont pas indépendants, il faut rajouter
la transformée de Fourier de la fonction de corrélation des deux signaux :


Sw( f )  Sv1 ( f )  Sv2 ( f )  2   Sv1v2  f 
Remarque: Les conclusions précédentes s’appliquent que les bruits soient
gaussiens ou non. Toutefois, s’ils sont gaussiens (cas général), le bruit w(t)
est aussi gaussien.
En effet, supposons que nous ayons deux grandeurs indépendantes x et y
qui suivent une loi normale de paramètres respectifs X, sx et Y, sy.
On suppose X et Y nulles ce qui n’enlève rien à la généralité de la
démonstration.
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12
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On a :
2 

x

P x   exp 
 2 s 2 

x
Probabilité d’obtenir x à
dx près

y 2 

P y   exp 
 2 s 2 
y

proportionnelle à
1




 2  s 
2




x

y


 Px  y   exp  
2
2 
 2  s x  s y  
La somme x + y suit une loi normale
d' écart - type : s x2  s 2y
N.B. Le résultats précédents se généralisent à la somme de plusieurs
variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale
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13
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 Quadripôle
On travaille le plus souvent à partir de quadripôles constitués de
résistances, transrésistances, capacités, transconductances et de
sources de tension (ou courant) commandées par des tensions (ou
courant). Lorsque l ’on considère en plus le bruit, se rajoutent des
sources de bruit en courant ou en tension définies par leur dsp.
I2
I1
V1
Quadripôle
bruyant
V2
Par généralisation du théorème de Thévenin, on montre qu ’il est toujours
possible de modéliser ce système par un quadripôle non bruyant avec deux
sources de bruit. Ces sources de bruit peuvent être placées aux deux
extrémités du quadripôle ou à l’une des extrémités.
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14
ETUDE DU BRUIT
En général, on les place toutes deux à l ’entrée du quadripôle. Ceci permet
de comparer facilement le bruit dû au quadripôle avec le bruit dû à la
source placée en entrée du quadripôle, source qui se trouve être la plupart
du temps un capteur lorsque l’on s’inquiète des problèmes de bruit!
On a alors :
E2
eq
I1
V1
I2
2
I eq
Quadripôle
non bruyant
V2
• Calcul des sources de bruit équivalentes pour un quadripôle
2
V1  0  VN2 est le bruit en sortie dû à Eeq
out
2
I1  0  VN2 est le bruit en sortie dû à I eq
out
Micro-électronique CMOS
15
ETUDE DU BRUIT
On calcule en sortie la dsp de tension de bruit pour chaque condition (V1=0 ;
I1=0) puis on divise par le module au carré de la fonction de transfert en
Tension ou la transrésistance du quadripôle :
Quadripôle
bruyant
Quadripôle
bruyant
vnout t 
vnout t 
2  
Eeq
f 
Av  f  
VN2
out
Av  f 
2
VN2
2  
out
I eq
f 
2
R f 
Micro-électronique CMOS
V2
V1
Fonction de transfert
du quadripôle
R f  
V2
I1
Transrésis tance du quadripôle
16
ETUDE DU BRUIT
Remarque : Le calcul de Eeq et Ieq fait en général intervenir certaines
sources de bruit communes. Les bruits Eeq et Ieq sont donc généralement
corrélés ! En pratique, il est souvent difficile de tenir compte de la
corrélation, surtout par calcul manuel!
Nous verrons d’autre part qu’avec les technologies CMOS, le bruit Ieq est
négligeable aux fréquences usuelles de fonctionnement des capteurs
(basses fréquences). Il n’y a donc plus de problème de corrélation puisque
l’on peut alors négliger Ieq.
Modèle de bruit thermique associé à une résistance :
2
vR
R
Résistance non
bruyante
Source de bruit thermique
de dsp = 4.k.T.R
Micro-électronique CMOS
R
2
iR

4  k T
R
17
ETUDE DU BRUIT
 Exemple
Le plus simple est d ’utiliser un exemple. Considérons un AOP monté en
amplificateur :
R2
R1
vout
vin
Le bruit de l ’AOP est modélisé par une seule source Eeq ramenée à
l ’entrée, la source Ieq étant négligé (c.f. ci-dessus). D ’autre part, les
résistances R1 et R2 ne présentent que du bruit thermique.
Les sources de bruit étant indépendantes, nous allons calculer la
contribution de chacune en sortie.
Micro-électronique CMOS
18
ETUDE DU BRUIT
• Contribution de l ’AOP
R2
R1
vout
2
Eeq
Pour simplifier le calcul, on suppose l ’AOP parfait, sauf qu ’il est bruyant!
Dans ce cas, le gain entre la source de tension Eeq et la sortie est donnée
par 1 + R2/R1. Par conséquent, la dsp de tension de bruit en sortie dû à
l ’AOP est donnée par :
2
v 2AOP
out
 R 
2
 1  2   Eeq
R1 

Micro-électronique CMOS
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ETUDE DU BRUIT
Exercices :
1) Montrez que l’on arrive au même résultat que la source de bruit Eeq
soit placée sur l’entrée + ou sur l’entrée - del ’AOP.
2) Montrez que si l’on suppose l ’AOP comme un système du premier
ordre, i.e. que sa fonction de transfert est donnée par :
Av  f  
vout

Av0

1 j 
f
fc
la dsp de bruit en sortie est donnée par :
v 2AOP
out

 1 

2
R2 
1
2
 
 Eeq
2
R1  

f
1  j 


f c  Av0  R1 / R1  R2  

Micro-électronique CMOS
20
ETUDE DU BRUIT
• Contribution de R1
Le gain entre la source de bruit vR1 et la sortie vaut -R2/R1.
Par conséquent :
R2
2
v  4  kT  R


R
vR2   2   4  kT  R1
R1
 R1 
2
R1
1
1out
vout
Exercice : Montrez que si l ’AOP est un système du 1er ordre, la
contribution de R1 en sortie est donnée par :
2
2
vR
1out
R 
1
  2  
 4  k  T  R1
R


 1 
f

1 j 

f c  Av0  R1 / R1  R2  

Micro-électronique CMOS
21
ETUDE DU BRUIT
• Contribution de R2
R2
vR2  4  kT  R2
2
R1
vout
L’entrée v- étant à la masse ( = 0), le courant dans R1 est nul, ainsi
que dans R2. Par conséquent,
2
vR
2out
 4  k  T  R2
Exercice : Calculez la dsp de bruit dû à R2 en sortie si l’AOP est un
système du 1er ordre.
Micro-électronique CMOS
22
ETUDE DU BRUIT
• Bruit total en sortie
Les sources de bruit étant indépendantes, la dsp de bruit total en sortie
est donnée par la somme des dsp individuelles :
2
vTOTAL
out
2
 R 2

 R2 
2
2
  Eeq  4  k  T     R1  R2 
 1 
R1 
 R1 




Calcul du bruit de l’amplificateur ramené en entrée
Le gain entre l’entrée et la sortie est donné par 1 + R2/R1. Par conséquent,
le bruit ramené à l ’entrée est donné par :
 R 2

2
4  k  T     R1  R2 
2
vTOTAL
 R1 

2
2


out
v

E 
inAMPLIeq

1 

R2 

R1 
2
eq

1 

Micro-électronique CMOS
R2 

R1 
2
23
ETUDE DU BRUIT
2
vinAMPLI
 Eeq2  4  kT 
eq
R1  R2
R1  R2
C’est par cette méthode que l’ingénieur système détermine les niveaux
de bruit en entrée que devront présenter les sous-systèmes (ici
l’amplificateur) du système intégré global à concevoir pour que ce
dernier fonctionne selon le cahier des charges requis. Ceci lui permet
d’affecter à chaque amplificateur opérationnel à concevoir le niveau de
bruit en entrée Eeq qu’il devra ne pas dépasser.
De son côté, le concepteur d’amplificateur opérationnel doit déterminer
l’équation de design donnant Eeq en fonction des W/L et des courants de
polarisation dans les transistors pour la topologie d’ampop envisagée.
Micro-électronique CMOS
24
ETUDE DU BRUIT
 Amplificateur de base
VDD
vin
RS
Mp
Cc
VIN0
Vbias
vOUT
M n In
CL
Etage attaquant l’étage
VSS
Charge
de gain (VIN0 = point de
polarisation en entrée, vin
Etage de gain
est la tension variationPôle non dominant pnd.
nelle en entrée, et RS sa
résistance de sortie.
Pôle dominant pd.
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25
ETUDE DU BRUIT
Point de polarisation en entrée :
VIN0  VGS p  VDD  VDD 
2  In
 VT p
KPp  W p L p
Dynamique de sortie :
 
OUT  VDD  VDS sat M p  VDD 
OUT  VSS  VDS sat M n   VSS 
2  In
KPp  W p L p
2  In
KPn  Wn Ln
Gain statique :
Av0  
gm p
g dsn  g ds p
2  KPp  W p L p  I n



1
1


In 

 VE  Ln VE  L p 
p
 n

Micro-électronique CMOS
26
ETUDE DU BRUIT
Fonction de transfert (pôles dominant, non dominant) :
1
Av s   Av0 
pnd  
zp 
gm
p
Cc
pôle non dominant
1
RS  Av0  Cc
gm
: Capacité Cc rabattue par effet Miller.
: A la fréquence où ce pôle entre en
p
CL  CDS  CDS  CGS
n
zéro positif

s  
s 
1 
  1 

pd  
pnd 

pôle dominant
pd  
s
zp
p
p
action, Cc se comporte comme un fil
et Mp se retrouve monté en diode.
On voit aussi en sortie CGSp car Mp est monté en diode à la
fréquence qui nous intéresse!
Micro-électronique CMOS
27
ETUDE DU BRUIT
Etude en bruit :
Notre problème est de calculer les sources de bruit équivalentes
ramenées en entrée, Eeq et Ieq, i.e. au niveau de la grille de Mp. Pour
cela, on établit le schéma petits signaux avec sources de bruit :
vin
avec
Cin
Cm
g m p vin
vout
2
ids
p
2
ids
Cin  CGS p Cm  C DG p  Cc
Cout  CDS n  CDGn  CDS p  CL
n
g out
Cout
gout  g dsn  g ds p
Ce quadripôle bruyant doit être modélisé par un quadripôle non-bruyant
auquel on rajoute deux sources de bruit en entrée telle que le bruit en
sortie soit le même que celui présenté par le quadripôle bruyant.
Micro-électronique CMOS
28
ETUDE DU BRUIT
2
Eeq
I2
I1
V1
Quadripôle
non bruyant
2
I eq
V2
a) Calcul de Eeq :
On calcule le courant de bruit en sortie (par exemple) pour l’entrée et la
sortie court-circuitée et l’on divise par la transconductance entre la
sortie (toujours court-circuitée) et l’entrée ve :
iout
Cin
vin
Cm
vout
g m p vin
2
ids
p
2
ids
n
g out
Micro-électronique CMOS
Cout
29
ETUDE DU BRUIT
Les deux sources de bruit étant indépendantes, on peut sommer
leur dsp de bruit :
8
2
2
2
iout
 ids
 ids
  k  T  gmn  gm p
n
p
3
en ne considérant que le bruit thermique.


D ’autre part, la transconductance iout/vin est donnée par :
g m p  vin  s  Cm  vin  iout  0 
iout
 g m p  s  Cm
vin
La tension équivalente de bruit ramenée à l ’entrée vaut :
2
2
ids
 ids
n
p





g mn  g m p
g mn  g m p
8
8
Eeq ( f ) 
 kT
 kT
2 3
2 3
2
gm
g m p  sCm
g m p  sCm
p


Micro-électronique CMOS

30
ETUDE DU BRUIT
Pour des fréquences allant jusqu ’au zéro positif (donc des fréquences
assez élevées), la tension de bruit thermique ramenée à l ’entrée vaut :
8
1
Eeq ( f )   kT 
3
gm
b) Calcul de Ieq :


g
m
1 

 gm 


n
p
p
La détermination de Ieq demande de laisser en l’air l’entrée et la sortie de
l’étage (par exemple), de déterminer la tension de bruit en sortie, puis de
diviser cette tension par le carré de la transrésistance de l ’étage :
Détermination de la tension de bruit en sortie :
vin ?
Cin
Cm
g m p vin
2
ids
p
2
ids
n
Cout
g out
Micro-électronique CMOS
vn2
31
ETUDE DU BRUIT
Après quelques calculs, on trouve :
vn2 
2
2
ids
 ids
n
p




Cm


g

s

C


g

s

C

C
m
out
out
m 
 mp
Cin  Cm


2
Détermination de la transrésistance Tr(f) :
2
ids
iin
v
Cin
n
2
et ids
p
supprimés
Cm
Cout
g out
gm p v
vout
Après quelques calculs, on trouve :
g m p  sCm
vout
1
Tr 


iin
s Cin  Cm 


Cm


g

sC

g

s
C

C
m
out
out
m 
 mp
C

C


in
m


Micro-électronique CMOS
32
ETUDE DU BRUIT
g m p  sCm
vout
1
Tr 


iin
s Cin  Cm 


Cm


g

sC

g

s
C

C
m
out
out
m 
 mp
C

C


in
m


La densité spectrale de courant de bruit en entrée Ieq(f) est alors
donnée par :
2
 s  C  C 
in
m    i2  i2 
I eq  f   
 ds

ds
n
p
g

s

C


 m p
m 
En pratique, l’impédance de Cin+Cm est si grande que le courant de bruit
i2ds n’est quasiment pas réinjecté sur l’entrée à basses fréquences.
Ainsi, seul le bruit thermique se retrouve en courant de bruit à l’entrée,
et ceci à hautes fréquences. On a alors :
2
 sC  C 
8
1 


2
2
in
m
 i
I eq  f   
i
1
  kT
gm p 
 g m p  sCm   dsn ds p  3

Micro-électronique CMOS
g mn 
 2f  Cin 2
gm p 

33
ETUDE DU BRUIT
Remarques :
1) Ieq(f) est clairement corrélé à Eeq(f)!
2) Ieq(f) ne devient important qu’à hautes fréquences. Pour des applications
d’instrumentation à fréquence moyenne, on le néglige toujours.
En regardant maintenant l’étage de gain associé à la source qui l’attaque
(ce peut être un autre étage CMOS comme un étage différentiel, mais
aussi un capteur), on a :
Bruit dû à RS
4  k  T  RS
Etage de gain
Eeq
Quadripôle non bruyant
vin
Av s 
Micro-électronique CMOS
34
ETUDE DU BRUIT
Bruit dû à RS
4  k  T  RS
Etage de gain
Eeq
Quadripôle non bruyant
Av s 
vin
8
1 
Eeq ( f )   k  T 
1

3
gm p

g mn 


gm p

 KF  I AFp
1 
KFn  I nAFn
p n

2 
2
gm
Cox  L p
Cox  L2n
p 





En général, lorsque RS représente la résistance de sortie d’un capteur, elle
est assez faible. Dans ce cas, c’est très souvent Eeq qui domine.
Micro-électronique CMOS
35