Problem dualny
Download
Report
Transcript Problem dualny
Dlaczego
rozwiązując problem inżynierski
warto od razu rozwiązać
problem dualny
Maciej Paszyński
Katedra Informatyki
Akademia Górniczo-Hutnicza
Kraków, Poland
[email protected]
home.agh.edu.pl/paszynsk
PLAN PREZENTACJI
Przykładowy problem prosty
Funkcja celu
Sformułowanie silne
Sformułowanie słabe
Dyskretyzacja metodą Galerkina
Szacowanie dokładności rozwiązania numerycznego
Wpływ dokładności rozwiązania globalnego
na dokładność wartości funkcji celu
Rozwiązanie problemu dualnego – funkcja wpływu
Przykładowe problemy proste i dualne
PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTY
SFORMUŁOWANIE SILNE
2
Szukamy u C 0,1 , R 0,1 x u x R takiego że
d 2u x
dx
2
f x dla x 0,1
u x 0 dla x 0, x 1
Naszym celem jest obliczenie wartości funkcji w punkcie
Qu u x0
(zwana funkcją celu)
PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTY
SFORMUŁOWANIE SILNE / SFORMUŁOWANIE SŁABE
Sformułowanie silne
2
Szukamy Qu u x0 , u C 0,1 takiego że
d 2u x
dx
2
f x dla x 0,1
u x 0 dla x 0, x 1
Sformułowanie słabe
Szukamy Qu u x0 , u V v H
takiego że
B u, v F v dla v V
1
B u, v u' v' dx
0
F v
1
f v dx
0
1
0,1 : v 0 v 1 0
PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTY
DYSKRETYZACJA METODĄ GALERKINA
Dyskretyzacja metodą Galerkina
ai ei kombinacja liniowa funkcji bazowych
Rozwiązanie przybliżone uh
przestrzeni genei Vh V
i
Szukamy Qu h u h x0 , u h Vh V
takiego że
B u h , vh F vh dla vh e j , j 1,..., dimVh
a B e , e F e
i
i
j
j
j 1,..., dimVh
i
Otrzymaliśmy układ równań liniowych o wyrazach
1
B ei , e j ei ' e j ' dx
0
o niewiadomych ai
1
f e j dx
F ej
0
Przykładowa baza
przestrzeni Vh
SZACOWANIE DOKŁADNOŚCI ROZWIĄZANIA
Jak oszacować dokładność uh Vh ?
Jeśli znam rozwiązanie dokładne uexact wówczas mogę oszacować
błąd
uexact uh
Jeśli nie znam rozwiązania dokładnego, wówczas mogę rozwiązać problem słaby
na większej podprzestrzni uzyskując rozwiązanie uh Vh
2
i szacując błąd względny
u h uh
2
2
ZALEŻNOŚĆ DOKŁADNOŚCI ROZWIĄZANIA
A DOKŁADNOŚCI FUNKCJI CELU
PROBLEM DUALNY
Jak dokładność rozwiązania uh Vh wpływa na dokładność wartości funkcji celu
Qu u x0
O tym mówi tzw. funkcja wpływu (influence function) G0 V
którą otrzymuje się rozwiązując tzw. problem dualny
PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (1/4)
Problem prosty
1
Szukamy Qu u x0 , u V H 0 0,1
takiego że
B u, v F v dla v V
1
B u, v u' v' dx
F v
1
f v dx
0
0
Problem dualny
Dla danego Qu u x0 szukamy G0 V
takiego że
Tutaj Go to funkcja Greena
Qu F G0 Bu,G0 dla u V
1
B u, G0 u ' G0 ' dx
0
F v
1
f v dx
0
Jeśli B jest symetryczna B u, G0 B G0 , u
1
G ' u' dx
0
0
wówczas rozwiązanie problemu dualnego to rozwiązanie problemu prostego
dla nowej prawej strony LU faktoryzacje układu równań wykonuje się tylko raz
PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (2/4)
Problem prosty
Jednorodny transport ciepła
Funkcja celu Q(u) = wartość rozwiązania (temperatura) w punkcie (0.6,0.6)
Problem dualny
Rozwiązanie problemu prostego –
rozkład temperatury
Problem dualny
Rozwiązanie problemu dualnego
funkcja wpływu („Influence function”)
PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (3/4)
Problem prosty
Liniowa sprężystość, problem rotacji belki
Funkcja celu Q(u) = składowa przemieszczenia x na górze na środku belki
Problem dualny
Rozwiązanie problemu prostego –
pole przemieszczeń
Problem dualny
Rozwiązanie problemu dualnego
funkcja wpływu („Influence function”)
PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (4/4)
Problem prosty
Liniowa sprężystość, obciążenie części maszyny
Funkcja celu Q(u) = norma z naprężenia na środku górnego ramiona
Rozwiązanie problemu prostego –
pole przemieszczeń
Problem dualny
Rozwiązanie problemu dualnego
funkcja wpływu („Influence function”)
PODSUMOWANIE
Rozwiązanie problemu dualnego dla danej funkcji celu
pozwala nam znaleźć funkcje wpływu (influence function)
mówiącą o tym w jakim stopniu rozwiązanie problemu
prostego wpływa na wartość funkcji celu.
Dzięki temu wiemy np. w jaki sposób poprawiać dokładność
rozwiązania problemu prostego żeby poprawić dokładność
wartości funkcji celu.
W przypadku problemów symetrycznych rozwiązanie
problemu dualnego uzyskujemy używając drugiej dodatkowej
prawej strony – koszt obliczeniowy rozwiązania to jedna LU
faktoryzacja oraz 2 podstawiania wstecz.