Transcript Problem dualny

Dlaczego
rozwiązując problem inżynierski
warto od razu rozwiązać
problem dualny
Maciej Paszyński
Katedra Informatyki
Akademia Górniczo-Hutnicza
Kraków, Poland
[email protected]
home.agh.edu.pl/paszynsk
PLAN PREZENTACJI
 Przykładowy problem prosty
 Funkcja celu
 Sformułowanie silne
 Sformułowanie słabe
 Dyskretyzacja metodą Galerkina
 Szacowanie dokładności rozwiązania numerycznego
 Wpływ dokładności rozwiązania globalnego
na dokładność wartości funkcji celu
 Rozwiązanie problemu dualnego – funkcja wpływu
 Przykładowe problemy proste i dualne
PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTY
SFORMUŁOWANIE SILNE
2
Szukamy u  C  0,1  , R   0,1   x  u x   R takiego że

d 2u x 
dx
2
 f x  dla x   0,1 
u x   0 dla x  0, x  1
Naszym celem jest obliczenie wartości funkcji w punkcie
Qu   u x0 
(zwana funkcją celu)
PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTY
SFORMUŁOWANIE SILNE / SFORMUŁOWANIE SŁABE
Sformułowanie silne
2
Szukamy Qu   u x0  , u  C  0,1  takiego że

d 2u x 
dx
2
 f x  dla x   0,1 
u x   0 dla x  0, x  1
Sformułowanie słabe

Szukamy Qu   u x0  , u V  v  H
takiego że
B  u, v   F v  dla  v  V
1
B  u, v   u' v' dx

0
F v  
1
 f v dx
0
1
 0,1  : v 0  v 1  0 
PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTY
DYSKRETYZACJA METODĄ GALERKINA
Dyskretyzacja metodą Galerkina
ai ei kombinacja liniowa funkcji bazowych
Rozwiązanie przybliżone uh 
przestrzeni genei   Vh  V

i
Szukamy Qu h   u h x0  , u h  Vh  V
takiego że
B  u h , vh   F vh  dla vh  e j , j  1,..., dimVh
a B  e , e   F e 
i
i
j
j
j  1,..., dimVh
i
Otrzymaliśmy układ równań liniowych o wyrazach

1
 
B ei , e j  ei ' e j ' dx
0
o niewiadomych ai
1
   f e j dx
F ej 
0
Przykładowa baza
przestrzeni Vh
SZACOWANIE DOKŁADNOŚCI ROZWIĄZANIA
Jak oszacować dokładność uh  Vh ?
Jeśli znam rozwiązanie dokładne uexact wówczas mogę oszacować
błąd
uexact  uh
Jeśli nie znam rozwiązania dokładnego, wówczas mogę rozwiązać problem słaby
na większej podprzestrzni uzyskując rozwiązanie uh Vh
2
i szacując błąd względny
u h  uh
2
2
ZALEŻNOŚĆ DOKŁADNOŚCI ROZWIĄZANIA
A DOKŁADNOŚCI FUNKCJI CELU
PROBLEM DUALNY
Jak dokładność rozwiązania uh  Vh wpływa na dokładność wartości funkcji celu
Qu   u x0 
O tym mówi tzw. funkcja wpływu (influence function) G0  V
którą otrzymuje się rozwiązując tzw. problem dualny
PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (1/4)
Problem prosty
1
Szukamy Qu   u x0  , u V  H 0  0,1 
takiego że
B  u, v   F v  dla  v  V
1
B  u, v   u' v' dx

F v  
1
 f v dx
0
0
Problem dualny
Dla danego Qu   u x0  szukamy G0  V
takiego że
Tutaj Go to funkcja Greena
Qu   F G0   Bu,G0  dla  u  V
1
B u, G0   u ' G0 ' dx

0
F v  
1
 f v dx
0
Jeśli B jest symetryczna B u, G0   B G0 , u  
1
 G ' u' dx
0
0
wówczas rozwiązanie problemu dualnego to rozwiązanie problemu prostego
dla nowej prawej strony  LU faktoryzacje układu równań wykonuje się tylko raz
PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (2/4)
Problem prosty
Jednorodny transport ciepła
Funkcja celu Q(u) = wartość rozwiązania (temperatura) w punkcie (0.6,0.6)
Problem dualny
Rozwiązanie problemu prostego –
rozkład temperatury
Problem dualny
Rozwiązanie problemu dualnego
funkcja wpływu („Influence function”)
PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (3/4)
Problem prosty
Liniowa sprężystość, problem rotacji belki
Funkcja celu Q(u) = składowa przemieszczenia x na górze na środku belki
Problem dualny
Rozwiązanie problemu prostego –
pole przemieszczeń
Problem dualny
Rozwiązanie problemu dualnego
funkcja wpływu („Influence function”)
PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (4/4)
Problem prosty
Liniowa sprężystość, obciążenie części maszyny
Funkcja celu Q(u) = norma z naprężenia na środku górnego ramiona
Rozwiązanie problemu prostego –
pole przemieszczeń
Problem dualny
Rozwiązanie problemu dualnego
funkcja wpływu („Influence function”)
PODSUMOWANIE
Rozwiązanie problemu dualnego dla danej funkcji celu
pozwala nam znaleźć funkcje wpływu (influence function)
mówiącą o tym w jakim stopniu rozwiązanie problemu
prostego wpływa na wartość funkcji celu.
Dzięki temu wiemy np. w jaki sposób poprawiać dokładność
rozwiązania problemu prostego żeby poprawić dokładność
wartości funkcji celu.
W przypadku problemów symetrycznych rozwiązanie
problemu dualnego uzyskujemy używając drugiej dodatkowej
prawej strony – koszt obliczeniowy rozwiązania to jedna LU
faktoryzacja oraz 2 podstawiania wstecz.