Transcript Indirect optellen

Deel 2.
Hoofdrekenend
aftrekken
Los hoofdrekenend op en noteer hoe
je het gedaan hebt
• 18 – 3 = .
• 16 – 12 = .
• 11 – 9 = .
• 83 – 7 = .
• 93 – 26 = .
• 71 – 68 = .
• 912 – 76 = .
• 713 – 387 = .
• 811 – 794 = .
Indirect optellen
• De eindtermen en leerplannen vragen dat leerlingen
handig en flexibel leren hoofdrekenen, gebruikmakend
van belangrijke eigenschappen van getallen en
bewerkingen (vb. commutativiteit, associativiteit,
inversie…), zoals
– Compenseren (vb. 78 – 39 = 78 – 40 + 1 = .)
– aftrekken via “indirect optellen” (zie volgende slide)
Indirect optellen (IO) versus direct
aftrekken (DA)
• Direct aftrekken (DA): de aftrekker wordt van het
aftrektal afgetrokken
– Vb. 62–38=? Bijv. “62–30=32 en 32–8=32–(2+6)=24”
• Indirect optellen (IO): het antwoord wordt gevonden
door verder te rekenen van de aftrekker naar het
aftrektal
– Bijv. 62–38=? “Hoeveel moet ik bij 38 doen om aan 62 te
komen? 38+2=40, en 40+22=62, dus het antwoord is 22+2=24”
• (Indirect aftrekken (IA): het antwoord wordt gevonden
door terug te rekenen van het aftrektal naar de
aftrekker:
– Bijv. 62–38=? “Hoeveel moet ik van 62 afnemen om aan 38 te
Nog een andere indeling: Drie soorten
optel- en aftrekstrategieën
• Decompositie- of splitsstrategieën
• Rijg- of springstrategieën
• Compensatie- of variastrategieën
36 + 37
• Springen: 36 + 30 = 66 en 66 + 7 = 73
• Splitsen: 30 + 30 = 60 en 6 + 7 = 13; 60 + 13 =
73
• Varia: 36 + 37 = (2 x 35 = 70) en (1 + 2 = 3); dat
is dan 70 + 3 = 73
375 - 249 = .
• Springen: 375 - 200 = 175, 175 - 40 = 135, 135
- 9 = 126
• Splitsen: 300 - 200 = 100, 60 - 40 = 20, 15 - 9 =
6; 100 + 20 + 6 = 126 (ofwel: 300 – 200 = 100,
70 – 40 = 30 en 5 – 9 is 4 tekort, dus 100 + 30
– 4 = 126)
• Varia: 375 - 249 = 300 - 250 = 50; 50 + 75 =
125; 125 + 1 = 126
Soorten aftrekstrategieën ingedeeld
volgens twee criteria
Springen
Direct aftrekken
(DA)
Indirect optellen
(IO)
(Indirect
aftrekken, IA)
Splitsen
Varia
Wanneer is indirect optellen handig?
• IO wordt in vakdidactische kringen als dé aangewezen
(hoofdreken)strategie beschouwd voor aftrekkingen met
een klein verschil tussen aftrektal en aftrekker:
• 11 – 9 = ?
• 81 – 78 = ?
• 604 – 598 = ?
Indirect optellen:
onderzoeksvragenvragen
• Is indirect optellen inderdaad een efficiënte
(d.w.z. foutloze en snelle) strategie (voor
bepaalde opgaven)?
• Wordt deze strategie vaak toegepast door
Vlaamse basisschoolleerlingen?
• Wordt ze systematisch aangeleerd in het
Vlaamse basisonderwijs?
Onderzoek 1a (Torbeyns et al., 2009a)
• 39 universiteitsstudenten
• 4 opgaventypes (afhankelijk van grootte van aftrekker):
–
–
–
–
•
S400: 812–473=?
S500: 814–578=?
S600: 813–687=?
S700: 811–785=?
3 condities:
–
–
1 keuzeconditie: proefpersoon mag kiezen tussen IO of DA
2 geen-keuze condities:
•
•
Pp is verplicht IO toe te passen
Pp is verplicht DA toe te passen
• Analyse van antwoorden en reactietijden
Resultaten mbt efficiëntie
Accuraatheid en snelheid van IO en DA in de 2 geen-keuze
condities (IO en DA)
Type
opgave
S400
S500
812–473=?
814–578=?
91 %
81 %
8.81 s
9.73 s
DA conditie
Juisthei Snelhei
d
d
80 %
15.96 s
76 %
16.68 s
S600
S700
813–687=?
811–785=?
81 %
95 %
8.98 s
7.35 s
80 %
80 %
16.67 s
15.42 s
87 %
8.72 s
79 %
16.18 s
Totaal
Voorbeeld
IO conditie
Juistheid Snelheid
Hoofdeffect van conditie op accuratesse, F(1, 265) = 9.77, p < .01, partial η² = .10, en op snelheid, F(1, 264) = 123.71, p < .001,
partial η² = .4 ; geen interactie-effect met type opgave
Onderzoek 1b (Torbeyns et al., in press)
• 40 universiteitsstudenten
• 2 opgaventypes (afhankelijk van grootte van verschil
tussen aftrektal en aftrekker):
–
–
•
Groot verschil: 812–73=?
Klein verschil: 811–785=?
3 condities:
–
–
1 keuzeconditie: proefpersoon mag kiezen tussen IO of DA
2 geen keuze condities:
•
•
Pp is verplicht IO toe te passen
Pp is verplicht DA toe te passen
• Analyse van antwoorden en reactietijden
Resultaten mbt efficiëntie
DA conditie
IO conditie
Type opgave
Klein verschil
(812 - 793 = ?)
Groot verschil
(756 - 78 = ?)
Totaal
Juistheid
Snelheid
Juisthei
d
Snelheid
93 %
12.45 s
99 %
5.32 s
87 %
13.89 s
93 %
10.89 s
90 %
13.17 s
96 %
8.10 s
Significant hoofdeffect van conditie op accuratesse, F(1, 207) = 29.90, p < .01, partial η² = .28, en op snelheid, F(1, 207) = 167.87,
p < .01, partial η² = .65; Significante conditie × type opgave interactie, F(1, 207) = 27.74, p < .01, partial η² = .51
Onderzoek 2 (Torbeyns et al., 2009b)
• 71 2de, 71 3de en 53 4de klassers, die geen
systematische instructie hebben gekregen in IO
• Twee individuele tests
– Spontaan gebruik van IO: 20 items, waaronder 5 aftrekkingen
van het type 81-79=?
– IO vermelden als een van de mogelijke strategieën: 8 items
waaronder 2 van het type 81-79=? met als opdracht minstens 2
verschillende oplossingswijzen te geven
Resultaten: een gokje?
Leerjaar
Spontaan gebruik
van IO bij opgaven
zoals 81-79=?
2
?
IO als mogelijke
strategie bij
opgaven zoals 8179=?
?
3
?
?
4
?
?
Resultaten
Leerjaar
Spontaan gebruik
van IO bij opgaven
zoals 81-79=?
2
4%
IO als mogelijke
strategie bij
opgaven zoals 8179=?
5%
3
8%
15 %
4
15 %
20 %
Onderzoek 3 (Torbeyns et al., 2009c)
• Vergelijking van het gebruik van IO tussen leerlingen van
2de, 3de en 4de leerjaar
– van 1 school waarin een rekenmethode wordt gebruikt waarin IO
expliciet en systematisch wordt aangeleerd vs. (IO-school)
– Van 2 scholen die een rekenmethode hanteren waarin dat niet
gebeurt (DA-school)
• Via een schriftelijke toets waarvan 1/3 van de opgaven de
IO strategie uitlokken (vb. 81 – 79 = ?)
• Analyse: nagaan of de IO-strategie wordt toegepast op
deze opgaven die deze strategie uitlokken, en de
resultaten voor de IO-school en de DA-scholen onderling
vergelijken.
Resultaten
• De totale frequentie van IO was extreem laag: slechts
65 van de 2370 items (2.7%) werden opgelost mbv IO
• Slechts 3 van de 1547 items (0.2%) in de DA-groep
werden opgelost mbv IO, versus 62 van de 823 (7.5%)
in de IO-groep
• Vrijwel alle (i.e. 63 van de 65) IO-strategieën werden
gevonden in het 2e leerjaar
• Dus: een klein beetje meer IO-strategiegebruik in (het
2de leerjaar van) de IO-school, maar verrassend en
teleurstellend lage gebruiksfrequentie in deze school
Interpretatie van dit resultaat
• Is het zo dat in de IO-school de IO-strategie effectief en
systematisch is onderwezen (zoals de rekenmethode
voorschrijft én zoals door de geïnterviewde leerkrachten
werd beweerd)?
– Nood aan verder onderzoek naar de reële klaspraktijk m.b.t.
plaats van IO-strategie in het curriculum
• Mogen we ervan uitgaan dat als leerlingen de IOstrategie niet rapporteren (mondeling of schriftelijk), zij
deze strategie niet hebben gebruikt
– Nood aan verder onderzoek naar de betrouwbaarheid van
zelfrapportages over rekenstrategiegebruik (maar we weten
intussen al uit onderzoek dat leerlingen soms IO gebruiken
zonder die strategie te rapporteren, omdat ze (a) niet weten dat
ze IO toegepast hebben, (b) de IO strategie niet kunnen
Een vraag (vooral voor leerkrachten
onderbouw lagere school)
• In hoeverre wordt in uw rekenmethode systematisch
aandacht besteed aan de IO-strategie voor
hoofdrekenend aftrekken?
• Staat u achter de aanpak die hieromtrent gevolgd wordt
in uw rekenmethode?
• Hoe reageert u op leerlingen die IO als
hoofdrekenstrategie hanteren?
Toemaatje 1: Onderscheid DA vs. IO
ook al bij tellen van kleuters
• 5 à 6-jarige kinderen krijgen eenvoudige aftrekkingen
mondeling aangeboden (vb “9 eraf 3 is…”)
• Men gaat na of ze de opgaven via DA of IO tellend
hebben opgelost
– Direct aftrekken (DA): “9… 1 eraf is 8, 2 eraf is 7, 3 eraf is 6 …
dus het antwoord is 6”
– Indirect optellen (IO): “3…1 erbij is 4, 2 erbij is 5, 3 erbij is 6, 4
erbij is 7, 5 erbij is 8, 6 erbij is 9… het antwoord is 6”
• Sommige (slimme) kleuters tellen via DA bij oefeningen
als 9-2 en via IO bij oefeningen als 9-7!
Toemaatje 2: Onderscheid ook erg
belangrijk bij vraagstukken
• Bij welke opgave verwacht je meest/minst IOstrategieën?
– Piet heeft 74 appels en hij geeft er 68 aan An. Hoeveel heeft
Piet er dan nog?
– Piet heeft 68 appels. Hij krijgt er nog wat bij en nu heeft hij er
74. Hoeveel appels heeft Piet bij gekregen?
– Piet en An hebben samen 74 appels. Piet heeft er 68. Hoeveel
heeft An er?
– Piet heeft 74 appels. An 68. Hoeveel heeft Piet er meer dan
An?
Onderscheid ook erg belangrijk bij
vraagstukken
• Bij welke opgave verwacht je meest/minst IOstrategieën?
• Meest:
– Piet heeft 68 appels. Hij krijgt er nog wat bij en nu heeft hij er
74. Hoeveel appels heeft Piet bij gekregen?
• Minder:
– Piet en An hebben samen 74 appels. Piet heeft er 68. Hoeveel
heeft An er?
– Piet heeft 74 appels. An 68. Hoeveel heeft Piet er meer dan
An?
• Minst:
– Piet heeft 74 appels en hij geeft er 68 aan An. Hoeveel heeft
Piet er dan nog?
Toemaatje 3: Onderscheid DA vs. IO
speelt ook bij cijferrekenen
Toemaatje 4: IO in rekenmethoden
(Das Zahlenbuch)
Toemaatje 5: Lege getallenlijn als
denk- en communicatiemiddel