Transcript Matematyka Starożytna

MATEMATYKA
STAROŻYTNA
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
1
Historia
matematyki
M a tem a ty ka , p ierw otn ie, w staro ż ytn ości, n au ka
o liczb ach (arytm etyka ) i figu rach geo m etryczn ych
(geo m etria ), któ ra rozw in ęła się n a gru n cie filozofii
n a p rze ło m ie V i IV w . p .n .e. d zięki tzw . " m atem atyk o m "
w szk o le "m łod ych p ita g orejczykó w ", d o któ rych n ależeli
m .in .: A rch ytas z T aren tu , E u d oksos z K n id o s, E u rytas.
W ru ch u tym u czestn iczyli tak że A n aksag oras, D em o kryt,
a p otem P laton i A rystoteles. O b ecn ie ogó ł teorii
d ed u kc yjn ych d otycz ąc ych ab strakc yjn ych ob ie któ w .
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
2
Starożytne budowle egipskie
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
3
Matematyka euklidesowa
• Geometria euklidesowa-sformułowany w
„Podstawach”,przez Euklidesa, zbiór pojęć
i twierdzeń geometrycznych dla płaskiej
przestrzeni opartych na systemie pięciu
aksjomatów.
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
4
Aksjomat Euklidesa
• Najważniejszym aksjomatem jest tak zwany
aksjomat piąty (postulat równoległości)
głoszący: jeżeli dwie proste na płaszczyźnie
a i b przecina trzecia c, tworząc po jednej
stronie sumę kątów mniejszą od kąta
półpełnego (180° lub π radianów), to proste
a i b przetną się po tej samej stronie.
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
5
PITAGORAS
• PITAGORAS-twórca szkoły filozoficznej
pitagorejczyków
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
6
• PITAGORAS
-pochodził z wyspy Samos,urodził się około roku 580 przed
naszą erą,wielki wpływ na niego miał jego pobyt w Egipcie,
najbardziej twórczy okres swego życia spędził w Krotonie
w Wielkiej Grecji
-sądził,że podstawą ładu jest liczba
(dziś powiedzielibyśmy:liczba naturalna)
-szukał związków liczbowych w utworach
geometrycznych,
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
7
-znany mu był trójkąt egipski o bokach
wyrażonych liczbami 3,4 i 5,
trójkąty,których wszystkie trzy boki
są wyrażone liczbami całkowitymi
spełniającymi warunek pitagorejski
nazywamy TRÓJKĄTAMI
PITAGOREJSKIMI
np. a=3 b=4 c=5
a=5 b=12 c=1
a=8 b=15 c=17
a=7 b=24 c=25
a=9 b=40 c=41
a=20 b=21 c=29
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
8
Twierdzenie Pitagorasa
c
2
2
a +b =c
2
b
a
a, b -p rzyp rostok ątn e w trójk ącie p rostok ątn y m
c-p rzeciw p rostok ątn a w trójk ącie p rostok ątn y m
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
9
Twierdzenie Pitagorasa
• Pitagorasowi przypisuje się twierdzenie:
kwadrat zbudowany na
przeciwprostokątnej trójkąta
prostokątnego równa się sumie
kwadratów zbudowanych na jego
przyprostokątnych.
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
10
trójkąt pitagorejski
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
11
Z czterech jednakowych trójkątów i dwóch mniejszych
kolorowych kwadratów można ułożyć duży kwadrat (środkowy
rysunek). Ten sam duży kwadrat da się ułożyć z czterech
trójkątów, doklejonych do czterech boków żółtego kwadratu. To
zaś oznacza, że pole żółtego kwadratu jest równe sumie
pól kwadratów niebieskiego i zielonego.
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
12
trójkąt o bokach 3,4,5 uważany był w Starożytności
za figurę magiczną: obwód jego=12, pole zaś równa
się 6,a więc liczbie kolejnej po trzech liczbach
oznaczających długości boków, ponadto
33+43+53 =63
w Baalbeku w Syrii,w słynnej piramidzie Cheopsa tak
zwana komnata królewska ma wymiary w sposób
szczególny związane z liczbami 3,4,5,
to samo wykorzystywano przy budowie wspaniałych
świątyń w Egipcie,Babilonie,Chinach i Meksyku,
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
13
Do czasów obecnych przetrwały starożytne budowle w kształcie
ostrosłupów-piramidy (grobowce faraonów)
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
14
umiłowaną figurą pitagorejczyków był
PENTAGRAM,zwany gwiazdą
pitagorejską,jest to prawidłowy
pięciokąt,którego boki przedłużone w obie
strony tworzą pięciokąt gwiaździsty,
znakiem tym pitagorejczycy pozdrawiali się i wzajemnie
rozpoznawali,kreśląc go na piasku,
suma kątów pentagramu równa się dwóm kątom prostym,
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
15
Pitagorejczykom przypisuje się także
odkrycie odcinka niewymiernego w kwadracie
a2+a2=c2,gdzie a i c są liczbami względnie
pierwszymi
uznawani są za twórców pierwszych zasad budowy
wielościanów foremnych,które nazywali FIGURAMI
KOSMICZNYMI,
liczby doskonałe,to liczby w których suma podzielników
(bez danej liczby) równa się tej liczbie na przykład:
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
16
wprowadzili liczby zaprzyjaźnione
gdy zapytano Pitagorasa"Co to jest przyjaciel?” odpowiedział "Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń to stosunek
liczb 220 i 284”
dwie liczby nazywamy zaprzyjaźnionymi, jeśli
suma podzielników pierwszej równa się drugiej
liczbie i odwrotnie-suma podzielników drugiej
równa się pierwszej: 220=1+2+4+71+142 suma
podzielników liczby 284
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 suma
podzielników liczby 220,
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
17
Rozwiąż
zadania
Powodzenia!!!
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
18
Zadanie 1
Wiedząc, że a i b są długościami
przyprostokątnych trójkąta oraz c jest
długością przeciwprostokątnej,
oblicz:
a) c, jeśli a=5cm, b=12cm,
b) b, jeśli a=9 cm, c=15 cm.
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
19
Zadanie 2
Sprawdź, czy trójkąty o danych bokach są
prostokątne:
a) 4 cm, 5 cm, 6 cm
b) 6 cm, 8 cm, 10 cm
c) 11 cm, 60 cm, 61 cm
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
20
Zadanie 3
Oblicz długość przekątnej kwadratu o
boku:
a) 5 cm,
b) 8 cm
c) 3 cm
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
21
Zadanie 4
Oblicz długość przekątnej prostokąta
o wymiarach:
a) 4 cm i 6 cm
b) 8 cm i 3 cm
c) 2 cm i 5 cm
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
22
KONIEC
© Grzegorz Piskorz - zastrzeżone
23