Transcript El Método de Matriz de Transferencia 2

El Método de la Matrix de Transferencia
Pedro Pereyra Padilla
Area de Física Teórica y Materia Condensada
Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco,
México D.F.
Resumen
Presentaremos una introducción al Método de la Matriz de
Transferencia (MMT) y algunas aplicaciones en la teoría del
transporte electrónico cuántico y en la opto-electrónica
El Método de la Matrix de Transferencia
Pedro Pereyra Padilla
Area de Física Teórica y Materia Condensada
Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco,
México D.F.
INDICE
I.
Introduccíon
a. La Matriz de Transferencia (MT) y su relación con la matriz S
b. La MT de la barrera rectangular y el pozo cuántico. Efecto tunel y cuantización
II. La Teoría de Sistemas Periódicos Fínitos.
a. Estructura de bandas (eigenvalores y eigenfunciones). Aproximación de masa
efectiva
b. Semiconductores, dispositivos opto-electrónicos, heteroestructuras, (láseres).
III. Paquetes Gaussianos en superredes ópticas
IV. Dinámica del spín en superredes magnéticas
V.
Conclusiones
Sistemas Periódicos
El cálculo de los niveles de energía y de las eigenfunciones es el problema más
importante en la descripción cuántica de los sólidos cristalinos
Teoría Standard
El teorema de Bloch (rigurosamente válido sólo cuando el sistema es infinito!!)
establece que las funciones de onda de los sistemas periódicos son de la forma
 (r)  eik ru(r)
1D

  ( z)  eikzu( z)
Todos los modelos diseñados para el cálculo de los niveles de energía de sistemas
periódicos, como el modelo de electrones cuasi-libres, el de Kronig-Penney, los
cálculos numéricos con pseudopotenciales, etc. concluyen que los niveles están
agrupados en bandas contínuas (Teorías de Bandas Contínuas)
Teoría de Sistemas Periódicos Finitos
Utilizando el método de la matriz de transferencia, sin necesidad de las funciones de
Bloch ni del espacio recíproco, se deducen fórmulas compactas y cerradas para la
evaluación de los eigenvalores y eigenfunciones de los sistemas periódicos.
Mostraremos que ni las bandas son contínuas ni las eigenfunciones periódicas!!
Sistemas Periódicos*
V(z)
z0
lc
z1
z2
z3
……
zn-1
z
n
 

M  *
*




Si conocemos la MT de una celda unitaria, podemos describir al sistema completo
Mn (zn ,z0 ) = M(zn ,zn-1 ) M(zn-1 ,zn-2 ) … M(z3 ,z2 ) M(z2 ,z1 ) M(z1 ,z0 )
  n  n             
M n   * * *
...

*  *
*  *
*  *
*











 
 

n 
 n
n
* PP, J. Math Phys. 36, 1166 (1995), PP, Phys. Rev. Lett. 80, 2677 (1998), PP, J Phys. A 31,4521 (1998), PP &
E. Castillo Phys. Rev. B 65, 205120 (2002).
Sistemas Periódicos
V(z)
z0
lc
z1
z2
z3
……
zn-1
z
n
Mn = M Mn-1
  n  n        n 1  n 1 
 *
 *
*
*
* 
* 



  n  n        n 1  n 1 
n   n-1 +  *n-1
n= pn-1
 *n  n+1   n
* n  pn   pn-1
*n  1 n+1  1   1 n
n  pn  * pn-1
* n  pn  1   pn-1
pn-1 =  -1 n
Sistemas Periódicos
V(z)
z0
z1
lc
z2
z3
……
zn-1
z
n
Mn = M Mn-1
  n  n        n 1  n 1 
 *
 *
*
*
* 
* 



  n  n        n 1  n 1 
n= pn-1
n   n-1 +  *n-1
*
n

*
pn -  pn-1 
 n-1 +
*

*
*
n-1
+ *+ (p
p
-1
*n-1
(p–
)n-2)
n-2n-1
n-1–p
n-2p
pn – ( +*) pn-1 +
+(
pn-2
*0* ) pn-2  0
*n  pn   pn-1
n  pn  * pn-1
pn = Un(r)
Sistemas Periódicos
V(z)
z0
z1
lc
z2
z3
……
zn-1
z
n
Mn = M Mn-1
  n  n        n 1  n 1 
 *
 *
*
*
* 
* 



  n  n        n 1  n 1 
n= pn-1
n  pn  * pn-1
pn = Un(r)
t
tn 
1
†
r
1

*

*
1
n
†

T  tn 
2
1
pn   pn1
1
pn   pn1
2
* PP, J. Math Phys. 36, 1166 (1995), PP, Phys. Rev. Lett. 80, 2677 (1998), PP, J Phys. A 31,4521 (1998), PP &
E. Castillo Phys. Rev. B 65, 205120 (2002).
Sistemas Periódicos
T1
1
Tn 
T
T + U n1 ( R ) (1  T )
0.5
n=1
0.1
0.2
0.3
E
0.3
E
0.3
E
0.3
E
1.
T2
1
2
n=2
0.5
0.1
0.2
1.
1
T3
3
2
n=3
0.5
0.1
T10
1
2
10
0.2
1.
n=10
0.5
…
0.1
0.2
Eigenvalores y eigenfunciones
a)
Sistemas abiertos. Niveles y Estados Resonantes
V(z)
z0
Tn 
lc
z2
z3
zn-1
z
n
|n |2 -|n |2 =1
1
n
z1
……
2
Tn 
1
1 + n
2

1
1 +  U n21
2
1.
 r  cos
0.5
0.1
0.2
0.3

n
Eigenvalores y eigenfunciones
a)
Sistemas abiertos. Modelo de Kronig-Penney. Niveles y Estados Resonantes
2
1
n
3
…
z1
z0
Tn 
1
n
2
z3
z2
|n |2 -|n |2 =1
 r  cos
Tn 
zn
zn-1
1
1 + n
2

1
1 +  U n21

n
k2  q2

cos k a cosh q b 
sin k a sinh q b  cos
2k q
n
2
Eigenvalores y eigenfunciones
a)
Sistemas abiertos. Modelo de Kronig-Penney. Niveles y Estados Resonantes
k2  q2

cos k a cosh q b 
sin k a sinh q b  cos
2k q
n
Eigenvalores y eigenfunciones
La condición
Tr M  2
define las bandas
Eigenvalores y eigenfunciones
a)
Sistemas abiertos. Modelo de Kronig-Penney. Niveles y Estados Resonantes
PP Ann. Phys. 320, 1 (2005)
Eigenvalores y eigenfunciones
Eigenvalores y eigenfunciones
b)
Eigenvalores de la energía en sistemas cerrados
La anulación de las funciones de onda en los extremos implica le ecuación de
eigenvalores
PP Ann. Phys. 320, 1 (2005)
Eigenvalores y eigenfunciones
b)
Eigenvalores de la energía en sistemas cerrados
PP Ann. Phys. 320, 1 (2005)
Eigenvalores y eigenfunciones
b)
Eigenvalores de la energía en sistemas cerrados
Estados de Superficie
Eigenvalores y eigenfunciones
b)
Eigenvalores de la energía en sistemas cerrados
Estados de Superficie
V
V o 0.23 eV
w
0.44 eV
l c 13 nm
zo
zn
 q 2w  k 2
q 2w + k 2 
 U n1  0
U n +  I
R  I

2q w k
2qw k 




qw 
* 
 ( z , E , )  A ( p +  p ) j + ( p +  p ) j 1  i 
k 




qw 

+ ( p +  p ) j + ( p +  p ) 1 + i 
k 

*
j
Eigenvalores y eigenfunciones
b)
Eigenvalores de la energía en sistemas cerrados
Estados de Superficie
PP Ann. Phys. 320, 1 (2005)
Sistemas Periódicos
Aplicaciones de la TSPF
2
jil
The Transfer Matrix Approach*
For finite periodic systems (1D or 3D), with arbitrary potential profile,
tnjil
…
z0
z1
z2
zn-1
z
n
we have developed the TMA and the Theory of Finite Periodic Systems (TFPS)
The TFPS is valid for an arbitrary number of propagating modes, arbitrary
number of cells and arbitrary potential profile
This theory allows to calculate scattering amplitudes (transport properties,
tunneling and transmission times of electrons and holes) and the energy
spectra (energy eigenvalues and eigenfunctions), hence to study
optoelectronic properties, spin transport properties, etc.)
* PP, PRL 80, 2677 (1998), PP, J Phys A 31,4521 (1998), PP & E. Castillo PRB 65, 205120
(2002), JL Cardoso, PP & A Anzaldo, PRB 63, 153301(2001), A Kunold & PP J Appl. Phys.
93, 5018 (2003), PP Ann. Phys. 320, 1 (2005),…
Which are the most relevant results of the TFPS?
tnjil
jil
…
  n n 
Mn   *
*


n 
 n
  
M  *
*




tn 
1
n
†
Tn  tn tn
Tn 

(p
n
1
  pn1
*
t
E
T
T + U n1 ( R ) (1  T )
n   1 pn1
†
 ph 
†
U n1 ( R )  0
)
n  pn   * pn1
resonant energies
( R )  cos

n
2e 2
G
T r tnt n†

Gn 
1
(U n ( R ) )
E 
 ,
2
G
1. Cálculo de tiempos de tunelaje y transmisión. Efecto superlumínico
15
time
fs
n 5
n
10
5
f
Tn
1
500
900
(PP, Phys. Rev. Lett. 84, 1772 (2000), H. Simajuntak, PP. Phys. Rev. B, 67, 045301 (2003),
2. Láseres.
El láser azul
¿Se puede tratar al potencial como potencial seccionalmente constante?
¿Se puede tratar al potencial como potencial seccionalmente constante?
Antes de hacer cálculos en sistemas semiconductores específicos se hacen las
siguientes tres consideraciones importantes:
1. Los electrones en una banda se mueven como si fueran libres (su
coeficiente de transmisión es 1).
2. Los electrones se mueven en el cristal como si tuvieran una masa
diferente (su MASA EFECTIVA)
3. En cada capa semiconductora hay una masa efectiva diferente y
además un GAP característico
La metamorfosis que conduce a potenciales constante
¿Cómo se da este proceso en las estructuras semiconductoras si sabemos
que en los átomos individuales los electrones “sienten” potenciales que tienen
una enorme complejidad, que además aumenta con el tamaño de los átomos?
V(z)
V(z)
z
z
+
+
En los cristales semiconductores el potencial es, además de complejo, periódico
V(z)
z
+
+
+
+
+
La periodicidad permite es fundamental en la metamorfosis del potencial que
utilizaremos para los electrones de valencia en las estructuras semiconductoras
V(z)
z
cuando resolvemos la ecuación de Schröedinger para los electrones de
valencia, se encuentra que su nivel de energía y los que siguen se multiplican
formando las bandas de valencia y de conducción*
V(z)
z
Eg
En un cristal los electrones se mueven como si fueran partículas libres y además
como si tuvieran una masa menor.
En un cristal los electrones se mueven como si fueran partículas libres y además
como si tuvieran una masa menor.
En la física del estado sólido existe toda una colección (zoologico) de masas para
los electrones. Las masas efectivas están definidas como
1
1 d 2E
 2
*
m ,  dk dk
con  ,  x, y, z
La mayor parte de las masas efectivas se obtienen esperimentalmente, por
ejemplo de experimentos transporte en campo magnético B.
Con cada dirección cristalina de los semiconductores se asocia una estructura
de bandas de valencia y de conducción, junto con las correspondientes masas
efectivas.
AlAs
GaAs
m*G =0.07 me
m*A =0.1 me
creación del par e-h
E
E
Eg  h 
Bc
1.51 eV
Bv
2.68 eV
z
gap de energía
recombinación
z
Si tenemos una heteroestructura semiconductora homogénea estudiamos al
sistema como si los electrones percibieran únicamente las variaciones del gap.
Es decir en un potencial seccionalmente constante. Con masas efectivas que
generalmente cambiaran de una capa a otra. En 1D, para una capa dada
2 2

 + Vsc ( z )   E
*
2
2m z
¿Cómo se producen las heteroestructuras y cómo trabajamos en la AME ?
¿Cómo se producen las heteroestructuras y cómo trabajamos en la AME ?
Desde hace poco más de 30 años la técnica de crecimiento de cristales
sobre sustratos cristalinos ha ido perfeccionándose continuamente.
Actualmente, utilizando haces moleculares o por evaporación, se crecen
cristales constituidas por un número finito de monocapas atómicas.
sustrato
crecimiento epitaxial
Estas técnicas han permitido crecer capas
cristalinas con el espesor deseado !!
Si sobre la estructura cristalina del tipo A se crece otra del tipo B y sobre esta
otra vez una capa cristalina del tipo A
A
B
A
heteroestructura
Si EgA < EgB
E
m*A
EgA
m*B
EgB
m*A
Si sobre la estructura cristalina del tipo A se crece otra del tipo B y sobre esta
otra vez una capa cristalina tipo A
A
Si EgB < EgA
B
A
E
m*B
EgA
m*A
EgB
m*B
Las técnicas de crecimiento de estructuras semiconductoras cristalinas
permiten crear diferentes perfiles de potencial.
De esta forma se producen también estructuras periódicas artificiales, las
superredes, con parámetros de red y materiales escogidos a voluntad
lc
En estos sistemas es más elocuente la finitud del sistema periódico
De esta forma se producen también estructuras periódicas artificiales, las
superredes, con parámetros de red y materiales escogidos a voluntad
lc
subbandas
lc
En estos sistemas es más elocuente la finitud del sistema periódico
2. Láseres. El láser azul
Theoretical Model
To study the electron-field interaction inside the superlattice (SL),
we consider the Hamiltonian
HI describes the electron-field interaction,
HEM the transversal field
Vq(z) (q=e,h) is the confining potential in the SL (including the
cladding layers).
The particle-field interaction HI is treated as a perturbation term.
To solve the non-perturbed part we use the TFPS.
In this approach, based on the transfer matrix method, one can
calculate the -th energy eigenvalue Ebμ,v and Ψbμ,v in the μ-th
subband of the conduction and valence band are obtained from:
The coefficients hw and fw are:
A. Kunold, PP, J. Appl. Phys. 93, 5018 (2003)
A. Kunold, PP, J. Appl. Phys. 93, 5018 (2003)
A. Kunold, PP, J. Appl. Phys. 93, 5018 (2003)
exp
The barrier thickness effect
L constant
L variable
We observe a blue shift keeping the well thickness constant.
The well thickness effect
L constant
L variable
We observe a red shift keeping the barrier thickness constant.
The effect of the number of cells
As could be expected, Χ decreases as
n grows, while the gaps are better
defined.
Intense and thin lineshapes
only
for n=8 and n=9