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第九章 图
多对多的关系
§9.1 图的定义和术语
一、图
多对多的关系，非线性结构
G=(V,E)
V(G)：顶点的非空有限集合
E(G)：图中边的有限集合
二、几个术语
有向图：弧（有向边），
<x,y>:xy,x邻接到y，y邻接自x
<x,y> 与x、y相关联
<x,y> ≠ <y,x>
无向图：边（无向边），
(x,y):xy,x与y相邻接
(x,y) 与x、y相关联
(x,y) = (y,x)
二、几个术语2
有向完全图：每个顶点都与其它任意顶点有弧。
共 n*(n-1) 条边。
无向完全图：每个顶点都与其它任意顶点有边。
共 n*(n-1)/2 条边。
子图：V(B)属于V(A)，且E(B)属于E(A)，则B是A的子图。
（B是A中的一部分）
二、几个术语3
顶点的度：与顶点相关联的边的数目（出度、入度）。
有向图中度＝出度＋入度
设vi的度为di，边数e＝1/2∑di（1<i<n）
路径：vp到vq经过的顶点序列，
经过的边的数目称为路径长度。
回路：起始点和终止点是同一顶点的路径。
简单路径（简单回路）：顶点不重复。
二、几个术语4
连通图：无向图中任意两个顶点都是连通的。
强连通图：有向图中任意两个顶点都是连通的。
连通分量＝极大连通子图
网络（带权图）：边上附加数作为权（代价）。
（连通图的）生成树：极小连通子图。
问题：1、n个顶点的连通图至少 n-1
2、n个顶点的强连通图至少
条边。
n
条边。
§9.2 图的存储
一、邻接矩阵：用二维数组表示顶点的邻接关系
1、n顶点用n阶方阵
1（i与j相邻接）
A[ i ][ j ] =
0（i与j 无边）
2、邻接矩阵特点
① 无向图邻接矩阵对称，有向图不对称
② 无向图第i行(列)非零元素个数即为结点i的度
有向图第i行(列)非零元素个数即为结点i的出(入)度
③ 容易确认任两点之间是否有边，但扫描边数代价大
（对每个结点进行检测）
3、邻接矩阵建立图
main()
{ int i,j,n=5,adj[5][5],v1,v2;
for (i=0;i<n;i++)
for (j=0;j<n;j++) adj[i][j]=0;
scanf(“%d,%d”,&v1,&v2);
while (v1!=0 || v2!=0)
{ adj[v1][v2]=1; adj[v2][v1]=1;
scanf(“%d,%d”,&v1,&v2);
}
}
时间复杂度：O（n2+e）
二、邻接表
data
指向下一个邻接点
例子：
特点：① 每个顶点对应一个单链表（存储邻接点）
② 无向图n个顶点，e条边需n个表头结点和2e个边结点
③ 顶点对应的单链表长度为该顶点的度
（有向图则为出度）
问题：如何求有向图顶点的入度？
解：可建立有向图的逆邻接表
例子：
① 正邻接表：方便求顶点的出度
② 逆邻接表：方便求顶点的入度
用邻接表存储图结点定义：
struct gra
{int vertex;
struct gra *link;
}；
typedef struct gra GRA;
GRA
adj[maxsize];
邻接表建立图（有向图）：
main()
{ int i,j,v1,v2; GRA *ptr;
for (i=0;i<n;i++)
{adj[i].vertex=i+1; adj[i].link = NULL;}
scanf(“%d,%d”,&v1,&v2);
while (v1!=0 && v2!=0)
{ ptr=(GRA *) malloc (sizeof(GRA));
ptr->vertex=v2-1;
ptr->link=adj[v1-1].link;
adj[v1-1].link=ptr;
scanf(“%d,%d”,&v1,&v2); }
}
时间复杂度：O（n+e）
§9.3 图的遍历
一、深度优先遍历
利用栈结构
例子
遍历结果：n结点，（n－1）条边，无回路
按遍历过程经过的边为一棵深度优先生成树。
过程：① 指定起点q
② 访问q
⑤ 找栈顶元素未访问邻接点q
③ q进栈
a：找到，转②
④ 栈空否？
b：找不到，出栈，转④
a：不空，转⑤
⑥ 结束
b：空，转⑥
栈的变化： （过程）
访问：
输出顶点并记录经过的边，即有深度优先生成树
上机：
使用邻接表存储图，编写其深度优先遍历的非递
归算法。
过程：访问地点；起点进栈；
while （栈不空）
{找栈顶未访问邻接点p；
if 找到
{访问；进栈；}
else
出栈； }
§9.3 图的遍历2
二、广度优先遍历
利用队列结构
例子
遍历结果：n结点，（n－1）条边，无回路
按遍历过程经过的边为一棵广度优先生成树。
过程：① 访问指定起点q
② q所有未访问邻接点依次访问、入队列
③ 队列空否：
a：不空，出队列赋为q，转②
b：空，转④
④ 结束
队列的变化： （过程）
访问：
输出顶点并记录经过的边，即有广度优先生成树
注意：
深度优先遍历或者广度优先遍历能
遍历到指定起点所在的连通分量中的所
有顶点。
§9.4 最小生成树
一、概念
1、生成树
生成树＝极小连通子图（n-1）条边
① 加边：形成回路
② 减边：不连通
生成树不唯一：深度优先生成树
广度优先生成树
……
§9.4 最小生成树2
2、最小生成树
网络中所有生成树中代价最小的树。
0 （i=j）
A[ i ][ j ] =
∞（ai到aj无边）
wij（ai与aj边的权值）
二、普里姆(Prim)算法
选取一个顶点作为起点，每次通过代价最小
的边选择一个顶点并入生成树中，直到包含所有
顶点。
例子：
总的时间复杂度：O(n2)
适合：与顶点数有关，适合边稠密的网络。
练习：
用普里姆算法（Prim）的思想，画
出该图生成最小生成树的过程。
三、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法
所有边按权排序，每次取最短边，如不构成
回路，则并入生成树中，否则舍弃。直到并入了
（n-1）条边。
例子：
总的时间复杂度：与边排序算法有关
适合：与边有关，适合边稀疏的网络。
三、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法2
问题：如何判断是否构成回路？
定义连通分量数组ring[n]，初始时各个ring[i]各
不相同，找到边（i，j）时，判断ring[i]与ring[j]是
否相等：
相等：说明i，j在同一个连通分量，舍弃；
不相等： i，j在不同连通分量，边（i，j）并入生
成树中，并把所有与ring[i]相等的ring值改为ring[j]。
练习：
用克鲁斯卡尔算法（Kruskal）的
思想，画出该图生成最小生成树的过程。
§9.5 有向无环网及应用
（有起点，终点，不能包含回路）
一、AOV网（Activity On Vertex network）
1、用顶点表示活动，用弧表示优先关系的有向图。
例子：
概念：前驱、后继、直接前驱、直接后继
一、AOV网2
2、拓扑排序（Topological Sort）
为AOV网建立一个活动（顶点）的线性有序序列。
例子：
步骤：① 输出入度为0的顶点；
② 删除该顶点和相关边；
③ 返回① ，直到无入度为0的顶点。
（结果不唯一）
二、AOE网（Activity On Edge network）
1、用顶点表示事件，弧表示活动，权表示代价的网络。
例子：
问题：完成整个工期需要多少时间？
关键路径：从起点到终点的路径中代价最大的。
（不唯一）
关键活动：关键路径上的活动
缩短工期的关键：加快关键活动的进度。
（注意要受到其他关键活动的制约）
§9.6 最短路径（有向图）
一、问题的提出
A、B有若干路径相通，如何找寻一
代价最小的路径？
例子：