Transcript Напряженное состояние в точке

Напряженное состояние в точке
1. Напряжения по наклонным площадкам в растянутом стержне
наклонное сечение
N
n
N
N
h


поперечное сечение

b


A
A
P
P - полное напряжение на наклонной
площадке
N =  ·A
N = P·A
P
P 
   P cos   cos2 
1
   P sin    cos  sin    sin 2
2
Поперечное сечение:
Наклонное сечение:
N
A cos 
A
  cos 
 = 00,   =  = max,  = 0
при  = 450,   ≠ 0,  max = ½ 
x
Напряженное состояние в точке
1. Напряжения по наклонным площадкам в растянутом стержне
Вывод: Нормальные напряжения
достигают экстремальных значений на
площадках, где касательные
напряжения отсутствуют. Такие
площадки называются главными.
Напряженное состояние в точке
2. Виды напряженных состояний. Система обозначений.
z
Вырежем из тела
прямоугольный
параллелепипед
dz
dy
dx
y
x
Напряженное состояние в точке
2. Виды напряженных состояний. Система обозначений.
Объемное
y
y
xy
zy
yz
z
z
xz
x
yx
zx
x
Внимательнее с индексами!
Всего 9 неизвестных: 3 нормальных напряжения и 6 касательных
Напряженное состояние в точке
2. Виды напряженных состояний. Система обозначений.
Смотрим с конца оси z:
Плоское
y
y
пусть две грани ┴ оси z
свободны от напряжений
xy
x
yx
4 неизвестных.
x
z
Из условия
равновесия:
 xy   yx
Закон парности
касательных
напряжений
Напряженное состояние в точке
2. Виды напряженных состояний. Система обозначений.
Линейное
y
x
x
x
z
1 неизвестная
Напряженное состояние в точке
3. Анализ плоского напряженного состояния.
Правило знаков:
а) Растягивающие нормальные
напряжения, направленные от
площадки, считаем положительными;
б) Касательные напряжения считаем
положительными, если они вращают
элемент против хода часовой стрелки.
y1
А

С
dАcos
yx
dА
Py
Зададим
положительные
напряжения

 P
x

y1x1
x
В
dАsin
x1
y
xy 
x
y
Определим напряжения на наклонных площадках
Fkx = 0; PxdA - xdAcos - xydAsin = 0,
Px = xcos + xysin
(1)
Fky = 0; PydA - ydAsin + yxdAcos = 0,
Py = ysin - yxcos
(2)
y1
yx
x1
y
Py


Определим  (сумма проекций Px и Py
на нормаль)
 P
x

y1x1
x
xy 
Учитывая xy = - yx
y
x
 = Pxcos + Pysin =
xcos2 + xysincos +
 sin2 - yxsincos
y
 = xcos2 +  sin2 - yxsin2
y
(3)
 (сумма проекций Px и Py на ось y )
y1x1 = Pxsin - Pycos = xcossin + xysin2 -  sin
cos + yxcos2
Определим
1
y
y1x1 = ½(x -  ) sin2 + yxcos2 
y
(4)
Таким образом, уравнения (3) и (4)
показывают изменение нормальных и
касательных напряжений при
повороте площадки на угол .
А теперь посмотрим, что происходит с напряжениями на
ортогональной площадке.
Введем формальную замену:
y1
y1
x1y1

x1
y1x1
 =  + 900
x1

x
cos(900+) = -sin
sin(900+) = cos
sin(1800+2) = - sin2
cos(1800+2) = -cos2
y1 = xcos2 +  sin2 - yxsin2
x1y1 = ½(x -  ) sin2 + yxcos2
y1 = xsin2 +  cos2 + yxsin2
x1y1 = ½(x -  ) (-sin2) + yx(-cos2)
y
y
y
y
Рассмотрим выражение:
x + y = x1 + y1
Таким образом, сумма нормальных
напряжений по двум
перпендикулярным площадкам не
зависит от угла  (инвариант)
Напряженное состояние в точке
4. Главные напряжения
При изменении угла  будем получать разные  , yx .
Экстремальные значения нормальных напряжений
называются главными (min
, max).
 = xcos2 +  sin2 - yxsin2
y
d 
-2(xcossin - ysincos - yxcos2) =
 O;
d
= -2[1/2(x - y)sin2 + yxcos2]
d 
 2 y1x1  2    = 0 на главных
Т.о.
d
площадках
2 yx
 = ½(x - y) sin20 + yxcos20 =0 tg 20  
 x  y