Лекция 1. Методологические аспекты математической экономики.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Содержание лекции: История экономико-математической модели Предмет, основные цели и задачи математической экономики Понятие экономико-математического моделирования Принцип гомоморфизма – научная основа моделирования

Сфера применения метода моделирования

Классификация экономико-математических моделей

Этапы экономико-математического моделирования

Примеры составления математических моделей Общая схема принятия решения Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 1/ 13

Литература

    Данилов Н.Н. Курс математической экономики. / М.: «Высшая школа», 2006.

Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. Пособие для вузов/ под ред. В.В. Федосеев М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. Аблянская Л.В. Экономико-математическое моделирование: учебник/ под общ. Ред. И.Н. Дрогобыцкого. – 2-е изд., - М.: «Экзамен», 2006.

Крас М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов./М.: ПИТЕР, 2005.

Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 2/ 13

История экономико математической идеи

      Свод законов царя Хаммурапи (1792-1790 гг. до н.э.) о развитии товарно-денежных отношений в Вавилонии Трактаты Ксенофонта (430-354 гг. до н.э.) «О домашнем хозяйстве», «О доходах» вводится понятие меновой стоимости товара как способности обмениваться на другой товар. Трактат Аристотеля (384-322 гг. до н.э.) «Политика» деньги выступают в роли соизмерителя при обмене, и т.п «Статистика», синонимом «государствоведение» в немецком издании по статистике, (1774 г.), «статистика, или государствоведение — это наука или область знаний о современном политическом положении государства». Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 3/ 13

 «... и сказал господь Моисею: пошли от себя людей, чтобы они высмотрели землю Ханаанскую, которую я даю сынам израилевым... и послал Моисей людей высмотреть землю Ханаанскую и сказал им: пойдите в эту южную сторону, и взойдите на гору, и осмотрите землю, какова она и народ, живущий в ней — силен он или слаб, малочисленен или многочисленен» . Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 4/ 13

    Уильяма Петти (1623-1687), «Политическая арифметика» У. Петти обосновал исходные положения статистики, «точная осведомленность государей об имуществе их подданных не несет последним никакого вреда».

французский экономист Франсуа Кене (1694 1774), «Экономическая таблица Кене», в ней содержались зачатки моделей экономической динамики.

В XVIII веке Иммануил Кант «всякая наука постольку наука, поскольку она математика».

 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 5/ 13

Малыхина В.И. применение математических методов в экономике идет по трем направлениям: 1.

математическая экономика, 2.

3.

математические моделирование экономики экономико-математические методы. Математическая экономика - чисто математическая теория экономики — аксиомы от экономики, остальное от математики. Математическое моделирование экономики — это описание математических моделей экономики их создание, анализ. Экономико-математические методы как совокупность математических методов, используемых для создания математических моделей экономики. Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 6/ 13

   Начало развития исследования операций как науки начинается с сороковых годов двадцатого столетия. Работа Л. В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства», 1939 г. В 1947 г. работа Дж. Данцига, посвященная решению линейных экстремальных задач.

Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 7/ 13

1.1. Понятие экономико математического моделирования

Модель – это упрощённое подобие реального объекта, используемое для его исследования Модель – это система,

гомоморфная

(называемой объектом моделирования) и используемая для суждения об её свойствах и поведении.

Моделирование – непрерывный процесс совершенствования модели, в котором знания о реальном объекте извлекаются из выявления несоответствий между моделью и объектом, их осмысления и устранения.

Математическое моделирование – метод исследования реальных объектов при помощи постановки экспериментов на их математических моделях.

Экономико-математическое моделирование обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения социально экономических систем и процессов.

исследуемой системе Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 8/ 13

Принципы и требования к моделям

1. адекватность (соответствие модели своему оригиналу); 2. объективность (соответствие научных выводов реальным условиям); 3. простота (не засоренность модели второстепенными факторами); 4. чувствительность 5. устойчивость решения задачи); 6. универсальность (способность модели реагировать на изменение начальных параметров); (малому возмущению исходных параметров должно соответствовать малое изменение (широта области применения).

Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 9/ 13

Принцип гомоморфизма – научная основа моделирования

2

Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 10/ 13

Гомоморфизм – это логико математическое понятие, означающее одностороннее отношение подобия между двумя системами.

Систему называют гомоморфной другой системе, если первая обладает некоторыми, но не всеми, свойствами или законами поведения другой.

Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 11/ 13

1.

2.

3.

4.

5.

Сфера применения метода моделирования

Объект недоступен для непосредственного исследования (причины радиоизлучения квазаров, процессы формирования кимберлитовых трубок) Уникальный или дорогостоящий объект разрушится вследствие исследования (предельная нагрузка на железнодорожный мост) Исследование на реальном объекте дорого, трудоёмко или опасно (влияние биологических средств борьбы с вредителями сельскохозяйственных культур) Исследование на реальном объекте займёт неприемлемо долгое время (процесс формирования каменноугольных залежей) Реальный объект не существует: изучается возможность и целесообразность его создания (скоростная железнодорожная магистраль Москва – Васюки) Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 12/ 13

Причины, ограничивающие применение моделирования

1.

2.

3.

4.

Никогда нельзя быть уверенным в адекватности модели.

Объект моделирования может быть подвержен изменениям.

Границы применимости модели, как правило, неизвестны.

Разработка и исследование модели могут оказаться намного дороже, чем предполагалось.

Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 13/ 13

1.4. Классификация экономико математических моделей

По целевому назначению По степени агрегирования Макро экономические Теоретические Микро экономические Нано экономические Прикладные Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 14/ 13

1.4. Классификация экономико математических моделей

По решаемым задачам По учёту фактора времени Балансовые Статические Эконометрические Оптимизационные Имитационные Динамические Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 15/ 13

1.4. Классификация экономико математических моделей

По учёту фактора неопределённости По отношению к процессу принятия решения Детермини рованные Дескриптивные Стохастические Нормативные Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 16/ 13

Классификация математических методов, используемых для разработки и исследования ЭММ

  Методы теории систем  Системный анализ  Синтетический метод Методы математической статистики    Дисперсионный анализ Корреляционный анализ Регрессионный анализ    Факторный анализ Кластерный анализ Теория индексов  Методы исследования операций      Математическое программирование  линейное • сепарабельное • целочисленное • дробно-линейное     нелинейное динамическое параметрическое стохастическое Методы теории игр Методы теории расписаний Методы теории массового обслуживания Управление запасами Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 17/ 13

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

1.5. Этапы экономико математического моделирования

Изучение предметной области и определение целей исследования Формулировка проблемы Сбор данных(статистических, экспертных и прочих) Построение математической модели Выбор(или разработка) вычислительного метода и построение алгоритма решения задач    Численное решение модели отыскание оптимального решения параметрическая идентификация (оценивание) вычислительный эксперимент Анализ полученных результатов Внедрение результатов на практике Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 18/ 13

Примеры составления математической модели



Пример1. Управление портфелем активов.

Рассмотрим проблему принятия инвестором решения о вложении имеющегося у него капитала. Набор характеристик потенциальных объектов для инвестирования, имеющих условные имена от А до F, задается следующей таблицей.

Название Доходнос ть(в%) Срок выпуска А В С D E F 5,5 6,0 8,0 7,5 5,5 7,0 2001 2005 2010 2002 2000 2003 3 5 4 Надежно сть (в баллах) 5 4 2 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 19/ 13

    При принятии решения о приобретении активов должны быть соблюдены условия: a) суммарный объем капитала, который должен быть вложен, составляет $ 100 000; b) доля средств, вложенная в один объект, не может превы шать четверти от всего объема; c) более половины всех средств должны быть вложены в долгосрочные активы (допустим, на рассматриваемый момент к таковым относятся активы со сроком погашения после 2004 г.); d) доля активов, имеющих надежность менее чем 4 балла, не может превышать трети от суммарного объема.

Решение: Определения структуры управляемых переменных. Это объемы средств, вложенные в активы той или иной фирмы. Обозначим их как х A , х B , х C , х D , х E , х F .

Тогда суммарная прибыль от размещенных активов, которую получит инвестор, может быть представлена в виде

P

  0 , 055

x A

 0 , 06

x B

 0 , 08

x C

 0 , 075

x D

 0 , 055

x E

 0 , 07

x F

.

Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 (1) 20/ 13

            Описать ограничения a-d на структуру портфеля.

a) Ограничение на суммарный объем активов: xA + xB + xС + xD + xE + xF хА xd   25 000, 25 000, хВ  хе  25 000, хС 25 000, xf    100 000 . b) Ограничение на размер доли каждого актива: 25 000, (2) 25 000. (3) c) Ограничение, связанное с необходимостью вкладывать половину средств в долгосрочные активы: хВ + хС d) Ограничение на долю ненадежных активов: xC + xD Ограничений в соответствии с экономическим смыслом задачи должна быть дополнена условиями неот рицательности для искомых переменных: хА    50 000 (4) 0, хB 30 000. (5)  0, хC (6)  0, xD  0, хЕ  0, xF  0. Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 21/ 13

 Пример 2. Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j-го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b.

Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 22/ 13

 На базе торговой организации имеется n типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завезти в магазин. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль если же он не будет пользоваться спросом — убыток q i

.

р

j

,

Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 23/ 13

Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 24/ 13

 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 25/ 13

Общая схема принятия решения. Виды и примеры экономических задач оптимизации и упражнения

      Вопросы: кто принимает решение?

каковы цели принятия решения?

в чем состоит принятие решения?

каково множество возможных вариантов достижения цели?

при каких условиях происходит принятие решения? Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 26/ 13



Общие обозначения

N множество всех принимающих решение сторон, N = {1, 2, ..., n }, т. е. имеется всего участников, идентифицируемых только номерами. п  Каждый элемент i Є N называется принимающим решение правительства и др.).

(ЛПР) лицом, (например, отдель ная личность, фирма, плановый орган большого концерна,  X1, X2,… Xn - множество всех допустимых решений (альтернатив, стратегий) каждого ЛПР предварительно изучено и описано математически  Каждое ЛПР выбирает конкретный элемент из своего допустимого множества решений: х 1 Є X 1 х 2 Є Х 2 , ..., х n х = (х1, ..., хn) - ситуацией.

Є Х n . Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 27/ 13

    Cтроят функции f 1, f или 2, f n критерии качества) ( целевые функции Каждой х ставятся числовые оценки f 1 {x), ...,f n (x) .

Тогда цель i-го ЛПР : выбрать такое свое решение ситуации х i Є X i, чтобы в х= (х 1 , ..., х n ) число f i( влияющих на общую ситуацию x) было как можно большим (или меньшим). Однако достижение этой цели от него зависит частично ввиду наличия других сторон, х для достижения своих собственных целей. Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 28/ 13

   математически описываются все те условия, при которых происходит принятие решения ( описание связей между управляемыми и неуправляемыми переменными, описание влияния случайных факторов, учет динамических характеристик и т. д. )Совокупность этих условий обозначается ∑ Таким образом, общая схема задачи принятия решения может выглядеть так: {N; X 1, …., X n; f 1 (x),… f n (x); ∑} Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 29/ 13

  Если в экстремальной задаче явно учитывается фактор времени, то она называется

задачей оптимального управления.

Часто у ЛПР имеется не одна, а несколько целей. Такие задачи называются

задачами многокритериальной оптимизации.

Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 30/ 13