Transcript Document

Relativiteitstheorie (3)
Tot nu toe…
• Gelijktijdigheid is relatief, m.a.w. verschillende waarnemers
zullen verschillend denken over de gelijktijdigheid van twee
gebeurtenissen.
• Tijdsduren zijn relatief: bewegende klokken lopen langzamer
(tijdsdilatatie).
• Lengtes zijn relatief: een bewegend voorwerp is korter
(Lorentz-Fitzgerald contractie).
• Dopplerverschuiving: de spectraallijnen van een ster die van je
af beweegt hebben een lagere frequentie (red shift).
• Hoe ‘vertaal’ je de snelheidsmetingen van waarnemer S naar die
van waarnemer S’ ?
De Lorentz Transformatie
x   ( x ' vt ' )
y  y'
 
z  z'
1
1 v /c
2
t   ( t ' vx ' / c )
2
2
• De inverse transformatie (van S naar S’ ) volgt door
het teken van v om te draaien.
• Een snelheid van een langs de x-as bewegend voorwerp,
gemeten door S is
dx
ux 
dt
Transformatie van snelheden
dx  x 2  x1
x 2   ( x 2 ' vt 2 ' )
x1   ( x1 ' vt 1 ' )
x 2  x1   [( x 2 ' x1 ' )  v ( t 2 ' t1 ' )]
dx '
dt '
dx   [ dx ' vdt ' ]
• Het verschil dx transformeert net zo als de
coördinaat x zelf.
• Dit geldt ook voor het tijdsverschil dt:
t   [ t ' vx ' / c ]
2
dt   [ dt ' vdx ' / c ]
2
Transformatie van snelheden (2)
dx   [ dx ' vdt ' ]
ux 
dx
dt

dt   [ dt ' vdx ' / c ]
2
( dx ' vdt ' )
( dt ' vdx ' / c )
2

dx ' / dt ' v
1  ( v / c ) dx ' / dt '
2

ux'
De snelheid transformeert dus als:
ux 
u x ' v
1  vu x ' / c
2
u x ' v
1  vu x ' / c
dx '
dt '
2
Transformatie van snelheden (3)
ux 
u x ' v
1  vu x ' / c
2
Drie consequenties:
1. als v«c :
u x  u x ' v = snelheidstransformatie van Galileo
Dit is een tweede illustratie van relativistische mechanica
die tot klassieke mechanica leidt als v « c.
2. als ux’= c:
Dit is in overeenstemming
cv
(1  v / c )
ux 
c
c
met Einstein’s postulaten!
1 v / c
(1  v / c )
Transformatie van snelheden (4)
ux 
u x ' v
1  vu x ' / c
2
3. Stel S’ beweegt zich met een snelheid v = 0.5c van
S vandaan, en een voorwerp heeft een snelheid
u x '  0 . 5 c in het stelsel van S’.
`Klassiek’ verwacht je dat u x '  0 . 5 c  0 . 5 c  c ,
maar toepassing van Einstein’s snelheidswet geeft
u x  0 .8 c
Kinetische energie
• De kinetische energie K van een voorwerp met
massa m en snelheid v is
K 
1
mv
2
2
• Hoe kan je een voorwerp versnellen?
• Een deeltje met een elektrische lading, zoals
een elektron, kan je versnellen met een
elektrisch veld.
CERN - Geneve
Energie en snelheid
theorie: K 
1
2
mv
2
c2
experiment
• Het blijkt experimenteel dat de energie van een electron
onbeperkt kan worden opgevoerd in een versneller.
Maar v2 blijkt alleen lineair te zijn met de energie K als v « c.
• Het lijkt alsof de massa van het elektron steeds groter
wordt, en het daardoor steeds moeilijker kan worden versneld.
• Als je de energie van het elektron laat toenemen kruipt
zijn snelheid langzaam naar de lichtsnelheid toe.
• Blijkbaar is c de maximale snelheid die een deeltje kan bereiken.
Minkowski Diagrammen
Foton in neg. xrichting
jaren
tijd
Raket met snelheid 0.5 c
45o
ruimte
(xas)
lichtjaren
Snelheid
v volgtvan
uit huisgenoot
de helling van de wereldlijn
Wereldlijn
Hoe groter v, des te groter is de hoek met de tijd-as
Maximale snelheid is c → max. hoek is 45o
Twee Waarnemers - Tijdssynchronisatie
t
t’ [Waarom?]
t2
(t2+t1)/2
t’2
t1
S
S’
x en x’
Synchronisatie
vandat
dehet
klokken
van
SS’enbewegen
S’ kan
door
t elkaar.
= t1 een lichtpuls
S laat S’ weten
door S’
genoteerde
tijdstip
overeenkomt
met naar S’
Waarnemers
S en
nietSt’t.o.v.
2op
te laten
sturen,
die Hoe
S’(top
t’2)/2.
= t’2ze
meteen
terugkaatst.
t = t2 ontvangt S de puls terug.
zijn eigen
tijdstip
kunnen
hun klokken
gelijkOp
zetten?
1+t
Beide stralen maken een hoek van 45o met de tijdsas.
Tijdssynchronisatie (2)
t1’
t
t2’
t2
Gelijktijdig
voor S1’ en S2’
tA’
tB’
t1
x
S
S1’
S2’
Maar nu is er iets vreemds aan de hand:
Waarnemers
S2’ bewegen
nietSt.o.v.
We gebruiken
weer Shet
zelfde
voorschrift:
S2’ sturen een
1’ en
1’ en elkaar,
Voor S1’ en S2’ zijn de tijdstippen
tA’ en tB’ gelijktijdig,
maar voor
Ze bewegen
beiden
metal0.25
S af. die voor S bewegen,
lichtsignaal
naar elkaar.
Ook
zijn cditvan
bronnen
waarnemer S is het tijdstip tA’ vroeger dan tB’.
Hoe
kunnen postulaten
S1’ en S2’ hun
beide
klokken
gelijk
volgens
Einstein’s
maken
beide
stralen
tochzetten?
weer dezelfde
We hebben het eerder
gevonden
resultaat
dat
gelijktijdigheid
relatief is,
hoek van 45o met de t-as.
nu meetkundig bewezen.
Minkowski Diagrammen
• Ook de contracties van lengtes, de tijdsdilatatie en het Dopplereffect
kunnen meetkundig worden afgeleid. Zie hiervoor het boek van
Sander Bais, De sublieme eenvoud van Relativiteit.
• Opgaves
Laat m.b.v. de Lorentztransformatie zien dat vanuit waarnemer S gezien,
de x’-as van waarnemers S1’ en S2’ een hoek v/c maakt met de positieve
x-as.
• Leg uit waarom de wereldlijn van S1’ - zoals die door S gezien wordt –
wel de tijdsas van S1’ moet zijn.
Het Minkowski interval
Stel dat S een aantal andere waarnemers ziet die allemaal met een verschillende
snelheid op t = 0 door de oorsprong van S zijn coördinatensysteem reizen:
t
t=s
x
S vraagt zich af op welk punt op hun wereldlijn de waarnemers vinden dat er
een tijdsduur s is verstreken. Omdat het hier om voor S bewegende klokken gaat,
zullen deze punten boven t = s liggen, en meer naar boven naarmate de snelheid
t.o.v. S groter is
Het blijkt dat de lijn die door al deze punten van gelijke tijd loopt,
een hyperbool is.
Het Minkowski interval (2)
ct
ct’
We kunnen de vorm van de groene lijn
berekenen door langs de verticale as ct
uit te zetten i.p.v. t. Nu hebben beide
coördinaten dezelfde dimensie nl. afstand.
ct’ = s
x
Vanwege de tijdsdilatatie hebben we
2 '2
c t
 (1  v / c ) c t
2
2
2 2
s c t v t
2
2 2
2 2
De positie van de bewegende waarnemers (volgens S ) is x = vt. Dus:
s c t x
2
2 2
2
Dit is de uitdrukking voor een hyperbool in het x,ct – vlak.
Het Minkowski interval (3)
t
s c t x
2
2 2
2
t=s
x
We noemen de ‘lengte’ s de Minkowski lengte, of het Minkowski interval.
Een zeer bijzondere eigenschap is dat s2 Lorentz-invariant is, d.w.z. voor
iedere willekeurige andere waarnemer geldt s 2  c 2 t ' 2  x ' 2 .
Dit is aannemelijk omdat het hier gaat om een tijdsduur meting in het ruststelsel
van een waarnemer (s wordt de eigentijd genoemd), en die moet wel Lorentzinvariant zijn.
• Opgave
Toon algebraïsch aan dat s2 Lorentz-invariant is.
De Tweelingparadox
Ruimte-tijd diagrammen
Een waarnemer die op de VU blijft zal R’s reis naar
het CS anders beschrijven dan R zelf.
Ruimte en Tijd
Experimenteel blijkt dat de lichtsnelheid voor iedereen
dezelfde waarde heeft, ongeacht zijn snelheid t.o.v. de
lichtbron:
c = 299 792 458 m/s
Einsteins speciale relativiteitstheorie neemt dit gegeven als
uitgangspunt.
De Lorentz transformatie vertelt hoe je de ruimte- en
tijdmetingen (t,x,y,z) van waarnemer S kunt omzetten in de
metingen (t’,x’,y’,z’) van waarnemer S’. Het enige `ingrediënt’
dat je daarbij nodig hebt is de onderlinge snelheid v van S en
S’.
Deze snelheid wordt geacht constant te zijn.
Een consequentie is:
Lorentz-Fitzgerald contractie
• Een bewegend voorwerp of afstand
is korter dan hetzelfde voorwerp
dat stil staat!
• Dit effect treedt alleen op bij zeer
grote snelheden:
v≈c
Tweede consequentie:
Tijdsdilatatie
• Voor een bewegend
iets/iemand loopt de klok
langzamer
• Kosmische muonen bereiken
de aarde!
levensduur muon = 2.2 x 10-6 s
(d.i. maximaal circa 660 m)
• Maar met v = 0.99995 c leeft
het muon 100 x zo lang en legt
dan circa 66 km af
Gamma factor voor tijdsdilatatie
Stel v = 0.99995 c
dan v2/c2 = 0.9999, en 1-v2/c2 = 1/10 000
en (1-v2/c2)1/2 = 1/100 →  = 100
Tijdsdilatatie en
Lorentzcontractie
Als v = 0.6 c
dan  = 1.25
Tijdsdilatatie: de klok van een deeltje of een reiziger die
met 0.6 c beweegt t.o.v. jou loopt een
factor  = 1.25 langzamer dan jouw klok.
Lorentzcontractie: de afstand die door een bewegend deeltje
of reiziger wordt afgelegd is voor hem een
factor  korter.
Bijv. 3 lichtjaar : 1,25 = 2,4 lichtjaar.
Paradoxen
Epimenides, zelf op Kreta wonend, sprak:
`Alle Kretenzers zijn leugenaars.’
Alle mannelijke inwoners van Sevilla die zich zelf
niet scheren, worden geschoren door de barbier
die zelf ook in de stad woont.
Wie scheert de barbier van Sevilla?
Russell
Een paradox is een schijnbare tegenspraak.
Logboek van een waarnemer
en en
tijd tijd
We
zetten
plaats
• We
Wezetten
zettenplaats
plaats
en
tijd
tegen
elkaar
uituit
in een
x-t
tegen
elkaar
in
een
tegen
diagramelkaar uit in een
x-t
diagram
x-t
diagram
 R is het pad van raket met
 R
van raket
v =geeft
0.6 c pad
-> =1.25
met v = 0.6 c
 Maximale snelheid is c.
 Maximale
snelheid
Pad van R valt
binnen is c.
lichtkegel
Pad van R valt binnen
 Punten
met dezelfde
lichtkegel



(eigen) tijd liggen op een
hyperbool!
Licht- en radiogolven gaan
onder een hoek van 45o
De lichtkegel
• De voorwaartse lichtkegel
wordt gevormd door alle
punten waar je naar toe kan
reizen of signalen naar toe
kunt sturen
• De achterwaartse lichtkegel
zijn die punten waar je
vandaan had kunnen komen,
of waarvan je signalen van
hebt kunnen ontvangen.
• De lichtkegel beweegt met
iedere waarnemer mee door
het tijd-ruimte diagram
Een reis naar de sterren








Tweeling A en R
A blijft thuis
R reist met v = 0.6 c
ster S op 3 lj afstand
Voor R duurt de reis
4 jaar nl. 5/1,25 vanwege de
tijdsdilatatie
A concludeert dat R bij S aankomt
na 5 jaar.
Een door R vanaf S verzonden
bericht komt inderdaad 5+3=8 jaar
na R’s vertrek bij A aan!
Maar R schrijft pas 4 jaar
onderweg te zijn…
Een reis naar de sterren
(nogmaals)
• A verdwijnt met v = 0,6 c
• S nadert met v = 0,6 c
• Lichtsignalen blijven lijnen
onder 45 graden!
• R arriveert bij S na 4 jaar!
• Op klok van A is maar 3,2 jaar
(4/1,25) verstreken!
• Voor reiziger R is de afstand tot
S maar 2,4 lichtjaar (3/1,25)
(Lorentzcontractie)
De hele reis naar S
• A concludeert dat terugreis
voor R weer 5 jaar duurt
• Voor R duurt de reis weer 4
jaar
• A is 10 jaar ouder, maar R is
8 jaar ouder. R is dus naar de
toekomst gereisd!
• SMS’jes van R naar A:
aantal = 8, de tussenduur
ervan vermindert volgens A na
8 jaar. R verstuurt ze echter
telkens waneer er volgens
hem precies 1 jaar verstreken
is
Hoe kan dat nu?
Als we nu vanuit R’s standpunt de zaak
bekijken verstrijkt er tijdens de heenreis
voor A maar 4/1,25 = 3,2 jaar.
Vanuit R gezien zou A dus al met al maar
6,4 jaar ouder zijn geworden!
Wat is hier aan de hand ?
De hele reis naar S (variant 1)
• Nu gezien door iemand die op de
heenreis met R is meegereist en
daarna gewoon verder is gegaan



Voor R is de terugreis een kwestie van A
inhalen
Snelheid van terugkerende R is v = 0.88 c
(0.6 +0.6=0.88! Opgetelde snelheden
blijken lager dan verwacht te zijn, hun
som is altijd < c.) en zijn tijd loopt nu nog
langzamer ( = 2.105)
De jaarlijkse berichten van R gaan elkaar
vanuit dit perpectief nog sneller opvolgen!
De hele reis naar S (variant 2)
•
•
•
•
Heenreis voor reiziger R
Terugreis voor reiziger R
Wereldbeeld verandert
Bij het omdraaien verzet R z’n
klok niet, maar de klok van A
gaat wel opeens nog langzamer
lopen volgen R. Maar ook vindt
R dat de positie van de aarde
opeens veranderd is! [Ga na!]
(De onderlinge snelheid van R
en A verandert nl. van +v in -v!)
• Plaats en tijd zijn relatief!
Paradox = schijnbare tegenstelling
Het is gek
Maar waar!
De oplossing
• Heenreis van reiziger R vindt plaats met snelheid +v.
• Terugreis voor reiziger R gaat met snelheid –v.
R moet afremmen om terug te keren (bijv. de raket
stoppen etc.). Zijn rol en die van A zijn dus niet
symmetrisch!
• R is dus strikt genomen geen ‘goede’ waarnemer,
want de theorie beschrijft alleen waarnemers met een
constante snelheid t.o.v. elkaar.
• Zowel de ‘doorreizende’ compagnon van R als A zien
het beiden juist:
R is minder oud geworden dan z’n tweelingbroer.
There once was a girl named Ms. Bright,
who could travel much faster than light.
She departed one day,
the Einsteinian way,
and returned on the previous night…
Einde